Exponentielles, Logarithmes, Puissances
Exercice 856. Equation avec des fonctions puissance
\\ Résoudre l'équation pour tout réel $x > 0$, $x^{(x^x)} = (x^x)^x$.
Exercice
857. \\
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ : $x \mapsto (1+x)^x$. \\
En déduire que pour tout $x > - 1$, $(1+x)^x > 1$.
Exercice 858. Inégalité logarithmique
\\ Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$, $\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant e \leqslant \left(1 - \dfrac{1}{n} \right)^{-n}$.Exercice 859. Inégalité logarithmique n°2
\\ Soit $a,b \in \R_+^{*}$. \\- Montrer que $\sqrt{ab} \leqslant \Frac{a+b}{2}$. \\
- En déduire que $\Frac{1}{2}(\ln{a}+\ln{b}) \leqslant \ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}}$.
Exercice
860. Montrer que le nombre de chiffres dans l'écriture décimale d'un entier $n$ strictement positif est $\lfloor \log_{10}n +1 \rfloor$.
Exercice 861. Limites et fonctions puissances
\\ Calculer $\limplus (x^x)^x-x^{2^x}$Exercice 862. Limites et fonctions puissances n°2
\\ Calculer les deux limites suivantes $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{x^x}$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (x^x)^x$.Exercice 863. Comparaison de nombres
\\- Déterminer les couples $(a,b)$ d'éléments de $\N^*$ vérifiant $a < b$ et $a^b = b^{a}$. \\
- Déterminer sans calculatrice le plus petit des deux réels $e^{\pi}$ et $\pi^{e}$.
Exercice 864. Inégalités logarithmiques n°3
\\- Justifier que la fonction $\ln$ est concave. \\ Quels que soient les réels $a > 0$ et $b>0$, en déduire que $\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \geqslant \Frac{\ln{a}+\ln{b}}{2}$.\\
- Quels que soient les réels $a>1$ et $b>1$, en déduire les inégalités suivantes : \\
- $\ln\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}}} \geqslant \Frac{\ln(\ln{a})+\ln(\ln{b})}{2}$. \\
- $\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \geqslant \sqrt{\ln{a}\times \ln{b}}$.