Exercices divers

Exercice 1774. Soit deux suites réelles $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ qui tendent vers $+\infty$ avec $\limn (u_{n+1}-u_n)=0$.\\ Donnez des exemples pour $(u_n)_n$.\\ Pour $\varepsilon>0$, on pose $n_0$ tel que $\forall n \geqslant n_0$, $|u_{n+1}-u_n|\leqslant \varepsilon$.\\ Montrer que pour tout $x \geqslant u_{n_0}$, il existe un rang $p$ tel que $|u_p-x|\leqslant \varepsilon$.\\ Montrer que $\{u_p-v_m\;;\;(p,m)\in\N^2\}$ est dense dans $\R$.\\ En déduire que, par exemple, $\{u_n-\lfloor u_n\rfloor\;;\;n\in\N\}$ est dense dans $[0,1]$.

Exercice 1775. Moyenne Logarithmique

\\ Soit $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$. \\
  1. Montrer que $H_n \sim \ln{n}$ et $S_n \xrightarrow[]{} \ln{2}$. \\
  2. Soit $u \in \R^{\N^*}$ et $\ell \in \R$. \\
    1. On suppose $u_n \xrightarrow[]{} 0$. Montrer que $\Frac{1}{H_n} \Sum_{k=1}^{n} \Frac{u_k}{k} \xrightarrow[]{} 0$. \\
    2. On suppose $u_n \xrightarrow[]{} \ell$. Déterminer la limite de $\parenthese{\Frac{1}{\ln{n}}\Sum_{k=1}^{n}\Frac{u_k}{k}}_{n \geqslant 2}$. \\
  3. Soit $u \in \R^{\N^*}$ et $\ell \in \R$. \\ Montrer que si $\Frac{u_1+\hdots+u_n}{n} \xrightarrow[]{} \ell \in \R$, alors $\Frac{1}{\ln{n}}\Sum_{k=1}^{n}\Frac{u_k}{k} \xrightarrow[]{} \ell$. \\ On pourra calculer la somme $\Sum_{k=1}^{n} \parenthese{\Frac{U_k}{k+1}-\Frac{U_{k-1}}{k}}$, où $U_k = \Sum_{i=1}^{k} u_i$.
Exercice 1776. On définit la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ par $x_1 = 1$ et $x_{n+1} = \Frac{n}{x_n}$ pour tout $n \geqslant 1$. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \Frac{1}{\sqrt{n}} \left( \Frac{1}{x_1} + \Frac{1}{x_2} + \cdots + \Frac{1}{x_n} \right) = \sqrt{\Frac{\pi}{2}} + \sqrt{\Frac{2}{\pi}}. \]

Exercice 1777. Classique de Césaro

\\ Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle convergeant vers $\ell$. On définit une suite $(v_n)_{n\in\N}$ par \[ v_n = \Frac{1}{2^n} \Sum_{k=0}^{n} {n \choose k} u_k. \] Montrer que \[ \lim_{n\to+\infty} v_n = \ell. \]

Exercice 1778. X ENS - Lemme de Fekete

\\ Soit $(u_n)$ une suite réelle telel que \[ \forall (n,m) \in \N^*, \; u_{n+m} \leqslant u_n+u_m \] Montrer que si $\parenthese{\Frac{u_n}{n}}$ est minorée, elle converge.
Exercice 1779. Suit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite complexe bornée telle que \[ \forall n \in \N, \quad u_{2n} = 2u_n-1 \] Montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ est constante égale à $1$.
Exercice 1780. \\
  1. Soit $\alpha$ un nombre irrationnel et $n \in \N^{*}$. Montrer qu'il existe $k,l \in \llbracket 0,n \rrbracket$ distincts tels que \[ \abs{k\alpha - \lfloor k\alpha \rfloor - l\alpha + \lfloor l\alpha \rfloor} \leqslant \Frac{1}{n}. \]
  2. En déduire qu'il existe une infinité de couples $(p,q) \in \Z \times \N^{*}$ tels que \[ \abs{\alpha - \Frac{p}{q}} \leqslant \Frac{1}{q^{2}}. \]
  3. Montrer que pour tous $x,y$ réels, \[ \abs{\sin(x)-\sin(y)} \leqslant \abs{x-y}. \]
  4. Étudier la convergence de la suite $(u_{n})_{n \geqslant 1}$ définie par \[ u_{n}=\Frac{1}{n\sin(n)}. \]
Exercice 1781. Soit $\alpha \in \R \backslash \{\pi\Z\}$. Montrer que l'existence d'uune des deux limites $\limn \sin(n\alpha)$, $\limn \cos(n\alpha)$ entraîne celle de l'autre, et que l'existence des deuux entraîne une contradiction. Conclure.
Exercice 1782. Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \cos(n)$ pour tout $n \in \N$. \\ En observant $u_{n+2} + u_n$, montrer que $(u_n)$ diverge.
Exercice 1783. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels convergeant vers une limite réelle $\ell$. A-t-on \[ \lim_{n \to +\infty} \lfloor u_n \rfloor = \lfloor \ell \rfloor \; ? \]
Exercice 1784. Pour $n \in \N^*$ et toute fonction $f \in \mathcal{D}^{1}(]-1,+\infty[)$, on note $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$ et $\sum_n(f) = \Sum_{k=n+1}^{2n} f\parenthese{\Frac{1}{k}}$. \\
    1. Montrer que $(S_n)$ est monotone. \\
    2. Montrer que $(S_n)$ converge vers une limite $S_{\infty}$. \\
    1. On suppose $f(0) \neq 0$. Montrer que la suite $(\sum_n(f))_{n \in \N^*}$ diverge. \\
    2. On suppose $f(0) =0$. En revenant à la définition de la dérivée comme limite, montrer que la suite $(\sum_n(f))$ converge et donner sa limite en fonction de $S_{\infty}$. \\
    3. Déduire de ce qui précède la valeur de $S_{\infty}$, à l'aide de la fonction $h : x \mapsto \ln(1+x)$.
Exercice 1785. Soit $x \in \R \backslash \Q$ et $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de rationnels convergeant vers $x$ : pour tout $n \in \N$, on note $u_n = \Frac{p_n}{q_n}$ avec $(p_n,q_n) \in \Z \times \N^*$. \\ Montrer que $q_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ et $\abs{p_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.
Exercice 1786. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ de terme général $x_n = \sin(\ln n)$ n’admet pas de limite.
Exercice 1787. On dit qu’un réel $l$ est valeur d’adhérence d’une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ s’il existe une suite extraite de $(x_n)$ qui converge vers $l$. \\
  1. Montrer qu’une suite admettant au moins deux valeurs d’adhérence distinctes est une suite divergente. \\
  2. Donner un exemple de suite n’admettant pas de valeur d’adhérence, et un exemple de suite divergente admettant exactement une valeur d’adhérence. \\
  3. Montrer qu’une suite bornée admettant exactement une valeur d’adhérence est une suite convergente.
Exercice 1788. Une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ est dite suite de Cauchy si : \[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \N \; : \; \forall (p,q) \in \N^{2}, \; p \geqslant q \geqslant N \;\Longrightarrow\; \abs{x_p - x_q} \leqslant \varepsilon. \]
  1. Montrer que toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy. \\
  2. Montrer qu’une suite de Cauchy est bornée. \\
  3. En déduire que la suite $(x_n)$ est convergente (on utilisera le théorème de Bolzano-Weierstrass).
Exercice 1789. On considère le polynôme \[ P_n=X^n+X^{n-1}+2X-1. \]
  1. Montrer que pour tout \[ n\geqslant 2, \] il existe un unique réel \[ x_n > 0 \] tel que \[ P_n(x_n)=0. \]
  2. Montrer que la suite $(x_n)$ est croissante et converge vers $1$.
Exercice 1790. \\
  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $(3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n$ est un entier pair. \\
  2. En déduire $\limn \sin \big( (3 + \sqrt{5})^n \pi \big)$.
Exercice 1791.
  1. Théorème de Dirichlet. Soit $\alpha$ un irrationnel. Montrer qu’il existe une infinité de couples $(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^*$ tels que \[ \left|\alpha-\Frac{p}{q}\right|\leqslant \Frac{1}{q^2}. \]
  2. Étudier la convergence de la suite \[ \left(\Frac{1}{n\sin n}\right)_{n\geqslant 1}. \]
  3. Montrer qu’il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout $s\geqslant 0$, la suite \[ \left(\Frac{1}{n^s\sin(\pi \alpha n)}\right)_{n\geqslant 1} \] diverge.
Exercice 1792. Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels positifs. On étudie la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ \forall n\in\mathbb{N},\qquad u_n=\sqrt{a_0+\sqrt{a_1+\cdots+\sqrt{a_n}}}. \]
  1. Étudier $(u_n)$ lorsque $(a_n)$ est constante égale à $a>0$, puis lorsque \[ a_n=\lambda^{2^{n+1}},\qquad \lambda>0. \]
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la suite \[ (a_n^{1/2^n})_{n\geqslant 0} \] est bornée.
  3. Déterminer \[ \limn \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}. \]
Exercice 1793. $A$ est une partie non vide de $\R$.\\ On appelle point d'accumulation de $A \subseteq \R$ tout réel $x$ tel que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, $]x-\varepsilon,x+\varepsilon[$ contient au moins un élément de $A$ distinct de $x$.\\
  1. Montrer que si $x$ est un point d'accumulation de $A$, alors tout intervalle ouvert contenant $x$ contient une infinité d'éléments de $A$.\\
  2. Montrer que $x$ est un point d'accumulation de $A$ ssi $x$ est limite d'une suite d'éléments de $A$ différents de $x$.
Exercice 1794. \\
  1. Soit $(u_n)$ une suite de scalaires convergente vers $\ell$. Montrer qu'on a alors la convergence en moyenne :\\ \[ v_n=\frac{u_0+u_1+\cdots+u_n}{n+1}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell. \]
  2. Déterminer une suite simple, équivalente à la suite définie par $u_0\in]0,1]$ et :\\ \[ \forall n \in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=\sin(u_n). \] On pourra déterminer $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $u_{n+1}^{\alpha}-u_n^{\alpha}$ soit convergente vers une limite non nulle, puis utiliser le a).
Exercice 1795. Soient $(a_n)_{n\geqslant 1}$ et $(b_n)_{n\geqslant 1}$ deux suites réelles telles que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : \[ a_{n+1}=a_n+\dfrac{b_n}{n(n+1)} \quad \text{et} \quad b_{n+1}=b_n-\dfrac{a_n}{n(n+1)}. \] Montrer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent.
Exercice 1796. Caractériser les suites réelles $(u_n)_{n\ge0}$ telles qu’il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbb{N}$ pour laquelle la suite $(u_{\sigma(n)})$ est monotone à partir d’un certain rang.
Exercice 1797. Étudier les variations de la suite $(u_n)_{n \geqslant 0}$ ou $(u_n)_{n \geqslant 1}$ définie par les expressions suivantes :
  1. $\forall n \in \N,\quad u_n = \binom{n}{p}$ \quad (pour un certain $p \in \N$).
  2. $\forall n \in \N^*,\quad u_n = \Sum_{k=1}^n \Frac{1}{k^2} + \Frac{1}{n}$.
  3. $\forall n \in \N,\quad u_n = \Frac{n!}{2^n}$.
  4. $\forall n \in \N^*,\quad u_n = \Sum_{k=1}^n \ln k - n \ln n$.
  5. $\forall n \in \N^*,\quad u_n = \Prod_{k=1}^n \Frac{2k}{2k+1}$.
  6. $u_0 > 0$ et $\forall n \in \N,\quad u_{n+1} = \Frac{3u_n^2}{1+4u_n}$.
Exercice 1798.
  1. On pose $I_n=[n,+\infty[$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} I_n=\varnothing$.\\ On pose $J_n=]0,\Frac{1}{n}]$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} J_n=\varnothing$.\\ En déduire que le théorème des segments emboîtés est faux pour des intervalles ouverts ou semi-ouverts.\\
  2. Soit $\alpha$ un irrationnel. On pose $r_n=\Frac{\lfloor 10^n\alpha\rfloor}{10^n}$ et $s_n=\Frac{\lceil 10^n\alpha\rceil}{10^n}$.\\
    1. Montrer que $(r_n)$ et $(s_n)$ convergent vers $\alpha$.\\
    2. Montrer que $r_n\leqslant r_{n+1}$ et $s_{n+1}\leqslant s_n$.\\ En déduire que $(r_n)$ et $(s_n)$ sont deux suites adjacentes de rationnels qui convergent vers $\alpha$.\\
  3. Montrer que $\bigcap_n \big([r_n,s_n]\cap \mathbb{Q}\big)=\varnothing$. En déduire que le théorème des segments emboîtés est faux dans $\mathbb{Q}$.
Exercice 1799. Soit $f : X \to \R$.\\
  1. Si $f$ n'est pas majorée, montrer qu'il existe une suite $(x_n)$ de points de $X$ telle que $\limn f(x_n) = +\infty$.\\
  2. Si $f$ est majorée, montrer l'existence d'une suite $(x_n)$ de points de $X$ telle que $\limn f(x_n) = \sup_X f$.