Calculs de produits

Exercice 698. Calculer le produit suivant \[ \prod_{k=1}^{n} \parenthese{1+\Frac{1}{k}}^{k} \]
Exercice 699. \\
  1. Pour $n \in \N^*$, exprimer les produits suivants à l'aide de puissances de $2$ et de factorielles \[ \prod_{k=1}^{n}(2k) \quad et \quad \prod_{k=1}^{n}(2k-1) \]
  2. En déduire que $(2n)! < 2^{2n}(n!)^2$.
Exercice 700. Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 1$, $\Prod_{k=1}^{n}(n+k) = 2^{n} \prod_{k=1}^{n}(2k-1)$.
Exercice 701. Calculer le produit $\Prod_{k=1}^{n} 2^{\frac{1}{k(k+1)}}$.
Exercice 702. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, \[ \displaystyle \prod_{k=1}^{n}(2k)! \geqslant ((n+1)!)^n \]
Exercice 703. Soient $a \in \R$ et $P = \Prod_{k=0}^{n}(1+a^{2^k})$. \\
  1. Calculer $P$ quand $a=1$.\\
  2. Calculer $(1-a)P$ quand $a \neq 1$ et en déduire la valeur de $P$. \\
  3. Expliquer la formule obtenue.
Exercice 704. Pour tout $(n,p) \in \N^* \times \N$, calculer \[ \Prod_{k=0}^{n-1}(n(n+p)-k(k+p)) \]
Exercice 705. Calculer, pour tout $n \in \N^*$, le produit \[ P_n = \Prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij \]