Calculs de limites

Exercice 1600. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$ dans les cas suivants : \\
  1. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$. \\
  2. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}}$. \\
  3. $S_n = \Frac{1}{n^2} \Sum_{k=1}^{n} k$. \\
  4. $S_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{n^2+k^2}$.
Exercice 1601. Soit $x \in \R$ et pour $n \in \N^*$, $x_n = \Frac{\lfloor nx \rfloor}{n}$. \\ Calculer $\limn x_n$.
Exercice 1602. Soit un entier $p \geqslant 2$. On considère la suite $\un$ définie par $u_n = \cos{\Frac{2n\pi}{p}}$. \\
  1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_{n+p} = u_n$. \\
  2. Calculer $u_{np}$ et $u_{np+1}$. \\
  3. Montrer que $\un$ n'a pas de limite.
Exercice 1603. \\
  1. Soit $a, b \in \Rpe$. Déterminer $\limn (a^n+b^n)^{1/n}$. \\
  2. Soient $a_1,\hdots,a_k$, $k$ réels strictement positifs. \\ Déterminer $\limn(\abs{a_1}^n+\hdots+\abs{a_k}^n)^{1/n}$.
Exercice 1604. Calculer la limite de $(u_n)$ de terme général : \\ \[ \forall n \in \N, \; u_n=\sin\!\parenthese{\Frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}. \]
Exercice 1605. Soit une suite réelle $(u_n)$.\\ On suppose qu’il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n \geqslant \varepsilon$.\\ Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1606. Soit $a>0$ calculer la limite de $(u_n)$ de terme général : \\ \[ \forall n \in \N, \; u_n=\parenthese{\lfloor a^n \rfloor}^{\frac{1}{n}}. \]
Exercice 1607. Soit une suite $(v_n)_n$ qui tend vers $0$ et telle que $v_n+v_{2n}=o\!\left(\Frac{1}{n}\right)$.\\ Montrer que $v_n=o\!\left(\Frac{1}{n}\right)$ en montrant d’abord que :\\ \[ \forall p,n,\; |v_n|\leqslant |v_{2^{p+1}n}|+\Sum_{k=0}^{p}|v_{2^kn}+v_{2^{k+1}n}| \]

Exercice 1608. Sommes des inverses binomiaux alternatif

\\ Nous considérons la suite $\bn$ définie, pour tout entier naturel $n \geqslant 4$ par $b_n = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{ \displaystyle \binom n k }$. \\
  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, $b_n \geqslant 2$. \\
  2. Soit un entier $k$ tel que $3 \leqslant k \leqslant n-2$. \\ Etablir l'égalité $\Frac{ \displaystyle \binom n k }{ \displaystyle \binom n 2 } = \prod_{j=0}^{k-3} \Frac{ n-2-j}{k-j}$. En déduire, pour tout entier $k \in \{2, \hdots, n-2\}$, $\binom n k \geqslant \binom n 2$.
  3. Montrer que la suite $\bn$ converge vers un réel que l'on précisera.
Exercice 1609. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites strictement positives telles que $\limn v_n = 0$ et \[ \forall n \in \N,\; \Frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n} \] Calculer $\limn u_n$.

Exercice 1610. Sommes des inverses binomiaux

\\ Calculer $\limn \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{n}{k}^{-1}$.
Exercice 1611. Soit $(u_n)$ une suite réelle qui tend vers $+\infty$. Montrer que $\{u_n,\; n \in \N\}$ admet un plus petit élément.
Exercice 1612. Soit $p \in \R$ tel que $\sin{p} \neq 0$. \\ On considère pour tout $n \geqslant 1$, le produit $P_n = \Prod_{k=1}^{n} \cos\parenthese{\Frac{p}{2^k}}$. \\
  1. Montrer que la suite $\un$ définie par $u_n = P_n\sin\parenthese{\Frac{p}{2^n}}$ est géométrique.\\
  2. En déduire une expression de $P_n$ en fonction de $n$ puis $\limn P_n$.
Exercice 1613. Étudier la suite \[ u_n=\Frac{1}{n^n}\sum_{k=1}^{n}k^n. \]
Exercice 1614. Calculer la limite de $u_n = \Frac{1}{n!} \Sum_{k=0}^{n} k!$.
Exercice 1615. Soit $q \in ]1;+\infty[$ et $\un$ une suite de réels strictement positifs. \\ On suppose que $\limn \Frac{u_{n+1}}{u_n} = q$. \\ Que peut-on dire de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $ +\infty$ ?
Exercice 1616. On pose \[ S_n=\Sum_{k=0}^n\cos\left(\dfrac{2k\pi}{2n+1}\right). \] Calculer \[ \limn S_n \]
Exercice 1617. \\
  1. Donner les développements de Taylor avec reste intégral de l'exponentielle entre $0$ et $1$.
  2. En déduire la convergence, et préciser la limite, de la suite \[ u_n=n\sin(2\pi n!e). \]
Exercice 1618. La suite \[ \left(\Frac{1}{n}\left(\Frac{(2n)!}{n!}\right)^{\frac{1}{n}}\right)_{n\geqslant 1} \] converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ?
Exercice 1619. On pose : $u_n=\Frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$. Montrer que $u_n\to 1$ quand $n\to+\infty$.
Exercice 1620. On pose : $u_n=\Frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}$, $v_n=\Frac{2\cdot4\cdot6\cdots2n}{3\cdot5\cdot7\cdots(2n+1)}$, $\rho_n=\Frac{u_n}{v_n}$.\\ En remarquant que : $(n-1)(n+1) < n^2$, montrer que $u_n^2$, $v_n^2$, $u_n$ et $v_n$ tendent vers $0$ et que $(\rho_n)$ converge.
Exercice 1621. Dans chacun des exemples suivants, montrer que la suite dont on donne le terme général $u_n$ converge et calculer sa limite :\\
  1. $\Frac{1}{n^2}\Sum_{k=1}^{n}\lfloor kx\rfloor,\;\;x\in\R$\\
  2. $\Sum_{k=1}^{2n+1}\Frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$\\
  3. $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{n}{n^2+k}$\\
  4. $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{n+k}{n^2+k}$
Exercice 1622. Soit $x\in]0,1[$. Déterminer la limite de $u_n=\Prod_{k=0}^{n}\parenthese{1+x^{2^k}}$ quand $n\to+\infty$ en considérant $(1-x)u_n$.
Exercice 1623. Étudier la convergence des suites de terme général $u_n=n\parenthese{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+1}}$ et $u_n=\parenthese{2+(-1)^n}^{\frac{1}{n}}$.