Suites récurrentes

Exercice 1100.
  1. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que l’équation $\Sum_{k=1}^{n}x^k=1$ admet une unique solution sur $[0,1]$ notée $a_n$. \\
  2. Montrer que la suite $(a_n)$ converge vers une limite $\ell$ que l’on calculera. \\
  3. Donner un équivalent de $a_n-\ell$.

Exercice 1101. Mines-Télécom

\\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, il existe un unique réel $x_n$ solution de l’équation \[ x^3 + n x = 1. \]
  2. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, on a $0 \leqslant x_n \leqslant \Frac{1}{n}$.
  3. Montrer que, lorsque $n \to +\infty$, on a \[ x_n = \Frac{1}{n} - \Frac{1}{n^{4}} + o\!\left(\Frac{1}{n^{4}}\right). \]
Exercice 1102. Soit $n$ un entier naturel et $E_n$ l’équation $x+\ln x=n$ d’inconnue $x\in\mathbb{R}_+^*$.\\
  1. Montrer que l’équation $E_n$ possède une solution unique notée $x_n$.\\
  2. Montrer que la suite $(x_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
  3. Donner un équivalent simple de la suite $(x_n)$.
Exercice 1103. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique $x_n \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\ln(x_n)+nx_n=0$. \\
  2. Montrer que $x_n \xrightarrow[n\to+\infty]{}0$. \\
  3. Donner un équivalent de $x_n$.

Exercice 1104. Mines-Pont

\\ Pour $n \in \N$, on pose l'équation \[ (E_n) \; : \; xe^{nx} = 1 \]
  1. Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution réelle notée $x_n$. \\
  2. Montrer que $(x_n)$ a une limite $\ell$ que l'on déterminera. \\
  3. Déterminer un équivalent de $x_n$.

Exercice 1105. Mines-Télécom

\\ On considère la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ définie par $a_1 = 2$ et, pour tout $n \in \N^{*}$, \[ a_{n+1} = 2^{\frac{a_n}{n+1}}. \]
  1. Montrer que la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante. \\
  2. Montrer que $(a_n)_{n\geqslant 1}$ converge et préciser sa limite. \\
  3. Déterminer $\lim_{n\to +\infty} a_n^{n}$ et en déduire l’existence de $b \in \R$ tel que \[ a_n = 1 + \Frac{b}{n} + o\!\left(\Frac{1}{n}\right). \]
Exercice 1106. On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ définie par $u_0 > 0$ et, pour tout $n\in\N$, \[ u_{n+1} = u_n + \Frac{1}{u_n^{\alpha}}, \qquad (\alpha > -1). \] Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n\to+\infty$.