Exercices divers

Exercice 718. Inégalité de Cauchy-Schwarz

\\ Soient $(a_1,\hdots,a_n) \in \R^n$ et $(b_1,\hdots,b_n) \in \R^2$. En considérant la fonction $f : x \mapsto \Sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2$, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz \[ \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}a_kb_k}^2 \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}a_k^2} \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}b_k^2} \]

Exercice 719. En utilisant judicieusement la dérivation, simplifier la somme suivante $\Sum_{k=0}^{n}ke^{kx}$.

Exercice 720. Suite des coefficients binomiaux

\\ Soit $n \in \N^*$. \\ On considère la suite finie $(u_k)$ pour tout $k \in \llbracket 0, 2n \rrbracket$ définie par \[ u_k = \binom{2n}{k} \]

1. En étudiant les variations de $(u_k)$, déterminer le rang de la valeur maximale de cette suite. \\
2. En utilisant une somme, montrer l'inégalité $\Frac{2^{2n}}{2n+1} \leqslant \displaystyle \binom{2n}{n}$.

Exercice 721. Calculer, pour $n, p \in \N^*$, la somme suivante : \[ \Sum_{i=0}^{n} \parenthese{ \Prod_{j=1}^{p}(i+j) }. \]

Exercice 722. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Prod_{k=0}^{n-1} \Frac{n!}{k!} = \Prod_{k=1}^{n} k^k$.

Exercice 723. Soit $\un$ une suite à termes dans $\R^*_+$ telle que \[ \forall n \in \N^*, \;\; \Sum_{k=1}^{n} u_k^3 = \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} u_k^2}^3 \] Montrer que $\forall n \in \N^*$, $u_n = n$.

Exercice 724. Formule d'inversion de Pascal

\\ Soient $n \in \N$ et $a_0, \hdots, a_n, b_0, \hdots, b_n$ des réels vérifiants \[ \forall p\in \llbracket 0,n \rrbracket, \quad b_p = \Sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a_k \] Montrer la formule d'inversion de Pascal : \[ \forall p \in \llbracket 0,n \rrbracket, \quad a_p = \Sum_{k=0}^{p}(-1)^{p-k}\binom{p}{k} b_k \]

Exercice 725. \\

1. Montrer, pour $x \neq 0$, que \[ \lim_{n \to +\infty} \cos\!\left(\Frac{x}{2}\right) \times \cos\!\left(\Frac{x}{2^{2}}\right) \times \dots \times \cos\!\left(\Frac{x}{2^{n}}\right) = \Frac{\sin(x)}{x}. \]
2. En déduire la formule de Viète : \[ \Frac{2}{\pi} = \sqrt{\Frac{1}{2}} \;\sqrt{\Frac{1}{2} \;\sqrt{\Frac{1}{2}}} \;\sqrt{\Frac{1}{2} \;\sqrt{\Frac{1}{2} \;\sqrt{\Frac{1}{2}}}} \times \dots \]

Exercice 726. Pour $i_1,\ldots,i_n \geqslant 0$ tels que $i_1+\cdots+i_n=k$, on note\\ \[ \binom{k}{i_1,\ldots,i_n}=\Frac{k!}{i_1!\cdots i_n!}.\\ \] Par convention, $\binom{k}{i_1,\ldots,i_n}=0$ dans les autres cas.\\ Montrer la formule du multinôme\\ \[ \forall n \in \N,\;\;\forall (x_1,\ldots,x_n) \in \R^n,\;\;\forall k \in \N,\;\; (x_1+\cdots+x_n)^k=\Sum_{\substack{(i_1,\ldots,i_n)\in\N^n\\ i_1+\cdots+i_n=k}} \binom{k}{i_1,\ldots,i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}.\\ \]