Ensembles

Exercice 727. Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$. Résoudre l’équation $(E)$ : \[ (A \cap X) \cup (B \cap \overline{X}) = \varnothing \] en l’inconnue $X \in \mathcal{P}(E)$.

Exercice 728. Produit cartésien et complémentaire

\\ Soient $A$ une partie de $E$ et $B$ une partie de $F$. \\ Quel est le complémentaire de $A \times B$ dans $E \times F$ ?
Exercice 729. Soient $a$ et $b$ deux éléments distincts d'un ensemble $E$. \\ Déterminer les ensembles $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))$, $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a,b\}))$ et $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$.
Exercice 730. \\
  1. Montrer que $E \subset F \iff \mathcal{P}(E) \subset \mathcal{P}(F)$. \\
  2. Montrer que $\mathcal{P}(E \cap F) = \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F)$. \\
  3. A-t-on toujours $\mathcal{P}(E \cup F) = \mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F)$ ?
Exercice 731. Soit $E$ un ensemble. \\ Soient $A$, $B$, $D$ des parties non vides de $E$. Montrer que : \\
  1. $(\bar{A} \subset B) \iff (A\cup B= E)$. \\
  2. $A \backslash B = \bar{B} \backslash \bar{A}$. \\
  3. $(A \cup B = A \cup D$ et $A \cap B = A \cap D) \iff B = D$. \\
  4. $((A\times B)\cup (B \times A) = D^2) \iff (A = B = D)$.

Exercice 732. Différence symétrique

Soit $E$ un ensemble. Pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$, on note $A \Delta B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)$ la différence symétrique de $A$ et $B$. \\
  1. Déterminer $A \Delta A$ et $A \Delta \varnothing$. \\
  2. Montrer que $A \Delta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)$. \\
  3. Montrer que $\bar{A \Delta B} = (A \cap B)\cup(\bar{A\cup B})$. \\
  4. Soit $D$ une partie de $A$. Montrer que $A \Delta B = A \Delta D$ si et seulement si $B = D$. \\
  5. Montrer que $A \Delta B = A \cap B \implies A = B = \varnothing$.
Exercice 733. On considère deux ensembles $A$ et $B$ et on suppose qu'il existe un troisième ensemble $X$ tels que : \[ A \cap X = B \cap X \; \; et \; \; A \cup X = B \cup X \] Montrer que $A = B$.
Exercice 734. Soient $A$, $B$ et $X$ trois parties de $E$. \\
  1. Si $A \cap X = B \cap X$, a-t-on nécessairement $A = B$ ? \\
  2. Même question si $A \cup X = B \cup X$. \\
  3. Même question si $A \cap X = B \cap X$ et $A \cup X = B \cup X$. \\
  4. Même question si $(A \cup X) \backslash (A \cap X) = (B \cup X) \backslash (B \cap X)$.
Exercice 735. Soient $E$ un ensemble, $n$ un entier non nul, $A_1,\ldots,A_n$ et $B_1,\ldots,B_n$ des parties de $E$.\\ Montrer que\\ \[ \bigcup_{i=1}^{n}(A_i \cap B_i) = \bigcap_{X \subset [1,n]} \parenthese{ \parenthese{\bigcup_{i \in X} A_i} \;\cup\; \parenthese{\bigcup_{i \notin X} B_i} }. \]