Suites et matrices

Exercice 4814. Soit \[ A\in \mathrm{Gl}_n(\R) \] telle que \[ A+A^{-1}=I_n. \] Exprimer \[ A^k+A^{-k} \] pour tout \[ k\in \N. \]
Exercice 4815. On considère la matrice $ A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $ \\
  1. Déterminer $A^n$ pour tout entier $n$. \\
  2. On considère trois suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ définies par leur premier terme : $x_0$, $y_0$, $z_0$ et la relation \\ \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \begin{cases} 2x_{n+1} = x_n + 3y_n \\ 2y_{n+1} = y_n + 2z_n \\ 2z_{n+1} = z_n \end{cases} \] Déterminer $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ en fonction de $n$ et de $x_0$, $y_0$, $z_0$. \\ Les suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ sont-elles convergentes ? \\
Exercice 4816. Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}$ et les matrices $A$ suivantes : \[ A=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{pmatrix} \\ B =\begin{pmatrix}a & b\\0 & a\end{pmatrix} \\ C =\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix} \]
Exercice 4817. Calculer $A^n$ pour \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] de deux manières différentes.
Exercice 4818. On pose \[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] puis $B=A-2I_3$.\\
  1. Calculer $B^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.\\
  2. En déduire $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exercice 4819.
  1. On considère la matrice \[ M= \begin{pmatrix} 0 & m_{1,2} & \cdots & m_{1,n}\\ 0 & 0 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & m_{n-1,n}\\ 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). \] Montrer, sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton, que $M$ est nilpotente.\\
  2. Soit \[ M= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}). \] Pour tout entier $p \geqslant 1$, calculer $M^p$.
Exercice 4820. Soit $A \in GL_n(\mathbb{R})$ vérifiant \[ A+A^{-1}=I_n. \] Pour $k \in \mathbb{N}$, calculer $A^k+A^{-k}$.
Exercice 4821. On considère la matrice \[ A=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}. \]
  1. Calculer $A^2-3A+2I_2$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse. \\
  2. Pour $n \geqslant 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$. \\
  3. En déduire l'expression de la matrice $A^n$.
Exercice 4822. Soit \[ A= \begin{pmatrix} 1 & \cdots & \cdots & 1\\ 0 & 1 & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_n(\mathbb{R}). \]
  1. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Majorer les coefficients de $A^k$.
  2. Calculer $A^{-1}$.
  3. Calculer $(A^{-1})^k$ pour $k \in \mathbb{N}$.
Exercice 4823. Soit $d \in \mathbb{N}^*$.\\ On pose $A$ la matrice triangulaire supérieure dans $\mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ n'admettant que des $1$ sur et au-dessus de la diagonale.\\
  1. Déterminer une matrice $N \in \mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ telle que : \[ A=\Sum_{k=0}^{d}N^k. \]
  2. En déduire pour tout $n \in \mathbb{N}$, la matrice $A^n$.\\
  3. Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
Exercice 4824. Soient $n\in\N^*$, $A\in \mathcal{M}_n(\R)$ et $B\in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$. On suppose que \[ A^p\longrightarrow 0. \]
  1. Montrer que $I_n-A$ est inversible, exprimer son inverse à l'aide d'une somme.
  2. Soit $X_0\in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et, pour tout $k\in\N$, $X_{k+1}=AX_k+B$. Soient $(k,r)\in\N^2$, exprimer $X_{r+k}-X_r$ à l'aide de $X_1-X_0$, $I_n$, $(A-I_n)^{-1}$ et des puissances de $A$.
  3. Montrer que $(X_k)$ converge. Relier sa limite $L$ à l'équation \[ X=AX+B. \]
  4. On pose \[ M= \begin{pmatrix} 4 & -1 & -1 & 0\\ -1 & 4 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 4 & -1\\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \] et on se donne $B\in \mathcal{M}_{4,1}(\R)$.
    1. Montrer que l'équation \[ MX=B \] admet une unique solution $S$.
    2. On pose $D=4I_4$ et $A=-D^{-1}(M-D)$. Montrer que la suite $(X_k)$ définie par $X_0=0$ converge vers une limite que l'on note $L$. Donner un moyen d'obtenir des approximations de la solution $S$.
Exercice 4825. Soient $p\in\N^*$ et $A\in \mathcal{S}_p^{++}(\R)$. On définit la suite $(R_n)$ de matrices par \[ R_0=I_p \] et \[ \forall n\in\N,\quad R_{n+1}=\frac{1}{2}\left(R_n+AR_n^{-1}\right). \]
  1. Justifier que cette suite est bien définie et que chaque $R_n$ est diagonalisable.
  2. Montrer que la suite $(R_n)$ converge dans $\mathcal{M}_p(\R)$ vers une matrice $R\in \mathcal{S}_p^{++}(\R)$ vérifiant \[ R^2=A. \]
Exercice 4826. Soit $M \in M_n(\mathbb{R})$ définie par \[ M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
  1. Donner le rang de $M$ et la dimension de son noyau.
  2. Déterminer $\ker M$ et $\mathrm{Im} M$.
  3. Calculer $M^n$.
Exercice 4827. Soit $0 \leqslant \theta_1 \leqslant \cdots \leqslant \theta_n < 2\pi$ et $a,b$ des réels positifs ou nuls de somme $1$. On définit $\theta_1^{(0)}=\theta_1,\dots,\theta_n^{(0)}=\theta_n$, puis $$ \theta_j^{(k+1)}=a\theta_j^{(k)}+b\theta_{j+1}^{(k)} \pmod{2\pi}, $$ où $\theta_{n+1}^{(k)}=\theta_1^{(k)}$.\\ Étudier la limite, lorsque $k$ tend vers $+\infty$, de $(\theta_j^{(k+1)}-\theta_j^{(k)})$.