Convergence

Exercice 1624. \\
  1. Donner un exemple d’une suite réelle bornée mais non convergente. \\
  2. Montrer que \[ \begin{cases} (x_n)_{n \geqslant 0} \;\; est \;\; bornée, \\ x_{n+2} \leqslant \Frac{x_n + x_{n+1}}{2} \quad \forall n \geqslant 0, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad (x_n)_{n \geqslant 0} est \;\; convergente. \]
Exercice 1625. Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite réelle telle que : \[ \lim_{n \to +\infty} (2x_{n+1} - x_n) = l. \] Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} x_n = l. \]
Exercice 1626. Soit $(a_n)$ une suite réelle telle que :\\
  • $\forall n \in \N$, $a_n \geqslant 1$.\\
  • $\forall (m , n) \in \N^2$, $a_{m+n} \leqslant a_m a_n$.\\
Montrer que la suite $b_n = \Frac{\ln(a_n)}{n}$ converge vers sa borne inférieure.
Exercice 1627. Soit $(u_n)_n$ une suite de $[0,1]^{\N}$ avec $u_1=1$ qui vérifie que pour tout $n$, $2u_n$ est inférieur à au moins la moitié des termes $u_1,u_2,\dots,u_{n-1}$.\\ Montrez que $u_n \to 0$.
Exercice 1628. Soit $u=(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle bornée.\\
  1. Montrer que pour tout $n\in\N$, les nombres $v_n=\inf_{k\geqslant n} u_k$ et $w_n=\sup_{k\geqslant n} u_k$ existent.\\
  2. Montrer que les suites $v$ et $w$ convergent.\\
  3. Montrer que $u$ converge si et seulement si $\lim v=\lim w$.
Exercice 1629. Soit $(u_n)_n$ une suite réelle, et on définit $(v_n)_n$ par :\\ \[ v_n=\Frac{1}{n^2}\left(u_1+2u_2+3u_3+\dots+nu_n\right).\\ \] Montrer que si $(u_n)_n$ converge, alors $(v_n)_n$ aussi.\\ Que penser de la réciproque ?
Exercice 1630. Soit $(u_n)_n$ une suite de réels positifs.\\ Montrez que si $\left(\Frac{u_{n+1}}{u_n}\right)_n$ converge vers $\ell$, alors $(\sqrt[n]{u_n})_n$ converge aussi vers $\ell$.\\ Étudiez la réciproque.\\ Appliquez avec les suites $(u_n)_n \in \left\{\left(\sqrt[n]{\binom{2n}{n}}\right)_n\;;\;\left(\Frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right)_n\;;\;\left(\Frac{1}{n^2}\sqrt[n]{\Frac{(3n)!}{n!}}\right)_n\right\}$.
Exercice 1631. Soient $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(v_n)_{n \in \N^*}$ deux suites à termes dans $\R^{+*}$. \\ On note pour tout $n \in \N$, $w_n = \Frac{u_n^3+v_n^3}{u_n^2+v_n^2}$. Montrer que \[ \begin{cases} u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \\ u_v \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \end{cases} \iff w_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \]
Exercice 1632. Soit $\un$ une suite croissante convergent vers $\ell \in \R$. \\ On pose $v_n = \Frac{u_1 + \hdots + u_n}{n}$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est croissante. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $v_{2n} \geqslant \Frac{u_n+v_n}{2}$. \\
  3. En déduire que $\vn$ converge vers $1$.
Exercice 1633. \\Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ une suite croissante de limite $l \in \R$. On pose, pour tout $n \geqslant 1$, \[ v_n = \Frac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}{n}. \]
  1. Montrer que la suite $(v_n)_{n\geqslant 1}$ est croissante. \\
  2. Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, on a $v_{2n} \geqslant \Frac{u_n + v_n}{2}$. \\
  3. En déduire que $\lim_{n\to +\infty} v_n = l$.
Exercice 1634. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle bornée telle que pour tout $n > 1$, $2 u_n \leqslant u_{n-1} + u_{n+1}$. \\ Montrer que cette suite est convergente.
Exercice 1635. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$. \\ On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par $u_0 = a$, $v_0 = b$ et, pour tout $n \in \N$, \\ \[ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \qquad v_{n+1} = \Frac{u_n + v_n}{2}. \]
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n < v_n$. \\
  2. Montrer que $(u_n)$ est croissante et que $(v_n)$ est décroissante. \\
  3. En déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite.
Exercice 1636. Soit $a$ et $b$ deux réels et $\un$ et $\vn$ deux suites telles que \[ \forall n \in \N, \quad u_n \leqslant a \quad et \quad v_n \leqslant b \] On suppose que $\lim (u_n+v_n) = a+b$. \\ Montrer que $\lim u_n =a$ et $\lim v_n = b$.
Exercice 1637. Soit $f : \N^{*} \to \N^{*}$ une bijection. On suppose que la suite $\parenthese{\Frac{f(n)}{n}}_{n \geqslant 1}$ converge vers $l$. Montrer que $l=1$.

Exercice 1638. Moyenne de Cesaro

\\ Soit $\un_{n \geqslant 1}$ une suite. \\ On définit la suite $\vn_{n \geqslant 1}$ par $v_n = \Frac{u_1 + \hdots + u_n}{n}$. \\ Montrer que si $\un$ converge, alors $\vn$ converge vers la même limite.
Exercice 1639. \\
  1. Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ une suite convergeant vers $a > 0$. Montrer que $u_n > 0$ à partir d'un certain rang.\\
  2. Soient $(u_n)_{n\geqslant 1}$ et $(v_n)_{n\geqslant 1}$ deux suites convergeant respectivement vers $a$ et $b$, avec $a < b$. Montrer que $u_n < v_n$ à partir d'un certain rang.
Exercice 1640. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que $0 \leqslant u_n \leqslant 1$, $0 \leqslant v_n \leqslant 1$ et $\lim u_n v_n = 1$. \\ Que dire de ces suites ?
Exercice 1641. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes de réels. \\ Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \max(u_n , v_n)$.

Exercice 1642. Critère de d'Alembert

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs telle que la suite $\parenthese{\Frac{u_{n+1}}{u_n}}_{n \in \N}$ converge vers $l \in \R$.\\
  1. Si $l < 1$, montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ converge et déterminer sa limite.\\
  2. Si $l > 1$, montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ diverge.\\
  3. Que se passe-t-il si $l = 1$ ?

Exercice 1643. Convergence dans $\Z$

\\ Montrer que $\un \in \Z^{\N}$ converge vers $\ell \in \Z$ si et seulement si $\un$ est stationnaire.
Exercice 1644. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que \[ \limn u_n^2+u_nv_n+v_n^2 = 0 \] Montrer que $\un$ et $\vn$ convergent vers $0$.
Exercice 1645. Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite telle que $\limn x_n = l$.\\ Déterminer $\limn \lfloor x_n \rfloor$.

Exercice 1646. Application Césaro

\\ On admet le résultat de Césaro : Si $\limn u_n = \ell$, alors $\limn \Frac{u_0+u_1+\hdots+u_{n-1}}{n} = \ell$. \\
  1. Montrer que si $\limn (u_{n+1}-u_n) = 1$, alors $\limn \Frac{u_{n}}{n} = 1$. \\
  2. La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 1647. Césaro dans $\bar{\R}$

\\
  1. Soit $(u_n)$ une suite réelle de limite $\ell \in \overline{\R}$. Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \Frac{u_1 + \ldots + u_n}{n}$ admet aussi pour limite $\ell$. La réciproque est elle vraie ?\\
  2. On suppose maintenant que la suite $(u_n)$ est strictement positive et que $\parenthese{\Frac{u_{n+1}}{u_n}}$ converge vers $\ell \in \R$. Montrer que la suite $(\sqrt[n]{u_n})$ converge également vers $\ell$. La réciproque est elle vraie ?\\
  3. Déterminer les limites des suites $(u_n)$ définies par $u_n = \sqrt[n]{\Frac{1}{n!}}$, $u_n = \sqrt[n]{\binom{2n}{n}}$ et $u_n = \Frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$.
Exercice 1648. Soit $f$ une application injective de $\N$ dans $\N$. \\ Démontrer que $(f(n))_{n \in \N}$ diverge vers $+\infty$.

Exercice 1649. Oral ENS

\\ Soit $(u_n)$ une suite bornée telle que la suite $\Big(u_n + \Frac{u_{2n}}{2}\Big)$ converge. \\ Montrer que $u$ converge.
Exercice 1650.
  1. Soit $a_n$ et $b_n$ deux suites réelles telles que \[ a_n+b_n\to 0 \quad\text{et}\quad e^{a_n}+e^{b_n}\to 2. \] Montrer que les deux suites convergent.\\
  2. Soient $a_n,b_n,c_n$ trois suites réelles telles que \[ a_n+b_n+c_n\to 0 \quad\text{et}\quad e^{a_n}+e^{b_n}+e^{c_n}\to 3. \] Que peut-on dire de la convergence de ces trois suites ?
Exercice 1651. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite bornée de réels telle que \[ u_{n+1}-u_n-u_n^2\to 0. \] Montrer que $(u_n)$ converge vers $0$.
Exercice 1652. Notons $H_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$. Considérons $X_p=\{n\in\mathbb{N}^*\mid H_n \geqslant p\}$ et $n_p=\min X_p$.\\
  1. Démontrer que $n_p$ existe.\\
  2. Calculer $n_0$, $n_1$, $n_2$, $n_3$.\\
  3. Démontrer que $(n_p)_p$ est une suite divergente.
Exercice 1653. \\
  1. Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose \[ u_n=\Prod_{k=0}^{n}(1+r^k) \] avec $r\in]0,1[$. Démontrer que la suite $(u_n)_n$ converge.\\
  2. Fixons $0 < v_0 < v_1$. Pour $n\geqslant 1$, posons \[ v_{n+1}=v_n+r^nv_{n-1}. \] Démontrer à l’aide de la question précédente que $(v_n)_n$ converge.
Exercice 1654. Soit $E$ l’ensemble des suites $(u_n)$ de nombres complexes vérifiant \[ \limn u_n^6=1 \] et telles que la suite de terme général \[ v_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_k \] converge.\\ On considère l’application $\varphi$ de $E$ dans $\mathbb{C}$ qui à la suite $(u_n)$ associe la limite $\ell$ de la suite $(v_n)$.\\ Déterminer $\varphi(E)$.
Exercice 1655. Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ une suite de $\mathbb{C}$. On pose, pour $n\geqslant 1$, \[ S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k \quad\text{et}\quad \sigma_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}S_k. \]
  1. On suppose que les $u_n$ sont des réels positifs. Montrer qu’il y a équivalence entre\\ \[ \text{(i)}\quad (S_n)\;\text{converge} \] et \[ \text{(ii)}\quad (\sigma_n)\;\text{converge}.\\ \]
  2. On revient au cas général. Montrer que \[ u_n=O\left(\frac{1}{n}\right) \] est une condition suffisante pour que la convergence de $(\sigma_n)$ entraîne celle de $(S_n)$.
Exercice 1656. Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite réelle bornée telle que \[ u_n+\Frac{u_{2n}}{2} \] converge.\\ Montrer que $(u_n)$ converge.
Exercice 1657. On considère une suite de réels $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on note pour $n\geqslant 0$, \[ \Delta u_n=u_n-u_{n+1} \quad\text{et}\quad \Delta^2u_n=\Delta u_n-\Delta u_{n+1}. \] On suppose que la suite $(u_n)$ est bornée et que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ \Delta^2u_n\geqslant 0. \]
  1. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et que $(n\Delta u_n)$ converge vers $0$.\\
  2. Montrer que la série $\sum (n+1)\Delta^2u_n$ converge.
Exercice 1658. Soit $(a_n)_{n\geqslant 0}$ une suite réelle positive, majorée. Montrer qu’il y a équivalence entre \[ \text{(i)}\quad S_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}a_k \to 0, \] et \[ \text{(ii)}\quad \exists A\subset \mathbb{N}\;,\;\limn \frac{\mathrm{Card}(A\cap\llbracket 0,n\rrbracket)}{n}=0 \quad\text{et}\quad \lim_{\substack{n\to+\infty\\ n\notin A}}a_n=0. \]
Exercice 1659. Soit \[ f:[0,1]\to[0,1] \] continue. On définit la suite $(u_n)$ par la relation \[ u_{n+1}=\frac{f(u_1)+\cdots+f(u_n)}{n} \] et \[ u_1=\alpha\in[0,1]. \] Montrer que $u$ converge vers un point fixe de $f$.
Exercice 1660. Étudier la monotonie de la suite de terme général \[ u_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\ln k . \]
Exercice 1661. À toute suite croissante $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de réels telle que $a_0=1$, on associe la suite $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}. \] Montrer que $b_n\in[0,1]$. Etant donné $c\in[0,1[$, montrer l’existence d’une suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que \[ \limn b_n=c. \]
Exercice 1662. Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle convergeant vers $\ell$. On définit une suite $(v_n)_{n\in\N}$ par \[ \forall n\in\N,\quad v_n=\frac{1}{2^n}\Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_k. \] Montrer que $\limn v_n=\ell$.
Exercice 1663. Soit $(v_n)$ une suite tendant vers $0$. On suppose que \[ v_n+v_{2n}=o\left(\dfrac{1}{n}\right). \]
  1. Démontrer que, pour tout $n \geqslant 0$ et tout $p \geqslant 0$, on a \[ |v_n|\leqslant |v_{2^{p+1}n}|+\Sum_{k=0}^p |v_{2^kn}+v_{2^{k+1}n}|. \]
  2. En déduire que \[ v_n=o\left(\dfrac{1}{n}\right). \]
Exercice 1664. Soit $\lambda \in ]0;1[$.\\ On considère la suite $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ \forall n\in\mathbb{N},\quad p_n=\Prod_{k=0}^n (1+\lambda^{2^k}). \] Montrer que la suite $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et calculer sa limite.
Exercice 1665. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergentes, de limites respectives $u$ et $v$. Montrer que la suite \[ w_n=\dfrac{u_0v_n+\cdots+u_nv_0}{n+1} \] converge vers $uv$.
Exercice 1666. Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite sur-additive, ie une suite de réels telle que, pour tout $(m,n)\in\mathbb{N}^2$, \[ u_{m+n}\geqslant u_m+u_n. \] On suppose que l’ensemble \[ \left\{\dfrac{u_n}{n}\mid n\in\mathbb{N}^*\right\} \] est majoré, et on note $\ell$ sa borne supérieure.
  1. Soient $m,q,r\in\mathbb{N}$. On pose $n=mq+r$. Comparer $u_n$ et $qu_m+u_r$.\\
  2. On fixe $m\in\mathbb{N}^*$ et $\varepsilon > 0$. En utilisant la division euclidienne de $n$ par $m$, démontrer qu’il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n > N$, \[ \dfrac{u_n}{n}\geqslant \dfrac{u_m}{m}-\varepsilon. \]
  3. Démontrer que \[ \lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=\ell. \]
Exercice 1667.
  1. Montrer que toute suite convergente est une suite de Cauchy.\\
  2. Montrer que la réciproque de la question précédente est également vraie.

Exercice 1668. Lemme de Fekete

Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite de réels strictement positifs telle que \[ x_{n+m} \leqslant x_n + x_m \quad \text{pour tout } (m,n) \in \N^{*2}. \] On suppose que l'ensemble $\left\{\Frac{x_n}{n}, n \in \N^*\right\}$ est minoré. Montrer que $\parenthese{\Frac{x_n}{n}}_{n \in \N}$ converge vers $\ell = \displaystyle \inf_{n \in \N^{*}} \Frac{x_n}{n}$.
Exercice 1669. Soit $a \in ]0,1[$, $(u_n)$ la suite définie par $0 < u_0 < u_1$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+a^n u_{n-1}$. Montrer que $(u_n)$ converge.
Exercice 1670. On considère deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ qui divergent vers $+\infty$, avec de plus : $\limn (u_{n+1}-u_n)=0$.\\ On fixe $\varepsilon > 0$ puis on considère un rang $n_0$ à partir duquel $|u_{n+1}-u_n| \leqslant \varepsilon$.\\
  1. Montrer que pour tout réel $x$ tel que $x \geqslant u_{n_0}$, il existe un terme $u_p$ de la suite tel que $|u_p-x| \leqslant \varepsilon$.\\
  2. En utilisant le fait que la suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$, montrer que pour tout réel $x$, il existe $m,p \in \N$ tels que : $|(u_p-v_m)-x| \leqslant \varepsilon$. En déduire la densité de l'ensemble $\{u_n-v_m \mid n,m \in \N\}$ dans $\R$.\\
  3. Application : soit $(u_n)$ une suite vérifiant les deux hypothèses qui précèdent. Montrer que $\{u_n-\lfloor u_n \rfloor \mid n \in \N\}$ est dense dans $[0,1]$. Que dire des suites $(\{\sqrt{n}\})$ et $(\{\ln n\})$ (où $\{x\}$ désigne la partie fractionnaire du réel $x$).
Exercice 1671. On définit les deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ par\\ $0 < v_0 < u_0$ et $\forall n \in \N \;\; u_{n+1}=\Frac{u_n+v_n}{2},\; v_{n+1}=\sqrt{u_n v_n}$.\\
  1. Montrer que $u$ et $v$ existent et que $\forall n \in \N \;\; v_n \leqslant u_n$.\\
  2. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont monotones, qu’elles convergent et qu’elles ont même limite.
Exercice 1672. Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant : $\forall n \in \N^\ast \;\; u_n \leqslant \Frac{1}{2}\left(u_{n-1}+u_{n+1}\right)$.\\
  1. Montrer que la suite de terme général $v_n=u_{n+1}-u_n$ croît.\\
  2. Montrer que si $(u_n)$ est bornée, alors $v_n \to 0$.

Exercice 1673. Fekete et application

Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant : $\forall m,n \in \N$, $u_{m+n} \leqslant u_m+u_n$.\\
  1. Montrer que $\Big(\Frac{u_n}{n}\Big)$ converge vers sa borne inférieure $\inf\{\Frac{u_n}{n}\mid n \in \N^*\}$.\\
  2. Montrer que si $(v_n)$ est une suite de réels $>0$ vérifiant : $\forall m,n \in \N$, $v_{m+n} \leqslant v_m v_n$, la suite $\sqrt[n]{v_n}$ converge vers sa borne inférieure.\\
  3. Montrer que si $(u_n)$ est une suite réelle vérifiant : $\forall m,n \in \N$, $u_m+u_n-1 \leqslant u_{m+n} \leqslant u_m+u_n+1$, alors la suite $\Big(\Frac{u_n}{n}\Big)$ converge vers un réel $\ell$ tel que : $\forall n \in \N^*$, $n\ell-1 \leqslant u_n \leqslant n\ell+1$.\\ Appliquer 1. aux suites $(1+u_n)$ et $(1-u_n)$.
Exercice 1674. Soit $(u_n),(v_n)$ deux suites réelles non bornées. Montrer que pour tout $A \in \R^*$, on peut trouver deux indices $m$ et $n$ vérifiant : $|u_n-u_m|>A$ et $|v_n-v_m|>A$. Peut-on généraliser à plus de deux suites ?
Exercice 1675. Soit $(u_n)\in\R^{\N}$. On pose $V_n=\Frac{u_0+u_1+\cdots+u_n}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$. Par le théorème de Césarò arithmétique, on sait que si $\lim u_n=\ell\in\R$, $\lim V_n=\ell$.\\
  1. Montrer que si $(u_n)$ est croissante, il en est de même de $(V_n)$.\\
  2. Prouver la réciproque de Césarò lorsque $(u_n)$ est croissante.
Exercice 1676. Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites complexes. On pose alors $U_n=\Frac{1}{n+1}\Sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$.\\
  1. Montrer que si $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers $0$, il en est de même de $(U_n)$.\\
  2. Montrer que si $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent resp. vers $\ell$ et $\ell'$ dans $\C$, $(U_n)$ est convergente et donner sa limite.
Exercice 1677. Soit $(u_n)$ une suite à termes $\geqslant 0$. On suppose que $u_n+u_{n+1} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$. Montrer que $u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$.
Exercice 1678. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de $[0,1]^{\N}$.\\ Montrer que si $u_n v_n \to 1$, alors $u_n \to 1$ et $v_n \to 1$.\\ Montrer que si $u_n+v_n \to 2$, alors $u_n \to 1$ et $v_n \to 1$.
Exercice 1679. Soit $(u_n)$ une suite de $]0,1[^{\N}$ t. q. $\forall n \in \N$, $(1-u_n)u_{n+1} > \Frac{1}{4}$. Montrer que $(u_n)$ est convergente et donner sa limite.
Exercice 1680. Montrer que si $(u_n) \in \C^{\N}$ converge et $(v_n) \in \C^{\N}$ diverge, alors $(u_n+v_n)$ diverge.
Exercice 1681. Soit $\varphi : \N \to \N$ injective. Montrer que $\varphi(n) \to +\infty$.
Exercice 1682. Soit $(x_n) \in [0,1]^{\N}$ telle que $x_n \to \ell \in [0,1[$.\\ Montrer que $x_n^n \to 0$.
Exercice 1683. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites complexes telles que $u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell \in \C$ et $u_n - v_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$.\\ Montrer que $v_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell$.
Exercice 1684. Montrer qu’une suite réelle croissante à partir d’un certain rang est minorée.
Exercice 1685. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle qui tend vers $+\infty$. \\ Montrer que $\{u_n \mid n \in \N\}$ admet un plus petit élément.
Exercice 1686. Soit $(u_n) \in \R^{\N}$ une suite bornée.\\
  1. Si la suite complexe $(v_n)$ tend vers $0$, montrer que $u_n v_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$.\\
  2. Si la suite réelle $(v_n)$ diverge vers $+\infty$, montrer que $u_n + v_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$.
Exercice 1687. Si $u_n>0$ vérifie $\Frac{u_{n+1}}{u_n}\to \ell \in [0,+\infty[$, alors $u_n^{\frac{1}{n}}\to \ell$.
Exercice 1688. Quelle propriété vérifiée par $\R$ entraîne la convergence de $\parenthese{\Frac{1}{n}}$ vers $0$.
Exercice 1689. Écrire à l'aide de quantificateurs :\\
  1. $(u_n)$ est stationnaire.\\
  2. $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang.\\
  3. $(u_n)$ n’est pas croissante à partir d’un certain rang.\\
  4. $(u_n)$ ne converge pas vers $\ell\in K$.\\
  5. $(u_n)$ ne diverge pas vers $+\infty$.\\
  6. $(u_n)$ diverge.
Exercice 1690. \\
  1. Montrer que l’ensemble des suites de limite nulle constituent un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$.\\
  2. Montrer que le produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle est de limite nulle.\\
  3. Montrer que si $(u_n)$ est une suite de réels convergente, alors $u_{n+1}-u_n \to 0$.\\
  4. On pose $u_n=\cos(n)$ et $v_n=\sin(n)$. On admet l’irrationalité de $\pi$. Montrer que $u_1$ et $v_1$ appartiennent à $\mathbb{R}^*$.\\ Montrer que $u_{n+1}-u_{n-1}=-2v_1v_n$ et $v_{n+1}-v_{n-1}=2v_1u_n$. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ divergent.\\
  5. Soit $(u_n)$ une suite d’éléments de $\mathbb{Z}$. On suppose qu’il existe $\ell \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \to \ell$.\\ Montrer que la suite $(u_{n+1}-u_n)$ est à valeurs dans $\mathbb{Z}$ et converge vers $0$.\\ En déduire que $(u_n)$ est stationnaire et que $\ell \in \mathbb{Z}$.\\ Nous avons donc montré qu’une suite à valeurs dans $\mathbb{Z}$ converge dans $\mathbb{R}$ si et seulement si elle est stationnaire.
Exercice 1691. Soit $f:\mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ une fonction continue et décroissante et soit $n \in \mathbb{N}^*$.\\ Encadrer $\integrale{n}{n+1}{f(t)}{t}$ entre $f(n)$ et $f(n+1)$ en raisonnant sur les aires.\\ En déduire que $u_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^2}$ converge et que $v_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$ diverge.\\ Indication : On remarquera que $u_n \leqslant 1+\Sum_{k=2}^{n}\integrale{k-1}{k}{\Frac{1}{t^2}}{t}$ et que $v_n \geqslant \Sum_{k=1}^{n}\integrale{k}{k+1}{\Frac{1}{t}}{t}$.
Exercice 1692. \\
  1. Soit $(u_n)_{n \geqslant 0}$ une suite réelle croissante et convergente et soit $n_0 \in \mathbb{N}$, montrer que : $\limn u_n \geqslant u_{n_0}$.\\
  2. Soit $(v_n)_{n \geqslant 0}$ une suite réelle strictement croissante et convergente et soit $n_0 \in \mathbb{N}$, montrer que : $\limn v_n > v_{n_0}$.
Exercice 1693. Soit $f:\mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ continue, décroissante et de limite nulle en $+\infty$.\\
  1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Encadrer $\integrale{n}{n+1}{f(t)}{t}$ entre $f(n)$ et $f(n+1)$.\\ On pose $u_n=\integrale{1}{n}{f(t)}{t}-\Sum_{k=1}^{n}f(k)$.\\ Montrer que $(u_n)$ est monotone.\\
  2. Construire une suite $(v_n)$ de la même forme que $(u_n)$ telle que $(u_n)$ et $(v_n)$ soient adjacentes.\\
  3. On pose $H_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$.\\ Montrer que $H_n-\ln(n)$ converge.\\ En déduire que $\Frac{H_n}{\ln(n)}\to 1$ et donc que $H_n\sim \ln(n)$.\\
  4. Soit $\alpha \in ]0,1[$. On pose $S_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^\alpha}$.\\ Montrer que $S_n\to +\infty$ en comparant $S_n$ et $H_n$.\\ Déterminer un équivalent de $S_n$ quand $n \to +\infty$.\\ Montrer que $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k}}\sim 2\sqrt{n}$.\\
Exercice 1694. Montrer que $(u_n)$ converge vers $\ell$ si et seulement si pour tout $\varepsilon > 0$, l’ensemble $\{n \in \mathbb{N}\;,\; |u_n-\ell| > \varepsilon\}$ est fini.
Exercice 1695. Soit $(u_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$, $\ell \in \mathbb{K}$ et un réel $C > 0$, montrer que les définitions suivantes sont équivalentes.\\
  1. $\forall \varepsilon > 0\;\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\;\; \forall n \in \mathbb{N}\;\; n \geq n_0 \Rightarrow |u_n-\ell| < \varepsilon$\\
  2. $\forall \varepsilon > 0\;\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\;\; \forall n \in \mathbb{N}\;\; n \geq n_0 \Rightarrow |u_n-\ell| \leq \varepsilon$\\
  3. $\forall \varepsilon' > 0\;\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\;\; \forall n \in \mathbb{N}\;\; n \geq n_0 \Rightarrow |u_n-\ell| \leq C\varepsilon'$
Exercice 1696. \\
  1. Soit $\un$ une suite réelle non bornée et $C > 0 $. Montrer que $\exists p,q \in \N$, $\abs{u_p-u_q} > C$. \\
  2. Soit $\un$ et $\vn$ deux suites réelles non bornées et $C > 0$. Montrer que $\exists p,q \in \N$, $\abs{u_p-u_q} > C$ et $\abs{v_p-v_q} > C$.\\
  3. Montrer que le résultat correspondant pour trois suites est faux.