Complexes

Exercice 657. d'après Bac 1970

On considère dans le corps des nombres complexes, l'équation $x^2+4x\cos{u}+2+4\cos{2u} = 0$ où $u$ désigne un réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. \\
  1. Pour quelles valeurs de $u$ les deux racines de cette équation sont-elles réelles ? \\
  2. Déterminer le module et l'argument de chaque racine dans le cas où $u = \ps{6}$.

Exercice 658. d'après Bac 1985

Soient $u$ et $v$ les suites définies sur $\N^*$ par $u_1=v_1=1$ et \[ u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k^2} \quad et \quad v_n = \Sum_{k=1}^{n-1} \Frac{1}{k(k+1)} \]
  1. Trouver deux réels $A$ et $B$ tels que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{1}{(n-1)n} = \Frac{A}{n-1}+\Frac{B}{n}$. \\ En déduire que pour tout $n\in \N^*$, $v_n= 2-\Frac{1}{n}$. \\
    1. Montrer que la suite $u$ est croissante. \\
    2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $u_n \leqslant v_n$. \\
    3. Montrer que la suite $u$ est majorée. \\
  3. On pose pour tout $t \in [0,\pi]$, \[ C_n(t) = \Sum_{k=1}^{n}\cos{kt} \quad et \quad S_n(t) = \Sum_{k=1}^{n}\sin{kt} \]
    1. Calculer $C_n(t)+iS_n(t)$. \\
    2. En déduire que si $t \in [0,\pi]$, $C_n(t) = \Frac{\sin{\frac{nt}{2}}\cos{\frac{n+1}{2}t}}{\sin{\frac{t}{2}}}$. et si $t=0$, alors $C_n(0)=n$. \\
    3. L'application $C_n$ de $[0,\pi]$ dans $\N$ est-elle continue sur $[0,\pi]$ ? \\

Exercice 659. D'après M.Ponton

On désigne par $A$ l'ensemble des nombres complexes de la forme $a+ib\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, ainsi \[ A = \{a+ib\sqrt{3}, (a,b) \in \Z^2 \} \]
  1. Justifier que $\Z \subset A$. \\
  2. Soit $a,b,c$ et $d$ des entiers relatifs. On considère les deux éléments $z = a+ib\sqrt{3}$ et $z' = c+id\sqrt{3}$ appartenant à $A$. \\ Montrer que $z=z'$ si et seulement si $a=c$ et $b=d$. \\
  3. Soit $z$ et $z'$ deux éléments de $A$. Montrer que $z+z'$, $z-z'$, $zz'$ et $\bar{z}$ appartiennent à $A$. \\
  4. Soit $z \in A$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $z^n \in A$. \\
  5. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse " pour tout élément non nul $z$ de $A$, le nombre complexe $\Frac{1}{z}$ appartient à $A$ ". \\
  6. On pose, pour tout $z \in A$, $N(z) = z\bar{z}$. \\
    1. Montrer que pour tout $z \in A$, $N(z) \in \N$. \\
    2. Montrer que, pour tout $(z,z') \in A^2$, $N(zz') = N(z)N(z')$. \\
    3. Soit $z \in A$. Montrer que pour tout $n \in \N$, $N(z^n) = N(z)^n$. \\
    1. Soit $z$ un élément de $A$ non nul. Montrer que $\Frac{1}{z}$ appartient à $A$ si et seulement si $N(z) = 1$. \\
    2. En déduire l'ensemble des éléments non nuls $z \in A$ tels que $\Frac{1}{z} \in A$. \\
  8. Soit $k \in \N^*$. On considère pour tout $n \in \N^*$, l'équation \[ (E_n) : x^2+3y^2 = k^n \] d'inconnue $(x,y) \in \Z^2$. \\
    1. En utilisant certaines des questions précédentes, montrer l'équivalence entre les deux propositions suivantes : \\
      • $(P_1)$ : "pour tout $n \in \N^*$, $(E_n)$ possède au moins une solution"; \\
      • $(P_2)$ : "$(E_1)$ possède au moins une solution". \\
    2. Les propositions $P_1$ et $P_2$ sont-elles équivalentes à la proposition suivante ? \\ $(P_3)$ : "il existe $n \in \N^*$ tel que $(E_n)$ possède au moins une solution".