Tangentes et droites

Exercice 188. Déterminer l'équation d'une tangente

\\ Soit $f$ définie et dérivable sur $]-\infty;1[$ par $f(x) = \Frac{e^x}{x-1}$.\\ Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

Exercice 189. Déterminer l'équation d'une tangente n°2

\\ On sait que la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ passe par $A(2;0)$ et $B(-2;3)$. \\ Déterminer l'équation de $(T)$.

Exercice 190. Déterminer l'équation d'une tangente n°3

\\ On sait que la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point $A(0;1)$ est parallèle à la droite d'équation $y = -3x-10$. \\ Déterminer l'équation de $(T)$.

Exercice 191. Tangente à paramètre

\\ Pour tout réel $m$, on note $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par $ f_m(x) = (x+m)e^{-x}$.\\ Montrer que la tangente $T_m$ à la courbe de $f_m$ au point d'abscisse 0 a pour équation réduite $y = (1-m)x+m$.

Exercice 192. Exploiter des informations

\\ Soit $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = e^x \; \text{ et } \; g(x) = 1-e^{-x}$.\\ On suppose qu'il existe deux tangentes communes à $\Cf$ et $\Cg$. On note $D$ l'une d'entre elles. \\ Cette droite est tangente à la courbe $\Cf$ au point $A$ d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\Cg$ au point $B$ d'abscisse $b$. \\
  1. Montrer que $b=-a$. \\
  2. Montrer que le réel $a$ est solution de l'équation $2(x-1)e^x+1=0$.

Exercice 193. Exploiter des informations n°2

\\ Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = xe^{-x}$.\\ Soit $a$ un réel dans $\Rp$ et $A$ le point de $\Cf$ d'abscisse $a$. \\ On note $T_a$ la tangente à $\Cf$ en $A$. \\
  1. Démontrer qu'une équation réduite de la tangente $T_a$ est $y = [(1-a)e^{-a}]x+a^2e^{-a}$. \\
  2. On note $H_a$ le point d'intersection de $T_a$ et de l'axe des ordonnées. On note $g(a)$ l'ordonnée de $H_a$. Que vaut $g(a)$ ?

Exercice 194. Exploiter des informations n°3

\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{e^x}{x}$.\\ On note $A$ un point d'abscisse $a$ de $\Cf$ en lequel la tangente à $\Cf$ est parallèle à la droite $\Delta : y = -x$. \\ Montrer que $a$ est solution de l'équation $e^x(x-1)+x^2=0$.

Exercice 195. Exploiter des informations n°4

\\ Soit $f(x) = xe^{x-1}+1$ définie sur $\R$. \\ Soit $a > 0$ un réel. On appelle $T_a$ la tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $a$. \\ Démontrer qu'une tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $a>0$ passe par l'origine du repère si et seulement si $1-a^2e^{a-1}=0$.

Exercice 196. Exploiter des informations n°5

\\ $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = ax+be^x+e^{-x}$ avec $(a,b)\in \R^2$. \\ On sait que : \\
  • La courbe de $f$ passe par le point $C(0;4)$. \\
  • La tangente à la courbe de $f$ au point $C$ passe par $D(2;0)$. \\
Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ puis l'expression de $f(x)$.

Exercice 197. Exploiter des informations n°6

\\ Soit $f(x) = e^x-x-1$ et soit $a$ un nombre réel. \\
  1. Ecrire en fonction de $a$, une équation de la tangente $T$ à $\Cf$ au point $M$ d'abscisse $a$. \\
  2. Cette tangente $T$ coupe la droite $(d)$ d'équation $y=-x-1$ au point $N$ d'abscisse $b$. \\ Vérifier que $b-a=-1$.

Exercice 198. Exploiter des informations n°7

\\ On considère la fonction $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = \Frac{a}{1+e^{-bx}}$ avec $a$ et $b$ deux réels. \\
  • La courbe $\Cf$ passe par le point $A(0;\frac{1}{2})$. \\
  • La tangente à $\Cf$ au point $A$ passe par le point $B(10;1)$. \\
Déterminer $a$ et $b$.

Exercice 199. Exploiter des informations n°8

\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (ax+b)e^{\lambda x}$ avec $a$, $b$ et $\lambda \in \R$. \\ On sait que : \\
  • la tangente à $\Cf$ au point $N(0;2)$ passe par le point $P(2;0)$. \\
  • $M(-2;0)$ appartient à $\Cf$. \\
  • $f$ est strictement positive sur $\Rp$ et strictement croissante sur $]-\infty,-1]$. \\
Déterminer l'expression algébrique de $f$.

Exercice 200. Tangente parallèle

\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x+1+xe^{-x}$.\\ Soit $\Cf$ la courbe de $f$ et $(d)$ la droite d'équation $y = x+1$. \\ La courbe $\Cf$ admet en un point $A$ une tangente parallèle à la droite $(d)$. Déterminer les coordonnées de $A$.

Exercice 201. Tangente parallèle n°2

\\ Soit $g$ la fonction définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$ par $g(x) = \Frac{-2x}{x-2}$.\\ On note $\mathcal{H}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal. \\
  1. Soit $A$ un point de $\mathcal{H}$ d'abscisses $a \in \R$ avec $a \neq 2$. \\ Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{H}$ au point $A$ en fonction de $a$. \\
  2. Soit $m \in \R$. On note $(D_m)$ la droite d'équation $y=mx$. \\ Discuter, en fonction de $m$, du nombre de point de $\mathcal{H}$ pour lesquels la tangente est parallèle à la droite $(D_m)$.

Exercice 202. Existence de tangente

\\ $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \sqrt{x^2+4}$. On note $\Cc$ sa courbe représentative. \\
  1. Soit $a$ un réel. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Cc$ au point d'abscisse $a$. \\
  2. Existe-t-il une tangente à la courbe $\Cc$ parallèle à la droite d'équation $y=-0,5x$ ?\\
  3. Existe-t-il une tangente à la courbe $\Cc$ passant par l'origine du repère ?
Exercice 203. Soit $f(x) = x+1+\Frac{x}{e^x}$ définie sur $\R$. \\ Montrer que la droite $T$ d'équation $y=2x+1$ est tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $0$.
Exercice 204. Soit $f(x) = \Frac{x}{e^x-x}$. \\ Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\Cf$ au point d'abscisse $0$.
Exercice 205. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Déterminer une équation de la tangente à $\Cc$ au point d’abscisse $\Frac12$.
Exercice 206. Soit $k>0$ et $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x-1)e^{-kx}+1$.\\ Déterminer une équation de la tangente à $\Cf$ au point d’abscisse $1$.
Exercice 207. Soit $k>0$ et $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x-1)e^{-kx}+1$.\\ La tangente à $\Cf$ au point d’abscisse $1$ coupe l’axe des ordonnées en $B$.\\ Exprimer l’ordonnée de $B$ en fonction de $k$, puis montrer qu’elle est égale à $g(k)$ avec $g(x)=1-e^{-x}$.
Exercice 208. Dans un repère, on considère les points $A(-2;-2,5)$ et $B(2;3,5)$.\\ Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
Exercice 209. On considère $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(ax+b)e^{-x}+x$, où $a,b\in\R$.\\ On admet que la droite $(AB)$, avec $A(-2;-2,5)$ et $B(2;3,5)$, est tangente à $\Ch$ au point d’abscisse $0$.\\ En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
Exercice 210. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\Frac{1}{1+e^{-3x}}$.\\ Déterminer une équation de la tangente à $\Cf$ au point d’abscisse $0$.
Exercice 211. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x^2-5x+6)e^x$.\\ Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
Exercice 212. Soit $f$ définie sur $I=[-3;4]$ par $f(x)=\Frac{e^x}{1+x^2}$.\\ Justifier que $\Cf$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
Exercice 213. Soit $a\in\Rp$ et $A$ le point d’abscisse $a$ de $\Cf$, où $f(x)=xe^{-x}$.\\ Démontrer qu’une équation de la tangente $T_a$ à $\Cf$ en $A$ est $y=\parenthese{(1-a)e^{-a}}x+a^2e^{-a}$.\\ En déduire l’expression de $g(a)$, ordonnée de l’intersection de $T_a$ avec l’axe des ordonnées.
Exercice 214. Soit $f$ définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.\\ On considère la droite $(\mathcal D)$ d’équation $y=x+1$.\\ Déterminer les coordonnées du point $A$ de la courbe de $f$ en lequel la tangente est parallèle à $(\mathcal D)$.
Exercice 215. On note $\Cu$ la courbe représentative de $g_1(x)=xe^{-x}$.\\ Soit $M$ le point de $\Cu$ d’abscisse $x$.\\
  1. Déterminer une équation de la tangente à $\Cu$ en $M$.\\
  2. Cette tangente coupe l’axe des ordonnées en un point $N$.\\ Déterminer, en fonction de $x$, l’ordonnée de $N$.
Exercice 216. Soient $f(x)=(2x+1)e^{-x}$ et $g(x)=\Frac{2x+1}{x^2+x+1}$ définies sur $\R$.\\ Montrer que $\Cf$ et $\Cg$ passent par $A(0 \; ; \; 1)$.\\ Calculer $f'(0)$ et $g'(0)$ et en déduire que $\Cf$ et $\Cg$ admettent en $A$ la même tangente.
Exercice 217. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\Frac{e^x-e^{-x}}{2}$ et $\Cc$ sa courbe représentative. \\ Déterminer une équation de la tangente à $\Cc$ au point d'abscisse $0$.
Exercice 218. Soient $a$ et $b$ \in $\R$ et $f$ la fonction définie sur $\Rp$ par $f(x)=(ax+b)e^{-\Frac{1}{2}x}$. \\ On sait que $\Cf$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $1$ et que $\Cf$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $1$. \\ Déterminer $a$ et $b$.