Suites adjacentes
Exercice
1060. Soit $\un$ une suite décroissante de limite nulle. \\
On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n} (-1)^k u_k$. \\
Montrer que $(S_n)$ converge.
Exercice
1061. Pour tout $n \in \N^*$, on pose $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$. \\
- Montrer que les suites $(H_n-\ln(n))_{ n\in \N^*}$ et $(H_n-\ln(n+1))_{n \in \N^*}$ sont adjacentes. \\
- En déduire que $S_n$ converge vers une limite $S_{\infty}$. \\
- Déterminer la limite de $\parenthese{\Frac{1}{\ln{n}}H_n}_{n \in \N^*}$.
Exercice
1062. Pour tout réel $a \in \left]0,\ps{2}\right[$, on pose $u_n = 2^n\sin\parenthese{\Frac{a}{2^n}}$ et $v_n = 2^n \tan\parenthese{\Frac{a}{2^{n}}}$. \\
Montrer que les suites $\un$ et $\vn$ sont adjacentes et déterminer leur limite.
Exercice
1063. Soit $x,y \in \R_+^*$ et $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ définies par $u_0=x$, $v_0=y$ et :\\
\[
\begin{cases}
u_{n+1}=\Frac{u_n+v_n}{2}\\
\Frac{1}{v_{n+1}}=\Frac{1}{u_n}+\Frac{1}{v_n}
\end{cases}
\]
Montrer que $u_n$ et $v_n$ sont adjacentes et convergent vers une limite commune.
Exercice 1064. Irrationalité de $e$
Soit $\un$ et $\vn$ les suites définies sur $\N^*$ par \[ \forall n \in \N^*, u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} \quad et \quad v_n = u_n + \Frac{1}{n\cdot n!} \]- Montrer que $u$ et $v$ convergent vers une même limite et on admet qu'elle vaut $e$. \\
- Montrer que $e \notin \Q$. \\
- Etablir, $\forall n \in \N^*$, $\abs{e-u_n} \leqslant \Frac{1}{n \cdot n!}$.
Exercice
1065. Soit $a,b \in \R_+^*$ et $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ définies par $u_0=a$, $v_0=b$ et :\\
\[
\begin{cases}
u_{n+1}=\Frac{u_n+v_n}{2}\\
v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n}
\end{cases}
\]
Soit $\alpha=\arccos\Frac{a}{b}$.\\
Montrez que $u_n$ et $v_n$ sont adjacentes avec comme limite commune $b\Frac{\sin\alpha}{\alpha}$.