Calcul matriciel

Exercice 3759. \\
  1. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.\\
  2. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $AC = CA$. Déduire de la première question les implications suivantes :\\
    • $\mathrm{Tr}({}^tA\,A)=0 \Rightarrow A=0$.\\
    • $AB-BA={}^tC\,C \Rightarrow AB=BA$.\\
    • $AB-BA=\lambda I_n \Rightarrow AB=BA$.\\
  3. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables, montrer qu’elles ont la même trace.
Exercice 3760. Soit $n$ un entier non nul. Soient $i$, $j$, $k$ et $\ell$ quatre entiers de $\llbracket 1,n \rrbracket$. Calculer $E_{i,j} \times E_{k,\ell}$, où $(E_{i,j})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ désigne les matrices élémentaires.
Exercice 3761. On considère $(E_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et une matrice $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ à coefficients dans $\mathbb{K}$.\\
  1. Comment décrire les matrices $E_{r,s}A$ et $AE_{r,s}$ ?\\
  2. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour ajouter, à la $i$-ième ligne de $A$, $\lambda$ fois sa $j$-ième ligne (sans modifier les autres) ? Cette transformation est notée $L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j$.\\
  3. Si $i \neq j$, par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour échanger la ligne $i$ et la ligne $j$ ? Cette transformation est notée $L_i \leftrightarrow L_j$.
Exercice 3762. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Résoudre, en $X$, l’équation suivante :\\ \[ X=\mathrm{Tr}(X)A+B. \]
Exercice 3763. Soit $M=aI+bJ \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec\\ \[ J=\begin{pmatrix} 1&\cdots&1\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 1&\cdots&1 \end{pmatrix}. \]
  1. Calculer $M^{-1}$ lorsque $M$ est inversible.\\
  2. A quelle condition a-t-on $M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ?\\
  3. Soit\\ \[ A=\begin{pmatrix} a&b&b\\ b&a&b\\ b&b&a \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{K}). \] Calculer $A^n$ pour $n \geqslant 1$.
Exercice 3764. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avec $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que si $M$ est triangulaire supérieure à diagonale nulle alors $M^n=0$ (et en particulier $M$ est nilpotente).
Exercice 3765. Soient $n \in \N^*$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n,\mu_1,\ldots,\mu_n \in \K \setminus \{0\}$, $A=(a_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\K)$.\\ On note $B=(b_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\K)$ défini par $b_{ij}=\lambda_i a_{ij}\mu_j$.\\
  1. Montrer que, en notant $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, $E=\mathrm{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)$, on a :\\ \[ B=DAE. \]
  2. En déduire que $B$ est inversible si et seulement si $A$ est inversible, et que, dans ce cas, en notant $A^{-1}=(\alpha_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$, on a :\\ \[ B^{-1}=\Bigl(\mu_i^{-1}\alpha_{ij}\lambda_j^{-1}\Bigr)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
Exercice 3766. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.
Exercice 3767. Montrer que $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice 3768. Déterminer toutes les matrices $M$ diagonales d'ordre $3$ telles que \[ M^3+2M^2-M-2I = 0 \]
Exercice 3769. Soit $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$.\\
  1. Calculer les puissances $A^n$.\\
  2. Déterminer l’inverse de $A$.\\
  3. Trouver une matrice $B$ telle que $B^2=A$.
Exercice 3770. Soit $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que\\ \[ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\; AB = BA \iff \exists \lambda \in \mathbb{K},\; A = \lambda I_n. \]
Exercice 3771. Existe-t-il $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB-BA=I_n$ ?
Exercice 3772. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices $(M_s, M_a) \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que \[ \begin{cases} M = M_s + M_a \\ M_a \;\; est \;\; symétrique \\ M_s \;\; est \;\; antisymétrique \end{cases} \]

Exercice 3773. Matrices symétriques et antisymétriques

\\ Soient $A$ et $X$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que si $A$ est antisymétrique, alors sa diagonale est nulle. \\
  2. Montrer que la matrice ${}^t\!AA$ est symétrique. \\
  3. Montrer que si $X$ est symétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est symétrique. \\
  4. Montrer que si $X$ est antisymétrique, alors ${^{t}\!AX+XA}$ est antisymétrique.
Exercice 3774. Quel est le rang de $A=(\sin(i+j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\R)$
Exercice 3775. Calculer $A^n$ pour $A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\in M_3(\R)$ et $n\in\Z$
Exercice 3776. On dit qu'une matrice à termes réels est positive si et seulement si tous ses termes sont $> 0$.\\
  1. Montrer que la somme de deux matrices positives est positive et que le produit de deux matrices positives est positive.\\
  2. Soient $n \in \N^*$, $A\in M_n(\R)$ positive. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ et $X\in M_{n,1}(\R)$ positive telle que $A^kX=X$. Montrer qu'il existe $Y\in M_{n,1}(\R)$ positive telle que $AY=Y$
Exercice 3777. Soit $n\in\N^*$.\\ On note $A$ la matrice carrée réelle d'ordre $n+1$ dont le terme situé à la ligne $i$, colonne $j$ est le coefficient binomial $\binom{j}{i}$, où, par convention, ce coefficient est nul si $i > j$.\\
  1. Montrer que l'application\\ \[ f:\R_n[X]\to\R_n[X],\ P(X)\mapsto P(X+1) \] est un endomorphisme de l'espace vectoriel $\R_n[X]$, et préciser la matrice de $f$ dans la base canonique de $\R_n[X]$.\\
  2. En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$
Exercice 3778. On note $(\varphi_n)_{n\in\N}$ la suite de Fibonacci, définie par $\varphi_0=0$, $\varphi_1=1$ et :\\ \[ \forall n\in\N,\ \varphi_{n+2}=\varphi_{n+1}+\varphi_n. \] Soit $n\in\N-\{0,1\}$. Déterminer le rang de la matrice $A_n=(\varphi_{i+j})_{0 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_{n+1}(\R)$.
Exercice 3779. Soient $n \in \N^{*}$, $H \in M_{n}(K)$ tel que $\mathrm{rg}(H) \leqslant 1$.\\
  1. Montrer qu'il existe $(U,V) \in \big(M_{n,1}(K)\big)^{2}$ tel que : $H = U \, {}^{t}V$ et $\mathrm{tr}(H) = {}^{t}V U$.\\
  2. Montrer : $\forall A \in M_{n}(K)$, $HAH = \mathrm{tr}(AH)H$.
Exercice 3780. Soient $n \in \N - \{0,1\}$.\\ On considère la matrice $A_{n} \in M_{n}(\R)$ définie par\\ \[ A_{n}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 1 & 1 & \ddots & \vdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & 0 & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \] Déterminer le rang de $A_{n}$.
Exercice 3781. Soit\\ \[ A=\begin{pmatrix} 1&\cdots&\cdots&1\\ 0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). \]
  1. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Majorer les coefficients de $A^k$.\\
  2. Calculer $A^{-1}$.\\
  3. Calculer $(A^{-1})^k$ pour $k \in \mathbb{N}$.
Exercice 3782. Considérons la matrice \[ K= \begin{pmatrix} 1&3\\ 0&2 \end{pmatrix}. \] Calculer $K^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Exercice 3783. Soient $K$ un corps, $n \in \mathbb{N}^*$, $a_1,\ldots,a_n \in K$ et \[ D=\mathrm{diag}(a_1,\ldots,a_n) \] On pose : \[ \varphi:M_n(K)\to M_n(K),\quad \varphi(M)=DM-MD \]
  1. Déterminer le noyau et l’image de $\varphi$.\\
  2. Préciser ces espaces lorsque les $a_i$ sont deux à deux distincts.
Exercice 3784. Soit $n \geqslant 1$. Déterminer le centre de $M_n(\mathbb{R})$, c’est à dire l’ensemble des matrices $A \in M_n(\mathbb{R})$ telles que : \[ \forall M \in M_n(\mathbb{R}),\quad AM=MA \]
Exercice 3785.
  1. Soit $n \geqslant 2$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.\\
  2. Soit \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] Calculer $A^n$ pour $n \geqslant 2$.
Exercice 3786. \\
  1. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $x \in E$, la famille $(x,u(x))$ est liée. Montrer que $u$ est une homothétie.\\
  2. Soit $n \geqslant 1$ et $M \in M_n(K)$ de trace nulle. Montrer que $M$ est semblable à une matrice ayant des $0$ sur la diagonale.
Exercice 3787. Soit $a\in\R$ et, pour tout $n\in\N^*$, \[ A_n= \begin{pmatrix} 1 & -\frac{a}{n}\\ \frac{a}{n} & 1 \end{pmatrix}. \] Déterminer la limite de la suite $(A_n^n)_{n\in\N^*}$, commenter le résultat obtenu.
Exercice 3788. Soit $A\in \mathcal{S}_n^{++}(\R)$ telle qu'il existe $a\in[0,1[$ vérifiant \[ \forall X\in \mathcal{M}_{n,1}(\R),\quad X^{\top}AX\leqslant aX^{\top}X. \] Montrer que la série \[ \Sum_{k\geqslant 1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}A^k \] converge vers une matrice $S$ symétrique vérifiant \[ \exp(S)=I_n+A. \]
Exercice 3789. Soit $A\in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ avec $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. On note \[ \forall n\in\N^*,\quad B_n=\left(I_p+\frac{A}{n}\right)^n. \] Montrer que \[ B_n\longrightarrow \exp(A). \]
Exercice 3790. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Déterminer le centre de $M_n(\mathbb{K})$, c'est-à-dire \[ \{A\in M_n(\mathbb{K})\mid \forall M\in M_n(\mathbb{K}),\ AM=MA\}. \]
Exercice 3791. Soit $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$.\\ Résoudre l’équation $X+\mathrm{tr}(X)A=B$, d’inconnue $X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice 3792. Pour $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ fixée, démontrer l’équivalence des propriétés suivantes :\\
  1. $\mathrm{tr}(MAB)=\mathrm{tr}(MBA)$ pour tout $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$.\\
  2. Il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $M=kI_n$.
Exercice 3793. Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.\\ Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec $D$.
Exercice 3794. Soit la matrice \[ M= \begin{pmatrix} 0 & z & z^2\\ z^{-1} & 0 & z\\ z^{-2} & z^{-1} & 0 \end{pmatrix} \quad \text{avec } z \in \mathbb{C}^* \] Calculer $M^n$ pour tout entier naturel $n$.\\ Le résultat subsiste-t-il pour $n=-1$ ?
Exercice 3795. On note \[ D= \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 4 \end{pmatrix} \] Résoudre dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l’équation \[ M^3-2M=D \]
Exercice 3796. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $D$ la matrice diagonale de coefficients diagonaux $1,2,\hdots,n$. Déterminer toutes les matrices qui commutent avec $D$.
Exercice 3797. On considère la matrice \[ U= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
  1. Montrer que $(U,U^2)$ est une famille libre.\\
  2. Trouver $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$ tels que $U^3=aU^2+bU$.\\
  3. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3$, il existe $(\alpha_n,\beta_n)\in\mathbb{R}^2$ tel que \[ U^n=\alpha_nU^2+\beta_nU \]
  4. Exprimer $\alpha_{n+2}$ en fonction de $\alpha_{n+1}$ et $\alpha_n$.\\
  5. En déduire une expression de $\alpha_n$ en fonction de $n$.
Exercice 3798. Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients valent $1$. On note \[ \mathcal{F}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid AMA=0\} \] On note aussi \[ \mathcal{E}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid AMA=A\} \]
  1. Montrer que $\mathcal{F}$ est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?\\
  2. Pour quels réels $\lambda$ a-t-on $\lambda A \in \mathcal{E}$ ?\\
  3. Déterminer les éléments de $\mathcal{E}$.
Exercice 3799. Soit \[ T= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Calculer $T^n$ avec $n \in \mathbb{N}$ puis pour $n \in \mathbb{Z}$.