Convergence

Exercice 1049. Convergence dans $\Z$

\\ Montrer que $\un \in \Z^{\N}$ converge vers $\ell \in \Z$ si et seulement si $\un$ est stationnaire.
Exercice 1050. Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite telle que $\limn x_n = l$.\\ Déterminer $\limn \lfloor x_n \rfloor$.
Exercice 1051. Soit $f$ une application injective de $\N$ dans $\N$. \\ Démontrer que $(f(n))_{n \in \N}$ diverge vers $+\infty$.
Exercice 1052. Soit $f : \N^{*} \to \N^{*}$ une bijection. On suppose que la suite $\parenthese{\Frac{f(n)}{n}}_{n \geqslant 1}$ converge vers $l$. Montrer que $l=1$.
Exercice 1053. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que \[ \limn u_n^2+u_nv_n+v_n^2 = 0 \] Montrer que $\un$ et $\vn$ convergent vers $0$.

Exercice 1054. Critère de d'Alembert

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs telle que la suite $\parenthese{\Frac{u_{n+1}}{u_n}}_{n \in \N}$ converge vers $l \in \R$.\\
  1. Si $l < 1$, montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ converge et déterminer sa limite.\\
  2. Si $l > 1$, montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ diverge.\\
  3. Que se passe-t-il si $l = 1$ ?

Exercice 1055. Moyenne de Cesaro

\\ Soit $\un_{n \geqslant 1}$ une suite. \\ On définit la suite $\vn_{n \geqslant 1}$ par $v_n = \Frac{u_1 + \hdots + u_n}{n}$. \\ Montrer que si $\un$ converge, alors $\vn$ converge vers la même limite.

Exercice 1056. Césaro dans $\bar{\R}$

\\
  1. Soit $(u_n)$ une suite réelle de limite $\ell \in \overline{\R}$. Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \Frac{u_1 + \ldots + u_n}{n}$ admet aussi pour limite $\ell$. La réciproque est elle vraie ?\\
  2. On suppose maintenant que la suite $(u_n)$ est strictement positive et que $\parenthese{\Frac{u_{n+1}}{u_n}}$ converge vers $\ell \in \R$. Montrer que la suite $(\sqrt[n]{u_n})$ converge également vers $\ell$. La réciproque est elle vraie ?\\
  3. Déterminer les limites des suites $(u_n)$ définies par $u_n = \sqrt[n]{\Frac{1}{n!}}$, $u_n = \sqrt[n]{\binom{2n}{n}}$ et $u_n = \Frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$.

Exercice 1057. Application Césaro

\\ On admet le résultat de Césaro : Si $\limn u_n = \ell$, alors $\limn \Frac{u_0+u_1+\hdots+u_{n-1}}{n} = \ell$. \\
  1. Montrer que si $\limn (u_{n+1}-u_n) = 1$, alors $\limn \Frac{u_{n}}{n} = 1$. \\
  2. La réciproque est-elle vraie ?

Exercice 1058. Oral ENS

\\ Soit $(u_n)$ une suite bornée telle que la suite $\Big(u_n + \Frac{u_{2n}}{2}\Big)$ converge. \\ Montrer que $u$ converge.

Exercice 1059. Lemme de Fekete

Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite de réels strictement positifs telle que \[ x_{n+m} \leqslant x_n + x_m \quad \text{pour tout } (m,n) \in \N^{*2}. \] Montrer que $\limn \Frac{x_n}{n} = \inf_{n \in \N^{*}} \Frac{x_n}{n}$.