Sommes de s.e.v

Exercice 4992. On pose $F = \{P \in \R_3[X], P'(1)=0\}$ et $G = \mathrm{Vect}(X^3+2)$. \\ On admet que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\R_3[X]$. \\ Montrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.
Exercice 4993. Soient $E$ un $K$-ev, $A,B$ des $\mathrm{sev}$ de $E$, $C$ un supplémentaire de $A\cap B$ dans $B$, c’est-à-dire un $\mathrm{sev}$ de $E$ tel que : $(A\cap B)\oplus C=B$.\\ Montrer que $A$ et $C$ sont supplémentaires dans $A+B$.
Exercice 4994. Soient $E$ un $K$-ev, $F,G,H$ des $\mathrm{sev}$ de $E$. On suppose :\\ $F\cap G \subset F\cap H,\quad F+G \subset F+H,\quad H\subset G$.\\ Montrer : $H=G$.
Exercice 4995. Soit $E$ un $\K$-ev, $A$, $B$ et $C$ des sev de $E$. Montrer que :\\
  1. $A\cap B=A+B\Longrightarrow A=B$\\
  2. $(A\cap B)+(A\cap C)\subset A\cap(B+C)$\\
  3. $A+(B\cap C)\subset (A+B)\cap(A+C)$\\
  4. $A\subset B\Longrightarrow A+(B\cap C)=(A+B)\cap(A+C)$\\
  5. $(A\cap B)+(B\cap C)+(C\cap A)\subset (A+B)\cap(B+C)\cap(C+A)$
Exercice 4996. Soit $S\subset\R$ telle que $-S=S$, c’est à dire que pour tout $x\in S$, $-x$ est encore élément de $S$.\\ Soit :\\ \[ P=\{f\in\R^S,\ \forall x\in S,\ f(-x)=f(x)\},\qquad I=\{f\in\R^S,\ \forall x\in S,\ f(-x)=-f(x)\}. \] Montrer que $P$ et $I$ sont des sev supplémentaires dans $\R^S$.
Exercice 4997. Montrer que $F=\{f\in\R^\R\mid f(1)=0\}$ et $G=\{f\in\R^\R\mid \exists a\in\R,\ \forall x\in\R,\ f(x)=ax\}$.\\ Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans $\R^\R$.
Exercice 4998. Soit $n$ un entier naturel. Soit $P\in\R[X]$ de degré $n+1$. On note $P\cdot\R[X]$ l’ensemble des polynômes divisibles par $P$.\\
  1. Montrer que $P\cdot\R[X]$ est un sous-espace vectoriel de $\R[X]$.\\
  2. Montrer que $\R_n[X]$ et $P\cdot\R[X]$ sont supplémentaires dans $\R[X]$.
Exercice 4999. Soient $E$ un $\K$-ev, $A,B,C$ trois sev de $E$ tels que $A\subset C$ et $A$ et $B$ sont supplémentaires dans $E$.\\ Montrer que $A$ et $B\cap C$ sont supplémentaires dans $C$.
Exercice 5000. Comparer $\mathrm{Vect}(A\cap B)$ et $\mathrm{Vect}(A)\cap \mathrm{Vect}(B)$.
Exercice 5001. Soient $F$, $G$ et $H$ des sous-espaces vectoriels d’un $K$-espace vectoriel $E$.\\ Comparer :\\
  1. $F\cap(G+H)$ et $(F\cap G)+(F\cap H)$\\
  2. $F+(G\cap H)$ et $(F+G)\cap(F+H)$
Exercice 5002. Soient $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ deux sous-espaces affines de $E$.\\
  1. Montrer que $\mathcal{A}\cap\mathcal{B}$ est soit vide, soit un sous-espace affine de $E$.\\
  2. On suppose que \[ \vec{\mathcal{A}}\oplus\vec{\mathcal{B}}=E. \] Montrer que $\mathcal{A}\cap\mathcal{B}$ est un singleton.
Exercice 5003. Soient $F_1,F_2,\ldots,F_p$ des sous-espaces vectoriels. Montrer que la somme \[ F_1+F_2+\cdots+F_p \] est directe si, et seulement si, pour tout $j \in [|2,p|]$, \[ F_j \cap (F_1+\cdots+F_{j-1})=\{0\}. \]
Exercice 5004. Pour $d\in\mathbb{N}$, notons $H_d$ l’ensemble formé des fonctions polynomiales de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}$ homogènes de degré $d$, c’est-à-dire pouvant s’écrire comme combinaison linéaire de monômes homogènes de degré $d$.\\ Montrer que $(H_d)_{0 \leqslant d \leqslant n}$ est une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.
Exercice 5005. Dans $\R^3$, on pose $\vec u=(1,3,-1)$, $\vec v=(1,1,0)$, $\vec w=(-1,1,2)$ et $\vec x=(2,3,1)$. On pose \[ F=\Vect(\vec u,\vec v) \quad \mathrm{et} \quad G=\Vect(\vec w,\vec x). \]
  1. Déterminer une base de $F$ et une base de $G$.\\
  2. Expliciter des équations permettant de caractériser les éléments de $F$ et les éléments de $G$.\\
  3. En déduire une base de $F\cap G$.
Exercice 5006. On pose $F=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\;|\;f\;\mathrm{de\;p\acute{e}riode}\;1\}$\\ et $G=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\;|\;f\;\mathrm{de\;limite}\;0\;\mathrm{en}\;+\infty\}$.\\
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des espaces en somme directe dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$.\\
  2. Sont-ils supplémentaires ?
Exercice 5007. Soient \[ F=\left\{f\in \mathcal{C}([-1;1],\mathbb{C})\mid \integrale{-1}{1}{f(t)}{t}=0\right\} \] et \[ G=\{f\in \mathcal{C}([-1;1],\mathbb{C})\mid f \;\mathrm{constante}\}. \] Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{C}([-1;1],\mathbb{C})$.
Exercice 5008. Soient \[ F=\{f\in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(0)=f'(0)=0\} \] et \[ G=\{x\mapsto ax+b\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}. \] Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 5009. Soit $E=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$. \\ Soit $F=\{f\in E\mid f(1)=f(0)=0\}$ et $G$ l'ensemble des fonctions affines sur $\mathbb{R}$. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 5010. On considère les vecteurs $v_1=(1,0,0,1)$, $v_2=(0,0,1,0)$, $v_3=(0,1,0,0)$, $v_4=(0,0,0,1)$ et $v_5=(0,1,0,1)$ dans $\mathbb{R}^4$.\\
  1. $\Vect(v_1,v_2)$ et $\Vect(v_3)$ sont-ils supplémentaires dans $\mathbb{R}^4$ ?\\
  2. $\Vect(v_1,v_2)$ et $\Vect(v_4,v_5)$ sont-ils supplémentaires dans $\mathbb{R}^4$ ?\\
  3. $\Vect(v_1,v_3,v_4)$ et $\Vect(v_2,v_5)$ sont-ils supplémentaires dans $\mathbb{R}^4$ ?\\
  4. $\Vect(v_1,v_4)$ et $\Vect(v_3,v_5)$ sont-ils supplémentaires dans $\mathbb{R}^4$ ?
Exercice 5011. Soit $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des suites convergentes. Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers $0$ forment deux sous-espaces supplémentaires dans $E$.
Exercice 5012. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels ?\\
  1. $E_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+3z=0\}$.\\
  2. $E_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+3z=2\}$.\\
  3. $E_3=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x=y=2z=4t\}$.\\
  4. $E_4=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy=0\}$.\\
  5. $E_5=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x^2\}$.\\
  6. $E_6=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x+3y-5z=0\}\cap\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-y+z=0\}$.\\
  7. $E_7=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x+3y-5z=0\}\cup\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-y+z=0\}$.
Exercice 5013. On considère les sous-ensembles $F$ et $G$ de l'espace vectoriel $E=\R[X]$ définis par \[ F=\{P \in E \mid (X-1)\ \mathrm{divise}\ P\} \] et \[ G=\{P \in E \mid (X-5)\ \mathrm{divise}\ P\}. \]
  1. Démontrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. \\
  2. Trouver un couple $(c,d)\in \R^2$ tel que $c(X-1)+d(X-5)=1$. \\
  3. En déduire que $E=F+G$. \\
  4. La somme est-elle directe ?
Exercice 5014. Montrer que l’ensemble des fonctions paires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et celui des fonctions impaires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$.
Exercice 5015. On considère les sous-ensembles $F$ et $G$ de l’espace vectoriel $E=\R[X]$ définis par \[ F=\{P\in E\mid (X-1)\;divise\;P\} \] et \[ G=\{P\in E\mid (X-5)\;divise\;P\}. \]
  1. Démontrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$.\\
  2. Trouver un couple $(c,d)\in\R^2$ tel que \[ c(X-1)+d(X-5)=1. \]
  3. En déduire que $E=F+G$.\\
  4. La somme est-elle directe ?
Exercice 5016. On note $E=\mathbb{R}^4$ et on considère :\\ $\vec{x}=(1,-1,1,-1)$,\quad $\vec{y}=(1,2,3,4)$,\quad $F=\mathrm{Vect}(\vec{x},\vec{y})$.\\
  1. Former un système d’équations cartésiennes de $F$.\\
  2. Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $E$, par une base, et par un système d’équations cartésiennes.
Exercice 5017. On note $E=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ le $\mathbb{R}$-ev de toutes les applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et :\\ $F=\{f\in E\;;\;f(0)=0\}$,\quad $A=C_E(F)=\{g\in E\;;\;g(0)\neq 0\}$.\\
  1. Vérifier que $F$ est un $\mathrm{sev}$ de $E$. Est-ce que $A$ est un $\mathrm{sev}$ de $E$ ?\\
  2. Montrer que pour toute $g\in A$, la droite vectorielle $\mathbb{R}g$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Exercice 5018. Soit $E$ un $\K$-ev, $E_1,\ldots,E_n,F_1,\ldots,F_n$ des sev de $E$ tels que :\\ \[ \bigoplus_{i=1}^{n}E_i=\bigoplus_{i=1}^{n}F_i \qquad\text{et}\qquad \forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ E_i\subset F_i. \] Montrer que pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $E_i=F_i$.
Exercice 5019. Soit $E = \R[X]$ et $A \in \R[X]\backslash \{0\}$. \\ On note $n = deg(A)$. \\ On pose $F = \{P \in \R[X] \; / \;A \mid P \}$. \\ Montrer que $F + \R_{n-1}[X] = E$.
Exercice 5020. Soit $E = \R^n$ est un s.e.v de $E$. \\ On pose $H = \{(x_1,\hdots,x_n) \in \R^n \; / \; x_1+\hdots+x_n = 0 \}$. \\ On note $e = (1,\hdots,1) \in E$. \\ Soit $D = vect(e)$. \\ Montrer que $H+D=E$.
Exercice 5021. Soient $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels d’un $K$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer que \[ F\subset G \Longrightarrow F+(G\cap H)=(F+G)\cap(F+H). \]
Exercice 5022. Soient $F,G,F',G'$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que \[ F\cap G=F'\cap G'. \] Montrer que \[ \bigl(F+(G\cap F')\bigr)\cap\bigl(F+(G\cap G')\bigr)=F. \]
Exercice 5023. Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels. On suppose les conditions suivantes :\\ $E\cap F=E\cap G$\\ $E+F=E+G$\\ $F\subset G$\\
  1. Montrer que $F=G$.\\
  2. L’hypothèse $F\subset G$ est-elle vraiment nécessaire ?
Exercice 5024. Soient $E=C([0,1],\mathbb{R})$ et $F=\{f\in E\mid \forall k\in \llbracket 1,10\rrbracket,\; f(\frac{1}{k})=0\}$. \\
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
  2. Montrer que l'ensemble des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à $9$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Exercice 5025. Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre sous-espaces vectoriels d’un même espace $E$ tels que \[ E=A\oplus B=C\oplus D. \] Si $A\subset C$ et $B\subset D$, démontrer que $A=C$ et $B=D$.
Exercice 5026. Soit $(e_1,\dots,e_p)$ une famille libre de vecteurs de $E$, $F=\Vect(e_1,\dots,e_p)$ et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$.\\ Pour tout $a\in G$, on note \[ F_a=\Vect(e_1+a,\dots,e_p+a). \]
  1. Montrer que \[ F_a\oplus G=E. \]
  2. Soient $a,b\in G$. Montrer que \[ a\neq b\Longrightarrow F_a\neq F_b. \]
Exercice 5027. Soient $E_1,\ldots,E_n$ et $F_1,\ldots,F_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $E_i\subset F_i$ et \[ \bigoplus_{i=1}^n E_i=\bigoplus_{i=1}^n F_i. \] Montrer que $E_i=F_i$ pour tout $i$.
Exercice 5028. Dans l’espace \[ E=\mathcal{C}([0;\pi],\mathbb{R}), \] on considère \[ F=\{f\in E\mid f(0)=f(\pi/2)=f(\pi)\} \] et \[ G=\mathrm{Vect}(\sin,\cos). \] Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
Exercice 5029. On note $E=C^1([0;1],\mathbb{R})$ le $\mathbb{R}$-ev des applications de classe $C^1$ sur $[0;1]$ à valeurs réelles,\\ $F=\{f\in E\;;\;\integrale{0}{1}{f(x)}{x}=0,\;f(0)=0,\;f'(1)=0\}$,\\ $e_k:[0;1]\to\mathbb{R},\;x\mapsto x^k$ pour $k\in\{0,1,2\}$,\\ $G=\{a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2\;;\;(a_0,a_1,a_2)\in\mathbb{R}^3\}$.\\ Montrer que $F$ et $G$ sont deux $\mathrm{sev}$ de $E$ supplémentaires dans $E$.

Exercice 5030. X ENS

\\ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $F_1,\ldots,F_k$ des sous-espaces de $E$. Montrer que si \[ \sum_{i=1}^{k} \dim F_i > n(k-1) \] alors \[ \bigcap_{i=1}^{k} F_i \neq \{0\}. \]

Exercice 5031. X ENS

Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$, $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}(E)$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par tous les éléments de $G$. Montrer que $F$ admet un supplémentaire stable par tous les éléments de $G$.
Exercice 5032. Soient $F,G,F',G'$ des sous-espaces vectoriels d’un $K$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ F\oplus G=F'\oplus G'=E \] et \[ F'\subset G. \] Montrer \[ F\oplus F'\oplus (G\cap G')=E. \]