Exercices divers

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $(3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n$ est un entier pair. \\
2. En déduire $\limn \sin \big( (3 + \sqrt{5})^n \pi \big)$.

1. Montrer que si $x$ est un point d'accumulation de $A$, alors tout intervalle ouvert contenant $x$ contient une infinité d'éléments de $A$.\\
2. Montrer que $x$ est un point d'accumulation de $A$ ssi $x$ est limite d'une suite d'éléments de $A$ différents de $x$.

1. $\forall n \in \N,\quad u_n = \binom{n}{p}$ \quad (pour un certain $p \in \N$).
2. $\forall n \in \N^*,\quad u_n = \Sum_{k=1}^n \Frac{1}{k^2} + \Frac{1}{n}$.
3. $\forall n \in \N,\quad u_n = \Frac{n!}{2^n}$.
4. $\forall n \in \N^*,\quad u_n = \Sum_{k=1}^n \ln k - n \ln n$.
5. $\forall n \in \N^*,\quad u_n = \Prod_{k=1}^n \Frac{2k}{2k+1}$.
6. $u_0 > 0$ et $\forall n \in \N,\quad u_{n+1} = \Frac{3u_n^2}{1+4u_n}$.

1. Si $f$ n'est pas majorée, montrer qu'il existe une suite $(x_n)$ de points de $X$ telle que $\limn f(x_n) = +\infty$.\\
2. Si $f$ est majorée, montrer l'existence d'une suite $(x_n)$ de points de $X$ telle que $\limn f(x_n) = \sup_X f$.

1. Montrer qu’une suite admettant au moins deux valeurs d’adhérence distinctes est une suite divergente. \\
2. Donner un exemple de suite n’admettant pas de valeur d’adhérence, et un exemple de suite divergente admettant exactement une valeur d’adhérence. \\
3. Montrer qu’une suite bornée admettant exactement une valeur d’adhérence est une suite convergente.

1. Montrer que toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy. \\
2. Montrer qu’une suite de Cauchy est bornée. \\
3. En déduire que la suite $(x_n)$ est convergente (on utilisera le théorème de Bolzano-Weierstrass).

1. Montrer que pour tout $n\geqslant 2$, il existe un unique réel $x_n > 0$ tel que $P_n(x_n)=0$.\\
2. Montrer que la suite $(x_n)$ est croissante et converge vers $1$.

1. On pose $I_n=[n,+\infty[$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} I_n=\varnothing$.\\ On pose $J_n=]0,\Frac{1}{n}]$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} J_n=\varnothing$.\\ En déduire que le théorème des segments emboîtés est faux pour des intervalles ouverts ou semi-ouverts.\\
2. Soit $\alpha$ un irrationnel. On pose $r_n=\Frac{\lfloor 10^n\alpha\rfloor}{10^n}$ et $s_n=\Frac{\lceil 10^n\alpha\rceil}{10^n}$.\\
   1. Montrer que $(r_n)$ et $(s_n)$ convergent vers $\alpha$.\\
   2. Montrer que $r_n\leqslant r_{n+1}$ et $s_{n+1}\leqslant s_n$.\\ En déduire que $(r_n)$ et $(s_n)$ sont deux suites adjacentes de rationnels qui convergent vers $\alpha$.\\
3. Montrer que $\bigcap_n \big([r_n,s_n]\cap \mathbb{Q}\big)=\varnothing$. En déduire que le théorème des segments emboîtés est faux dans $\mathbb{Q}$.

Exercice 2184. Mines PC 2021

1. Montrer que la suite binomiale $\left(\binom{n}{k}\right)_{k=0,\ldots,n}$ est log-concave.\\
2. Montrer que si $(a_k)_{k=0,\ldots,n}$ est ultra log-concave, alors elle est log-concave.\\
3. Montrer que si $(a_k)_{k=0,\ldots,n}$ est strictement positive et log-concave, alors elle est unimodulaire.

Exercice 2186. Moyenne Logarithmique

1. Montrer que $H_n \sim \ln{n}$ et $S_n \xrightarrow[]{} \ln{2}$. \\
2. Soit $u \in \R^{\N^*}$ et $\ell \in \R$. \\
   1. On suppose $u_n \xrightarrow[]{} 0$. Montrer que $\Frac{1}{H_n} \Sum_{k=1}^{n} \Frac{u_k}{k} \xrightarrow[]{} 0$. \\
   2. On suppose $u_n \xrightarrow[]{} \ell$. Déterminer la limite de $\parenthese{\Frac{1}{\ln{n}}\Sum_{k=1}^{n}\Frac{u_k}{k}}_{n \geqslant 2}$. \\
3. Soit $u \in \R^{\N^*}$ et $\ell \in \R$. \\ Montrer que si $\Frac{u_1+\hdots+u_n}{n} \xrightarrow[]{} \ell \in \R$, alors $\Frac{1}{\ln{n}}\Sum_{k=1}^{n}\Frac{u_k}{k} \xrightarrow[]{} \ell$. \\ On pourra calculer la somme $\Sum_{k=1}^{n} \parenthese{\Frac{U_k}{k+1}-\Frac{U_{k-1}}{k}}$, où $U_k = \Sum_{i=1}^{k} u_i$.

Exercice 2187. Classique de Césaro

Exercice 2188. X ENS - Lemme de Fekete

1. Soit $\alpha$ un nombre irrationnel et $n \in \N^{*}$. Montrer qu'il existe $k,l \in \llbracket 0,n \rrbracket$ distincts tels que \[ \abs{k\alpha - \lfloor k\alpha \rfloor - l\alpha + \lfloor l\alpha \rfloor} \leqslant \Frac{1}{n}. \]
2. En déduire qu'il existe une infinité de couples $(p,q) \in \Z \times \N^{*}$ tels que \[ \abs{\alpha - \Frac{p}{q}} \leqslant \Frac{1}{q^{2}}. \]
3. Montrer que pour tous $x,y$ réels, \[ \abs{\sin(x)-\sin(y)} \leqslant \abs{x-y}. \]
4. Étudier la convergence de la suite $(u_{n})_{n \geqslant 1}$ définie par \[ u_{n}=\Frac{1}{n\sin(n)}. \]

1. 1. Montrer que $(S_n)$ est monotone. \\
   2. Montrer que $(S_n)$ converge vers une limite $S_{\infty}$. \\
2. 1. On suppose $f(0) \neq 0$. Montrer que la suite $(\sum_n(f))_{n \in \N^*}$ diverge. \\
   2. On suppose $f(0) =0$. En revenant à la définition de la dérivée comme limite, montrer que la suite $(\sum_n(f))$ converge et donner sa limite en fonction de $S_{\infty}$. \\
   3. Déduire de ce qui précède la valeur de $S_{\infty}$, à l'aide de la fonction $h : x \mapsto \ln(1+x)$.

Exercice 2195. X ENS

Exercice 2196. Mines PC

1. Montrer que $P'$ est à racines toutes réelles.\\
2. Montrer que $Q(X)=X^nP(1/X)$ est un polynôme à racines toutes réelles.\\
3. Pour $1\leqslant k\leqslant n-1$, on considère $Q_1(X)=P^{(k-1)}(X)$ puis $Q_2(X)=X^{n-k+1}Q_1(1/X)$ et enfin $Q(X)=Q_2^{(n-k-1)}(X)$. Montrer que $Q(X)$ est un polynôme de degré au plus $2$ à racines toutes réelles et en déduire que $(a_k)_{k=0,\ldots,n}$ est ultra log-concave.\\ On considère comme précédemment un polynôme $P\in \R[X]$ de degré $n$ à racines toutes réelles.\\
4. Soit $\alpha\in \R$. Montrer que $e^{\alpha x}D(e^{-\alpha x}P(x))$ est un polynôme à racines toutes réelles.\\
5. Soient $P(X)=\Sum_{k=0}^n a_kX^k$ et $Q(X)=\Sum_{j=0}^m b_jX^j$ des polynômes réels à racines toutes réelles. Montrer que $Q(D)P(X)$ est un polynôme à racines toutes réelles.

1. Montrer que si le produit $p_n$ converge, alors la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge vers $1$.\\
2. On suppose que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $u_k=1+\Frac{1}{k}$. Simplifier $p_n$. Le produit $p_n$ est-il divergent ou convergent ?\\
3. On suppose que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $u_k=\cos\left(\Frac{a}{2^k}\right)$, où $a$ est un réel qui n’est pas congru à $0$ modulo $\pi$.\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, calculer $p_n\sin\left(\Frac{a}{2^n}\right)$.\\ En déduire que le produit $p_n$ converge et donner la limite de $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.\\

1. 1. Montrer qu’il existe un entier $n_0$ tel que $u_n > 0$ pour tout $n \geqslant n_0$.\\
   2. On pose $S_n=\Sum_{p=n_0}^n \ln(u_p)$.\\ Montrer que la convergence de la suite $(S_n)_{n \geqslant n_0}$ est équivalente à la convergence du produit $p_n$.\\ Lorsque la suite $(S_n)_{n \geqslant n_0}$ converge vers $\ell$, donner la limite de la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.\\
2. On suppose que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $u_k=k^{\frac{1}{k}}$, et on pose $S_n=\Sum_{p=1}^n \Frac{\ln p}{p}$.\\
   1. Montrer que pour tout $p \geqslant 3$ : \[ 0 < \left(\ln(p+1)\right)^2-\left(\ln p\right)^2 \leqslant 2\Frac{\ln p}{p}. \]
   2. La suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et le produit $p_n$ sont-ils divergents ou convergents ?\\

1. 1. Montrer que $\ln(1+x) < x$ pour tout réel $x > 0$.\\
   2. Montrer que la convergence de la suite $(S'_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ entraîne celle du produit $p_n$.\\
2. Déduire de la question $2$ de la première partie la limite de la suite $(S'_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ lorsque $S'_n=\Sum_{p=1}^n \Frac{1}{p}$.\\
3. On suppose que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $v_k=a^{2^k}$.\\
   1. On suppose $a \geqslant 1$. Le produit $p_n$ est-il divergent ou convergent ?\\
   2. On suppose $a \in ]0,1[$.\\
      1. Montrer que le produit $p_n$ converge.\\
      2. Pour tout entier naturel non nul $n$, calculer $(1-a^2)p_n$ et en déduire la limite de la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.

1. Théorème de Dirichlet. Soit $\alpha$ un irrationnel. Montrer qu’il existe une infinité de couples $(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^*$ tels que \[ \left|\alpha-\Frac{p}{q}\right|\leqslant \Frac{1}{q^2}. \]
2. Étudier la convergence de la suite \[ \left(\Frac{1}{n\sin n}\right)_{n\geqslant 1}. \]
3. Montrer qu’il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout $s\geqslant 0$, la suite \[ \left(\Frac{1}{n^s\sin(\pi \alpha n)}\right)_{n\geqslant 1} \] diverge.

1. Étudier $(u_n)$ lorsque $(a_n)$ est constante égale à $a>0$, puis lorsque \[ a_n=\lambda^{2^{n+1}},\qquad \lambda>0. \]
2. Montrer que la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la suite \[ (a_n^{1/2^n})_{n\geqslant 0} \] est bornée.
3. Déterminer \[ \limn \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}. \]

1. Une partie de $\mathbb{N}$ admet-elle toujours une densité ?
2. Soit $(u_k)_{k \geqslant 0}$ une suite bornée d'éléments de $\mathbb{R}_+$. Montrer que \[ \frac{1}{n+1}\Sum_{k=0}^n u_k\to 0 \] si et seulement s'il existe une partie $A$ de $\mathbb{N}$ de densité $0$ telle que \[ u_n \to 0 \] lorsque $n \to +\infty$ avec $n \notin A$.
3. Que dire d'une fonction $f$ de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$ transformant toute suite vérifiant les conditions de la question précédente en une suite vérifiant ces mêmes conditions ?

1. Soit $u$ une suite réelle telle que \[ \forall (m,n) \in \mathbb{N}^2,\quad u_{m+n}\leqslant u_m+u_n. \] Montrer que la suite \[ \left(\frac{u_n}{n}\right)_{n\geqslant 1} \] admet une limite dans $[-\infty,+\infty[$.
2. Un $n$-chemin dans $\mathbb{Z}^2$ est une $(n+1)$-liste $(x_0,\ldots,x_n)$ d'éléments de $\mathbb{Z}^2$ telle que, pour tout $k \in \{0,\ldots,n-1\}$, \[ \|x_{k+1}-x_k\|_1=1. \] Un tel chemin est dit simple lorsque ses éléments sont distincts.\\ On note $A_n$ le nombre de $n$-chemins simples partant de $(0,0)$.\\ Montrer qu'il existe un réel $\gamma \in [2,4]$ tel que, pour tout $t > \gamma$, \[ A_n=o(t^n), \] et, pour tout $t \in [0,\gamma[$, \[ t^n=o(A_n). \]