Suites récurrentes

1. $\left\{\begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=2u_n+1 \end{array}\right.$\\
2. $\left\{\begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=-2u_n+3 \end{array}\right.$\\
3. $\left\{\begin{array}{l} u_0=-1\\ u_{n+1}=-2u_n+3 \end{array}\right.$\\
4. $\left\{\begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\Frac{1}{2}u_n-1 \end{array}\right.$

1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $u_n > 0$ et $u_n$ existe. \\
2. Montrer que $\forall n \in \N$, $\abs{u_{n+1}-2} \leqslant \Frac{1}{2} \abs{u_n-2}$. \\
3. En déduire que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_n-2} \leqslant \parenthese{\Frac{1}{2}}^{n-1}$. \\
4. Montrer que $\un$ converge et préciser sa limite.

1. Montrer que $\un$ est décroissante. \\
2. En déduire que $\un$ converge vers un réel $\ell$ que l'on précisera. \\
3. On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n}u_k$. \\
   1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_0 e^{-S_n}$. \\
   2. En déduire que $(S_n)$ admet une limite que l'on précisera.

1. Montrer que $(u_n)$ converge, et déterminer sa limite.\\
2. Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $|u_{n+1}-\sqrt{a}| \leqslant \Frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2\sqrt{a}}$.\\
3. En déduire une majoration de $|u_n-\sqrt{a}|$ en fonction de $a$, $u_1$ et $n$.\\
4. Donner une condition pour que cette majoration puisse s'exprimer en fonction de $a$, $u_0$ et $n$. Quelle majoration obtient-on ?

Exercice 2132. CCP

1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $(E_n)$ admet une seule solution dans $\R_+^*$ notée $x_n$. \\
2. Montrer que $(x_n)$ est croissante. \\
3. En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.

1. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que l'équation $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k} = 1$ admet une unique solution $x_n$ dans $\mathbb{R}_+$.
2. Étudier la convergence de la suite $(x_n)_{n \geq 1}$.
3. Calculer sa limite.

1. Etablir $\forall n \in \N$, $u_{n+4} = 4u_{n+2}-u_n$. \\
2. En déduire, $\forall n \in \N$, $u_n \in \N^*$.

Exercice 2141. Convergence vers $\varphi$

Exercice 2142. Convergence vers $\varphi$ alternative

1. Étudier la convergence de la suite $\left(\Frac{F_{n+1}}{F_n}\right)_{n\geqslant 1}$ et déterminer sa limite éventuelle. \\
2. Soit $(u_n)$ définie par $u_1=1$ et $\forall n\geqslant 1,\;u_{n+1}=1+\Frac{1}{u_n}$. \\ Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite

1. Montrer que $f_n$ réalise une bijection croissante du segment $[0,1]$ sur un intervalle que l'on déterminera.\\ En déduire que $\forall x,y \in [0,1]$, $x \leqslant y \iff f_n(x) \leqslant f_n(y)$.\\
2. Montrer que l'équation $x+x^2+\cdots+x^n=1$ a une unique racine $x_n$ dans $[0,1]$.\\
3. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, on a $f_n(x) \leqslant f_{n+1}(x)$.\\
4. Montrer que $f_n(x_n) \geqslant f_n(x_{n+1})$ et en déduire que la suite $(x_n)$ est décroissante et converge vers $\ell \in [0,1[$.\\
5. En remarquant que pour tout $n \geqslant 2$, on a : $x_n(1-x_n^n)=1-x_n$, montrer que $\ell=\Frac{1}{2}$.

1. Montrer que $u$ et $v$ existent et que $u_n$ et $v_n$ sont strictement positifs pour tout $n \in \N$.\\
2. Exprimer $u_n-v_n$ et $\Frac{u_n}{v_n}$ en fonction de $n$. En déduire les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$.

1. Montrer que, pour tout $n \in \N \setminus \{0 , 1\}$, $P_n$ admet une unique racine $a_n$ dans $]0 , 1[$. \\
2. Calculer $P_{n+1}(a_n)$ et en déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante. \\
3. Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et trouver sa limite.

1. $f(x)=\sqrt{4+3x}$.\\
2. $f(x)=\Frac{1}{2}\parenthese{x^2+1}$.\\
3. $f(x)=\Frac{1}{3}\parenthese{4-x^2}$.\\
4. $f(x)=e^{-x}$.

1. Déterminer explicitement la suite $(u_n)$ dans les cas suivants :\\
   1. $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.\\
   2. $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}-u_n$.\\
   3. $u_0=1$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=\Frac{7}{2}u_{n+1}+2u_n$.\\
   4. $u_0=1$, $u_1=2i$ et $u_{n+2}=2(1+i)u_{n+1}-2iu_n$.\\
   5. $u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=-2u_{n+1}-u_n$.\\
   6. $u_0=1$ et $u_{n+1}=(n+1)u_n+2$.

1. Soit $(u_n)$ une suite de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$.\\ Montrer que : $\left(\forall n \in \mathbb{N},\; u_{n+1}=a_nu_n\right) \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}\; \text{tel que}\; \forall n \in \mathbb{N},\; u_n=\lambda \Prod_{k=0}^{n-1} a_k$.\\
2. On pose : $\forall n \in \mathbb{N}$, $v_n=\Prod_{k=0}^{n-1} a_k$.\\ Montrer que l’on obtient finalement\\ \[ u_n=\left(\Prod_{k=0}^{n-1} a_k\right)\left(u_0+\Sum_{k=0}^{n-1}\frac{b_k}{v_{k+1}}\right). \]

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par \[ f(x)=\dfrac{e^x}{x+2}. \] Étudier les variations de $f$ et montrer que $f([0,1])\subset [0,1]$. Que peut-on en déduire pour la suite $(u_n)$ ?
2. Calculer $f''$ et en déduire que, pour tout $x\in[0,1]$, \[ \dfrac{1}{4}\leqslant f'(x)\leqslant \dfrac{2}{3}. \]
3. Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet sur $[0,1]$ une unique solution notée $\alpha$.
4. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ |u_{n+1}-\alpha|\leqslant \dfrac{2}{3}|u_n-\alpha|. \]
5. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ |u_n-\alpha|\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \] puis que $(u_n)$ converge.
6. Donner une valeur de $n$ telle que $u_n$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-4}$ près

1. Montrer que $]0,1[$ est stable par $f$.
2. Montrer qu'il existe un unique $\alpha\in ]0,1[$ tel que \[ \alpha=\dfrac{e^\alpha}{\alpha+2}. \]
3. Soit $u_0\in ]0,1[$. On note $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie pour $n\in\mathbb{N}$ par \[ u_{n+1}=\dfrac{e^{u_n}}{u_n+2}. \] Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ |u_n-\alpha|\leqslant \left(\dfrac{2e}{9}\right)^n, \] et en déduire que la suite converge vers $\alpha$.
4. Déterminer un rang $n$ pour lequel $u_n$ est une approximation de $\alpha$ à $10^{-5}$ près

1. Montrer que $E$ est un espace vectoriel de dimension $2$.\\
2. On considère les deux suites réelles $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par $a_0=1,\quad a_1=0,\quad b_0=0,\quad b_1=1$.\\ Montrer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ tendent vers $+\infty$.\\
3. On pose $v_n=a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$.\\ Expliciter $v_n$.\\
4. Soit $c_n=\dfrac{a_n}{b_n}$ pour $n\geqslant 1$.\\ Montrer que la suite $(c_n)$ converge.\\
5. Montrer qu’il existe un unique réel $r$ tel que la suite $(a_n+rb_n)$ converge vers $0$.

1. Soit $E$ l’ensemble des suites $u\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ telles qu’il existe $d\in\mathbb{N}^*$ et $(a_i)_{0\leqslant i\leqslant d-1}\in\mathbb{C}^d$ tels que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+d}=\Sum_{i=0}^{d-1}a_i u_{n+i}$.\\ Montrer que $E$ est stable par addition et multiplication.\\
2. Soit $\mathcal{E}$ le sous-ensemble de $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ formé des suites périodiques. Montrer que $\mathcal{E}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ et en donner une base.\\
3. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$. Peut-on expliciter une récurrence linéaire vérifiée par la suite $(P(n))_{n\geqslant 0}\;?$

Exercice 2161. X ENS

1. On suppose qu’il existe $a\in\mathbb{R}$ tel que $(u_n(a))_{n\in\mathbb{N}}$ soit bornée. Montrer que $f$ admet un point fixe.\\
2. Trouver un exemple de fonction continue $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ayant un point fixe unique $a$ et telle que pour tout $x\neq a$, $(u_n(x))$ converge vers une limite distincte de $a$.

1. Relier $S_{n-1}$ et $\dfrac{\ln(u_n)}{2^n}$.
2. Discuter de la limite de $(u_n)$, sauf pour une certaine valeur $a_0$ qu'on ne cherchera pas à calculer.
3. Donner la limite de $(u_n)$ quand $a = a_0$.

1. Déterminer la limite de $(x_n)$.
2. Déterminer la limite de $\dfrac{x_n}{\ln n}$.

1. Tracer les graphes de $T$, $T^2$, $T^3$.\\
2. Combien $T^n$ a-t-elle de points fixes ?\\
3. Soit $(x,y)\in[0,1]^2$ et $\varepsilon>0$. Montrer qu’il existe $z\in[0,1]$ et $n\in\mathbb{N}^*$ tels que $|z-x|\leqslant \varepsilon$ et $|T^n(z)-y|\leqslant \varepsilon$.

1. Si $K$ est un segment inclus dans $f(I)$, montrer qu’il existe un segment $L$ inclus dans $I$ tel que \[ K=f(L). \]
2. On suppose qu’il existe $n$ segments $I_0,I_1,\dots,I_{n-1}$ inclus dans $I$ tels que \[ I_0\subset f(I_{n-1}) \quad\text{et}\quad I_{k+1}\subset f(I_k)\;\text{pour }0\leqslant k\leqslant n-2. \] Montrer que $f^n$ a un point fixe $x_0$ tel que \[ f^k(x_0)\in I_k \quad\text{pour tout }k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket. \]
3. Si $x\in I$ vérifie \[ f^n(x)=x \quad\text{et}\quad f^k(x)\neq x\;\text{pour }1\leqslant k\leqslant n-1, \] on dit que $x$ est un point $n$-périodique. Montrer que s’il existe un point $3$-périodique, alors il existe un point $n$-périodique pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.