Suites récurrentes

Exercice 989. Soit $\un$ telle que $u_0 \in ]0,1[$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{u_n+u_n^2}{2}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. \\
  2. Montrer que $\un$ est décroissante. En déduire que $\un$ converge vers un réel que l'on précisera.
Exercice 990. Soit $f : \R \to \R$ une fonction continue telle que pour tout réel $x$, $f(x) < x$. \\ On définit la suite $\un$ par $u_0 \in \R$ et pour tout $n \in \N$ par $u_{n+1} = f(u_n)$. \\ Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.
Exercice 991. Soit $\un$ définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $u_n > 0$ et $u_n$ existe. \\
  2. Montrer que $\forall n \in \N$, $\abs{u_{n+1}-2} \leqslant \Frac{1}{2} \abs{u_n-2}$. \\
  3. En déduire que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_n-2} \leqslant \parenthese{\Frac{1}{2}}^{n-1}$. \\
  4. Montrer que $\un$ converge et préciser sa limite.
Exercice 992. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_ne^{-u_n}$. \\
  1. Montrer que $\un$ est décroissante. \\
  2. En déduire que $\un$ converge vers un réel $\ell$ que l'on précisera. \\
  3. On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n}u_k$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_0 e^{-S_n}$. \\
    2. En déduire que $(S_n)$ admet une limite que l'on précisera.
Exercice 993. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-3x+1$. \\
  1. Montrer que $\forall n \in \N^*$, $\exist ! x_n \in [0,1[ \; / \; f(x_n) = \Frac{1}{n}$. \\
  2. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ est croissante et majorée par $1$. \\
  3. En déduire que cette suite converge vers un réel $\ell \in [0,1]$. \\
  4. Que représente ce nombre $\ell$ pour la fonction $f$ ?
Exercice 994. Soit $u$ la suite définie par $u_0>1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}=2+\ln(u_n)$.\\
  1. Pour $x \in \R^{+*}$, soit $g(x)=\ln(x)+2-x$.\\
    1. Dresser le tableau de variation de $g$.\\
    2. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions $\alpha<\beta$ dans $\R^{+*}$.\\
  2. En déduire la monotonie de $(u_n)$ en fonction de $u_0$.\\
  3. Montrer que $(u_n)$ converge et calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$.
Exercice 995. Considérons la suite définie par : \\ \[ \begin{cases} u_0=-1 \\ \forall n \in \N, \; u_{n+1}=\Frac{2}{u_n}-u_n^2 \end{cases} \] \\
  1. Dresser le tableau de variation de la fonction $f:x \mapsto \Frac{2}{x}-x^2$ définie sur $\R^*$.\\
  2. Justifier que pour tout $n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n \leqslant -1$.\\
  3. Étudier les variations de $(u_n)$.\\
  4. Montrer que la suite $(u_n)$ diverge.
Exercice 996. Considérons la fonction $f:x \mapsto \Frac{1}{1+x}$ définie sur $[0,2]$, ainsi que la suite $(u_n)$ définie par \\ \[ \begin{cases} u_0=0 \\ \forall n \in \N, \; u_{n+1}=f(u_n) \end{cases} \] \\
  1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est bien définie et bornée par $0$ et $1$.\\
  2. Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\alpha$ et le calculer.\\
  3. Démontrer que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont respectivement décroissante et croissante et minorée par $\alpha$.\\
  4. En déduire que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont convergentes et déterminer leurs limites.\\
  5. Montrer que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 997. Soit $(u_n)$ la suite définie par \[ u_0 \in \R \quad \text{et} \quad \forall n \in \N, \; u_{n+1}=e^{u_n}-1. \] \\
  1. Étudier la fonction $f:x \mapsto e^x-x-1$.\\
  2. En déduire la monotonie de $(u_n)$ en fonction de $u_0$.\\
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Exercice 998. Soit $(u_n)$ la suite définie par \[ u_0 \in \R^+ \quad \text{et} \quad \forall n \in \N, \; u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}. \] \\
  1. Étudier la fonction $f:x \mapsto \sqrt{x+1}-x$.\\
  2. En déduire la monotonie de $(u_n)$ en fonction de $u_0$.\\
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Exercice 999. Soit $(u_n)$ la suite définie par \[ u_0 \in ]0,1[ \quad \text{et} \quad \forall n \in \N, \; u_{n+1}=\Frac{u_n}{2}+\Frac{u_n^2}{4}. \] \\
  1. Démontrer que pour tout $n \in \N$, on a $0 < u_n < 1$.\\
  2. Démontrer que la suite est monotone.\\
  3. En déduire qu’elle est convergente et déterminer sa limite.