Suites extraites

Exercice 2104. Soit $\un$ une suite telle que pour tout $n,m \in \N^*$, $0 \leqslant u_{n+m} \leqslant \Frac{n+m}{nm}$. \\ Montrer que $\un$ converge vers $0$.
Exercice 2105. Montrer que la suite $u_n=j^n$ diverge.
Exercice 2106. Montrer qu'une suite extraite d'une suite extraite d'une suite $(u_n)$ est extraite de $(u_n)$.
Exercice 2107. Soit $(u_n)$ une suite telle que les suites extraites $(u_{2p})$, $(u_{2p+1})$ et $(u_{q^2})$ convergent.\\ Montrer que $(u_n)$ converge.
Exercice 2108. Soient $(a,b) \in \C^2$ et $(z_n){n \in \N}$ une suite complexe telle que \[ z_{2n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad et \quad z_{2n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} b \] Montrer que la suite $(z_{n}z_{n+1})$ converge et déterminer sa limite.
Exercice 2109. Soit $(u_n)_{n \geq 0} \in \K^{\N}$. \\ Montrer que $(u_n)_{n \geq 0}$ admet une sous-suite constante $\Longleftrightarrow$ il existe $a \in \K$ tel que l'ensemble $\{n \in \N \mid u_n = a\}$ est infini.
Exercice 2110. \\
  1. Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle.\\ On suppose que $(u_n)_{n\in\N}$ n’est pas majorée. Montrer qu’elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.\\
  2. On suppose que $(|u_n|)_{n\in\N}$ ne tend pas vers $+\infty$. Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ possède une sous-suite bornée.
Exercice 2111. Soit $(x_n) \in \R^ \N$ une suite réelle. Montrer que $(x_n)_{n \geqslant 0}$ n'admet aucune suite extraite convergente si et seulement si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \abs{x_n} = +\infty$.
Exercice 2112. Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite réelle bornée telle que toutes les suites extraites qui convergent ont la même limite. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ est convergente.
Exercice 2113. Montrer qu’une suite complexe bornée pour laquelle toute suite extraite convergente converge vers un même complexe $\ell$ converge vers $\ell$.
Exercice 2114. Justifier que la suite $(\cos{n})_{n \in \N}$ diverge.
Exercice 2115. Soit $z = (z_n)_{n \in \N}$ une suite de nombres complexes.\\
  1. Montrer que si la suite $z$ est bornée, elle admet une sous-suite qui converge.\\
  2. On suppose que $\forall (p,q) \in \N^2$, $p \neq q \;\Rightarrow\; \abs{z_p - z_q} \geqslant 1$. Montrer que $\limn \abs{z_n} = +\infty$.
Exercice 2116. \\
  1. Soit $(u_n)\in\R_+^\N$. Montrer que $u_n\to +\infty$ si et seulement si $(u_n)$ n'admet aucune suite extraite bornée.\\
  2. Soit $(u_n)\in\N^\N$. Montrer que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ ou possède une suite extraite constante.\\
  3. Soit $(p_n,q_n)\in\Z\times(\N^*)$ tels que $\Frac{p_n}{q_n}\to \alpha\in\R\setminus\Q$. Montrer que $q_n\to +\infty$.
Exercice 2117. Montrer qu'une suite réelle non majorée admet une suite extraite strictement croissante qui diverge vers $+\infty$.
Exercice 2118. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tous $k , n \in \N^{*}$, \\ \[ 0 \leqslant u_n \leqslant \Frac{k}{n} + \Frac{1}{k}. \] Montrer que $u_n \longrightarrow 0$.
Exercice 2119. Montrer qu'une suite réelle non majorée admet une suite extraite strictement croissante qui diverge vers $+\infty$.
Exercice 2120. Soit $\un$ une suite croissante telle que $(u_{2n})$ converge. \\ Montrer que $\un$ converge.
Exercice 2121. Soit $\un$ une suite telle que $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ convergent. \\ Montrer que $\un$ converge.
Exercice 2122.
  1. Soit $(u_n)$ une suite réelle. On pose \[ E=\{n\in\mathbb{N},\forall p \geqslant n,\; u_p \leqslant u_n\}. \]
    1. On suppose que $E$ est infini. Montrer que $(u_n)$ admet une suite extraite décroissante.\\
    2. On suppose que $E$ est fini. Montrer que $(u_n)$ admet une suite extraite croissante.\\
    3. En déduire le théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente.
  2. Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée. On dit que $a$ est une valeur d’adhérence de $(u_n)$ s’il existe une suite extraite de $(u_n)$ qui tend vers $a$. On suppose que $(u_n)$ possède une unique valeur d’adhérence. Montrer que $(u_n)$ converge.
Exercice 2123. On pose \[ z_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\Frac{i}{k}\right). \] Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(z_n)$.
Exercice 2124. On pose $\displaystyle z_n = \prod_{k=1}^{n}\left(1 + \frac{i}{k}\right)$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
  1. Rappeler le théorème de sommation des relations de comparaison.
  2. Montrer que la suite $(|z_n|)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge.
  3. Déterminer l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(z_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Exercice 2125. Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite réelle bornée telle que $\displaystyle\left(u_n + \frac{u_{2n}}{2}\right)_n$ converge. Montrer que $(u_n)_{n \geq 0}$ converge.
Exercice 2126. \\
  1. Soit $(u_n)$ une suite bornée telle que $\lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0$.\\ Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérences de $(u_n)$ est un intervalle.\\
  2. Soit $f$ une application continue de $[0;1]$ dans $[0;1]$.\\ Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0\in [0;1]$ et $\forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}=f(u_n)$.\\ Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si $\lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0$.