Suites récurrentes

Exercice 1729. \\ Existe-t-il une suite réelle $(u_n)_{n \in \N}$ telle que \[ \begin{cases} \forall n \in \N, u_n \in \Rpe \\ \forall n \in \N, u_{n+2} = \sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n} \end{cases} \quad \quad ? \]
Exercice 1730. On considère les deux suites réelles $(u_n)$ et $\vn$ définies par $u_0 > 0$, $v_0 > 0$ et pour tout $n \in \N$, \[ u_{n+1} = \Frac{u_n+v_n}{2} \quad v_{n+1} = \Frac{u_n+\sqrt{u_nv_n}+v_n}{3} \] Montrer qu'elles convergent, ont la même limite et que cette limite $\ell$ vérifie $v_1 \leqslant \ell \leqslant u_1$.
Exercice 1731. Soit $\un$ définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $u_n > 0$ et $u_n$ existe. \\
  2. Montrer que $\forall n \in \N$, $\abs{u_{n+1}-2} \leqslant \Frac{1}{2} \abs{u_n-2}$. \\
  3. En déduire que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_n-2} \leqslant \parenthese{\Frac{1}{2}}^{n-1}$. \\
  4. Montrer que $\un$ converge et préciser sa limite.
Exercice 1732. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_ne^{-u_n}$. \\
  1. Montrer que $\un$ est décroissante. \\
  2. En déduire que $\un$ converge vers un réel $\ell$ que l'on précisera. \\
  3. On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n}u_k$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_0 e^{-S_n}$. \\
    2. En déduire que $(S_n)$ admet une limite que l'on précisera.
Exercice 1733. On considère la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ de terme général \[ x_n = \sqrt{\,1 + \sqrt{\,1 + \sqrt{\,1 + \dots}}} \] où il y a $n$ racines carrées. Calculer $\lim_{n \to +\infty} x_n$.
Exercice 1734. \\ Soit $\un$ définie par $u_0 = u_1 = u_2 = 1$ et $\forall n \in \N$, \[ u_{n+3} = \Frac{u_{n+2}u_{n+1}+1}{u_n} \]
  1. Etablir $\forall n \in \N$, $u_{n+4} = 4u_{n+2}-u_n$. \\
  2. En déduire, $\forall n \in \N$, $u_n \in \N^*$.

Exercice 1735. Convergence vers $\varphi$

\\ On suppose que $u_0 = 1$ et que, pour tout $n \in \N$, \\ \[ u_{n+1} = 1 + \Frac{1}{u_n}. \] Déterminer $u_n$ en fonction de $n$. \\ En déduire la valeur de $\Phi = 1 + \Frac{1}{1 + \Frac{1}{1 + \Frac{1}{1 + \dots}}}$.
Exercice 1736. \\
  1. Pour $n \in \N^{*}$, montrer que l’équation $\tan \Frac{\pi}{2} x = \Frac{\pi}{2nx}$ admet une unique solution notée $x_{n}$ sur $]0,1[$.\\
  2. Montrer que $x_{n}$ tend vers $0$ en décroissant lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\
  3. Donner un équivalent de $x_{n}$.

Exercice 1737. Convergence vers $\varphi$ alternative

\\ On rappelle que le nombre d'or $\varphi$ est la solution strictement positive de $x^2-x-1=0$. \\ Soit la suite $(F_n)$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et $\forall n\in\N^*,\;F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$. \\
  1. Étudier la convergence de la suite $\left(\Frac{F_{n+1}}{F_n}\right)_{n\geqslant 1}$ et déterminer sa limite éventuelle. \\
  2. Soit $(u_n)$ définie par $u_1=1$ et $\forall n\geqslant 1,\;u_{n+1}=1+\Frac{1}{u_n}$. \\ Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite
Exercice 1738. Déterminer les fonctions $f : \Rpe \to \Rpe$ telles que $\forall x > 0$, $f(f(x)) = 6x-f(x)$.
Exercice 1739. Soit $a > 0$, et $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0 > 0$ et\\ $\forall n\in\N,\;u_{n+1}=\Frac{1}{2}\left(u_n+\Frac{a}{u_n}\right)$.\\
  1. Montrer que $(u_n)$ converge, et déterminer sa limite.\\
  2. Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $|u_{n+1}-\sqrt{a}| \leqslant \Frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2\sqrt{a}}$.\\
  3. En déduire une majoration de $|u_n-\sqrt{a}|$ en fonction de $a$, $u_1$ et $n$.\\
  4. Donner une condition pour que cette majoration puisse s'exprimer en fonction de $a$, $u_0$ et $n$. Quelle majoration obtient-on ?
Exercice 1740. Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ une application bijective telle que pour tout $x \in [0,1]$, on a \[ f\parenthese{2x - f(x)} = x. \] Soit $u_0 \in [0,1]$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$.\\ Que peut on dire de la suite $(u_n)$ ? Reconnaître $f$.

Exercice 1741. CCP

\\ Pour tout $n \in \N^*$, on considère l'équation \[ (E_n) \; : \; x\parenthese{1+\Frac{x}{n}}^{\frac{1}{2}} = 1 \]
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $(E_n)$ admet une seule solution dans $\R_+^*$ notée $x_n$. \\
  2. Montrer que $(x_n)$ est croissante. \\
  3. En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.
Exercice 1742. Soit $(a,b) \in ]0,1[^2$ tel que $a \leqslant b$. On considère $\un$ et $\vn$ définies par $u_0 = a$, $v_0 =b$ et \[ \forall n \in \N, \quad u_{n+1} = u_n^{v_n}, \quad v_{n+1} = v_n^{u_n} \] Montrer que $\un$ converge, et que $\vn$ converge vers $1$.
Exercice 1743. On considère la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$, et la fonction $g$ définie sur $]1,+\infty[$ par $g(x)=\Frac{1}{x-1}$.\\ Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\N$ :\\ $u_{2n+1}=f(u_{2n})$ et $u_{2n+2}=g(u_{2n+1})$.\\ Étudier la convergence de $(u_n)$.
Exercice 1744. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite à termes réels telle que $u_1 > 0$ et : $u_{n+1}-u_n=\Frac{1}{n^\alpha u_n}$ pour tout $n\geqslant 1$.\\ Déterminer les conditions sur $\alpha$ pour que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge.
Exercice 1745. On suppose que $u_0 = 2$, $u_1 = 4$ et, pour tout $n \geqslant 0$, $u_{n+2} = \Frac{u_{n+1}^4}{u_n^3}$. \\ Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 1746. On considère la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ définie par $x_0 = \Frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N$ : \[ x_{n+1} = \Frac{4}{3} x_n^3 + \Frac{1}{6}. \] Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ est convergente et que $\limn x_n = \sin \Frac{\pi}{18}$.
Exercice 1747. On se donne trois réels \[ a_0,b_0,c_0 \] tels que \[ -1\leqslant a_0\leqslant b_0\leqslant c_0\leqslant 1 \] et on pose, pour tout entier naturel \[ n, \] \[ \left\{ \begin{aligned} a_{n+1}&=\integrale{-1}{1}{\min(x,b_n,c_n)}{x},\\ b_{n+1}&=\integrale{-1}{1}{\mathrm{mil}(x,a_n,c_n)}{x},\\ c_{n+1}&=\integrale{-1}{1}{\max(x,a_n,b_n)}{x}, \end{aligned} \right. \] où \[ \mathrm{mil}(a,b,c) \] désigne le terme médian de $(a,b,c)$. Étudier la convergence des suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$.
Exercice 1748. Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}_+$, dérivable en $0$, telle que $f(0)=1$ et pour tout $x > 0$, $0 \leqslant f(x) < 1$.\\ Construisons une suite $(u_n)_n$ avec $u_0\in\mathbb{R}_+^*$ et la relation de récurrence : $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=u_nf(u_n)$.\\
  1. Étudier la suite $(u_n)_n$.\\
  2. Supposons $f'(0)\neq 0$. Montrer que $\Sum_n u_n^2$ est convergente.
Exercice 1749. Soit $m\in\mathbb{N}^*$. Démontrer que l’équation $(E_m)$ : $m\ln\left(1+\Frac{x}{m+1}\right)=x$ admet une unique solution $x_m$ sur $]-2,-1[$, puis étudier la suite $(x_m)_{m\in\mathbb{N}^*}$.
Exercice 1750. Étudier la suite définie par \[ u_0 > 0 \quad\text{et}\quad u_1 > 0, \] et, pour \[ n\geqslant 1, \] \[ u_{n+1}=\ln(1+u_n)+\ln(1+u_{n-1}). \]
Exercice 1751. Déterminer les applications \[ f:\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}_+^* \] vérifiant \[ \forall x > 0,\qquad f(f(x))=6x-f(x). \]
Exercice 1752. Soit $E$ l’ensemble des suites réelles $(u_n)$ telles que, pour tout entier \[ n\in\mathbb{N}, \] \[ u_{n+2}=(n+1)u_{n+1}+u_n. \]
  1. Montrer que $E$ est un espace vectoriel de dimension $2$.\\
  2. On considère les deux suites réelles $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par \[ a_0=1,\qquad a_1=0,\qquad b_0=0,\qquad b_1=1. \] Montrer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ tendent vers $+\infty$.\\
  3. On pose \[ v_n=a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}. \] Expliciter $v_n$.\\
  4. Soit \[ c_n=\frac{a_n}{b_n} \] pour \[ n\geqslant 1. \] Montrer que la suite $(c_n)$ converge.\\
  5. Montrer qu’il existe un unique réel \[ r \] tel que la suite \[ (a_n+rb_n) \] converge vers $0$.
Exercice 1753.
  1. Soit $E$ l’ensemble des suites $u\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ telles qu’il existe \[ d\in\mathbb{N}^* \] et \[ (a_i)_{0\leqslant i\leqslant d-1}\in\mathbb{C}^d \] tels que, pour tout \[ n\in\mathbb{N}, \] \[ u_{n+d}=\sum_{i=0}^{d-1}a_i u_{n+i}. \] Montrer que $E$ est stable par addition et multiplication.\\
  2. Soit $\mathcal{E}$ le sous-ensemble de $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ formé des suites périodiques. Montrer que $\mathcal{E}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ et en donner une base.\\
  3. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$. Peut-on expliciter une récurrence linéaire vérifiée par la suite \[ (P(n))_{n\geqslant 0}\;? \]
Exercice 1754. Soit \[ (a_1,\dots,a_p)\in\mathbb{C}^p \] avec \[ a_1+\cdots+a_p=1. \] On suppose que la suite $(u_n)$ définie par ses $p$ premiers termes \[ u_0,\dots,u_{p-1} \] et la relation \[ u_{n+p}=a_pu_{n+p-1}+\cdots+a_1u_n \] converge.\\ Déterminer la limite de $(u_n)$.v
Exercice 1755. Soit $(x_n)_{n\geqslant 0}$ une suite de nombres réels. On pose, pour \[ n\geqslant 1, \] \[ y_n=x_{n-1}+2x_n. \] Montrer que $(x_n)$ converge si et seulement si $(y_n)$ converge.
Exercice 1756. On définit une suite de polynômes : \[ P_0=1,\qquad P_1=X \] et pour \[ n\geqslant 1, \] \[ (q+1)XP_n=qP_{n+1}+P_{n-1}, \] où \[ q \] est un réel non nul fixé.\\ Déterminer l’ensemble des réels $z$ tels que la suite $(P_n(z))_{n\in\mathbb{N}}$ soit bornée.
Exercice 1757. On note $T:[0,1]\to[0,1]$ l’application définie par \[ T(x)=2x\quad\text{pour }x\in\left[0,\Frac{1}{2}\right] \] et \[ T(x)=2-2x\quad\text{pour }x\in\left[\Frac{1}{2},1\right]. \] Pour $n\in\mathbb{N}^*$, $T^n$ désigne la $n$-ième itérée de $T$.\\
  1. Tracer les graphes de $T$, $T^2$, $T^3$.\\
  2. Combien $T^n$ a-t-elle de points fixes ?\\
  3. Soit $(x,y)\in[0,1]^2$ et $\varepsilon>0$. Montrer qu’il existe $z\in[0,1]$ et $n\in\mathbb{N}^*$ tels que \[ |z-x|\leqslant \varepsilon \quad\text{et}\quad |T^n(z)-y|\leqslant \varepsilon. \]
Exercice 1758. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que \[ f(0)=f(1)=0, \] avec \[ f'(0)\in]-1,0[ \] et \[ -x < f(x) < 0 \] pour tout \[ x\in]0,1[. \]
  1. On considère la suite $(x_n)$ définie par \[ x_0\in]0,1[ \] et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ x_{n+1}-x_n=f(x_n). \]
    1. Étudier la suite $(x_n)$.\\
    2. Montrer que, pour $n$ assez grand, il existe un unique entier naturel $\varphi(n)$ tel que \[ x_{\varphi(n)+1}\leqslant \frac{1}{n} < x_{\varphi(n)}. \]
    3. Démontrer qu’il existe $C\neq 0$ tel que \[ \varphi(n)\sim C\ln n. \]
  2. On passe au cas continu. On considère la solution de l’équation différentielle \[ x'=f(x) \] prenant en $0$ la valeur \[ x(0)\in]0,1[. \] Montrer que $x$ est définie sur $[0,+\infty[$ et que, pour $n$ assez grand, il existe un unique $t_n\geqslant 0$ tel que \[ x(t_n)=\frac{1}{n}. \] Déterminer un équivalent de $t_n$.
Exercice 1759. On définit la suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ par la donnée de $x_1$ et la relation \[ x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac{1}{n}\right) \] pour tout \[ n\geqslant 1. \] Montrer qu’il existe un unique $x_1$ tel que, pour tout \[ n\in\mathbb{N}^*, \] on ait \[ 0 < x_n < x_{n+1} < 1. \]
Exercice 1760. Soit $\lambda\in]0,1]$. Étudier la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ x_0\in]0,1[ \quad\text{et}\quad x_{n+1}=1-\lambda x_n^2. \]v
Exercice 1761. Étudier la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par \[ u_0\in\mathbb{R} \quad\mathrm{et}\quad u_{n+1}=2-u_n^2. \]
Exercice 1762. Soit $I$ un segment de $\mathbb{R}$ et $f:I\to I$ une application continue.\\
  1. Si $K$ est un segment inclus dans $f(I)$, montrer qu’il existe un segment $L$ inclus dans $I$ tel que \[ K=f(L). \]
  2. On suppose qu’il existe $n$ segments $I_0,I_1,\dots,I_{n-1}$ inclus dans $I$ tels que \[ I_0\subset f(I_{n-1}) \quad\text{et}\quad I_{k+1}\subset f(I_k)\;\text{pour }0\leqslant k\leqslant n-2. \] Montrer que $f^n$ a un point fixe $x_0$ tel que \[ f^k(x_0)\in I_k \quad\text{pour tout }k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket. \]
  3. Si $x\in I$ vérifie \[ f^n(x)=x \quad\text{et}\quad f^k(x)\neq x\;\text{pour }1\leqslant k\leqslant n-1, \] on dit que $x$ est un point $n$-périodique. Montrer que s’il existe un point $3$-périodique, alors il existe un point $n$-périodique pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
Exercice 1763. Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ continue et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de $[0,1]$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ f(u_n)=u_{n+1}. \] Montrer que $(u_n)$ converge si, et seulement si, \[ \limn (u_{n+1}-u_n)=0. \]
Exercice 1764. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue. Pour $a\in\mathbb{R}$, on définit $v_0(a)=a$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ v_{n+1}(a)=f(v_n(a)). \] On pose \[ u_n(a)=\frac{v_0(a)+v_1(a)+\cdots+v_n(a)}{n+1}. \]
  1. On suppose qu’il existe $a\in\mathbb{R}$ tel que $(u_n(a))_{n\in\mathbb{N}}$ soit bornée. Montrer que $f$ admet un point fixe.\\
  2. Trouver un exemple de fonction continue $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ayant un point fixe unique $a$ et telle que pour tout $x\neq a$, $(u_n(x))$ converge vers une limite distincte de $a$.
Exercice 1765. Soit $n \geq 1$ et soit $f_n : [0,1] \to \R$\\ $x \mapsto x+x^2+\cdots+x^n$.\\
  1. Montrer que $f_n$ réalise une bijection croissante du segment $[0,1]$ sur un intervalle que l'on déterminera.\\ En déduire que $\forall x,y \in [0,1]$, $x \leqslant y \iff f_n(x) \leqslant f_n(y)$.\\
  2. Montrer que l'équation $x+x^2+\cdots+x^n=1$ a une unique racine $x_n$ dans $[0,1]$.\\
  3. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, on a $f_n(x) \leqslant f_{n+1}(x)$.\\
  4. Montrer que $f_n(x_n) \geqslant f_n(x_{n+1})$ et en déduire que la suite $(x_n)$ est décroissante et converge vers $\ell \in [0,1[$.\\
  5. En remarquant que pour tout $n \geqslant 2$, on a : $x_n(1-x_n^n)=1-x_n$, montrer que $\ell=\Frac{1}{2}$.
Exercice 1766. Soit $0 < a < b$ des réels et $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :\\ \[ \left\{ \begin{aligned} u_0&=a\\ \forall n \in \N \;\; u_{n+1}&=\Frac{u_n^2}{u_n+v_n} \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} v_0&=b\\ \forall n \in \N \;\; v_{n+1}&=\Frac{v_n^2}{u_n+v_n} \end{aligned} \right. \]
  1. Montrer que $u$ et $v$ existent et que $u_n$ et $v_n$ sont strictement positifs pour tout $n \in \N$.\\
  2. Exprimer $u_n-v_n$ et $\Frac{u_n}{v_n}$ en fonction de $n$. En déduire les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$.
Exercice 1767. Pour $n \in \N \setminus \{0 , 1\}$, on considère le polynôme $P_n = X^n - 5 X + 1$. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N \setminus \{0 , 1\}$, $P_n$ admet une unique racine $a_n$ dans $]0 , 1[$. \\
  2. Calculer $P_{n+1}(a_n)$ et en déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante. \\
  3. Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et trouver sa limite.
Exercice 1768. Soit $(u_n)$ telle que $u_0=0$ et $u_{n+1}=(n+1)u_n+n+1$.\\ Déterminer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 1769. Étudier les suites définies par leur premier terme $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ dans chacun des cas suivants :\\
  1. $f(x)=\sqrt{4+3x}$.\\
  2. $f(x)=\Frac{1}{2}\parenthese{x^2+1}$.\\
  3. $f(x)=\Frac{1}{3}\parenthese{4-x^2}$.\\
  4. $f(x)=e^{-x}$.
Exercice 1770. \\
  1. Déterminer explicitement la suite $(u_n)$ dans les cas suivants :\\
    1. $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.\\
    2. $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}-u_n$.\\
    3. $u_0=1$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=\Frac{7}{2}u_{n+1}+2u_n$.\\
    4. $u_0=1$, $u_1=2i$ et $u_{n+2}=2(1+i)u_{n+1}-2iu_n$.\\
    5. $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=-2u_{n+1}-u_n$.\\
    6. $u_0=1$ et $u_{n+1}=(n+1)u_n+2$.
Exercice 1771. Soit une suite $(a_n)$ de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ telle que : $\forall n \in \mathbb{N}$, $a_n \neq 0$.\\ On veut résoudre l’équation : $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=a_nu_n+b_n$.\\ Autrement dit, déterminer une expression explicite de la solution générale $u_n$ en fonction de $u_0$ et de $n$.\\
  1. Soit $(u_n)$ une suite de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$.\\ Montrer que : $\left(\forall n \in \mathbb{N},\; u_{n+1}=a_nu_n\right) \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}\; \text{tel que}\; \forall n \in \mathbb{N},\; u_n=\lambda \Prod_{k=0}^{n-1} a_k$.\\
  2. On pose : $\forall n \in \mathbb{N}$, $v_n=\Prod_{k=0}^{n-1} a_k$.\\ Montrer que l’on obtient finalement\\ \[ u_n=\left(\Prod_{k=0}^{n-1} a_k\right)\left(u_0+\Sum_{k=0}^{n-1}\frac{b_k}{v_{k+1}}\right). \]
Exercice 1772. Soit $(u_n)$ telle que $u_0=a \in \mathbb{K}$ et $u_{n+1}=2u_n+\frac{1}{2^n}$.\\ Déterminer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 1773. Exercice $2$ : Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et déterminer la limite éventuelle :\\
  1. $\left\{\begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=2u_n+1 \end{array}\right.$\\
  2. $\left\{\begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=-2u_n+3 \end{array}\right.$\\
  3. $\left\{\begin{array}{l} u_0=-1\\ u_{n+1}=-2u_n+3 \end{array}\right.$\\
  4. $\left\{\begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\Frac{1}{2}u_n-1 \end{array}\right.$