Suites et matrices
Exercice
3844. Soit
\[
A\in \mathrm{Gl}_n(\R)
\]
telle que
\[
A+A^{-1}=I_n.
\]
Exprimer
\[
A^k+A^{-k}
\]
pour tout
\[
k\in \N.
\]
Exercice
3845. Soient $n\in\N^*$, $A\in \mathcal{M}_n(\R)$ et $B\in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$. On suppose que
\[
A^p\longrightarrow 0.
\]
- Montrer que $I_n-A$ est inversible, exprimer son inverse à l'aide d'une somme.
- Soit $X_0\in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et, pour tout $k\in\N$, $X_{k+1}=AX_k+B$. Soient $(k,r)\in\N^2$, exprimer $X_{r+k}-X_r$ à l'aide de $X_1-X_0$, $I_n$, $(A-I_n)^{-1}$ et des puissances de $A$.
- Montrer que $(X_k)$ converge. Relier sa limite $L$ à l'équation \[ X=AX+B. \]
- On pose
\[
M=
\begin{pmatrix}
4 & -1 & -1 & 0\\
-1 & 4 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 4 & -1\\
0 & -1 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\]
et on se donne $B\in \mathcal{M}_{4,1}(\R)$.
- Montrer que l'équation \[ MX=B \] admet une unique solution $S$.
- On pose $D=4I_4$ et $A=-D^{-1}(M-D)$. Montrer que la suite $(X_k)$ définie par $X_0=0$ converge vers une limite que l'on note $L$. Donner un moyen d'obtenir des approximations de la solution $S$.
Exercice
3846. Soient $p\in\N^*$ et $A\in \mathcal{S}_p^{++}(\R)$. On définit la suite $(R_n)$ de matrices par
\[
R_0=I_p
\]
et
\[
\forall n\in\N,\quad R_{n+1}=\frac{1}{2}\left(R_n+AR_n^{-1}\right).
\]
- Justifier que cette suite est bien définie et que chaque $R_n$ est diagonalisable.
- Montrer que la suite $(R_n)$ converge dans $\mathcal{M}_p(\R)$ vers une matrice $R\in \mathcal{S}_p^{++}(\R)$ vérifiant \[ R^2=A. \]
Exercice
3847. On considère la matrice
$ A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $ \\
- Déterminer $A^n$ pour tout entier $n$. \\
- On considère trois suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ définies par leur premier terme : $x_0$, $y_0$, $z_0$ et la relation \\ \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \begin{cases} 2x_{n+1} = x_n + 3y_n \\ 2y_{n+1} = y_n + 2z_n \\ 2z_{n+1} = z_n \end{cases} \] Déterminer $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ en fonction de $n$ et de $x_0$, $y_0$, $z_0$. \\ Les suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ sont-elles convergentes ? \\