Applications réelles

Exercice 746. Soit $f : \R \to \R$ une application croissante telle que $f \circ f = Id_{\R}$. \\ Montrer que $f = Id_{\R}$.
Exercice 747. Pour chaque fonction, dire si elle est injective, surjective, bijective et donner $f^{-1}$ le cas échéant. \\
  1. $f : \R \to \R$, $x \mapsto x^2$. \\
  2. $f : \N \to \N$, $n \mapsto n+1$. \\
  3. $f : \Z \to \Z$, $k \mapsto k+1$. \\
  4. $f : \N^* \to \Z$ $n \mapsto \begin{cases} \frac{n}{2} \quad si \; n \; pair \\ \frac{-n+1}{2} \quad si \; n \; impair \end{cases}$.
Exercice 748. Soit $f : \N \to \N$ et $g : \N \to \N$ les applications définies par \[ \forall n \in \N, \;\; f(n) =n^2 \quad et \quad g(n) = \begin{cases} \sqrt{n} \;\; si \;\; \exist k \in \N, \;\; n = k^2 \\ 0 \;\; sinon \end{cases} \]
  1. Montrer que $f$ est injective et n'est pas surjective. \\
  2. Montrer que $g$ est surjective et n'est pas injective. \\
  3. Calculer $g \circ f$ et $f \circ g$.
Exercice 749. Soient $f : \N \to \N$ et $g : \N \to \N$ les applications définies par \[ \forall n \in \N, \quad f(n) = 2n \quad et \quad g(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} \quad si \;\; n \;\; est \;\; pair \\ \frac{n-1}{2} \quad si \;\; n \;\; est \;\; impair \end{cases} \]
  1. Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles bijectives ? \\
  2. Déterminer $f \circ g$ et $g \circ f$. Sont-elles bijectives ?
Exercice 750. Soit $f : \N \to \N$ une application injective telle que pour tout $n \in \N$, $f(n) \leqslant n$. \\ Montrer que $\forall n \in \N$, $f(n)=n$.
Exercice 751. Soit $f : \R \to ]-1,1[$ telle que $f(x)=\Frac{x}{1+\abs{x}}$ et $g : ]-1,1[ \to \R$ telle que $g(x) = \Frac{x}{1-\abs{x}}$. \\ Montrer que $f$ et $g$ sont des bijections réciproques. \\ On vérifiera que $f$ et $g$ sont bien définies.
Exercice 752. \\
  1. Soit $f : \R^2 \to \R^2$, $(x,y) \mapsto (x-y,x+y)$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? \\
  2. Soit $g : \Q^2 \to \R$, $(x,y) \mapsto x+y\sqrt{2}$. \\ $g$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
Exercice 753. Soit $f : \R^2 \to \R^2$ définie par $f(x,y) = (x,xy-y^3)$. \\ $f$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
Exercice 754. Soit $f$ et $g$ deux applications de $\N$ dans $\N$. On suppose que $f$ est surjective, que $g$ est injective et que, pour tout $n \in \N$, $f(n) \geq g(n)$.\\
  1. Montrer que $g$ est bijective.\\
  2. Que peut-on dire de $f$ et de $g$ ?