Calcul de limites - Maths Manager

Exercice 1168. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 1}\Frac{x^3-2x^2-x+2}{x^3-7x+6}$

Exercice 1169. Calculs de limites n°1

Déterminer les limites suivantes : \\

$\limz \Frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ \\
$\limplus \Frac{x-\sqrt{x}}{\ln{x}+x}$ \\
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x$ \\
$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \ln{x}\ln(\ln{x})$ \\
$\limz (1+x)^{1/x}$ \\
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\Frac{1-x}{\arccos{x}}$

Exercice 1170. Avec des parties entières

\\ Calculer les limites suivantes : \\

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$. \\
$\limz x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$ \\
$\limz x^2 \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$ \\
$\limplus x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$

Exercice 1171. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sin{x}^{\sin{x}}$.

Exercice 1172. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction $k$-lipschitzienne (avec $k\in[0,1[$) telle que $f(0)=0$.\\ Soient $a\in\R$ et $(u_n)$ la suite réelle définie par\\ \[ u_0=a \quad\text{et}\quad \forall n\in\N,\;u_{n+1}=f(u_n). \] Montrer que $u_n\to 0$.

Exercice 1173. Calculs de limites n°2

\\ Déterminer les limites suivantes \\

$\limz x\sin\parenthese{\Frac{1}{x}}$ \\
$\limplus \Frac{x\cos(e^x)}{x^2+1}$ \\
$\limplus e^{x-\sin{x}}$ \\
$\limplus \Frac{x+\arctan(x)}{x}$

Exercice 1174. Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+$ définie par \[ f(x)= \begin{cases} 1 & \;\; si \;\; x \;\; est \;\; un \;\; entier \;\; premier,\\ 0 & sinon \end{cases} \]

Montrer que pour tout $x > 1$ on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(nx)=0$.\\
Montrer que $f$ n’admet pas $0$ pour limite en $+\infty$.