Calcul de limites - Maths Manager

Exercice 2031. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction $k$-lipschitzienne (avec $k\in[0,1[$) telle que $f(0)=0$.\\ Soient $a\in\R$ et $(u_n)$ la suite réelle définie par\\ \[ u_0=a \quad\text{et}\quad \forall n\in\N,\;u_{n+1}=f(u_n). \] Montrer que $u_n\to 0$.

Exercice 2032. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 1}\Frac{x^3-2x^2-x+2}{x^3-7x+6}$

Exercice 2033. Calculs de limites n°1

Déterminer les limites suivantes : \\

$\limz \Frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ \\
$\limplus \Frac{x-\sqrt{x}}{\ln{x}+x}$ \\
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x$ \\
$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \ln{x}\ln(\ln{x})$ \\
$\limz (1+x)^{1/x}$ \\
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\Frac{1-x}{\arccos{x}}$

Exercice 2034. \\

Montrer que la fonction $x \mapsto \sin x$ n’admet pas de limite en $+\infty$.\\
Montrer que la fonction $x \mapsto \sin\Bigl(\Frac{1}{x}\Bigr)$ n’admet pas de limite lorsque $x \to 0$.\\
Montrer que la fonction $x \mapsto \sin \ln x$ n’admet de limite ni lorsque $x \to 0$, ni lorsque $x \to +\infty$.

Exercice 2035. Déterminer les limites suivantes \\

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sin{x}^{\sin{x}}$.
$\limz x\sin\parenthese{\Frac{1}{x}}$ \\
$\limplus \Frac{x\cos(e^x)}{x^2+1}$ \\
$\limplus e^{x-\sin{x}}$ \\
$\limplus \Frac{x+\arctan(x)}{x}$

Exercice 2036. Avec des parties entières

\\ Calculer les limites suivantes : \\

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$. \\
$\limz x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$ \\
$\limz x^2 \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$ \\
$\limplus x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$

Exercice 2037. Étudier les limites en $0$ des fonctions suivantes définies sur $\R_+^{*}$ : $f_0 : x \mapsto \left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$, $f_1 : x \mapsto x \left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$, $f_2 : x \mapsto x^2 \left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$.\\ Quels sont les points où $f_2$ est continue ?\\ Donner les limites à droite et à gauche en un point de discontinuité de $f_2$.

Exercice 2038. Calculer : \\

$\limplus \sqrt{x^2+2x}-x$ \\
$\limplus \Frac{x^3+x}{4x^3+2x^2}$ \\
$\limplus \Frac{e^{3x}+2x+7}{e^x+e^{-x}}$\\
$\limzp \parenthese{\sqrt{1+\Frac{1}{x^2}}-\parenthese{1+\Frac{1}{x}}}$ \\
$\limplus x^{\frac{3}{4}}\parenthese{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt[4]{x-1}}$.

Exercice 2039. Montrer que $\limplus x\sin\Frac{1}{x}=1$.\\ En déduire au voisinage de $+\infty$ un équivalent de $f$ définie pour tout $x$ par $f(x)=2x^2\sqrt{x}\sin\Frac{1}{x}-3x^2\cos\Frac{1}{x^3}$.

Exercice 2040. Étudier le domaine de définition et la continuité des fonctions suivantes, ainsi que leurs éventuels prolongements par continuité aux bornes :

$x \mapsto \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^2$,\\
$x \mapsto \exp\parenthese{-\Frac{1}{x^2}}$,\\
$x \mapsto \sqrt{\Frac{\arcsin x}{x}}$,\\
$x \mapsto \Frac{x \ln x}{x - 1}$,\\
$x \mapsto \parenthese{x(\ln x)^2 + 1}^{1/\ln x}$.

Exercice 2041. Déterminer, si elles existent, les limites suivantes :\\

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \Frac{x^{2}}{\ln(e^{x}+1)}$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \Frac{x^{2}}{\ln(e^{x}+1)}$.\\
$\displaystyle \lim_{x \to 0} x\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$.\\
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \Frac{x^{a}-1}{x^{b}-1}$, où $a,b \in \R$ et $b \neq 0$.\\
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin\parenthese{x+\Frac{1}{x}}$.\\
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \parenthese{\ln x+\sin x}$.\\
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}\parenthese{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$.\\
$\displaystyle \lim_{x \to 1} (\ln x)(\ln \ln x)$.\\
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \Frac{x^{x}}{\lfloor x \rfloor^{\lfloor x \rfloor}}$.