Sous-espaces vectoriels

Exercice 1191. Montrer que l'ensemble des polynômes de degrés $n$, noté $\R_n[X]$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des polynômes $\R[X]$.
Exercice 1192. Soit $F$ l'ensemble des matrices symétriques, définit par $F = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R) / ^{t}M = M \}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$, $\mathcal{M}_n(\R)$.
Exercice 1193. Soit $E = \mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F = \{f \in E / f \;\; bornée\}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 1194. On pose $E = \{(x,y,z) \in \R^3 \; / \; x+3y-2z=0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un sous espace vectoriel de $\R^3$.
Exercice 1195. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\R[X]$ ? \\
  1. $F = \{P(X) \in \R[X] \; / \; \deg(P) = 3 \}$. \\
  2. $G = \{P(X)\in \R[X] \; / \; P'(3) = 0 \}$.
Exercice 1196. Soit $E$ l'espace vectoriel des applications de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F$ l'ensemble des applications affines et $G$ l'ensemble des applications vérifiant $f(1)=f(2)=0$. \\
  1. Vérifier que $F$ et $G$ sont des sous-espace vectoriels de $E$. \\
  2. Déterminer $F \cap G$.
Exercice 1197. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\R^2$ ? \\
  1. $\{(x,y) \in \R^2 \; / \; x \leqslant y \}$ \\
  2. $\{(x,y) \in \R^2 \; / \; xy = 0 \}$ \\
  3. $\{(x,y) \in \R^2 \; / \; x = y \}$ \\
  4. $\{(x,y) \in \R^2 \; / \; x + y = 1 \}$ \\
  5. $\{(x,y) \in \R^2 \; / \; x^2 - y^2 = 0 \}$ \\
  6. $\{(x,y) \in \R^2 \; / \; x^2 + y^2 = 0 \}$
Exercice 1198. On considère les deux ensembles suivants : $F = \{(x,y,z) \in \R^3 \; / \; x + y - z = 0\}$ et $G = \{(a - b, a + b, a - 3b)\,,\; (a,b) \in \R^2\}$. \\
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$. \\
  2. Déterminer $F \cap G$. Est-ce un sous-espace vectoriel de $\R^3$ ?
Exercice 1199. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\R^{\N}$ ? \\
  1. $\{(u_n) \in \R^{\N} \; / \; (u_n) \;bornée\}$ \\
  2. $\{(u_n) \in \R^{\N} \; / \; (u_n) \;monotone\}$ \\
  3. $\{(u_n) \in \R^{\N} \; / \; (u_n) \;convergente\}$ \\
  4. $\{(u_n) \in \R^{\N} \; / \; (u_n) \;arithmétique\}$
Exercice 1200. Montrer que $F = \{(u_n) \in \R^{\N} \; / \; \forall n \in \N \quad u_{n+2} = n u_{n+1} + u_n\}$ est un sous-espace vectoriel de $\R^{\N}$.
Exercice 1201. On considère $E = \mathcal{F}(\R, \R)$. On note $C$ l’ensemble des fonctions de $\R$ croissantes. On pose \[ \Delta = \{f - g \; / \; (f,g) \in C^2\}. \] Montrer que $\Delta$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 1202. Démontrer que l’ensemble $G$ des polynômes à coefficients réels qui sont divisibles par $X^2 + 1$ est un sous-espace vectoriel de $\R[X]$.
Exercice 1203.
  1. Soit $A \in \mathcal{M}_3(\R)$. Démontrer que l’ensemble $F$ des matrices $M$ carrées d’ordre $3$ qui commutent avec $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_3(\R)$. \\
  2. Démontrer que l’ensemble $G$ des matrices $M$ symétriques d’ordre $3$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_3(\R)$. \\
  3. L’ensemble $H$ des matrices inversibles est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_3(\R)$ ?
Exercice 1204. Dans l’espace vectoriel $\mathcal{F}(\R, \R)$, les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels : \\
  1. Les fonctions continues. \\
  2. Les fonctions bornées. \\
  3. Les fonctions paires. \\
  4. Les fonctions impaires. \\
  5. Les fonctions croissantes. \\
  6. Les fonctions positives. \\
  7. Les fonctions qui vérifient $f(a) = b$.
Exercice 1205. Soit $F = \{ y \in \mathcal{C}^1(\R,\R) \; | \; \forall x \in \R, \; y''(x) + x y'(x) - x^2 y(x) = 0 \}$.\\ Montrer que $F$ est un espace vectoriel.