Suites récurrentes

1. Montrer que l’équation $E_n$ possède une solution unique notée $x_n$.\\
2. Montrer que la suite $(x_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
3. Donner un équivalent simple de la suite $(x_n)$.

1. Montrer que pour tout $n\in\N$, l'équation $x+\ln x=n$ admet une seule solution notée $x_n$. \\
2. Étudier la suite $(x_n)$. \\
3. Trouver les deux premiers termes de son développement asymptotique.

Exercice 2256. Mines-Télécom

1. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge et donner sa limite. \\
2. On définit $v_n = \Frac{1}{u_{n+1}} - \Frac{1}{u_n}$. Montrer que $(v_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $1$. \\
3. En déduire un équivalent de $u_n$.

1. Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.\\
3. Montrer que $u_n \leqslant n$ puis que $u_n=o(n)$.\\
4. Donner un équivalent simple de $(u_n)$.\\
5. Déterminer $\limn\big(u_n-\sqrt{n}\big)$.

1. Soit $(\alpha_n)$ une suite réelle de limite nulle, montrer que $\arctan(\alpha_n)\sim \alpha_n$.\\
2. Montrer que pour tout $n\in\N^\star$, il existe un unique $x_n\in]n\pi,n\pi+\Frac{\pi}{2}[$ tel que $\tan(x_n)=x_n$.\\
3. Montrer que $x_n\sim n\pi$.\\
4. On pose $x_n=n\pi+\Frac{\pi}{2}-\varepsilon_n$. Montrer que $0 < \varepsilon_n < \Frac{\pi}{2}$. Montrer que $\tan(\varepsilon_n)=\Frac{1}{x_n}$. Montrer que $\varepsilon_n\sim\Frac{1}{n\pi}$.

1. Montrer que $(u_n)$ est strictement décroissante. En déduire que $u_n\to 0$.\\
2. On pose $v_n=\Frac{1}{u_{n+1}}-\Frac{1}{u_n}$. Montrer que $v_n\to 1$. En déduire un équivalent de $(u_n)$.

1. Déterminer la limite de $(u_n)$ si elle existe.\\
2. Montrer que \[ u_n=O\left(\dfrac{1}{2^n}\right). \]
3. Déterminer un équivalent de $u_n$.

1. Soit $n \in\N$ tel que $n \geqslant 2$. Montrer qu'il existe un unique $x \in ]0,1[$ tel que $(n-1)\ln(1-x)+nx=0$. On le note $x_n$. \\
2. Montrer que la suite $(x_n)$ est monotone. \\
3. Montrer que $n(\ln(1-x_n)+x_n)= \ln(1-x_n)$ et que pour tout $x \in [0,1]$, on a $\ln(1-x)+x=0$ si et seulement si $x=0$. En déduire que $x_n \to 0$. \\
4. Montrer que $\Frac{\ln(1-x)+x}{x^2} \to -\Frac{1}{2}$. En déduire que $x_n \sim \Frac{2}{n}$.

1. Soit $n \in \mathbb{N}$.\\ Montrer que cette équation admet une unique solution $x_n$ dans $I_n$.\\
2. Donner un équivalent de la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$.\\
3. Donner un développement asymptotique à trois termes de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.

1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, cette équation admet une unique solution $v_n$ sur $[0,1]$, et déterminer $\limnf v_n$.\\
2. On note $w_n = 1 - v_n$. Montrer que, pour $n$ assez grand, \[ \Frac{\ln(n)}{2n} \leqslant w_n \leqslant \Frac{2 \ln(n)}{n}. \]
3. Donner un développement asymptotique de $v_n$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 2267. Centrale

1. Montrer que $P_n$ admet une unique racine réelle entre $0$ et $1$, notée $x_n$, et déterminer $\limnf x_n$ ainsi qu’un équivalent de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$. \\
2. On pose $\varepsilon_n = n x_n - 1$. Montrer que $\varepsilon_n = \Frac{(1+\varepsilon_n)^n}{n^n}$ et que $\Frac{(1+\varepsilon_n)^n}{n^n} \to 1$ lorsque $n \to +\infty$. \\
3. En déduire un développement asymptotique à deux termes de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.

1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n$ admet un minimum $\mu_n$ atteint en un point et un seul noté $x_n$.\\
2. Déterminer des équivalents simples de $x_n$ et $\mu_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.

1. Montrer que l’équation $f_n(x)=0$ admet une unique racine $\alpha_n \in [0,1]$. \\
2. Étudier la monotonie et la convergence de la suite $(\alpha_n)_{n \geqslant 1}$. \\
3. En déduire la limite $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \alpha_n$. \\
4. Montrer que $\alpha_n = \Frac{1}{2} + \Frac{1}{4\times2^n} + o\parenthese{\Frac{1}{2^n}}$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 2270. Mines-Télécom

1. Montrer que la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante. \\
2. Montrer que $(a_n)_{n\geqslant 1}$ converge et préciser sa limite. \\
3. Déterminer $\lim_{n\to +\infty} a_n^{n}$ et en déduire l’existence de $b \in \R$ tel que \[ a_n = 1 + \Frac{b}{n} + o\!\left(\Frac{1}{n}\right). \]

• $u_0=\Frac{\pi}{4}$ et $u_{n+1}=\arctan u_n$.\\
• $u_0\in \R\setminus \pi\Z$ et $u_{n+1}=\sin u_n$.\\
• $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n\cdot e^{-u_n}$.\\
• $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n\cdot \cos(u_n^3)$.

1. Montrer que $u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$. \\
2. Déterminer $\alpha \in \mathbb{Z}$ tel que $u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell \in \mathbb{R}_+^*$. \\
3. Donner un équivalent de $u_n$.

1. Montrer qu'il existe une telle suite et que $u_n>0$ pour tout $n\in\N$.\\
2. Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
3. Déterminer $\alpha\in\R^*$ tel que $u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha$ possède une limite finie et non nulle quand $n\to+\infty$.\\
4. En déduire un équivalent de $(u_n)$.

1. Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini.\\
2. On prend $u_0=5$.\\ Montrer que $u_{1000}\in[45;45,1]$.

1. Montrer que $u$ existe et que pour tout $n \in \N$, $u_n$ est strictement positif.\\
2. Établir une relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$.\\
3. Montrer que $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est strictement croissante et tend vers $+\infty$.\\
4. $*$ Montrer que $u_{n+1}\sim u_n$, puis que $u_n \sim \Frac{n}{2}$.

1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $1 \leqslant u_n \leqslant 1+\dfrac{2}{n}$.\\
2. En déduire que $u_n=1+o(1)$, puis que $u_n=1+\dfrac{1}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)$, puis que $u_n=1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$.

1. Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour tout $n \in \N$.\\
2. En déduire pour tout $n \in \N$ une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.\\
3. Montrer que $u_n-\sqrt{a}\sim 2\sqrt{a}\left(\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\right)^{2^n}$ et expliquer pourquoi cette méthode nommée méthode de Héron est une méthode puissante pour calculer des valeurs approchées de $\sqrt{a}$.

1. Montrer que $(u_n)$ possède une limite et la déterminer.\\
2. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$, $u_n \leqslant \ln(2n)$. Montrer que $u_n \sim \ln(n)$.\\
3. Montrer que \[ u_n-\ln(n)\sim \dfrac{\ln(n)}{n}. \]

1. Montrer que pour tout entier $n$, $u_n \geqslant \sqrt{n}$.\\
2. 1. Montrer que : $\forall x\in\R_+,\quad \sqrt{x}\leqslant \dfrac12(1+x)$.\\
   2. En déduire que : $\forall n\in\N,\quad u_n\leqslant n+\dfrac{u_0}{2^n}$ puis que la suite $\left(\dfrac{u_{n-1}}{n^2}\right)_{n\geqslant 1}$ converge vers $0$.\\
   3. Montrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)_{n\geqslant 1}$ converge vers $0$, puis en remarquant que, pour tout entier $n$ non nul, \[ 1\leqslant \dfrac{u_n}{\sqrt{n}}\leqslant \sqrt{1+\dfrac{u_{n-1}}{n}}, \] en déduire un équivalent de $u_n$ en $+\infty$.
3. On pose $w_n=u_n-\sqrt{n}$. À l’aide d’un équivalent usuel, montrer que la suite $(w_n)_{n\in\N}$ admet une limite $L$ que l’on précisera.\\
4. Calculer $\limn \left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$ et en déduire $\limn (u_n-u_{n-1})$.\\ Justifier alors qu’il existe un entier naturel $N_0$ tel que : \[ \forall n\geqslant N_0,\quad u_n\geqslant u_{n-1}-\dfrac12. \] Montrer que $u_{n+1}-u_n$ est du signe de $1+u_n-u_{n-1}$, puis que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est croissante à partir d’un certain rang.\\
5. Écrire un programme en langage Pascal qui calcule le terme d’indice $n$ de la suite, $u_0$ et $n$ étant entrés par l’utilisateur.

1. Montrer que pour tout entier $n$, $u_n \geqslant \sqrt{n}$.\\
2. 1. Montrer que : $\forall x\in\R_+,\quad \sqrt{x}\leqslant \dfrac12(1+x)$.\\
   2. En déduire que : $\forall n\in\N,\quad u_n\leqslant n+\dfrac{u_0}{2^n}$ puis que la suite $\left(\dfrac{u_{n-1}}{n^2}\right)_{n\geqslant 1}$ converge vers $0$.\\
   3. Montrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)_{n\geqslant 1}$ converge vers $0$, puis en remarquant que, pour tout entier $n$ non nul, \[ 1\leqslant \dfrac{u_n}{\sqrt{n}}\leqslant \sqrt{1+\dfrac{u_{n-1}}{n}}, \] en déduire un équivalent de $u_n$ en $+\infty$.
3. On pose $w_n=u_n-\sqrt{n}$. À l’aide d’un équivalent usuel, montrer que la suite $(w_n)_{n\in\N}$ admet une limite $L$ que l’on précisera.\\
4. Calculer $\limn \left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$ et en déduire $\limn (u_n-u_{n-1})$.\\ Justifier alors qu’il existe un entier naturel $N_0$ tel que : \[ \forall n\geqslant N_0,\quad u_n\geqslant u_{n-1}-\dfrac12. \] Montrer que $u_{n+1}-u_n$ est du signe de $1+u_n-u_{n-1}$, puis que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est croissante à partir d’un certain rang.\\
5. Écrire un programme en langage Pascal qui calcule le terme d’indice $n$ de la suite, $u_0$ et $n$ étant entrés par l’utilisateur.

1. Démontrer que pour tout $n$, $(E_n)$ admet une unique solution $x_n$.\\
2. Démontrer que la suite $(x_n)_n$ est convergente de limite $1$.\\
3. Déterminer un développement limité de $x_n$.

1. Pour $n \in \N^{*}$, montrer que l’équation $\tan \Frac{\pi}{2} x = \Frac{\pi}{2nx}$ admet une unique solution notée $x_{n}$ sur $]0,1[$.\\
2. Montrer que $x_{n}$ tend vers $0$ en décroissant lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\
3. Donner un équivalent de $x_{n}$.

1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ converge. \\
2. Prouver que la suite $(2^n u_n)_{n \geq 0}$ converge vers une limite $\lambda$ qu'on ne déterminera pas. \\
3. Donner un équivalent de $u_n - \dfrac{\lambda}{2^n}$ quand $n \to +\infty$.

1. Déterminer la limite de $(u_n)$. \\
2. Donner un équivalent de $u_n$.

1. Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ est une suite décroissante de limite nulle.\\
2. Déterminer une valeur de $m \in \N^*$ telle que $\Frac{1}{\sin^m(x)}-\Frac{1}{x^m}$ admette une limite finie non nulle quand $x \to 0$.\\
3. On admet le résultat suivant :\\ Si $(v_n)$ est une suite telle que $v_n=o(1)$, alors $\Sum_{k=1}^{n} v_k=o(n)$.\\ En déduire un équivalent de $u_n$ quand $n \to +\infty$.

Exercice 2290. Centrale

1. Montrer que $u_n \longrightarrow 0$, puis que $u_n \sim \Frac{1}{\sqrt{2n}}$. \\
2. Prouver que \[ u_n = \Frac{1}{\sqrt{2n}} \;-\; \Frac{3\ln(n)}{8\sqrt{2}\,n^{3/2}} \;+\; o\!\left(\Frac{\ln(n)}{n^{3/2}}\right). \]

1. Soit $n \geqslant 3$. Montrer que $f_n$ s’annule en deux réels, notés $u_n$ et $v_n$, qui vérifient $u_n < n < v_n$.\\
2. 1. Montrer que $\forall n \geqslant 3,\;1 < u_n < e$.\\
   2. Montrer que $f_n(u_{n+1})=\ln(u_{n+1})$ ; en déduire que $(u_n)$ est décroissante.\\
   3. Montrer que $(u_n)$ converge vers $1$.\\
   4. Montrer que $u_n-1 \sim \Frac{1}{n}$.\\
3. 1. Donner la limite de $(v_n)$.\\
   2. Montrer que $\forall n \geqslant 3,\;n\ln(n) < v_n < 2n\ln(n)$.\\
   3. Montrer que $v_n \sim n\ln(n)$.

1. Prouver l’existence de deux racines $\alpha_n$ et $\beta_n$ de $f_n$ telles que $0<\alpha_n<1<\beta_n$.\\
2. Montrer que $(\alpha_n)_{n\geqslant 3}$ converge et calculer sa limite.\\
3. Montrer que $\alpha_n\sim_{+\infty}\Frac{1}{n}$.\\
4. En considérant $f_n\left(1+\Frac{2}{\sqrt{n}}\right)$, déterminer la limite $\ell$ de $\beta_n$.\\
5. Déterminer un équivalent de $\ln(\beta_n)$, puis de $\beta_n-\ell$.\\

1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe un unique $x_n$ tel que $f(x_n)=n$.\\
2. Former le développement asymptotique de la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à la précision $o\left(\Frac{\ln n}{n}\right)$.

1. Montrer que $u_n\to+\infty$. \\
2. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ lorsque $n\to+\infty$. \\
3. Étudier la nature asymptotique de la suite $(u_n^2-2n)$

Exercice 2296. Mines-Télécom

1. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, il existe un unique réel $x_n$ solution de l’équation \[ x^3 + n x = 1. \]
2. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, on a $0 \leqslant x_n \leqslant \Frac{1}{n}$.
3. Montrer que, lorsque $n \to +\infty$, on a \[ x_n = \Frac{1}{n} - \Frac{1}{n^{4}} + o\!\left(\Frac{1}{n^{4}}\right). \]

1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique $x_n \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\ln(x_n)+nx_n=0$. \\
2. Montrer que $x_n \xrightarrow[n\to+\infty]{}0$. \\
3. Donner un équivalent de $x_n$.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que l’équation $\Sum_{k=1}^{n}x^k=1$ admet une unique solution sur $[0,1]$ notée $a_n$. \\
2. Montrer que la suite $(a_n)$ converge vers une limite $\ell$ que l’on calculera. \\
3. Donner un équivalent de $a_n-\ell$.

1. Montrer que pour tout $n\in\N^*$, il existe $x_n\in ]0,1]$ et $y_n\in [1,+\infty[$ tels que \[ f(x_n)=f(y_n)=n. \]
2. Montrer que \[ x_n=e^{-n}+e^{-2n}+\Frac32 e^{-3n}+o(e^{-3n}). \]
3. Montrer que \[ y_n=n+\ln n+\Frac{\ln n}{n}+o\left(\Frac{\ln n}{n}\right). \]

Exercice 2300. Mines-Pont

1. Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution réelle notée $x_n$. \\
2. Montrer que $(x_n)$ a une limite $\ell$ que l'on déterminera. \\
3. Déterminer un équivalent de $x_n$.

1. Étudier la fonction $f:x\mapsto \th x-x$ sur $]0,+\infty[$.
2. Étudier la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par \[ u_0=1 \qquad \mathrm{et} \qquad u_{n+1}=\th(u_n). \]
3. Trouver, en faisant un développement limité de $\th$ à l'ordre $3$ en $0$, une constante $\alpha > 0$ telle que la suite \[ \left(v_n=\Frac{1}{u_{n+1}^{\alpha}}-\Frac{1}{u_n^{\alpha}}\right)_{n\in\N} \] soit convergente de limite $\ell$ non nulle.
4. En utilisant les moyennes de Cesàro, trouver un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

1. Montrer que l’équation $x\sin x-c\cos x=0$, où $c > 0$, admet une unique racine $x_n$ dans tout intervalle $]n\pi,n\pi+\dfrac{\pi}{2}[$ et qu’elle n’en admet pas d’autre dans $\mathbb{R}_+$.\\
2. Trouver un équivalent $\theta_n$ de $x_n-n\pi$, puis un équivalent de $x_n-n\pi-\theta_n$.

1. Montrer que, pour $u_0$ assez petit, la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, converge vers $0$.\\
2. Déterminer alors un équivalent de $u_n$.\\
3. Traiter l’exemple $x\mapsto \sin x$ et $x\mapsto \ln(1+x)$.

1. Montrer que l’équation $x^n+\ln x=0$ possède une unique solution $x_n>0$.\\
2. Déterminer la limite de $x_n$.\\
3. On pose $u_n=1-x_n$. Justifier que $nu_n\sim -\ln(u_n)$ puis déterminer un équivalent de $u_n$.

1. Démontrer que la suite $(u_n)_n$ converge et donner sa limite.\\
2. En utilisant le théorème de Cesàro, étudier $\left(\dfrac{1}{u_n^2}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et déterminer un équivalent de $u_n$.\\
3. Donner le développement asymptotique de $u_n$ à l’ordre $2$.\\
4. Prouver le théorème de Cesàro.

1. On définit par récurrence la suite $(u_n)$ par : \[ u_0\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right] \quad \mathrm{et} \quad \forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}=\sin(u_n). \] Déterminer la limite et un équivalent de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\
2. On définit par récurrence la suite $(v_n)$ par : \[ v_0 > 0 \quad \mathrm{et} \quad \forall n\in\mathbb{N},\; v_{n+1}=v_n+\dfrac{1}{v_n}. \] Déterminer la limite et un équivalent de la suite $(v_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

1. Démontrer que la suite $(u_n)_n$ converge et donner sa limite. \\
2. En utilisant le théorème de Cesàro, étudier $\left(\Frac{1}{u_n^2}\right)_{n\in\N}$ et déterminer un équivalent de $u_n$. \\
3. Donner le développement asymptotique de $u_n$ à l’ordre $2$. \\
4. Prouver le théorème de Cesàro.

1. Montrer que $u_n\to 0$, puis que $u_n\sim \frac{1}{\sqrt{2n}}$.
2. Prouver que \[ u_n=\frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{3\ln(n)}{8\sqrt{2}n^{3/2}}+o\left(\frac{\ln(n)}{n^{3/2}}\right). \]

1. Montrer qu’il existe un unique réel strictement positif, que l’on notera $x_n$, tel que $f_n(x_n)=0$.\\
2. Vérifier que, pour tout $n \in \N^*$, $x_n$ est strictement supérieur à $1$.\\
3. Montrer que $f_n(x_{n+1})=\exp\parenthese{\dfrac{1}{x_{n+1}}}-1$. En déduire que la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ est strictement croissante.\\
4. Montrer que $\limn x_n=+\infty$.\\
5. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $x_n\ln(x_n)=n$, puis que $\ln(\ln(x_n))+\ln(x_n)=\ln(n)$. En déduire que $\ln(x_n)\sim \ln(n)$.\\
6. Trouver un équivalent simple de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.

1. Soit $n \geqslant 1$. Montrer que l’équation\\ \[ x^n+x^2-1=0 \] admet une unique solution strictement positive. On la note désormais $x_n$.\\
2. Montrer que la suite est convergente par le TLM. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$.\\
3. Déterminer un équivalent simple de $x_n-\ell$ : on posera $u_n=1-x_n$ puis on montrera que\\ \[ n\ln(1-u_n)=\ln(u_n)+\ln(2-u_n), \] puis que $\ln(u_n)\sim -\ln(n)$. Résumer en une seule ligne le résultat de cet exercice.

1. Montrer que l'équation $x=\tan x$ admet pour tout $n\in\N$ une unique solution $x_n$ dans l'intervalle \[ \left]-\Frac{\pi}{2}+n\pi,\Frac{\pi}{2}+n\pi\right[. \]
2. Déterminer le développement asymptotique à quatre termes significatifs de $x_n$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, l’équation $x-e^{-x}=n$ admet une unique solution que l’on notera $x_n$.\\
2. Donner un développement asymptotique à quatre termes de $x_n$.

1. Montrer que l’équation $x^{n}+x-1=0$ possède une unique solution dans $\R_{+}$, que l’on notera $x_{n}$. \\
2. Montrer que la suite $(x_{n})_{n \in \N^{*}}$ est monotone et convergente, et déterminer sa limite. \\
3. On définit, pour tout $n \in \N^{*}$, la fonction $g_{n}:y \mapsto n \ln(1-y)-\ln y$. \\ Déterminer des équivalents simples des suites $\left( g_{n}\left( \dfrac{\ln n}{2n} \right) \right)_{n \geqslant 2}$ et $\left( g_{n}\left( \dfrac{\ln n}{n} \right) \right)_{n \geqslant 2}$. \\
4. On pose $(y_{n})_{n \in \N^{*}}=(1-x_{n})_{n \in \N^{*}}$. Utiliser la question précédente pour montrer que pour $n$ assez grand, on a l’encadrement $\dfrac{\ln n}{2n} \leqslant y_{n} \leqslant \dfrac{\ln n}{n}$. \\
5. Montrer $\ln y_{n} \sim -\ln n$, et en déduire un développement asymptotique de la suite $(x_{n})_{n \in \N^{*}}$ à la précision $o\left( \dfrac{\ln n}{n} \right)$.

1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\tan(x)=x$ admet une unique solution sur \[ ]n\pi-\dfrac{\pi}{2},n\pi+\dfrac{\pi}{2}[ \] que l’on notera $x_n$.\\
2. Déterminer un équivalent simple de $x_n$ quand $n \to +\infty$.\\
3. On pose, pour tout $n \in \N^*$, \[ \delta_n=x_n-n\pi. \] Exprimer $\delta_n$ en fonction de $x_n$ et de la fonction $\arctan$ pour tout $n \in \N^*$ puis calculer \[ \limn \delta_n. \]
4. Montrer rapidement que \[ \arctan(x)+\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\pi}{2} \] pour tout $x > 0$ et en déduire le développement asymptotique \[ x_n=n\pi+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{n\pi}+\dfrac{1}{2n^2\pi}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right). \]

1. Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$. \\
2. Montrer que $u_n\sim n$. \\
3. Montrer qu’il existe $\beta\in\mathbb{R}$ tel que : \[ u_n=n+\frac{\beta}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right). \]

1. Étudier la suite $(u_n)_n$.\\
2. Supposons $f'(0)\neq 0$. Montrer que $\Sum_n u_n^2$ est convergente.

1. Soit $(u_n)$ une suite de scalaires convergente vers $\ell$. Montrer qu'on a alors la convergence en moyenne :\\ \[ v_n=\frac{u_0+u_1+\cdots+u_n}{n+1}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell. \]
2. Déterminer une suite simple, équivalente à la suite définie par $u_0\in]0,1]$ et :\\ \[ \forall n \in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=\sin(u_n). \] On pourra déterminer $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $u_{n+1}^{\alpha}-u_n^{\alpha}$ soit convergente vers une limite non nulle, puis utiliser le a).

1. Montrer l’existence et l’unicité de $x_n$ solution de $(E_n)$.\\
2. Montrer que $(x_n)$ tend vers $1$.\\
3. Montrer que $(x_n)$ admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois premiers termes de ce développement limité.

1. Montrer l’existence d’une suite $(x_n)$ vérifiant :\\
   1. $(x_n)$ est croissante positive.\\
   2. la tangente à $(C)$ en $(x_n,f(x_n))$ passe par $O$.\\
2. Déterminer un développement asymptotique à $2$ termes de $(x_n)$.

1. Montrer que $u_n\sim\sqrt{2n}$ lorsque $n\to+\infty$. \\
2. Montrer que la suite $\left(u_n^2-2n-\Frac{1}{2}\ln(n)\right)$ converge. \\
3. En déduire un développement asymptotique de $u_n$

1. Montrer que $P_{2n+1}$ admet au plus une racine réelle.\\
2. Soit $a_n$ l’unique zéro de $P_{2n+1}$. Étudier la limite de la suite $(a_n)$.\\
3. Déterminer un équivalent de $a_n$.

1. On considère la suite $(x_n)$ définie par $x_0\in]0,1[$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $x_{n+1}-x_n=f(x_n)$.\\
   1. Étudier la suite $(x_n)$.\\
   2. Montrer que, pour $n$ assez grand, il existe un unique entier naturel $\varphi(n)$ tel que $x_{\varphi(n)+1}\leqslant \dfrac{1}{n} < x_{\varphi(n)}$.\\
   3. Démontrer qu’il existe $C\neq 0$ tel que $\varphi(n)\sim C\ln n$.
2. On passe au cas continu. On considère la solution de l’équation différentielle $x'=f(x)$ prenant en $0$ la valeur $x(0)\in]0,1[$.\\ Montrer que $x$ est définie sur $[0,+\infty[$ et que, pour $n$ assez grand, il existe un unique $t_n\geqslant 0$ tel que $x(t_n)=\dfrac{1}{n}$.\\ Déterminer un équivalent de $t_n$.