Sous-espaces vectoriels

Exercice 4884. Si $A$ et $B$ sont deux parties d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, comparer $\mathrm{Vect}(A\cap B)$ et $\mathrm{Vect}(A)\cap \mathrm{Vect}(B)$.
Exercice 4885. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^2$ ? \\
  1. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x \le y\}$ \\
  2. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy=0\}$ \\
  3. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=y\}$ \\
  4. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=1\}$ \\
  5. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2-y^2=0\}$ \\
  6. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=0\}$
Exercice 4886. Les parties de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{est\; monotone}\}$\\
  2. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{s'annule\; en}\; 0\}$\\
  3. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{s'annule}\}$\\
  4. $\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f \;\mathrm{est\; impaire}\}$
Exercice 4887. Montrer que les parties de $\mathcal{F}([a;b],\mathbb{R})$ suivantes sont des sous-espaces vectoriels :\\
  1. $F=\{f\in\mathcal{C}^1([a;b],\mathbb{R})\mid f'(a)=f'(b)\}$\\
  2. $G=\{f\in\mathcal{C}^0([a;b],\mathbb{R})\mid \integrale{a}{b}{f(t)}{t}=0\}$
Exercice 4888. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev, $A,B$ deux $\mathrm{sev}$ de $E$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :\\
  1. $A\cup B$ est un $\mathrm{sev}$ de $E$.\\
  2. $A\subset B$ ou $B\subset A$.
Exercice 4889. Soient $u_1,\ldots,u_n$ des vecteurs d’un $K$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer que \[ F=\{\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_nu_n\mid \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in K\} \] est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteurs $u_1,\ldots,u_n$.
Exercice 4890. Montrer que l'ensemble des polynômes de degrés $n$, noté $\R_n[X]$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des polynômes $\R[X]$.
Exercice 4891. Soit $E = \mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F = \{f \in E / f \;\; bornée\}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 4892. Soit $F$ l'ensemble des matrices symétriques, définit par $F = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R) / ^{t}M = M \}$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$, $\mathcal{M}_n(\R)$.
Exercice 4893. On pose $E = \{(x,y,z) \in \R^3 \; / \; x+3y-2z=0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un sous espace vectoriel de $\R^3$.
Exercice 4894. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\R[X]$ ? \\
  1. $F = \{P(X) \in \R[X] \; / \; \deg(P) = 3 \}$. \\
  2. $G = \{P(X)\in \R[X] \; / \; P'(3) = 0 \}$.
Exercice 4895. L’ensemble des polynômes $P$ de $\R[X]$ tels que $0$ et $1$ sont des racines est-il un sous-espace vectoriel de $\R[X]$ ?\\ Même question pour l’ensemble des polynômes $P$ de $\R[X]$ tels que $0$ ou $1$ est une racine.
Exercice 4896. Soit $E$ l'espace vectoriel des applications de $\R$ dans $\R$. \\ Soit $F$ l'ensemble des applications affines et $G$ l'ensemble des applications vérifiant $f(1)=f(2)=0$. \\
  1. Vérifier que $F$ et $G$ sont des sous-espace vectoriels de $E$. \\
  2. Déterminer $F \cap G$.
Exercice 4897. Soit $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $a$ un réel non nul. \\ On appelle $F$ l'ensemble des suites réelles telles que, pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}=au_n$. \\ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et justifier que c'est une droite vectorielle.
Exercice 4898. Justifier que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-y=z \; \mathrm{et} \; x+2y=-z\}$ est un espace vectoriel.
Exercice 4899. Pour les $4$ ensembles $F$ suivants, discuter s’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  1. $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y+z\}$ et $E=\mathbb{R}^3$.\\
  2. $F=\{P\in\mathbb{R}[X]\mid P'(X)=X\}$ et $E=\mathbb{R}[X]$.\\
  3. $F=\{M\in M_n(\mathbb{R})\mid M-2{}^tM=0\}$ et $E=M_n(\mathbb{R})$.\\
  4. $F=\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\mid u_0=0\}$ et $E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
Exercice 4900. Montrer que $F=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\mid x_1=x_2=x_3\}$ est un sous-espace vectoriel.
Exercice 4901. Montrer que l’ensemble des fonctions dérivables telles que $f''-2f'+f=0$ est un espace vectoriel.
Exercice 4902. L’ensemble $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\mid (u_n^2) \; \mathrm{est \; constante}\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ? Justifier.
Exercice 4903. Déterminer si les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de $M_2(\mathbb{R})$.\\
  1. $E_1=\left\{ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})\mid ad-bc=1 \right\}$.\\
  2. $E_2=\left\{ \begin{pmatrix} x_1&x_2\\ x_3&x_4 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})\mid x_1+x_2=x_4 \right\}$.\\
  3. $E_3=\{A\in M_2(\mathbb{R})\mid {}^tA=A\}$.
Exercice 4904. On considère les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ \[ u=(1,1,1)\quad \mathrm{et}\quad v=(1,0,-1). \] Montrer \[ \mathrm{Vect}(u,v)=\{(2\alpha,\alpha+\beta,2\beta)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}. \]
Exercice 4905. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?\\
  1. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ bornée}\}$\\
  2. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ monotone}\}$\\
  3. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ convergente}\}$\\
  4. $\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid (u_n) \; \mathrm{ arithmétique}\}$
Exercice 4906. Soit $\omega\in\mathbb{C}$.\\ On note \[ \omega\mathbb{R}=\{\omega x\mid x\in\mathbb{R}\}. \] Montrer que $\omega\mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\ À quelle condition $\omega\mathbb{R}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{C}$-espace vectoriel ?
Exercice 4907. Soient \[ F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y-z=0\} \] et \[ G=\{(a-b,a+b,a-3b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}. \]
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$.\\
  2. Déterminer $F\cap G$.
Exercice 4908. Soit \[ F=\{(u_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid \forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+2}=nu_{n+1}+u_n\}. \] Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
Exercice 4909. Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels sur $\R$ :\\ $F_1=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+2y+z=1\}$\\ $F_2=\{u\in\R^\N\mid u\; \mathrm{est}\; \mathrm{monotone}\}$\\ $F_3=\{P(X)\in\R[X]\mid P(X+2)=XP'(X-4)\}$\\ $F_4=\{f\in\mathcal{L}(\R^3)\mid f^3-3f=0\}$\\ $F_5=\{f:x\mapsto a\cos(x+\psi)\in\R^\R\;;\;(a,\psi)\in\R^2\}$\\ $F_6=\{\mathrm{difference}\; \mathrm{de}\; \mathrm{deux}\; \mathrm{fonctions}\; \mathrm{croissantes}\; \mathrm{sur}\; \R\}$\\ $F_7=\{\mathrm{suites}\; \mathrm{arithmetiques}\}$\\ $F_8=\{\mathrm{suites}\; \mathrm{geometriques}\; \mathrm{de}\; \mathrm{raison}\; 3\}$
Exercice 4910. Soit $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $\mathcal{C}$ l’ensemble des fonctions de $E$ croissantes et \[ \Delta=\{f-g\mid f,g\in\mathcal{C}\}. \] Montrer que $\Delta$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 4911. Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel des fonctions de $\R$ dans $\R$, lesquels sont des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. Le sous-ensemble des fonctions positives.\\
  2. Le sous-ensemble des fonctions s’annulant en $1$.\\
  3. Le sous-ensemble des fonctions tendant vers $+\infty$ en $+\infty$.\\
  4. Le sous-ensemble des fonctions admettant une limite finie en $+\infty$.\\
  5. Le sous-ensemble des fonctions périodiques dont $T$ est une période.\\
  6. Le sous-ensemble de toutes les fonctions périodiques (quelle que soit la période).\\
  7. Le sous-ensemble des fonctions de classe $C^n$, mais pas $C^{n+1}$.
Exercice 4912. On note $A$ l’ensemble des suites arithmétiques et $B$ l’ensemble des suites monotones. Les ensembles $A$ et $B$ sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ?
Exercice 4913. Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.
Exercice 4914. Soient les sous-ensembles suivants de $E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. \\
  1. Déterminer si $A=\{u\in E \mid u \; \mathrm{est \; bornée}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  2. Déterminer si $B=\{u\in E \mid u \; \mathrm{est \; monotone}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  3. Déterminer si $C=\{(u_n)\in E \mid \forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+2}=u_n\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  4. Déterminer si $D=\{(u_n)\in E \mid \forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}\in\{u_n,-u_n\}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  5. Déterminer si $D'=\{u\in E \mid u \; \mathrm{est \; somme \; d'une \; suite \; croissante \; et \; d'une \; suite \; décroissante}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 4915. Soit $E=\mathbb{R}^4$.\\
  1. Montrer que, parmi les ensembles suivants, seul $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
    1. $F=\{(x,y,z,t)\in E\mid x+z=y+t\}$.\\
    2. $G=\{(x,y,z,t)\in E\mid x\neq 3\}$.\\
    3. $H=\{(x,y,z,t)\in E\mid xz=yt\}$.\\
  2. Soit $E=\mathbb{R}[X]$. Parmi les ensembles suivants, un seul n’est pas un sous-espace vectoriel de $E$. Lequel et pourquoi ? Justifier que les deux autres sont bien des sous-espaces vectoriels de $E$.\\
    1. $F=\{P\in\mathbb{R}[X]\mid P(0)=1\}$.\\
    2. $G=\{P\in\mathbb{R}[X]\mid P+P'=0\}$.\\
    3. $H=\{P\in\mathbb{R}[X]\mid X^2 \; \mathrm{divise} \; P\}$.\\
  3. Soit $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Soit $F$ le sous-ensemble de $E$ des fonctions croissantes sur $\mathbb{R}$. $F$ est-il un sous-espace vectoriel de $E$ ?\\
  4. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des espaces vectoriels ?\\
    • Les suites réelles convergentes.\\
    • Les suites réelles convergentes vers un même $\ell$.\\
    • Les fonctions réelles définies sur $\mathbb{R}$ telles que $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.\\
    • Les fonctions réelles définies sur $\mathbb{R}$ telles que $\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.\\
    • L’ensemble des suites majorées par $1$.\\
    • L’ensemble des suites majorées.\\
    • L’ensemble des suites géométriques.\\
    • L’ensemble des suites arithmétiques.\\
    • $F=\{f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(1)=0\}$.\\
    • $F=\{f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(0)=2\}$.\\
    • L’ensemble des matrices inversibles de taille $n$.
Exercice 4916. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. $\{(x,y)\in\mathbb{R}_+^2\mid x=y\}$.\\
  2. $\{(x,2x,3x)\in\mathbb{R}^3\mid x\in\mathbb{R}\}$.\\
  3. $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=y \; \mathrm{et} \; 3y-2z=0\}$.\\
  4. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^3+x+y^2=0\}$.\\
  5. $\{P\in\mathbb{R}[X]\mid \deg(P)\geqslant 2\}$.\\
  6. $\{P\in\mathbb{R}[X]\mid P(X^2)=P'+X^4P\}$.\\
  7. $\{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(0)+f(1)=f'(0)\}$.\\
  8. L’ensemble des fonctions $1$-périodiques.\\
  9. L’ensemble des fonctions croissantes.\\
  10. L’ensemble des fonctions monotones.\\
  11. L’ensemble des fonctions qui sont la somme d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante.\\
  12. L’ensemble des fonctions majorées.
Exercice 4917. Étudier si les ensembles suivants sont des espaces vectoriels pour leurs lois usuelles.\\
  1. L’ensemble des polynômes ne comportant que des puissances paires de $X$.\\
  2. L’ensemble des suites monotones à valeurs réelles.\\
  3. L’ensemble des fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.\\
  4. L’ensemble des fractions rationnelles n’admettant pas $0$ pour pôle.
Exercice 4918. Soit $E$ l’espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Dire dans les cas suivants si la partie $V$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  1. $V$ est l’ensemble des fonctions bornées.\\
  2. $V$ est l’ensemble des fonctions majorées.\\
  3. $V$ est l’ensemble des fonctions paires.\\
  4. $V$ est l’ensemble des fonctions paires ou impaires.
Exercice 4919. Pour $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, on note :\\ $E_{\mathbb{K}}=\{(x,y,z)\in \mathbb{K}^3\;;\;x^2+2y^2+z^2+2xy+2yz=0\}$.\\ Est-ce que $E$ est un $\mathbb{K}$-ev ?
Exercice 4920. \\
  1. Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille non vide de sous-espaces vectoriels d’un $\K$-ev $E$.\\ On suppose que pour tout $(i,j)\in I^2$ il existe $k\in I$ tel que $F_i\cup F_j\subset F_k$.\\ Démontrer que $\bigcup_{i\in I}F_i$ est un sous-espace de $E$.\\
  2. Étudier la réciproque.
Exercice 4921. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.
Exercice 4922. Soit $E=\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. On note $f_1(x)=1$ et $f_2(x)=x$ pour tout $x\in[0,1]$.\\ On pose \[ I=\inf\left\{\integrale{0}{1}{(x^2-ax-b)^2}{x}\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\right\}. \] On pose enfin \[ F=\Vect(f_1,f_2) \] et \[ G=\left\{g\in E\mid \integrale{0}{1}{g(x)}{x}=\integrale{0}{1}{xg(x)}{x}=0\right\}. \]
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. On précisera une base de $F$.\\
  2. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$.\\
  3. Justifier l’existence de deux réels à déterminer $a_0$ et $b_0$ et d’une fonction $g\in G$ tels que, pour tout $x\in[0,1]$, $x^2=a_0x+b_0+g(x)$. Dans la suite, on notera $f(x)=a_0x+b_0$.\\
  4. Montrer que pour tout $a,b\in\mathbb{R}$, \[ \integrale{0}{1}{(x^2-ax-b)^2}{x} = \integrale{0}{1}{(f(x)-ax-b)^2}{x} + \integrale{0}{1}{g(x)^2}{x}. \]
  5. Montrer que \[ I=\integrale{0}{1}{g(x)^2}{x}. \]
  6. Conclure sur $I$.