Coefficients binomiaux

Exercice 1039. Calcul mental

\\ Déterminer mentalement la valeur de : \\
  • $\displaystyle \binom{150}{0}$ \\
  • $\displaystyle\binom{150}{1}$ \\
  • $\displaystyle\binom{150}{149}$ \\
  • $\displaystyle\binom{150}{150}$

Exercice 1040. Calcul sans calculatrice

\\ Calculer, sans calculatrice les nombres $\displaystyle\binom{25}{23}$ et $\displaystyle\binom{4}{2}$.

Exercice 1041. Calcul sans calculatrice

\\ Sans calculatrice, calculer les nombres $A = \Frac{\displaystyle\binom{7}{5}}{\displaystyle\binom{9}{6}}$ et $B = \Frac{\displaystyle\binom{5}{3}\times\binom{6}{4}}{\displaystyle\binom{9}{3}}$.

Exercice 1042. Utilisation des formules

\\
  1. On donne $\displaystyle \binom{12}{5} = 792$. En déduire $\displaystyle \binom{12}{7}$. \\
  2. On donne $\displaystyle \binom{10}{3} = 120$ et $\displaystyle \binom{10}{4} = 210$. En déduire $\displaystyle \binom{11}{4}$.
Exercice 1043.
  1. Simplifier l'écriture $\Frac{(n+5)!}{(n+7)!}$. \\
  2. Ecrire ce nombre à l'aide de factorielles $A = \Frac{9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$. \\
  3. Calculer a la main $\displaystyle \binom{5}{3}$. \\
  4. On donne $\displaystyle \binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35$. \\ Calculer $\displaystyle \binom{8}{4}$. \\

Exercice 1044. Petite formule

\\ Montrer que pour tout $n\geqslant 2$ et $1 \leqslant k \leqslant n$, \[ n \times \displaystyle \binom{n-1}{k-1} = k \times \binom n k\]
Exercice 1045.
  1. Soit $n \in \N$. Simplifier les nombres suivants : \\
    1. $(n+1)\times n!$. \\
    2. $\Frac{(n+2)!}{(n+1)(n+2)}$. \\
    3. $\Frac{n! \times (n+2)!}{(n!)^2}$. \\
    4. $\Frac{(n+1)!}{n!}-\Frac{n!}{(n-1)!}$ pour $n \geqslant 1$. \\
    5. $\Frac{(2(n+1))!}{(2n+1)!}$. \\
  2. Soient $n$ et $k$ deux entiers tels que $1 \leqslant k \leqslant n-1$. \\ Montrer la formule suivante \[ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} \]
Exercice 1046. Soit deux entiers $n$ et $q$ tels que $n \geqslant q$. \\ En raisonnant par récurrence sur $n$, établir que pour tout entier naturel $n \geqslant q$, $\Sum_{k=q}^{n} \binom k q = \binom{n+1}{q+1}$.