Convergence monotone

Exercice 131. Soit $\un$ la suite définie par $u_n = \Frac{3n^2}{n^2+1}$. \\ Montrer que $\un$ est majorée par $3$.
Exercice 132. Soit $\un$ la suite définie telle que pour tout entier naturel $n$ on a $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$.\\ Que peut-on en déduire sur la suite $\un$ ?
Exercice 133. Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant : \\ Affirmation : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.
Exercice 134. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{4u_n}{u_n+4}$. \\
  1. Montrer par récurrence que pour tout entier $n \in \N$, $u_n > 0$. \\
  2. Montrer que $\un$ est décroissante. \\
  3. Que peut-on conclure des questions 1. et 2. concernant la suite $\un$ ? \femnb
Exercice 135. Soit $(T_n)$ la suite définie par $T_0 = -19$ et vérifiant la relation suivante $T_{n+1}-T_n = -0,06\times(T_n-25)$. \\
  1. Justifier que $T_{n+1} = 0,94T_n+1,5$. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $T_n \leqslant 25$. \\
  3. Etudier le sens de variations de $(T_n)$. \\
  4. Démontrer que la suite $(T_n)$ est convergente.
Exercice 136. Soit $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x) = 2x-x^2$ et la suite $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = g(u_n)$. \\
  1. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $0 < u_n < u_{n+1} < 1$. \\
  3. En déduire que la suite $\un$ converge.