Suites adjacentes

Exercice 1697. Pour tout réel $a \in \left]0,\ps{2}\right[$, on pose $u_n = 2^n\sin\parenthese{\Frac{a}{2^n}}$ et $v_n = 2^n \tan\parenthese{\Frac{a}{2^{n}}}$. \\ Montrer que les suites $\un$ et $\vn$ sont adjacentes et déterminer leur limite.
Exercice 1698. Soit $x$ un réel fixé. On considère les suites $(x_n)_{n \geqslant 0}$ et $(y_n)_{n \geqslant 0}$ définies par \[ x_n = \Frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n} \quad et \quad y_n = \Frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n} + \Frac{1}{10^n}. \]
  1. Montrer que $(x_n)_{n \geqslant 0}$ et $(y_n)_{n \geqslant 0}$ sont adjacentes. \\
  2. Montrer que leur limite commune est $x$.
Exercice 1699. Pour $n \geqslant 2$ on considère les suites $(x_n)_{n \geqslant 2}$ et $(y_n)_{n \geqslant 2}$ définies par \[ x_n = \prod_{k=2}^{n} \cos\!\left(\Frac{\pi}{2^{k}}\right) \quad\text{et}\quad y_n = x_n \cos\!\left(\Frac{\pi}{2^{n}}\right). \]
  1. Montrer que les suites $(x_n)_{n \geqslant 2}$ et $(y_n)_{n \geqslant 2}$ sont adjacentes et trouver leur limite commune. \\
  2. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$ : \[ 0 \leqslant x_n - l \leqslant \Frac{\pi^{2}}{2^{2n+1}}. \]

Exercice 1700. Irrationalité de $e$

Soit $\un$ et $\vn$ les suites définies sur $\N^*$ par \[ \forall n \in \N^*, u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} \quad et \quad v_n = u_n + \Frac{1}{n\cdot n!} \]
  1. Montrer que $u$ et $v$ convergent vers une même limite et on admet qu'elle vaut $e$. \\
  2. Montrer que $e \notin \Q$. \\
  3. Etablir, $\forall n \in \N^*$, $\abs{e-u_n} \leqslant \Frac{1}{n \cdot n!}$.
Exercice 1701. Pour tout $n \in \N^*$, on pose $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$. \\
  1. Montrer que les suites $(H_n-\ln(n))_{ n\in \N^*}$ et $(H_n-\ln(n+1))_{n \in \N^*}$ sont adjacentes. \\
  2. En déduire que $S_n$ converge vers une limite $S_{\infty}$. \\
  3. Déterminer la limite de $\parenthese{\Frac{1}{\ln{n}}H_n}_{n \in \N^*}$.
Exercice 1702. Soit $x,y \in \R_+^*$ et $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ définies par $u_0=x$, $v_0=y$ et :\\ \[ \begin{cases} u_{n+1}=\Frac{u_n+v_n}{2}\\ \Frac{1}{v_{n+1}}=\Frac{1}{u_n}+\Frac{1}{v_n} \end{cases} \] Montrer que $u_n$ et $v_n$ sont adjacentes et convergent vers une limite commune.
Exercice 1703. Soit $a,b \in \R_+^*$ et $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ définies par $u_0=a$, $v_0=b$ et :\\ \[ \begin{cases} u_{n+1}=\Frac{u_n+v_n}{2}\\ v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n} \end{cases} \] Soit $\alpha=\arccos\Frac{a}{b}$.\\ Montrez que $u_n$ et $v_n$ sont adjacentes avec comme limite commune $b\Frac{\sin\alpha}{\alpha}$.
Exercice 1704. Prouver que $e = \exp(1)$ est irrationnel en utilisant les suites :\\ \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\quad u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\quad\mathrm{et}\quad v_n=u_n+\frac{1}{n n!}. \]
Exercice 1705. On considère $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites de réels définies par : \[ 0 < x_0 < y_0 \] et \[ \forall n\in\mathbb{N},\quad x_{n+1}=\dfrac{x_n+y_n}{2} \quad \text{et} \quad y_{n+1}=\sqrt{x_{n+1}y_n}. \] Étudier ces suites.
Exercice 1706. Soit $\un$ une suite décroissante de limite nulle. \\ On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n} (-1)^k u_k$. \\ Montrer que $(S_n)$ converge.
Exercice 1707. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :\\ \[ \left\{ \begin{aligned} u_0&=1\\ \forall n \in \N \;\; u_{n+1}&=\Frac{2u_nv_n}{u_n+v_n} \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} v_0&=2\\ \forall n \in \N \;\; v_{n+1}&=\Frac{u_n+v_n}{2} \end{aligned} \right. \]
  1. Montrer que $u$ et $v$ existent et que les termes $u_n$ et $v_n$ sont strictement positifs pour tout $n \in \N$.\\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant v_n$.\\
  3. Montrer que ces deux suites sont adjacentes et déterminer leur limite commune.