Suites récurrentes

1. Montrer l’existence et l’unicité de $x_n$ solution de $(E_n)$.\\
2. Montrer que $(x_n)$ tend vers $1$.\\
3. Montrer que $(x_n)$ admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois premiers termes de ce développement limité.

1. Montrer l’existence d’une suite $(x_n)$ vérifiant :\\
   1. $(x_n)$ est croissante positive.\\
   2. la tangente à $(C)$ en $(x_n,f(x_n))$ passe par $O$.\\
2. Déterminer un développement asymptotique à $2$ termes de $(x_n)$.

1. Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ est une suite décroissante de limite nulle.\\
2. Déterminer une valeur de $m \in \N^*$ telle que $\Frac{1}{\sin^m(x)}-\Frac{1}{x^m}$ admette une limite finie non nulle quand $x \to 0$.\\
3. On admet le résultat suivant :\\ Si $(v_n)$ est une suite telle que $v_n=o(1)$, alors $\Sum_{k=1}^{n} v_k=o(n)$.\\ En déduire un équivalent de $u_n$ quand $n \to +\infty$.

1. Soit $n \in \mathbb{N}$.\\ Montrer que cette équation admet une unique solution $x_n$ dans $I_n$.\\
2. Donner un équivalent de la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$.\\
3. Donner un développement asymptotique à trois termes de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 1838. Centrale

1. Montrer que $u_n \longrightarrow 0$, puis que $u_n \sim \Frac{1}{\sqrt{2n}}$. \\
2. Prouver que \[ u_n = \Frac{1}{\sqrt{2n}} \;-\; \Frac{3\ln(n)}{8\sqrt{2}\,n^{3/2}} \;+\; o\!\left(\Frac{\ln(n)}{n^{3/2}}\right). \]

1. Soit $n \geqslant 3$. Montrer que $f_n$ s’annule en deux réels, notés $u_n$ et $v_n$, qui vérifient $u_n < n < v_n$.\\
2. 1. Montrer que $\forall n \geqslant 3,\;1 < u_n < e$.\\
   2. Montrer que $f_n(u_{n+1})=\ln(u_{n+1})$ ; en déduire que $(u_n)$ est décroissante.\\
   3. Montrer que $(u_n)$ converge vers $1$.\\
   4. Montrer que $u_n-1 \sim \Frac{1}{n}$.\\
3. 1. Donner la limite de $(v_n)$.\\
   2. Montrer que $\forall n \geqslant 3,\;n\ln(n) < v_n < 2n\ln(n)$.\\
   3. Montrer que $v_n \sim n\ln(n)$.

1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, cette équation admet une unique solution $v_n$ sur $[0,1]$, et déterminer $\limnf v_n$.\\
2. On note $w_n = 1 - v_n$. Montrer que, pour $n$ assez grand, \[ \Frac{\ln(n)}{2n} \leqslant w_n \leqslant \Frac{2 \ln(n)}{n}. \]
3. Donner un développement asymptotique de $v_n$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 1842. Centrale

1. Montrer que $P_n$ admet une unique racine réelle entre $0$ et $1$, notée $x_n$, et déterminer $\limnf x_n$ ainsi qu’un équivalent de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$. \\
2. On pose $\varepsilon_n = n x_n - 1$. Montrer que $\varepsilon_n = \Frac{(1+\varepsilon_n)^n}{n^n}$ et que $\Frac{(1+\varepsilon_n)^n}{n^n} \to 1$ lorsque $n \to +\infty$. \\
3. En déduire un développement asymptotique à deux termes de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.

1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n$ admet un minimum $\mu_n$ atteint en un point et un seul noté $x_n$.\\
2. Déterminer des équivalents simples de $x_n$ et $\mu_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.

1. Prouver l’existence de deux racines $\alpha_n$ et $\beta_n$ de $f_n$ telles que $0<\alpha_n<1<\beta_n$.\\
2. Montrer que $(\alpha_n)_{n\geqslant 3}$ converge et calculer sa limite.\\
3. Montrer que $\alpha_n\sim_{+\infty}\Frac{1}{n}$.\\
4. En considérant $f_n\left(1+\Frac{2}{\sqrt{n}}\right)$, déterminer la limite $\ell$ de $\beta_n$.\\
5. Déterminer un équivalent de $\ln(\beta_n)$, puis de $\beta_n-\ell$.\\

1. Montrer que l’équation $f_n(x)=0$ admet une unique racine $\alpha_n \in [0,1]$. \\
2. Étudier la monotonie et la convergence de la suite $(\alpha_n)_{n \geqslant 1}$. \\
3. En déduire la limite $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \alpha_n$. \\
4. Montrer que $\alpha_n = \Frac{1}{2} + \Frac{1}{4\times2^n} + o\parenthese{\Frac{1}{2^n}}$ lorsque $n \to +\infty$.

1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe un unique $x_n$ tel que $f(x_n)=n$.\\
2. Former le développement asymptotique de la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à la précision $o\left(\Frac{\ln n}{n}\right)$.

1. Montrer que $u_n\sim\sqrt{2n}$ lorsque $n\to+\infty$. \\
2. Montrer que la suite $\left(u_n^2-2n-\Frac{1}{2}\ln(n)\right)$ converge. \\
3. En déduire un développement asymptotique de $u_n$

Exercice 1849. Mines-Télécom

1. Montrer que la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante. \\
2. Montrer que $(a_n)_{n\geqslant 1}$ converge et préciser sa limite. \\
3. Déterminer $\lim_{n\to +\infty} a_n^{n}$ et en déduire l’existence de $b \in \R$ tel que \[ a_n = 1 + \Frac{b}{n} + o\!\left(\Frac{1}{n}\right). \]

1. Montrer que $u_n\to+\infty$. \\
2. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ lorsque $n\to+\infty$. \\
3. Étudier la nature asymptotique de la suite $(u_n^2-2n)$

Exercice 1852. Mines-Télécom

1. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, il existe un unique réel $x_n$ solution de l’équation \[ x^3 + n x = 1. \]
2. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, on a $0 \leqslant x_n \leqslant \Frac{1}{n}$.
3. Montrer que, lorsque $n \to +\infty$, on a \[ x_n = \Frac{1}{n} - \Frac{1}{n^{4}} + o\!\left(\Frac{1}{n^{4}}\right). \]

1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique $x_n \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\ln(x_n)+nx_n=0$. \\
2. Montrer que $x_n \xrightarrow[n\to+\infty]{}0$. \\
3. Donner un équivalent de $x_n$.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que l’équation $\Sum_{k=1}^{n}x^k=1$ admet une unique solution sur $[0,1]$ notée $a_n$. \\
2. Montrer que la suite $(a_n)$ converge vers une limite $\ell$ que l’on calculera. \\
3. Donner un équivalent de $a_n-\ell$.

1. Montrer que pour tout $n\in\N^*$, il existe $x_n\in ]0,1]$ et $y_n\in [1,+\infty[$ tels que \[ f(x_n)=f(y_n)=n. \]
2. Montrer que \[ x_n=e^{-n}+e^{-2n}+\Frac32 e^{-3n}+o(e^{-3n}). \]
3. Montrer que \[ y_n=n+\ln n+\Frac{\ln n}{n}+o\left(\Frac{\ln n}{n}\right). \]

Exercice 1856. Mines-Pont

1. Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution réelle notée $x_n$. \\
2. Montrer que $(x_n)$ a une limite $\ell$ que l'on déterminera. \\
3. Déterminer un équivalent de $x_n$.

1. Montrer que pour tout $n\in\N$, l'équation $x+\ln x=n$ admet une seule solution notée $x_n$. \\
2. Étudier la suite $(x_n)$. \\
3. Trouver les deux premiers termes de son développement asymptotique.

• $u_0=\Frac{\pi}{4}$ et $u_{n+1}=\arctan u_n$.\\
• $u_0\in \R\setminus \pi\Z$ et $u_{n+1}=\sin u_n$.\\
• $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n\cdot e^{-u_n}$.\\
• $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n\cdot \cos(u_n^3)$.

1. Étudier la fonction $f:x\mapsto \th x-x$ sur $]0,+\infty[$.
2. Étudier la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par \[ u_0=1 \qquad \mathrm{et} \qquad u_{n+1}=\th(u_n). \]
3. Trouver, en faisant un développement limité de $\th$ à l'ordre $3$ en $0$, une constante $\alpha > 0$ telle que la suite \[ \left(v_n=\Frac{1}{u_{n+1}^{\alpha}}-\Frac{1}{u_n^{\alpha}}\right)_{n\in\N} \] soit convergente de limite $\ell$ non nulle.
4. En utilisant les moyennes de Cesàro, trouver un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 1862. Mines-Télécom

1. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge et donner sa limite. \\
2. On définit $v_n = \Frac{1}{u_{n+1}} - \Frac{1}{u_n}$. Montrer que $(v_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $1$. \\
3. En déduire un équivalent de $u_n$.

1. Montrer que $u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$. \\
2. Déterminer $\alpha \in \mathbb{Z}$ tel que $u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell \in \mathbb{R}_+^*$. \\
3. Donner un équivalent de $u_n$.

1. Montrer que l’équation $E_n$ possède une solution unique notée $x_n$.\\
2. Montrer que la suite $(x_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
3. Donner un équivalent simple de la suite $(x_n)$.

1. Montrer que $P_{2n+1}$ admet au plus une racine réelle.\\
2. Soit $a_n$ l’unique zéro de $P_{2n+1}$. Étudier la limite de la suite $(a_n)$.\\
3. Déterminer un équivalent de $a_n$.

1. Montrer qu'il existe une telle suite et que $u_n>0$ pour tout $n\in\N$.\\
2. Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
3. Déterminer $\alpha\in\R^*$ tel que $u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha$ possède une limite finie et non nulle quand $n\to+\infty$.\\
4. En déduire un équivalent de $(u_n)$.

1. Montrer que l’équation \[ x\sin x-c\cos x=0 \] où \[ c > 0, \] admet une unique racine \[ x_n \] dans tout intervalle \[ ]n\pi,n\pi+\frac{\pi}{2}[ \] et qu’elle n’en admet pas d’autre dans \[ \mathbb{R}_+. \]
2. Trouver un équivalent $\theta_n$ de \[ x_n-n\pi, \] puis un équivalent de \[ x_n-n\pi-\theta_n. \]

1. Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini.\\
2. On prend \[ u_0=5. \] Montrer que \[ u_{1000}\in[45;45,1]. \]

1. Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.\\
3. Montrer que $u_n \leqslant n$ puis que $u_n=o(n)$.\\
4. Donner un équivalent simple de $(u_n)$.\\
5. Déterminer $\limn\big(u_n-\sqrt{n}\big)$.

1. Montrer que, pour $u_0$ assez petit, la suite $(u_n)$ définie par \[ u_{n+1}=f(u_n) \] pour tout $n\in\mathbb{N}$, converge vers $0$.\\
2. Déterminer alors un équivalent de $u_n$.\\
3. Traiter l’exemple \[ x\mapsto \sin x \quad\text{et}\quad x\mapsto \ln(1+x). \]

1. Soit $(\alpha_n)$ une suite réelle de limite nulle, montrer que $\arctan(\alpha_n)\sim \alpha_n$.\\
2. Montrer que pour tout $n\in\N^\star$, il existe un unique $x_n\in]n\pi,n\pi+\Frac{\pi}{2}[$ tel que $\tan(x_n)=x_n$.\\
3. Montrer que $x_n\sim n\pi$.\\
4. On pose $x_n=n\pi+\Frac{\pi}{2}-\varepsilon_n$. Montrer que $0 < \varepsilon_n < \Frac{\pi}{2}$. Montrer que $\tan(\varepsilon_n)=\Frac{1}{x_n}$. Montrer que $\varepsilon_n\sim\Frac{1}{n\pi}$.

1. Montrer que $(u_n)$ est strictement décroissante. En déduire que $u_n\to 0$.\\
2. On pose $v_n=\Frac{1}{u_{n+1}}-\Frac{1}{u_n}$. Montrer que $v_n\to 1$. En déduire un équivalent de $(u_n)$.

1. Montrer que l’équation $x^n+\ln x=0$ possède une unique solution $x_n>0$.\\
2. Déterminer la limite de $x_n$.\\
3. On pose $u_n=1-x_n$. Justifier que $nu_n\sim -\ln(u_n)$ puis déterminer un équivalent de $u_n$.

1. Démontrer que la suite $(u_n)_n$ converge et donner sa limite.\\
2. En utilisant le théorème de Cesàro, étudier $\left(\dfrac{1}{u_n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et déterminer un équivalent de $u_n$.\\
3. Donner le développement asymptotique de $u_n$ à l’ordre $2$.\\
4. Prouver le théorème de Cesàro.

1. Déterminer la limite de $(u_n)$ si elle existe.\\
2. Montrer que \[ u_n=O\left(\dfrac{1}{2^n}\right). \]
3. Déterminer un équivalent de $u_n$.

1. On définit par récurrence la suite $(u_n)$ par : \[ u_0\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right] \quad \mathrm{et} \quad \forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}=\sin(u_n). \] Déterminer la limite et un équivalent de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\
2. On définit par récurrence la suite $(v_n)$ par : \[ v_0 > 0 \quad \mathrm{et} \quad \forall n\in\mathbb{N},\; v_{n+1}=v_n+\dfrac{1}{v_n}. \] Déterminer la limite et un équivalent de la suite $(v_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

1. Démontrer que la suite $(u_n)_n$ converge et donner sa limite. \\
2. En utilisant le théorème de Cesàro, étudier $\left(\Frac{1}{u_n^2}\right)_{n\in\N}$ et déterminer un équivalent de $u_n$. \\
3. Donner le développement asymptotique de $u_n$ à l’ordre $2$. \\
4. Prouver le théorème de Cesàro.

1. Montrer que $u_n\to 0$, puis que $u_n\sim \frac{1}{\sqrt{2n}}$.
2. Prouver que \[ u_n=\frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{3\ln(n)}{8\sqrt{2}n^{3/2}}+o\left(\frac{\ln(n)}{n^{3/2}}\right). \]

1. Montrer que $u$ existe et que pour tout $n \in \N$, $u_n$ est strictement positif.\\
2. Établir une relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$.\\
3. Montrer que $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est strictement croissante et tend vers $+\infty$.\\
4. $*$ Montrer que $u_{n+1}\sim u_n$, puis que $u_n \sim \Frac{n}{2}$.