Suites géométriques

Exercice 60. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = -\Frac{1}{2}u_n + 1$. \\ On pose $v_n = u_n - \Frac{2}{3}$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est géométrique. On précisera le premier terme et la raison. \\
  2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 61. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \Frac{1}{5}u_n+3\times0,5^n$.\\ On pose $v_n = u_n - 10 \times 0,5^n$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. \\
  2. En déduire que $u_n = -8\times\parenthese{\Frac{1}{5}}^n+10\times0,5^n$.
Exercice 62. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \Frac{1}{2}u_n+n-1$.\\ On pose $v_n = 4u_n-8n+24$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est géométrique.\\
  2. En déduire que $u_n = 7\parenthese{\Frac{1}{2}}^n+2n-6$.
Exercice 63. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 8$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{6u_n+2}{u_n+5}$.\\ On pose $v_n = \Frac{u_n-2}{u_n+1}$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est géométrique. \\
  2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 64. Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = \Frac{1}{2}$ et pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = \Frac{ n+1}{2n} u_n$.\\ On pose $v_n = \Frac{u_n}{n}$. \\ Montrer que $\vn$ est géométrique puis en déduire $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 65. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 \in \R$ et $u_{n+1} = \Frac{1}{3}\sqrt{u_n^2+8}$.\\ On pose $v_n = u_n^2-1$. \\ Montrer que $\vn$ est géométrique en précisant sa raison et son premier terme.
Exercice 66. Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls avec $a \neq 1$. On définit la suite $\un$ par $u_0 \in \R$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1}=au_n+b\] On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - \Frac{b}{1-a}$. \\ Montrer que $\vn$ est géométrique de raison $a$.
Exercice 67. Soit $\un$ et $\vn$ définies par les relations de récurrence suivantes : $u_1 = 1$, $v_1 = 3$ et \[\forall n \in \N, u_{n+1} = 3u_n+4v_n \; \text{ et } \; v_{n+1} = u_n+3v_n\]\\ On pose $w_n = u_n+2v_n$ et $t_n = u_n-2v_n$. \\
  1. Montrer que la suite $\wn$ est géométrique.\\
  2. Quelle est la nature de la suite $(t_n)$ ?\\
  3. Exprimer $t_n$, puis $u_n$ puis $v_n$ en fonction de $n$.
Exercice 68. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=30$ et, pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}=\Frac{1}{2}u_n+10$. \\ On pose, pour tout $n \in \N$, $v_n=u_n-20$. \\ Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
Exercice 69. Soit $(v_n)$ la suite géométrique définie par $v_0=10$ et, pour tout $n \in \N$, $v_{n+1}=\Frac{1}{2}v_n$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire une expression explicite de $u_n$ où $u_n=v_n+20$.
Exercice 70. Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_1=2$ et, pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1}=2+0{,}8u_n$. \\ On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $v_n=10-u_n$. \\ Montrer que $(v_n)$ est géométrique et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Exercice 71. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$, $u_1=\Frac{1}{2}$ et, pour tout $n \in \N$, $u_{n+2}=u_{n+1}-\Frac{1}{4}u_n$. \\ On définit $(w_n)$ par $w_n=u_{n+1}-\Frac{1}{2}u_n$. \\ Montrer que $(w_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
Exercice 72. Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_0=\Frac{1}{2}$ et, pour tout $n \in \N$, $w_{n+1}=\Frac{1}{2}w_n$. \\ Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.