Exercices divers

Exercice 788. Montrer que si $f$ est une fonction dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$.
Exercice 789. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : \\
  • $f(x) = \arccos(-5x^3)$ \\
  • $f(x) = \arcsin(-2x^2)$ \\
  • $f(x) = \arctan(2x^4)$
Exercice 790. Montrer que, pour tout $x \in \R$, on a $\left| \arctan(\sh(x)) \right| = \arccos\left( \dfrac{1}{\ch(x)} \right)$.

Exercice 791. Fonction Lipschitzienne

\\ On dit que $f$ est $1$-lipschitzienne si pour tout $x,y \in \mathscd{D}_f$, $\abs{f(x)-f(y)} \leqslant \abs{x-y}$. \\ On sait que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$. \\ Montrer que $\sin $ est $1$-lipschitzienne.
Exercice 792.
  1. Calculer $\integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+t^2}}{t}$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $\integrale{0}{1}{\Sum_{k=0}^{n}(-1)^kt^{2k}}{t} = \ps{4} + \integrale{0}{1}{\Frac{(-1)^nt^{2n+2}}{1+t^2}}{t}$. \\
  3. Justifier que $0 \leqslant \integrale{0}{1}{\Frac{t^{2n+2}}{1+t^2}}{t} \leqslant \integrale{0}{1}{t^{2n+2}}{t}$. \\
  4. En déduire \[ \Sum_{k=0}^{+\infty} \Frac{(-1)^k}{2k+1} = \ps{4} \]

Exercice 793. oral HEC

\\ Soit $f$ définie par $\forall x \in \R$, $f(x) = \Frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. \\ Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ dans $\R$ et déterminer $(f^{-1})'$.

Exercice 794. Oral HEC

\\ Soit $n \in \N^*$ et $P_n(x) = x^n+x-1$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, il existe un unique $x_n \in ]0,1[$ tel que $P_n(x) = 0$. \\
  2. Etudier la monotonie de $(x_n)$. \\
  3. Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel que l'on précisera. \\
  4. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $1-x_n \leqslant \Frac{\ln{n}}{n}$.
Exercice 795. Montrer que pour tout $x \in \R^*$, $\arctan{x} + \arctan{\Frac{1}{x}} = \ps{2}$ si $x >0$ et $-\ps{2}$ si $x < 0$.
Exercice 796. Soit $f$ définie par $f(x) = \arctan(x)+2x$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. \\
  2. Dresser le tableau de variations de $f$. On précisera les limites au bord du domaine.
Exercice 797. Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x) = x \left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$. \\
  1. Exprimer $f(x)$ pour $x > 1$. En déduire $\limplus f(x)$. \\
  2. Exprimer $f(x)$ pour $x < -1$. En déduire $\limoins f(x)$. \\
    1. Montrer que pour tout $x > 0$, $1-x < f(x) \leqslant 1$. En déduire que $f$ admet une limite à droite en $0$. \\
    2. Montrer de même que $f$ admet une limite à gauche en $0$.
Exercice 798. Montrer que, pour tout $x>0$ (et $x \neq 1$), on a l’inégalité \[ \Frac{x\ln(x)}{x^2-1}<\Frac{1}{2}. \] \\
Exercice 799.
  1. Étudier (domaine de définition, variations, limites, courbe) la fonction $f:x \mapsto \Frac{1}{x}e^{\Frac{1}{x}}$.\\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, l’équation $f(x)=\Frac{1}{n}$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ avec $0 < u_n < 1 < v_n$.\\
  3. Calculer $\limn u_n$ et $\limn v_n$.\\
Exercice 800. On considère l’application $f$ définie par $f(x)=x \exp{{\Frac{x^2}{x^2-1}}}$.\\
  1. Indiquer le domaine de définition de $f$. Que dire de la dérivabilité de $f$ sur ce domaine ? Préciser les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.\\
  2. Étudier le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Exercice 801. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\exp(\sqrt{x^2-1})$.\\
  1. Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.\\
  2. Déterminer la parité de $f$.\\
  3. Expliciter le sens de variations de $f$, y compris ses limites aux bornes de son domaine de définition.
Exercice 802. Considérons l’application $f:x \mapsto \Frac{x^3}{x-1}e^{\frac{1}{x}}$.\\
  1. Étudier (domaine de définition, dérivabilité, variations, limites) la fonction $f$.\\
  2. Montrer que $f$ admet une asymptote oblique d’équation $y=x-1$ lorsque $x \to +\infty$.\\
  3. Tracer l’allure de la courbe de $f$.
Exercice 803. Considérons l’application $f:x \mapsto \sqrt{\Frac{x^3}{x-1}}$.\\
  1. Étudier (domaine de définition, dérivabilité, variations, limites) la fonction $f$.\\
  2. Montrer que $f$ admet une asymptote oblique d’équation $y=x+\Frac{1}{2}$ lorsque $x \to +\infty$.\\
  3. Tracer l’allure de la courbe de $f$.
Exercice 804. Calculer $\cos(\arctan(a))$ et $\sin(\arctan(a))$ pour tout réel $a$.
Exercice 805. \\
  1. Montrer que pour tout $a,b \in \Rp$, $\tan(a-b) = \Frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}$. \\
  2. Justifier que si $a$ et $b$ sont deux réels positifs, alors $\arctan{a}-\arctan{b} \in \left]-\ps{2},\ps{2}\right[$. \\
  3. Montrer que $\arctan{a}-\arctan{b} = \arctan\parenthese{a-b}{1+ab}$. \\
  4. On pose $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \arctan\parenthese{\Frac{2}{k^2}}$. \\ Montrer que $\limn u_n = \Frac{3\pi}{4}$.

Exercice 806. HEC 2005

Soit $n \in \N^*$. \\
  1. Pour tout réel $u$ tel que $0 \leqslant u \leqslant 1$, montrer que $\ln(1-u) \leqslant -u$. \\
  2. En déduire que pour tout réel $t \in [0,n]$, $\parenthese{1-\Frac{t}{n}}^{n} \leqslant e^{-t}$. \\
  3. Etudier les variations de $\varphi$ sur $[0,\sqrt{n}[$ telle que $\varphi(t) = \ln\parenthese{1-\Frac{t^2}{n}}-t-n\ln\parenthese{1-\Frac{t}{n}}$. \\
  4. En déduire que pour tout $t \in [0,\sqrt{n}]$, $\parenthese{1-\Frac{t^2}{n}} e^{-t} \leqslant \parenthese{1-\Frac{t}{n}}^{n}$. \\
  5. Justifier que pour tout réel $t \in [0,n]$, $e^{-t} -\Frac{t^2}{n}e^{-t} \leqslant \parenthese{1-\Frac{t}{n}}^{n} \leqslant e^{-t}$.

Exercice 807. HEC 2006

  1. Montrer que pour tout réel $x > 0$, $\arctan(x) + \arctan\parenthese{\Frac{1}{x}} = \ps{2}$. \\
  2. Montrer que pour tout $x \in \Rp$, $0 \leqslant \arctan{x} \leqslant x$. \\
  3. Soit $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) = \Frac{1}{\pi(1+x^2)}$. \\
    1. Montrer que $\displaystyle \lim_{A \to +\infty} \integrale{0}{A}{\varphi(t)}{t} = \displaystyle \lim_{A \to -\infty} \integrale{A}{0}{\varphi(t)}{t} = \Frac{1}{2}$.