Exercices divers

Exercice 1083. \\
  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $(3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n$ est un entier pair. \\
  2. En déduire $\limn \sin \big( (3 + \sqrt{5})^n \pi \big)$.
Exercice 1084. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ de terme général $x_n = \sin(\ln n)$ n’admet pas de limite.
Exercice 1085. Soit $x \in \R \backslash \Q$ et $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de rationnels convergeant vers $x$ : pour tout $n \in \N$, on note $u_n = \Frac{p_n}{q_n}$ avec $(p_n,q_n) \in \Z \times \N^*$. \\ Montrer que $q_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ et $\abs{p_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.
Exercice 1086. Soit $\alpha \in \R \backslash \{\pi\Z\}$. Montrer que l'existence d'uune des deux limites $\limn \sin(n\alpha)$, $\limn \cos(n\alpha)$ entraîne celle de l'autre, et que l'existence des deuux entraîne une contradiction. Conclure.
Exercice 1087. On dit qu’un réel $l$ est valeur d’adhérence d’une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ s’il existe une suite extraite de $(x_n)$ qui converge vers $l$. \\
  1. Montrer qu’une suite admettant au moins deux valeurs d’adhérence distinctes est une suite divergente. \\
  2. Donner un exemple de suite n’admettant pas de valeur d’adhérence, et un exemple de suite divergente admettant exactement une valeur d’adhérence. \\
  3. Montrer qu’une suite bornée admettant exactement une valeur d’adhérence est une suite convergente.
Exercice 1088. Une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ est dite suite de Cauchy si : \[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \N \; : \; \forall (p,q) \in \N^{2}, \; p \geqslant q \geqslant N \;\Longrightarrow\; \abs{x_p - x_q} \leqslant \varepsilon. \]
  1. Montrer que toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy. \\
  2. Montrer qu’une suite de Cauchy est bornée. \\
  3. En déduire que la suite $(x_n)$ est convergente (on utilisera le théorème de Bolzano-Weierstrass).
Exercice 1089. Pour $n \in \N^*$ et toute fonction $f \in \mathcal{D}^{1}(]-1,+\infty[)$, on note $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$ et $\sum_n(f) = \Sum_{k=n+1}^{2n} f\parenthese{\Frac{1}{k}}$. \\
    1. Montrer que $(S_n)$ est monotone. \\
    2. Montrer que $(S_n)$ converge vers une limite $S_{\infty}$. \\
    1. On suppose $f(0) \neq 0$. Montrer que la suite $(\sum_n(f))_{n \in \N^*}$ diverge. \\
    2. On suppose $f(0) =0$. En revenant à la définition de la dérivée comme limite, montrer que la suite $(\sum_n(f))$ converge et donner sa limite en fonction de $S_{\infty}$. \\
    3. Déduire de ce qui précède la valeur de $S_{\infty}$, à l'aide de la fonction $h : x \mapsto \ln(1+x)$.