Généralités

Exercice 1460. \\ On dit que $f$ est $1$-lipschitzienne si pour tout $x,y \in \mathscr{D}_f$, $\abs{f(x)-f(y)} \leqslant \abs{x-y}$. \\ On sait que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$. \\ Montrer que $\sin $ est $1$-lipschitzienne.

Exercice 1461. Soient $x,y,z \in \Rpe$ tels que $x \leqslant y \leqslant z$. \\ Montrer que \[ \Frac{x}{1+x} < \Frac{y}{1+y} + \Frac{z}{1+z} \]

Exercice 1462. Soit $f : [0,1] \to \R$ définie par $f(x) = \begin{cases} x\lfloor \frac{1}{x} \rfloor \quad si \;\; x \neq 0 \\ 1 \quad si \;\; x = 0 \end{cases}$. \\ Montrer que $f \circ f = f$.

Exercice 1463. Soient $a\in\R^{+*}$ et $f:[a,+\infty[\to\R^+$. On suppose :\\

1. $\forall(x,y)\in[a,+\infty[^2,\;f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$.\\
2. $\forall x\in[a,+\infty[,\;\exists M\in\R^+,\;\forall t\in[a,x],\;f(t)\leqslant M$.\\

Montrer que \[ \ell=\inf_{x\in[a,+\infty[}\frac{f(x)}{x} \] est défini, puis montrer que \[ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\ell. \]

Exercice 1464. Soit $f \in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. On note $C_f$ la courbe représentative de $f$, dans le plan rapporté à un repère quelconque.\\

1. On suppose que $f$ est la somme d'une fonction affine et d'une fonction périodique.\\
   1. Donner un exemple où $C_f$ admet deux centres de symétrie.\\
   2. Donner un exemple où $C_f$ n'admet pas de centre de symétrie.\\
2. On suppose que $C_f$ admet deux centres de symétrie, montrer que $f$ est la somme d'une fonction affine et d'une fonction périodique.