Sommes doubles
Exercice
706. Pour $(n,m) \in (\N^*)^2$, calculer $\Sum_{p=0}^{n-1}\Sum_{k=0}^{m}\binom{n}{p}k^p$.
Exercice
707. Calculer les sommes suivantes : \\
- $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}\Frac{i}{1+j}$. \\
- $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}3^{-\abs{i-j}}$. \\
Exercice
708. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n }ij$ et $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij$ pour $n \in \N^*$.
Exercice
709. Calculer $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\parenthese{\sum_{i=j}^{n} \Frac{j^3}{(i+1)^2}}$.
Exercice
710. Soit $n \in \N$. \\
- Calculer $\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\parenthese{\sum_{k=i}^{n}2^k}$. \\
- En déduire $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(k+1)2^k$.
Exercice
711. Calculer $S = \Sum_{j=0}^{n}\parenthese{\Sum_{k=j}^{n}2^{k}\binom{k}{j}}$.
Exercice
712. Pour tous $n, p \in \N$, on pose $S_p(n) = \Sum_{k=0}^{n} k^p$. \\
- Pour tout $n \in \N$ et $p \in \N$, calculer $\Sum_{i=0}^{p} \binom{p+1}{i} S_i(n)$. \\
- Retrouver le résultat par récurrence.
Exercice
713. Calculer $S_n = \Sum_{k=1}^{n} a_k$ avec $a_k$ le nombre entier composé de $k$ fois le chiffre $1$.
Exercice
714. Soient $n \in \N^*$, $(x_1, \dots, x_n) \in \R^n$ et $(a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ tels que $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$. \\
- Montrer que $\Sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j (x_i - x_j)^2 \leqslant 0$. \\
- Montrer que $\Sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j |x_i - x_j| \leqslant 0$.
Exercice
715. Soit $n \in \N^*$. \\
Calculer $\limn \Sum_{k=1}^{n} \Frac{k}{2^k}$.
Exercice 716. Identité de Vandermonde
\\ Montrer de deux façons différentes l'identité de Vandermonde : \[ \forall m,n,k \in \N^*, \;\; \binom{m+n}{k} = \Sum_{p+q=k}\binom{m}{p}\binom{n}{q} \]
Exercice
717. \\
- Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=0}^{n} k\binom{2n}{n+k}=n\binom{2n-1}{n}$.\\
- En déduire\\ \[ \Sum_{k=0}^{n}\Sum_{\ell=0}^{n}\max(k,\ell)\binom{n}{k}\binom{n}{\ell} \quad et \quad \Sum_{k=0}^{n}\Sum_{\ell=0}^{n}\min(k,\ell)\binom{n}{k}\binom{n}{\ell} \]