Suites récurrentes

Exercice 1075. On suppose que $u_0 = 2$, $u_1 = 4$ et, pour tout $n \geqslant 0$, $u_{n+2} = \Frac{u_{n+1}^4}{u_n^3}$. \\ Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 1076. CCP

\\ Pour tout $n \in \N^*$, on considère l'équation \[ (E_n) \; : \; x\parenthese{1+\Frac{x}{n}}^{\frac{1}{2}} = 1 \]
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $(E_n)$ admet une seule solution dans $\R_+^*$ notée $x_n$. \\
  2. Montrer que $(x_n)$ est croissante. \\
  3. En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.
Exercice 1077. Soit $a > 0$, et $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0 > 0$ et\\ $\forall n\in\N,\;u_{n+1}=\Frac{1}{2}\left(u_n+\Frac{a}{u_n}\right)$.\\
  1. Montrer que $(u_n)$ converge, et déterminer sa limite.\\
  2. Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $|u_{n+1}-\sqrt{a}| \leqslant \Frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2\sqrt{a}}$.\\
  3. En déduire une majoration de $|u_n-\sqrt{a}|$ en fonction de $a$, $u_1$ et $n$.\\
  4. Donner une condition pour que cette majoration puisse s'exprimer en fonction de $a$, $u_0$ et $n$. Quelle majoration obtient-on ?
Exercice 1078. On considère la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ définie par $x_0 = \Frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N$ : \[ x_{n+1} = \Frac{4}{3} x_n^3 + \Frac{1}{6}. \] Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ est convergente et que $\limn x_n = \sin \Frac{\pi}{18}$.
Exercice 1079. Soit $(a,b) \in ]0,1[^2$ tel que $a \leqslant b$. On considère $\un$ et $\vn$ définies par $u_0 = a$, $v_0 =b$ et \[ \forall n \in \N, \quad u_{n+1} = u_n^{v_n}, \quad v_{n+1} = v_n^{u_n} \] Montrer que $\un$ converge, et que $\vn$ converge vers $1$.
Exercice 1080. Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ une application bijective telle que pour tout $x \in [0,1]$, on a \[ f\parenthese{2x - f(x)} = x. \] Soit $u_0 \in [0,1]$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$.\\ Que peut on dire de la suite $(u_n)$ ? Reconnaître $f$.
Exercice 1081. On considère la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$, et la fonction $g$ définie sur $]1,+\infty[$ par $g(x)=\Frac{1}{x-1}$.\\ Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\N$ :\\ $u_{2n+1}=f(u_{2n})$ et $u_{2n+2}=g(u_{2n+1})$.\\ Étudier la convergence de $(u_n)$.
Exercice 1082. \\
  1. Pour $n \in \N^{*}$, montrer que l’équation $\tan \Frac{\pi}{2} x = \Frac{\pi}{2nx}$ admet une unique solution notée $x_{n}$ sur $]0,1[$.\\
  2. Montrer que $x_{n}$ tend vers $0$ en décroissant lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\
  3. Donner un équivalent de $x_{n}$.