Fonctions circulaires réciproques

Exercice 1291. Calculer $\cos(\arctan(x))$ et $\sin(\arctan(x))$ pour tout réel $x$.
Exercice 1292. \\
  1. Montrer que si $ab<1$, $\arctan{a}+\arctan{b} = \arctan\parenthese{\Frac{a+b}{1-ab}}$. \\
  2. Etudier les deux cas où $ab > 1$.

Exercice 1293. Démonstration

\\ Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, \[ \sin(\arccos(x)) = \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2} \]

Exercice 1294. Démonstration

\\ Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, on a \[ \arcsin{x} + \arccos{x} = \ps{2} \]

Exercice 1295. Démonstration

\\ Montrer que pour tout $x \in \R^*$, \[ \arctan{x} + \arctan\parenthese{\Frac{1}{x}} = \begin{cases} \frac{\pi}{2} \;\; si \;\; x >0 \\ -\frac{\pi}{2} \;\; si \;\; x < 0 \end{cases} \]

Exercice 1296. Simplifications

\\ Calculer $\arccos(\sin(\frac{17\pi}{5}))$.
Exercice 1297. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$ : $\arcsin(\sqrt{x}) = \ps{4}+\Frac{1}{2}\arcsin(2x-1)$.
Exercice 1298. On pose, pour $n \in \N$, $S_n=\Sum_{p=0}^{n} \mathrm{Arctan}\parenthese{\Frac{1}{p^2+p+1}}$. \\
  1. Montrer que, pour tout $p \in \N$, $\mathrm{Arctan}(p+1)-\mathrm{Arctan}(p) = \mathrm{Arctan}\parenthese{\Frac{1}{p^2+p+1}}$. \\
  2. Étudier convergence et limite de la suite $(S_n)$.
Exercice 1299. Résoudre l’équation d’inconnue réelle $x$ : \[ \mathrm{Arctan}(x-1)+\mathrm{Arctan}(x)+\mathrm{Arctan}(x+1)=\Frac{\pi}{2} \]

Exercice 1300. Equations

\\ Résoudre dans $\R$ les équations suivantes : \\
  1. $\arccos{x} = \arcsin{2x}$ \\
  2. $\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) = 2\arcsin(x)$ \\
  3. $\tan(3\arcsin(x)) = 1$ \\
  4. $\arctan(x)+\arctan(x\sqrt{3}) = \Frac{7\pi}{12}$ \\
  5. $\arccos(x) = 2\arccos\parenthese{\Frac{3}{4}}$ \\
  6. $\arccos(x) = \arccos\parenthese{\Frac{1}{4}} + \arcsin\parenthese{\Frac{1}{3}}$
Exercice 1301. On pose $f(x)=\arcsin\parenthese{\Frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$.\\ Déterminer une expression simple de $f$ de deux manières différentes.
Exercice 1302. Montrer que pour tout $x\in ]-1\,;\,1]$, $\arctan\sqrt{\Frac{1-x}{1+x}}=\Frac{1}{2}\arccos(x)$ de deux manières différentes.
Exercice 1303. Résoudre dans $\R$ les équations suivantes : \\
  1. $\arctan(3-x)+\arctan(4-\frac{1}{x}) = \Frac{3\pi}{4}$. \\
  2. $\arcsin(\tan{x}) = x$. \\
  3. $2\arcsin{x} = \arccos(3x)$. \\
  4. $\arcsin\parenthese{\Frac{2x}{1+x^2}} = \arctan(x)$.
Exercice 1304. Montrer que $\arctan\parenthese{\Frac{1}{7}}+2\arctan\parenthese{\Frac{1}{3}} = \ps{4}$.
Exercice 1305. Soit $k \in \N^*$. \\
  1. Calculer $\arctan\parenthese{\Frac{k}{k+1}}-\arctan\parenthese{\Frac{k-1}{k}}$. \\
  2. En déduire $\limn \Sum_{k=1}^{n} \arctan\parenthese{\Frac{1}{2k^2}}$.
Exercice 1306. Simplifier $f(x) =\arcsin\parenthese{\Frac{2x}{1+x^2}}$.
Exercice 1307. Résoudre sur $\R$ l'équation $\arcsin(x\sqrt{3}) = \ps{2}-\arcsin{x}$.
Exercice 1308. Soit $k \in \Z$. Exprimer la fonction $f$ définie par \[ f(x) = \arcsin(\sin{x}) \] sur l'intervalle $I_k = \left[-\ps{2}+k\pi, \ps{2}+k\pi\right]$.
Exercice 1309. Calculer les expressions suivantes : \\
  1. $\tan(\arcsin{x})$ \\
  2. $\tan(\arccos{x})$ \\
  3. $\tan(2\arctan{x})$
Exercice 1310. Donner le domaine de définition et simplifier l'expression suivante \[ \arctan\parenthese{\Frac{\cos{x}}{1-\sin{x}} } \]
Exercice 1311. Soit $f$ et $g$ définies par $f(x) = \arctan(\sh(x))$ et $g(x) = \arctan\parenthese{\Frac{\sh(x)}{1+\ch(x)}}$. \\
  1. Etablir une relation entre $f$ et $g$ sur un intervalle à préciser. \\
  2. En calculant $f(\frac{\ln{3}}{2})$ et $g(\frac{\ln{3}}{2})$, la tangente de quel angle peut-on en déduire ?
Exercice 1312. Simplifier \\
  1. $\arctan{\frac{1}{2}}+\arctan{\frac{1}{5}}+\arctan{\frac{1}{8}}$. \\
  2. $\arctan{2}+\arctan{3}+\arctan(2+\sqrt{3})$. \\
  3. $\arcsin{\frac{4}{5}}+\arcsin{\frac{5}{13}}+\arcsin{\frac{16}{65}}$.
Exercice 1313. Résoudre sur $\R$ l'équation $\arccos\parenthese{x+\Frac{1}{3}} = \arcsin\parenthese{x-\Frac{1}{3}}$.