Calcul de sommes

Exercice 690. Sommes classiques

1. Calculer pour tout $n \in \N^*$ la somme $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}$. \\
2. Soit $n \in \N$, calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\times k!$. \\
3. Calculer $\Sum_{k=0}^{n} \Frac{k}{(k+1)!}$.

Exercice 692. Incontournable

1. Calculer $\Sum_{k=0}^{2n}(-1)^k k$. \\
2. Calculer pour tout $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2$.

Exercice 694. Sommes binomiales

1. $A = \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{n}{k}$. \\
2. $S = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{2^k}\binom n k$.\\
3. $T = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom n k$. \\
4. $V = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k+1}\binom n k $.

1. Etudier la fonction $f : x \mapsto (1+x)^n$ puis calculer $\Sum_{k=1}^{n}k \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=1}^{n}k^2 \binom{n}{k}$. \\
2. Montrer l'identité : $\forall n \geqslant 2$, $k \displaystyle \binom{n}{k} = n \displaystyle \binom{n-1}{k-1}$. \\ En déduire une nouvelle façon de calculer $\Sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}$.

1. Calculer les sommes $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}$. \\
2. En déduire les sommes suivantes $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; pair}} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; impair}} \binom{n}{k}$