Sous-espaces vectoriels

Exercice 3642. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?\\
  1. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ bornée}\}$\\
  2. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ monotone}\}$\\
  3. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ convergente}\}$\\
  4. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ arithmétique}\}$
Exercice 3643. Si $A$ et $B$ sont deux parties d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, comparer $\mathrm{Vect}(A\cap B)$ et $\mathrm{Vect}(A)\cap \mathrm{Vect}(B)$.
Exercice 3644. Soit $\omega\in\mathbb{C}$.\\ On note \[ \omega\mathbb{R}=\{\omega x\mid x\in\mathbb{R}\}. \] Montrer que $\omega\mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\ À quelle condition $\omega\mathbb{R}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{C}$-espace vectoriel ?
Exercice 3645. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$ ?
  1. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x \le y\}$
  2. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy=0\}$
  3. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=y\}$
  4. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=1\}$
  5. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2-y^2=0\}$
  6. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=0\}$
Exercice 3646. Soient \[ F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y-z=0\} \] et \[ G=\{(a-b,a+b,a-3b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}. \]
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$.\\
  2. Déterminer $F\cap G$.
Exercice 3647. Soit \[ F=\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid \forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+2}=nu_{n+1}+u_n\}. \] Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
Exercice 3648. À quelle condition simple le sous-espace affine \[ V=\vec{a}+F \] est-il un sous-espace vectoriel ?
Exercice 3649. Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels sur $\R$ :\\ $F_1=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+2y+z=1\}$\\ $F_2=\{u\in\R^\N\mid u\; \mathrm{est}\; \mathrm{monotone}\}$\\ $F_3=\{P(X)\in\R[X]\mid P(X+2)=XP'(X-4)\}$\\ $F_4=\{f\in\mathcal{L}(\R^3)\mid f^3-3f=0\}$\\ $F_5=\{f:x\mapsto a\cos(x+\psi)\in\R^\R\;;\;(a,\psi)\in\R^2\}$\\ $F_6=\{\mathrm{difference}\; \mathrm{de}\; \mathrm{deux}\; \mathrm{fonctions}\; \mathrm{croissantes}\; \mathrm{sur}\; \R\}$\\ $F_7=\{\mathrm{suites}\; \mathrm{arithmetiques}\}$\\ $F_8=\{\mathrm{suites}\; \mathrm{geometriques}\; \mathrm{de}\; \mathrm{raison}\; 3\}$
Exercice 3650. Les parties de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{est\; monotone}\}$\\
  2. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{s'annule\; en}\; 0\}$\\
  3. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{s'annule}\}$\\
  4. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{est\; impaire}\}$
Exercice 3651. Montrer que les parties de $\mathcal{F}([a;b],\mathbb{R})$ suivantes sont des sous-espaces vectoriels :\\
  1. $F=\{f\in\mathcal{C}^1([a;b],\mathbb{R})\mid f'(a)=f'(b)\}$\\
  2. $G=\{f\in\mathcal{C}^0([a;b],\mathbb{R})\mid \integrale{a}{b}{f(t)}{t}=0\}$
Exercice 3652. Soit $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $\mathcal{C}$ l’ensemble des fonctions de $E$ croissantes et \[ \Delta=\{f-g\mid f,g\in\mathcal{C}\}. \] Montrer que $\Delta$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 3653. Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel des fonctions de $\R$ dans $\R$, lesquels sont des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. Le sous-ensemble des fonctions positives.\\
  2. Le sous-ensemble des fonctions s’annulant en $1$.\\
  3. Le sous-ensemble des fonctions tendant vers $+\infty$ en $+\infty$.\\
  4. Le sous-ensemble des fonctions admettant une limite finie en $+\infty$.\\
  5. Le sous-ensemble des fonctions périodiques dont $T$ est une période.\\
  6. Le sous-ensemble de toutes les fonctions périodiques (quelle que soit la période).\\
  7. Le sous-ensemble des fonctions de classe $C^n$, mais pas $C^{n+1}$.
Exercice 3654. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev, $A,B$ deux $\mathrm{sev}$ de $E$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :\\
  1. $A\cup B$ est un $\mathrm{sev}$ de $E$.\\
  2. $A\subset B$ ou $B\subset A$.
Exercice 3655. On note $A$ l’ensemble des suites arithmétiques et $B$ l’ensemble des suites monotones. Les ensembles $A$ et $B$ sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?
Exercice 3656. Soit $\omega\in\mathbb{C}$.\\ On note \[ \omega\mathbb{R}=\{\omega x\mid x\in\mathbb{R}\}. \] Montrer que $\omega\mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\ À quelle condition $\omega\mathbb{R}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{C}$-espace vectoriel ?
Exercice 3657. Soient $u_1,\ldots,u_n$ des vecteurs d’un $K$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer que \[ F=\{\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_nu_n\mid \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in K\} \] est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteurs $u_1,\ldots,u_n$.
Exercice 3658. Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.
Exercice 3659. À quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel ?
Exercice 3660. Pour $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, on note :\\ $E_{\mathbb{K}}=\{(x,y,z)\in \mathbb{K}^3\;;\;x^2+2y^2+z^2+2xy+2yz=0\}$.\\ Est-ce que $E$ est un $\mathbb{K}$-ev ?
Exercice 3661. \\
  1. Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille non vide de sous-espaces vectoriels d’un $\K$-ev $E$.\\ On suppose que pour tout $(i,j)\in I^2$ il existe $k\in I$ tel que $F_i\cup F_j\subset F_k$.\\ Démontrer que $\bigcup_{i\in I}F_i$ est un sous-espace de $E$.\\
  2. Étudier la réciproque.
Exercice 3662. Montrer que l'ensemble des polynômes de degrés $n$, noté $\R_n[X]$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des polynômes $\R[X]$.
Exercice 3663. Soit $E = \mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F = \{f \in E / f \;\; bornée\}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 3664. Soit $F$ l'ensemble des matrices symétriques, définit par $F = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R) / ^{t}M = M \}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$, $\mathcal{M}_n(\R)$.
Exercice 3665. On pose $E = \{(x,y,z) \in \R^3 \; / \; x+3y-2z=0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un sous espace vectoriel de $\R^3$.
Exercice 3666. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\R[X]$ ? \\
  1. $F = \{P(X) \in \R[X] \; / \; \deg(P) = 3 \}$. \\
  2. $G = \{P(X)\in \R[X] \; / \; P'(3) = 0 \}$.
Exercice 3667. L’ensemble des polynômes $P$ de $\R[X]$ tels que $0$ et $1$ sont des racines est-il un sous-espace vectoriel de $\R[X]$ ?\\ Même question pour l’ensemble des polynômes $P$ de $\R[X]$ tels que $0$ ou $1$ est une racine.
Exercice 3668. Soit $E$ l'espace vectoriel des applications de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F$ l'ensemble des applications affines et $G$ l'ensemble des applications vérifiant $f(1)=f(2)=0$. \\
  1. Vérifier que $F$ et $G$ sont des sous-espace vectoriels de $E$. \\
  2. Déterminer $F \cap G$.