Calcul matriciel
Exercice
4618. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Résoudre, en $X$, l’équation suivante :\\
\[
X=\mathrm{Tr}(X)A+B.
\]
Exercice
4619. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.
Exercice
4620. Montrer que $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice
4621. Déterminer toutes les matrices $M$ diagonales d'ordre $3$ telles que \[ M^3+2M^2-M-2I = 0 \]
Exercice
4622. Existe-t-il $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB-BA=I_n$ ?
Exercice
4623. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices $(M_s, M_a) \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que \[ \begin{cases} M = M_s + M_a \\ M_a \;\; est \;\; symétrique \\ M_s \;\; est \;\; antisymétrique \end{cases} \]
Exercice 4624. Matrices symétriques et antisymétriques
\\ Soient $A$ et $X$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$. \\- Montrer que si $A$ est antisymétrique, alors sa diagonale est nulle. \\
- Montrer que la matrice ${}^t\!AA$ est symétrique. \\
- Montrer que si $X$ est symétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est symétrique. \\
- Montrer que si $X$ est antisymétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est antisymétrique.
Exercice
4625. Soient $n \in \N - \{0,1\}$.\\
On considère la matrice $A_{n} \in M_{n}(\R)$ définie par\\
\[
A_{n}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & 1\\
1 & 1 & \ddots & \vdots & 0\\
0 & 1 & \ddots & 0 & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\
0 & \cdots & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Déterminer le rang de $A_{n}$.
Exercice
4626. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $D$ la matrice diagonale de coefficients diagonaux $1,2,\hdots,n$. Déterminer toutes les matrices qui commutent avec $D$.
Exercice
4627. Soit $A \in M_n(K)$. On note $\sigma(A)$ la somme des coefficients de $A$.\\
On pose $J$ la matrice de $M_n(K)$ dont tous les coefficients valent $1$.\\
Vérifier que $JAJ = \sigma(A)J$.
Exercice
4628. Pour $i,j,k,\ell \in \{1,\dots,n\}$, on note $E_{i,j}$ et $E_{k,\ell}$ les matrices élémentaires de $M_n(K)$.\\
Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$.
Exercice
4629. Existe-t-il des matrices $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$ vérifiant
\[
AB-BA=I_n \;?
\]
Exercice
4630. Soient $u,v\in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$.\\
On pose
\[
M=uv^T.
\]
Montrer que $M$ est de rang $1$.
Exercice
4631. Soit $P=\{u\in M_{1,d}(\mathbb{R}_+) \mid \Sum u_j =1\}$.\\
Soit $P\in M_d(\mathbb{R}_+)$ telle que
\[
\Sum_{j=1}^d P_{i,j}=1
\]
pour tout $i$.\\
- Montrer que si $u\in P$, alors $uP\in P$.\\
Exercice
4632. On donne $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1} \in \mathbb{K}$, et on considère la matrice suivante, dite matrice circulante :\\
\[
M=\begin{pmatrix}
a_0&a_1&\cdots&a_{n-1}\\
a_{n-1}&a_0&\cdots&a_{n-2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_1&a_2&\cdots&a_0
\end{pmatrix}.
\]
Chaque ligne de $M$ se déduit de la précédente par la même permutation. Donner l'expression du terme général $(m_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ de la matrice $M$
Exercice
4633. \\
- Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.\\
- Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $AC = CA$. Déduire de la première question les implications suivantes :\\
- $\mathrm{Tr}({}^tA\,A)=0 \Rightarrow A=0$.\\
- $AB-BA={}^tC\,C \Rightarrow AB=BA$.\\
- $AB-BA=\lambda I_n \Rightarrow AB=BA$.\\
- On suppose que $A$ et $B$ sont semblables, montrer qu’elles ont la même trace.
Exercice
4634. On considère $(E_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et une matrice $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ à coefficients dans $\mathbb{K}$.\\
- Comment décrire les matrices $E_{r,s}A$ et $AE_{r,s}$ ?\\
- Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour ajouter, à la $i$-ième ligne de $A$, $\lambda$ fois sa $j$-ième ligne (sans modifier les autres) ? Cette transformation est notée $L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j$.\\
- Si $i \neq j$, par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour échanger la ligne $i$ et la ligne $j$ ? Cette transformation est notée $L_i \leftrightarrow L_j$.
Exercice
4635. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que si $M$ est triangulaire supérieure à diagonale nulle alors $M^n=0$ (et en particulier $M$ est nilpotente).
Exercice
4636. Soient $n \in \N^*$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n,\mu_1,\ldots,\mu_n \in \K \setminus \{0\}$, $A=(a_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\K)$.\\
On note $B=(b_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\K)$ défini par $b_{ij}=\lambda_i a_{ij}\mu_j$.\\
- Montrer que, en notant $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, $E=\mathrm{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)$, on a :\\ \[ B=DAE. \]
- En déduire que $B$ est inversible si et seulement si $A$ est inversible, et que, dans ce cas, en notant $A^{-1}=(\alpha_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$, on a :\\ \[ B^{-1}=\Bigl(\mu_i^{-1}\alpha_{ij}\lambda_j^{-1}\Bigr)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
Exercice
4637. Quel est le rang de $A=(\sin(i+j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\R)$
Exercice
4638. On note $(\varphi_n)_{n\in\N}$ la suite de Fibonacci, définie par $\varphi_0=0$, $\varphi_1=1$ et :\\
\[
\forall n\in\N,\ \varphi_{n+2}=\varphi_{n+1}+\varphi_n.
\]
Soit $n\in\N-\{0,1\}$. Déterminer le rang de la matrice $A_n=(\varphi_{i+j})_{0 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_{n+1}(\R)$.
Exercice
4639. Soient $n \in \N^{*}$, $H \in M_{n}(K)$ tel que $\mathrm{rg}(H) \leqslant 1$.\\
- Montrer qu'il existe $(U,V) \in \big(M_{n,1}(K)\big)^{2}$ tel que : $H = U \, {}^{t}V$ et $\mathrm{tr}(H) = {}^{t}V U$.\\
- Montrer : $\forall A \in M_{n}(K)$, $HAH = \mathrm{tr}(AH)H$.
Exercice
4640. Considérons la matrice
\[
K=
\begin{pmatrix}
1&3\\
0&2
\end{pmatrix}.
\]
Calculer $K^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Exercice
4641. Soient $K$ un corps, $n \in \mathbb{N}^*$, $a_1,\ldots,a_n \in K$ et
\[
D=\mathrm{diag}(a_1,\ldots,a_n)
\]
On pose :
\[
\varphi:M_n(K)\to M_n(K),\quad \varphi(M)=DM-MD
\]
- Déterminer le noyau et l’image de $\varphi$.\\
- Préciser ces espaces lorsque les $a_i$ sont deux à deux distincts.
Exercice
4642. Soit $n \geqslant 1$. Déterminer le centre de $M_n(\mathbb{R})$, c’est à dire l’ensemble des matrices $A \in M_n(\mathbb{R})$ telles que :
\[
\forall M \in M_n(\mathbb{R}),\quad AM=MA
\]
Exercice
4643.
- Soit $n \geqslant 2$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.\\
- Soit \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] Calculer $A^n$ pour $n \geqslant 2$.
Exercice
4644. Soit $A\in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ avec $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. On note
\[
\forall n\in\N^*,\quad B_n=\left(I_p+\frac{A}{n}\right)^n.
\]
Montrer que
\[
B_n\longrightarrow \exp(A).
\]
Exercice
4645. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Déterminer le centre de $M_n(\mathbb{K})$, c'est-à-dire
\[
\{A\in M_n(\mathbb{K})\mid \forall M\in M_n(\mathbb{K}),\ AM=MA\}.
\]
Exercice
4646. Soit $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$.\\
Résoudre l’équation $X+\mathrm{tr}(X)A=B$, d’inconnue $X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice
4647. Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.\\
Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec $D$.
Exercice
4648. On note
\[
D=
\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 4
\end{pmatrix}
\]
Résoudre dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l’équation
\[
M^3-2M=D
\]
Exercice
4649. Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients valent $1$. On note
\[
\mathcal{F}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid AMA=0\}
\]
On note aussi
\[
\mathcal{E}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid AMA=A\}
\]
- Montrer que $\mathcal{F}$ est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?\\
- Pour quels réels $\lambda$ a-t-on $\lambda A \in \mathcal{E}$ ?\\
- Déterminer les éléments de $\mathcal{E}$.
Exercice
4650. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$ telles que
\[
AB=A+B.
\]
Montrer que $A$ et $B$ commutent.
Exercice
4651. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des éléments de $K$ deux à deux distincts et $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$.\\
Déterminer les matrices de $M_n(K)$ commutant avec $D$.
Exercice
4652. Soit $A=(a_{i,j}) \in M_n(K)$.\\
Montrer que
\[
\forall B \in M_n(K),\quad AB=BA
\]
si, et seulement si, il existe $\lambda \in K$ tel que $A=\lambda I_n$.
Exercice
4653. Soit $n \geqslant 2$.\\
Déterminer les matrices de $M_n(K)$ commutant avec toutes les matrices symétriques.
Exercice
4654. Soient $b=(i,j)$ et $B=(I,J)$ deux bases d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension $2$ et $P$ la matrice de passage de $b$ à $B$.\\
Pour $x \in E$, on note $v=\mathrm{Mat}_b(x)$ et $V=\mathrm{Mat}_B(x)$.\\
- Retrouver la relation entre $v$ et $V$.
- Soient $f \in \mathcal{L}(E)$, $m=\mathrm{Mat}_b(f)$ et $M=\mathrm{Mat}_B(f)$.\\ Retrouver la relation entre $m$ et $M$.
- Par quelle méthode peut-on calculer $m^n$ lorsqu'on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de $f$ ?
Exercice
4655. Soient $b=(i,j)$ et $B=(I,J)$ deux bases d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension $2$ et $P$ la matrice de passage de $b$ à $B$.\\
Pour $x \in E$, on note $v=\mathrm{Mat}_b(x)$ et $V=\mathrm{Mat}_B(x)$.\\
- Retrouver la relation entre $v$ et $V$.
- Soient $f \in \mathcal{L}(E)$, $m=\mathrm{Mat}_b(f)$ et $M=\mathrm{Mat}_B(f)$.\\ Retrouver la relation entre $m$ et $M$.
- Par quelle méthode peut-on calculer $m^n$ lorsqu'on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de $f$ ?
Exercice
4656. Résoudre :
\[
\begin{cases}
x_1+x_2+\cdots+x_n=1\\
x_1+2x_2+\cdots+2x_n=1\\
\vdots\\
x_1+2x_2+3x_3+\cdots+nx_n=1
\end{cases}
\]
Exercice
4657. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$ des matrices vérifiant
\[
AB-BA=A.
\]
Calculer $\tr(A^p)$ pour $p \in \mathbb{N}^*$.
Exercice
4658. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$.\\
Montrer que
\[
f^2=\tr(f)f.
\]
À quelle condition un endomorphisme de rang $1$ est-il un projecteur ?
Exercice
4659. Soit $\varphi$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(K)$.\\
Montrer qu’il existe $A \in \mathcal{M}_n(K)$ tel que, pour tout $M \in \mathcal{M}_n(K)$,
\[
\varphi(M)=\tr(AM).
\]
Exercice
4660. Établir que
\[
\mathrm{Vect}\left\{AB-BA \mid A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\right\}
\]
est un hyperplan de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice
4661. Soit $T$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(K)$ vérifiant
\[
\forall A,B \in \mathcal{M}_n(K),\quad T(AB)=T(BA).
\]
Établir que
\[
T \in \mathrm{Vect}(\tr).
\]
Exercice
4662. Soit $f$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant
\[
\forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\quad f(AB)=f(BA).
\]
Montrer que $f$ est proportionnelle à la trace.
Exercice
4663. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
Calculer la trace de l’endomorphisme $f$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ donné par
\[
f(M)=AM+MA.
\]
Exercice
4664. Pour $A$ et $B$ fixées dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, résoudre dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’équation
\[
X=\tr(X)A+B.
\]
Exercice
4665. Soient $\beta > 0$ et $h \in \mathbb{R}$.\\
On considère la matrice
\[
A=
\begin{pmatrix}
e^{\beta-h} & e^{-\beta+h}\\
e^{-\beta-h} & e^{\beta+h}
\end{pmatrix}.
\]
- Calculer la trace et le déterminant de $A$.
- Montrer que $A$ admet deux valeurs propres réelles distinctes.
- Déterminer la plus grande valeur propre de $A$.
Exercice
4666. Soit $K\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice de rang $1$.\\
Montrer qu’il existe $u,v\in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ tels que
\[
K=uv^T
\]
Exercice
4667. Soit $K=uv^T$ avec $u,v\in \mathbb{R}^n$.\\
- Montrer que $\mathrm{Tr}(K)=\langle v,u\rangle$.
- Montrer que \[ K^2=\mathrm{Tr}(K)\,K \]
Exercice
4668. Soient $A,B,C\in M_d(\mathbb{R})$.\\
On définit
\[
\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(A^TB).
\]
- Montrer que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur $M_d(\mathbb{R})$.\\
- Montrer que $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.\\
- Montrer que \[ \langle A,BC\rangle=\langle B^TA,C\rangle=\langle AC^T,B\rangle \]
Exercice
4669. Soient $\varphi(x)=Rx+\tau$ et $\psi(x)=R'x+\tau'$.\\
- Montrer que $\psi\circ\varphi$ est de la même forme.\\
- Déterminer la nouvelle matrice et le nouveau vecteur.\\
Exercice
4670. Soient $(n,p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Dans les cas suivants, calculer $A^p$.\\
- $A=I_n+N$ avec $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $N^2=0$. Exprimer le résultat en fonction de $N$ et $I_n$.\\
- $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $(A-I_n)^2=0$. Exprimer le résultat en fonction de $A$ et $I_n$.\\
- $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $A^2-3A+2I_n=0$.\\
- $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ avec $a_{i,j}=1$ pour tout $(i,j) \in [|1,n|]^2$.\\
- $A=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$
Exercice
4671. On considère la matrice
\[
A=\begin{pmatrix}
-3&2&5\\
-6&4&10\\
3&-2&-5
\end{pmatrix}.
\]
- Déterminer le rang de la matrice $A$.\\
- Montrer qu'il existe deux vecteurs colonnes $U$ et $V$, dans $\mathbb{R}^3$, tels que $A=U\,{}^tV$.\\
- Déduire $A^2$, puis $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$
Exercice
4672. On pose $A =
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 3
\end{pmatrix}$
et $B =
\begin{pmatrix}
-1 & 3\\
-5 & 1
\end{pmatrix}$.\\
- Calculer $A \times B$ et $B \times A$.\\
- Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles et calculer leur inverse.\\
- Montrer que $AB$ et $BA$ sont inversibles et calculer leur inverse.\\
- Vérifier la formule du cours : $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.\\
- Montrer que les familles $(I_2,A,A^2)$ et $(I_2,B,B^2)$ sont liées et retrouver le caractère inversible des matrices $A$ et $B$.\\
- Comment calculer les matrices $A^n$ et $B^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ ?
Exercice
4673. Soit $n$ un entier non nul. Soient $i$, $j$, $k$ et $\ell$ quatre entiers de $\llbracket 1,n \rrbracket$. Calculer $E_{i,j} \times E_{k,\ell}$, où $(E_{i,j})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ désigne les matrices élémentaires.
Exercice
4674. Soit $M=aI+bJ \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec\\
\[
J=\begin{pmatrix}
1&\cdots&1\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
1&\cdots&1
\end{pmatrix}.
\]
- Calculer $M^{-1}$ lorsque $M$ est inversible.\\
- A quelle condition a-t-on $M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ?\\
- Soit\\ \[ A=\begin{pmatrix} a&b&b\\ b&a&b\\ b&b&a \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{K}). \] Calculer $A^n$ pour $n \geqslant 1$.
Exercice
4675. Soit $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$.\\
- Calculer les puissances $A^n$.\\
- Déterminer l’inverse de $A$.\\
- Trouver une matrice $B$ telle que $B^2=A$.
Exercice
4676. Soit $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que\\
\[
\forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\; AB = BA \iff \exists \lambda \in \mathbb{K},\; A = \lambda I_n.
\]
Exercice
4677. Calculer $A^n$ pour $A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{pmatrix}\in M_3(\R)$ et $n\in\Z$
Exercice
4678. On dit qu'une matrice à termes réels est positive si et seulement si tous ses termes sont $> 0$.\\
- Montrer que la somme de deux matrices positives est positive et que le produit de deux matrices positives est positive.\\
- Soient $n \in \N^*$, $A\in M_n(\R)$ positive. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ et $X\in M_{n,1}(\R)$ positive telle que $A^kX=X$. Montrer qu'il existe $Y\in M_{n,1}(\R)$ positive telle que $AY=Y$
Exercice
4679. Soit $n\in\N^*$.\\
On note $A$ la matrice carrée réelle d'ordre $n+1$ dont le terme situé à la ligne $i$, colonne $j$ est le coefficient binomial $\binom{j}{i}$, où, par convention, ce coefficient est nul si $i > j$.\\
- Montrer que l'application\\ \[ f:\R_n[X]\to\R_n[X],\ P(X)\mapsto P(X+1) \] est un endomorphisme de l'espace vectoriel $\R_n[X]$, et préciser la matrice de $f$ dans la base canonique de $\R_n[X]$.\\
- En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$
Exercice
4680. \\
- Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $x \in E$, la famille $(x,u(x))$ est liée. Montrer que $u$ est une homothétie.\\
- Soit $n \geqslant 1$ et $M \in M_n(K)$ de trace nulle. Montrer que $M$ est semblable à une matrice ayant des $0$ sur la diagonale.
Exercice
4681. Soit $a\in\R$ et, pour tout $n\in\N^*$,
\[
A_n=
\begin{pmatrix}
1 & -\frac{a}{n}\\
\frac{a}{n} & 1
\end{pmatrix}.
\]
Déterminer la limite de la suite $(A_n^n)_{n\in\N^*}$, commenter le résultat obtenu.
Exercice
4682. Soit $A\in \mathcal{S}_n^{++}(\R)$ telle qu'il existe $a\in[0,1[$ vérifiant
\[
\forall X\in \mathcal{M}_{n,1}(\R),\quad X^{\top}AX\leqslant aX^{\top}X.
\]
Montrer que la série
\[
\Sum_{k\geqslant 1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}A^k
\]
converge vers une matrice $S$ symétrique vérifiant
\[
\exp(S)=I_n+A.
\]
Exercice
4683. Pour $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ fixée, démontrer l’équivalence des propriétés suivantes :\\
- $\mathrm{tr}(MAB)=\mathrm{tr}(MBA)$ pour tout $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$.\\
- Il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $M=kI_n$.
Exercice
4684. Soit la matrice
\[
M=
\begin{pmatrix}
0 & z & z^2\\
z^{-1} & 0 & z\\
z^{-2} & z^{-1} & 0
\end{pmatrix}
\quad \text{avec } z \in \mathbb{C}^*
\]
Calculer $M^n$ pour tout entier naturel $n$.\\
Le résultat subsiste-t-il pour $n=-1$ ?
Exercice
4685. On considère la matrice
\[
U=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
- Montrer que $(U,U^2)$ est une famille libre.\\
- Trouver $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$ tels que $U^3=aU^2+bU$.\\
- Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3$, il existe $(\alpha_n,\beta_n)\in\mathbb{R}^2$ tel que \[ U^n=\alpha_nU^2+\beta_nU \]
- Exprimer $\alpha_{n+2}$ en fonction de $\alpha_{n+1}$ et $\alpha_n$.\\
- En déduire une expression de $\alpha_n$ en fonction de $n$.
Exercice
4686. Soit
\[
T=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
Calculer $T^n$ avec $n \in \mathbb{N}$ puis pour $n \in \mathbb{Z}$.
Exercice
4687. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et soit la matrice
\[
M=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & \Binom{1}{1} & \Binom{2}{1} & \cdots & \Binom{n}{1}\\
0 & 0 & \Binom{2}{2} & \cdots & \Binom{n}{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 0 & \Binom{n}{n}
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R}).
\]
Montrer que $M$ est inversible et calculer $M^{-1}$.
Exercice 4688. X ENS
\\ Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Résoudre l’équation \[ X + {}^tX = (\mathrm{Tr}\; X)A. \]
Exercice
4689. Résoudre l'équation $X^2=A$ où
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 4 & 2\\
0 & 0 & 16
\end{pmatrix}.
\]
Exercice
4690. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ des complexes distincts, $A=\mathrm{diag}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ et
\[
C(A)=\{M \in M_n(\mathbb{C}) \mid AM=MA\}.
\]
Montrer que $(A^k)_{0 \leqslant k \leqslant n-1}$ est une base de $C(A)$.
Exercice
4691. Soit $T \in M_n(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire supérieure.\\
Montrer que $T$ commute avec sa transposée si, et seulement si, $T$ est diagonale.
Exercice
4692. Soit $n \geqslant 2$.\\
Déterminer les matrices de $M_n(K)$ commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Exercice
4693. Soient $D=\mathrm{diag}(a_1,\dots,a_n) \in M_n(K)$ et
\[
\varphi : M \in M_n(K) \longmapsto DM-MD.
\]
- Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme $\varphi$.\\
- Préciser ces espaces quand $D$ est à coefficients diagonaux distincts.
Exercice
4694. Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres :\\
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ b+c & c+a & a+b\\ bc & ca & ab \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & \cos \theta & \cos 2\theta\\ \cos \theta & \cos 2\theta & \cos 3\theta\\ \cos 2\theta & \cos 3\theta & \cos 4\theta \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0\\ 0 & a & b & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & a & b\\ b & 0 & \cdots & 0 & a \end{pmatrix}$
Exercice
4695. Résoudre en fonction du paramètre $m \in \mathbb{C}$ les systèmes suivants :\\
- $\begin{cases} x-y+z=m\\ x+my-z=1\\ x-y-z=1 \end{cases}$
- $\begin{cases} mx+y+z=1\\ x+my+z=m\\ x+y+mz=m^2 \end{cases}$
- $\begin{cases} mx+y+z+t=1\\ x+my+z+t=m\\ x+y+mz+t=m+1 \end{cases}$
Exercice
4696. Soient $a,b \in \mathbb{C}$. Résoudre :
\[
\begin{cases}
ax+by+z=1\\
x+aby+z=b\\
x+by+az=1
\end{cases}
\]
Exercice
4697. Résoudre :
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=0\\
x_1+x_2+x_3=0\\
x_2+x_3+x_4=0\\
\vdots\\
x_{n-2}+x_{n-1}+x_n=0\\
x_{n-1}+x_n=0
\end{cases}
\]
Exercice
4698. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\varphi$ l’endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ défini par
\[
\varphi(M)=MA.
\]
Exprimer la trace de $\varphi$ en fonction de celle de $A$.
Exercice
4699. On note $\tr$ la forme linéaire trace sur $E=\mathcal{M}_n(K)$.\\
Établir
\[
\ker(\tr)=\mathrm{Vect}\left\{[A;B]\mid A,B \in E\right\},
\]
où l’on note $[A;B]=AB-BA$.
Exercice
4700. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
Résoudre l’équation
\[
X+{}^tX=\tr(X)A
\]
d’inconnue $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice
4701.
- Soit $f$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant \[ \forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\quad f(AB)=f(BA). \] Montrer que $f$ est proportionnelle à la trace.\\
- Soit $g$ un endomorphisme de l’espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant \[ g(AB)=g(BA) \] pour toutes $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $g(I_n)=I_n$.\\ Montrer que $g$ conserve la trace.
Exercice
4702. Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ dont les coefficients sont définis par :
\[
a_{ij}=
\begin{cases}
1 & \text{si } j\leqslant i,\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Calculer $A^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.
Exercice
4703. Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice antisymétrique. \\
Montrer que les valeurs propres complexes de $A$ sont imaginaires pures.
Exercice
4704. Soient $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ telles que :
\[
AB=0.
\]
Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun.
Exercice
4705. Soit $M \in GL_2(\mathbb{C})$, de trace $T$ et déterminant $D$.
On définit $(p_n)$ par : \\
$p_{-1} = -1/D$, $p_0 = 0$, et $p_{n+1} = T p_n - D p_{n-1}$. \\
- Montrer que $M^n = p_n M - D p_{n-1} I_2$. \\
- Calculer $\det(M^n - I_2)$.
Exercice
4706. Soient $u,v\in P$.\\
On suppose qu’il existe $c>0$ et $\nu\in P$ tels que
\[
P_{i,j} \geq c\nu_j
\]
- Montrer que \[ \|uP-vP\|_1 \leq (1-c)\|u-v\|_1 \]
Exercice
4707.
- Existe-t-il des matrices $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ telles que $AB-BA=I_p$ ?\\
- Que se passe-t-il si l'on remplace $\mathbb{R}$ par un autre corps ?
Exercice
4708. Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(K)$ telles que :
\[
\forall X\in \mathcal{M}_n(K),\quad AXB=0.
\]
Montrer que $A=0$ ou $B=0$.
Exercice 4709. X ENS
\\ Soit $f$ une application non constante de $\mathcal{M}_n(K)$ dans $K$ telle que, pour toutes matrices $A,B$, $f(AB)=f(A)f(B)$. Montrer que $f(A)=0$ si et seulement si $A$ n’est pas inversible.
Exercice
4710. Soit\\
\[
A=\begin{pmatrix}
1&\cdots&\cdots&1\\
0&1&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&1
\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).
\]
- Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Majorer les coefficients de $A^k$.\\
- Calculer $A^{-1}$.\\
- Calculer $(A^{-1})^k$ pour $k \in \mathbb{N}$.
Exercice
4711. \\
Soit $A,B,C$ dans $\mathcal{M}_n(K)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe $X$ dans $\mathcal{M}_n(K)$ telle que $C = AXB$.
Exercice
4712. Soient $A \in M_{3,2}(\mathbb{R})$ et $B \in M_{2,3}(\mathbb{R})$ de rang $2$ vérifiant $(AB)^2=AB$.\\
Montrer que $BA=I_2$.
Exercice
4713. Soit $M$ une matrice carrée de taille $n$ à coefficients dans $K$, sous-corps de $\mathbb{C}$.\\
Montrer que si $\tr(M)=0$, il existe deux matrices $A$ et $B$ telles que
\[
M=AB-BA.
\]
Exercice
4714.
- Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d’un projecteur est-il égal à sa trace ?\\
- Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ vérifiant $A^q=I_n$.\\ Montrer que \[ \dim\ker(A-I_n)=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}\tr(A^k). \]
Exercice
4715. Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$ de cardinal fini $n$.\\
Montrer que
\[
\dim\left(\bigcap_{g \in G}\ker(g-\mathrm{Id}_E)\right)
=
\frac{1}{n}\sum_{g \in G}\tr(g).
\]
Exercice
4716. Soient $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $H$ une partie non vide et finie de $\mathrm{GL}_n(K)$ stable par multiplication.\\
- Soit $M \in H$. Montrer que l’application $k \in \mathbb{N}^* \mapsto M^k \in H$ n’est pas injective.\\ En déduire que $H$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(K)$.\\ Soient \[ q=|H| \quad \text{et} \quad P=\frac{1}{q}\sum_{M \in H}M. \]
- Montrer, si $M \in H$, que $MP=PM=P$.\\ En déduire que $P^2=P$.\\
- Trouver un supplémentaire, dans $\mathcal{M}_{n,1}(K)$, stable par tous les éléments de $H$, de \[ \bigcap_{M \in H}\ker(M-I_n). \]
- Montrer que \[ \sum_{M \in H}\tr(M) \in q\mathbb{N}. \] Que dire si cette somme est nulle ?
Exercice
4717.
- Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ tel que \[ \sum_{g \in G}\tr(g)=0. \] Montrer que \[ \sum_{g \in G}g=O_n. \]
- Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ stable par les éléments de $G$.\\ Montrer qu’il existe un supplémentaire de $V$ dans $\mathbb{R}^n$ stable par tous les éléments de $G$.
Exercice
4718. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n > 1$.\\
Montrer que $f \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$ n’est pas forcément un projecteur.\\
Montrer que $f \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$ et de trace $1$ est un projecteur.\\
Trouver une base de $\mathcal{L}(E)$ constituée de projecteurs.
Exercice
4719. Soient $A_1,\dots,A_k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant
\[
A_1+\cdots+A_k=I_n
\quad \mathrm{et} \quad
\forall i \in \{1,\dots,k\},\quad A_i^2=A_i.
\]
Montrer que
\[
\forall i \neq j,\quad A_iA_j=O_n.
\]
Exercice
4720. Soient $p$ un nombre premier, $n$ dans $\mathbb{N}^*$, et $A,B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$.\\
Montrer que
\[
\mathrm{tr}((A+B)^p)\equiv \mathrm{tr}(A^p)+\mathrm{tr}(B^p)\ [p].
\]
Exercice
4721. Soient $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ telles que :
\[
AB-BA=B.
\]
Montrer que $B$ est nilpotente.
Exercice
4722. Soit $A \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{C})$.\\
- Montrer que si $A$ n'est pas une homothétie alors il existe $x \in \mathfrak{M}_{n,1}(\mathbb{C})$ tel que la famille $(x, Ax)$ est libre.\\
- Supposons que $\mathrm{Tr}(A) = 0$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de diagonale nulle.
Exercice 4723. X ENS
\\ Soit $\varphi$ un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tel que si $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$, alors $\varphi(M) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. \\- Donner des exemples. \\
- Montrer que $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ si et seulement si $\varphi(M) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. \\
- Montrer que $\mathrm{rg}\; \varphi(M) \geqslant \mathrm{rg}\; M$. \\
- Montrer que $\varphi$ conserve le rang.
Exercice 4724. X ENS
\\ Décrire les sous-espaces vectoriels de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ formés de matrices de rang au plus $1$. Puis déterminer les automorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ qui conservent le rang.
Exercice
4725. Soient $A,B \in M_n(\mathbb{C})$ vérifiant $A^2B=A$ et $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(B)$.\\
Montrer que $B^2A=B$.
Exercice
4726.
- Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que toute combinaison linéaire de $A$ et $B$ soit nilpotente. Montrer que \[ \mathrm{tr}(A^kB)=0 \] pour tout $k\in\mathbb{N}$.
- Trouver deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que \[ \mathrm{tr}(A^kB)=0 \] pour tout $k\in\mathbb{N}$ et ne vérifiant pas l'hypothèse de la question précédente.
- Si $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, montrer que $M$ est nilpotente si et seulement si, pour tout $k\in\mathbb{N}^*$, \[ \mathrm{tr}(M^k)=0. \]