Généralités

Exercice 1251. \\ On dit que $f$ est $1$-lipschitzienne si pour tout $x,y \in \mathscr{D}_f$, $\abs{f(x)-f(y)} \leqslant \abs{x-y}$. \\ On sait que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$. \\ Montrer que $\sin $ est $1$-lipschitzienne.
Exercice 1252. Montrer que si $f$ est une fonction impaire telle que $O \in \mathcal{D}_f$, alors $f(0)=0$.
Exercice 1253. Montrer que si $f$ est paire et impaire, alors $f$ est la fonction nulle.
Exercice 1254. Soient $x,y,z \in \Rpe$ tels que $x \leqslant y \leqslant z$. \\ Montrer que \[ \Frac{x}{1+x} < \Frac{y}{1+y} + \Frac{z}{1+z} \]
Exercice 1255. \\ Montrer que la fonction $f$ : $x \mapsto \ln(\sqrt{x^2+1}+x)$ est une fonction impaire. \\ On donnera avant l'ensemble de définition de $f$.
Exercice 1256. Soit $f : \R \to \R$ une application telle que \[ \forall x \in \R, f(x) \neq 3 \quad et \quad f(x+1) = \Frac{f(x)-5}{f(x)-3} \] Montrer que $f$ est $4$-périodique.
Exercice 1257. Soit $f : [0,1] \to \R$ définie par $f(x) = \begin{cases} x\lfloor \frac{1}{x} \rfloor \quad si \;\; x \neq 0 \\ 1 \quad si \;\; x = 0 \end{cases}$. \\ Montrer que $f \circ f = f$.
Exercice 1258. Soient $a\in\R^{+*}$ et $f:[a,+\infty[\to\R^+$. On suppose :\\
  1. $\forall(x,y)\in[a,+\infty[^2,\;f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$.\\
  2. $\forall x\in[a,+\infty[,\;\exists M\in\R^+,\;\forall t\in[a,x],\;f(t)\leqslant M$.\\
Montrer que \[ \ell=\inf_{x\in[a,+\infty[}\frac{f(x)}{x} \] est défini, puis montrer que \[ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\ell. \]
Exercice 1259. Soit $f \in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que : \[ \exists a \in \mathbb{R}^*,\; \forall x \in \mathbb{R},\; f(x+a)=\Frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-(f(x))^2}. \] Montrer que : \[ \forall x \in \mathbb{R},\; \Frac{1}{2}\leqslant f(x)\leqslant 1, \] et que $f$ est périodique de période $2a$.
Exercice 1260. Soit $f \in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. On note $C_f$ la courbe représentative de $f$, dans le plan rapporté à un repère quelconque.\\
  1. On suppose que $f$ est la somme d'une fonction affine et d'une fonction périodique.\\
    1. Donner un exemple où $C_f$ admet deux centres de symétrie.\\
    2. Donner un exemple où $C_f$ n'admet pas de centre de symétrie.
  2. On suppose que $C_f$ admet deux centres de symétrie, montrer que $f$ est la somme d'une fonction affine et d'une fonction périodique.