Définition de la limite
Exercice
2042. Soient $a < b$ et $f :\; ]a,b[ \to \R$ une fonction croissante.\\
Montrer que l’application $x \to \displaystyle \lim_{t \to x^{+}} f(t)$ est croissante.
Exercice
2043. Montrer que $\cos{x}$ n'a pas de limite en $+\infty$.
Exercice
2044. Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ que l’on suppose $T$-périodique avec $T > 0$. On suppose également qu’il existe $\ell \in \R$ tel que $f(x) \longrightarrow \ell$ quand $x \to +\infty$.\\
Montrer que $f$ est constante.
Exercice
2045. Soit $f$ une application croissante de $\R_+$ dans $\R$ telle que $f(n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$. \\
Montrer que $f(x) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty$.
Exercice
2046. Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+$ définie par\\
\[
f(x)=
\begin{cases}
1 \quad si \;\; x \;\; est \;\; un \;\; entier \;\; premier,\\
0 \quad sinon.
\end{cases}
\]
- Montrer que pour tout $x>1$ on a $\limn f(nx)=0$.\\
- Montrer que $f$ n’admet pas $0$ pour limite en $+\infty$.
Exercice
2047. Soit $[a,b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f$ une application bornée de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. Pour tout $x \in [a,b]$ et pour tout $h \in \mathbb{R}_+$, on pose :
\[
m(x,h)=\inf\{f(y),\; y \in [a,b]\; \mathrm{et}\; |x-y| < h\}
\]
et
\[
M(x,h)=\sup\{f(y),\; y \in [a,b]\; \mathrm{et}\; |x-y| < h\}.
\]
Pour $x$ fixé dans $[a,b]$, on considère les deux fonctions :
\[
\alpha_x : h \mapsto m(x,h)
\quad \mathrm{et} \quad
\beta_x : h \mapsto M(x,h).
\]
- Justifier l'existence pour tout $h$ et pour tout $x$ de $m(x,h)$ et de $M(x,h)$.\\
- Soit $h_1$ et $h_2$ deux réels tels que $0 < h_1 < h_2$. Montrer : \[ m(x,h_1)\geqslant m(x,h_2) \quad \mathrm{et} \quad M(x,h_1)\leqslant M(x,h_2). \] En déduire les variations de $\alpha_x$ et de $\beta_x$ sur $\mathbb{R}_+^*$.\\
- Vérifier que pour tout $x$ fixé, pour tout $h \in \mathbb{R}_+^*$ : \[ m(x,h)\leqslant \sup_{y\in[a,b]} f(y). \] Justifier l'existence pour tout $x$ fixé de \[ \ell(x)=\sup_{h > 0}\alpha_x(h). \]
- Soit $\varepsilon > 0$, justifier l'existence de $h_0 \in \mathbb{R}_+^*$ tel que : \[ \ell(x)-\varepsilon < m(x,h_0)\leqslant \ell(x). \] Soit $h$ tel que $0 < h < h_0$, montrer alors : \[ \ell(x)-\varepsilon < m(x,h)\leqslant \ell(x). \]
- En déduire que \[ \ell(x)=\lim_{h\to 0^+}\alpha_x(h). \]
Exercice
2048. Soit $f$ possédant une limite finie en $+\infty$, montrer que pour tout $a \in \R$, on a : $(f(x+a)-f(x)) \to 0$ quand $x \to +\infty$.\\
La réciproque est-elle vraie ?
Exercice
2049. Soient $a \in \R$ et $f : \R \to \R$ une fonction continue en $a$. Montrer que si une suite $(u_{n})_{n \geqslant 0}$ converge vers $a$, alors $(f(u_{n}))_{n \geqslant 0}$ converge vers $f(a)$.
Exercice
2050. Montrer que $\lim_{x \to a} f(x)$ existe ssi pour toute suite $(x_n)$ d’éléments de $D$ de limite $a$, la suite $(f(x_n))$ a une limite.
Exercice
2051. Soient $f,g : D \to \K$ définies au voisinage de $a$.\\
Si $f$ est bornée au voisinage de $a$ et si $g$ tend vers $0$ en $a$, montrer que $fg$ tend vers $0$ en $a$.
Exercice
2052. Posons $f : \R \to \R$ définie par\\
\[
f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\Frac{1}{q} & \mathrm{si}\; x=\Frac{p}{q}\;\mathrm{avec}\; p \in \Z,\; q \in \N^*,\; \gcd(p,q)=1,\\
0 & \mathrm{si}\; x \notin \Q.
\end{array}
\right.
\]
Montrer que pour tout $x \in \R$, on a $\lim\limits_{\substack{y \to x\\y \neq x}} f(y)=0$.
Exercice
2053. Soit $f$ : $]a,b[ \to \R$ une fonction croissante. \\
Montrer que si $f$ n'est pas majorée, alors $\displaystyle \lim_{x \to b^{-}} f(x) = +\infty$.
Exercice
2054. Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $0$ et telle que $f(x)\to 0$ et $\Frac{f(2x)-f(x)}{x}\to 0$ quand $x\to 0$.\\
En étudiant $g : x \mapsto \Frac{f(2x)-f(x)}{x}$, montrer que $\Frac{f(x)}{x}\to 0$ quand $x\to 0$.\\
En déduire que $f$ est continue en $0$.