Comparaison de suites

Exercice 1291. Oral CCP

\\ On considère deux suites numériques $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ telles que $(v_n)_{n\in\N}$ est non nulle à partir d’un certain rang et que $u_n \sim_{+\infty} v_n$. Montrer que $u_n$ et $v_n$ sont de même signe à partir d’un certain rang.
Exercice 1292. Donner un développement asymptotique de $u_n = \Frac{(-1)^n\sqrt{n}\sin\!\left(\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}+(-1)^n}$. \\ On pose $a_n = \left(1+\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-n}$. Montrer que $a_n = o\!\left(\Frac{1}{n^2}\right)$.

Exercice 1293. Mines-Télécom

\\Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ une suite croissante de limite $l \in \R$. On pose, pour tout $n \geqslant 1$, \[ v_n = \Frac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}{n}. \]
  1. Montrer que la suite $(v_n)_{n\geqslant 1}$ est croissante. \\
  2. Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, on a $v_{2n} \geqslant \Frac{u_n + v_n}{2}$. \\
  3. En déduire que $\lim_{n\to +\infty} v_n = l$.
Exercice 1294. Pour $n \geqslant 1$ on considère la fonction \[ f_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1. \]
  1. Montrer que l’équation $f_n(x)=0$ admet une unique racine $\alpha_n \in [0,1]$. \\
  2. Étudier la monotonie et la convergence de la suite $(\alpha_n)_{n \geqslant 1}$. \\
  3. En déduire la limite $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \alpha_n$. \\
  4. Montrer que $\alpha_n = \Frac{1}{2} + \Frac{1}{4\times2^n} + o\parenthese{\Frac{1}{2^n}}$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 1295. Mines-Télécom

\\ On considère la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ définie par $a_1 = 2$ et, pour tout $n \in \N^{*}$, \[ a_{n+1} = 2^{\frac{a_n}{n+1}}. \]
  1. Montrer que la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante. \\
  2. Montrer que $(a_n)_{n\geqslant 1}$ converge et préciser sa limite. \\
  3. Déterminer $\lim_{n\to +\infty} a_n^{n}$ et en déduire l’existence de $b \in \R$ tel que \[ a_n = 1 + \Frac{b}{n} + o\!\left(\Frac{1}{n}\right). \]

Exercice 1296. Mines-Télécom

\\ On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N$, \[ u_{n+1} = u_n e^{-u_n}. \]
  1. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge et donner sa limite. \\
  2. On définit \[ v_n = \Frac{1}{u_{n+1}} - \Frac{1}{u_n}. \] Montrer que $(v_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $1$. \\
  3. En déduire un équivalent de $u_n$.

Exercice 1297. Mines-Télécom

\\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, il existe un unique réel $x_n$ solution de l’équation \[ x^3 + n x = 1. \]
  2. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, on a $0 \leqslant x_n \leqslant \Frac{1}{n}$.
  3. Montrer que, lorsque $n \to +\infty$, on a \[ x_n = \Frac{1}{n} - \Frac{1}{n^{4}} + o\!\left(\Frac{1}{n^{4}}\right). \]

Exercice 1298. Centrale

\\ On pose $u_0 = a > 0$, $u_1 = b > 0$ et, pour tout $n \geqslant 1$, \[ (R) :\quad u_{n+1} = \Frac{u_n}{1 + u_n u_{n-1}}. \]
  1. Montrer que $u_n \longrightarrow 0$, puis que $u_n \sim \Frac{1}{\sqrt{2n}}$. \\
  2. Prouver que \[ u_n = \Frac{1}{\sqrt{2n}} \;-\; \Frac{3\ln(n)}{8\sqrt{2}\,n^{3/2}} \;+\; o\!\left(\Frac{\ln(n)}{n^{3/2}}\right). \]
Exercice 1299. On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ définie par $u_0 > 0$ et, pour tout $n\in\N$, \[ u_{n+1} = u_n + \Frac{1}{u_n^{\alpha}}, \qquad (\alpha > -1). \] Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n\to+\infty$.
Exercice 1300. Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs ou nuls. \\ Montrer que $a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0 \Longleftrightarrow e^{a_n} \sim \left(1+\Frac{a_n}{n}\right)^n$.
Exercice 1301. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique $x_n \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\ln(x_n)+nx_n=0$. \\
  2. Montrer que $x_n \xrightarrow[n\to+\infty]{}0$. \\
  3. Donner un équivalent de $x_n$.
Exercice 1302.
  1. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que l’équation $\Sum_{k=1}^{n}x^k=1$ admet une unique solution sur $[0,1]$ notée $a_n$. \\
  2. Montrer que la suite $(a_n)$ converge vers une limite $\ell$ que l’on calculera. \\
  3. Donner un équivalent de $a_n-\ell$.