Equations polynomiales

Exercice 3465. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme non nul tel que\\ \[ P(X^2)+P(X)P(X+1)=0. \]\\
  1. Montrer que si $a$ est racine de $P$ alors $a^2$ l’est aussi.\\
  2. En déduire que $a=0$ ou bien $a$ est racine de l’unité.
Exercice 3466. Résoudre $x^3-8x^2+23x-28=0$ sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
Exercice 3467. Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb{C}[X]$ tels que $P(0)=0$ et $P(X^2+1)=P(X)^2+1$.
Exercice 3468. Démontrer qu'il n'existe aucun polynôme $P$ tel que $P^2 = X(X^{2n}+1)$.
Exercice 3469. Déterminer les racines complexes de $X^4+12X-5$ sachant qu'il possède deux racines dont la somme vaut $2$.
Exercice 3470. Résoudre les équations suivantes :\\
  1. $Q^2 = X P^2$ d’inconnues $P,Q \in \mathbb{K}[X]$.\\
  2. $P \circ P = P$ d’inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$.
Exercice 3471. Résoudre les équations suivantes :\\
  1. $P'^2=4P$ d’inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$.\\
  2. $(X^2+1)P''-6P=0$ d’inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$.
Exercice 3472. Soient $P(X)=X^3+pX+q\in\mathbb{C}[X]$ et $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ les racines de $P(X)$.\\
  1. Montrer qu'il existe un unique couple $(u,v)\in\mathbb{C}^2$ tel que $\alpha_1=u+v$, $\alpha_2=ju+j^2v$ et $\alpha_3=j^2u+jv$.\\
  2. En calculant $\alpha_1\alpha_2\alpha_3$ et $\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_3\alpha_1$, déterminer $uv$ et $u^3+v^3$.\\
  3. En déduire que $u^3$ et $v^3$ sont racines de $Q(X)=X^2+qX-\Frac{p^3}{27}$.\\
  4. Donner une méthode pour calculer les racines de $P(X)$.\\
  5. Donner une méthode pour déterminer les racines d'un polynôme de degré $3$.\\
  6. À quelle condition le polynôme $X^3+pX+q$ a-t-il une racine multiple ?\\
  7. On suppose $p$ et $q$ dans $\mathbb{R}$. À quelle condition sur $p$ et $q$ les racines de $P$ sont-elles réelles ?
Exercice 3473. Soient $n > 2$ un entier, puis $\theta\in\mathbb{R}$. Montrer que le polynôme\\ $X^2-2\cos\theta\,X+1$ divise le polynôme $\sin\theta\,X^n-\sin(n\theta)\,X+\sin((n-1)\theta)$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3474. Factoriser le polynôme $X^{10}+X^5+1$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3475. Notons \[ P=\sum_{k=0}^{n-1}X^{2k}. \]
  1. Écrire $P$ sans le symbole $\sum$. En déduire les racines de $P$.\\
  2. Factoriser $P$ dans $\mathbb{R}[X]$.\\
  3. Déterminer $\Prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\Frac{k\pi}{2n}\right)$.
Exercice 3476. Factoriser \[ P(X)=X^7-5X^6+8X^5-4X^4-4X^3+8X^2-5X+1 \] dans $\mathbb{R}$ puis dans $\mathbb{C}$.
Exercice 3477. \\
  1. Déterminer toutes les racines de \[ P(X)=4X^4+3X^2+1. \]
  2. Factoriser $P(X)$ dans $\mathbb{R}[X]$.\\
  3. En déduire deux diviseurs de $40301$.
Exercice 3478. \\
  1. Déterminer les racines dans $\mathbb{C}$ des polynômes $X^2+X+1$ et $X^2-X+1$.\\
  2. Calculer le reste de la division euclidienne de \[ P(X)=(X-1)^{n+2}-X^{2n+1} \] par $X^2-X+1$.
Exercice 3479. Trouver tous les polynômes $P\in\mathbb{C}[X]$ tels que $P(z)\in\mathbb{R}$ pour tout $z\in\mathbb{C}$.
Exercice 3480. Déterminer les polynômes $P\in\mathbb{C}[X]$ tels que \[ P(X^2)=(X^2+1)P(X). \]
Exercice 3481. Montrer que pour tout entier naturel $n$, il existe un unique polynôme $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que\\ \[ P_n-P_n'=X^n. \] Exprimer les coefficients de $P_n$ à l’aide de nombres factoriels.
Exercice 3482. Déterminer les polynômes $P\in\mathbb{C}[X]$ tel que $P(X^2)=-P(X)P(X+1)$.
Exercice 3483. Trouver les $P\in\mathbb{C}[X]$ tels que\\ \[ P(1)=1,\;P(2)=2,\;P'(1)=3,\;P'(2)=4,\;P''(1)=5\;et\;P''(2)=6. \]
Exercice 3484. Déterminer tous les polynômes $P \in \R[X]$ vérifiants $P(X+1)=P(X)$.
Exercice 3485. Déterminer tous les polynômes de $\mathbb{C}[X]$ tels que $P(X^2)=(X^2+1)P(X)$.
Exercice 3486. Montrer que si $P\in\mathbb{R}[X]\setminus\{0\}$ vérifie\\ \[ P(X^2)=P(X)P(X+1), \] ses racines sont parmi $0,1,-j,-j^2$.\\ En déduire tous les polynômes solutions.
Exercice 3487. Déterminer les $P$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que\\ \[ (X+4)P(X)=XP(X+1). \]
Exercice 3488. \\
  1. Montrer que le polynôme $P=X^{3}-11X+12$ de $\mathbb{R}[X]$ admet exactement trois zéros réels, notés $a,b,c$ et que :\\ $-4 < a < -3$, $1 < b < 2 < c < 3$.\\
  2. Calculer $S=\arctan a+\arctan b+\arctan c$.
Exercice 3489. \\
  1. Déterminer une CNS sur $(a,b)\in\mathbb{R}^{2}$ pour que le polynôme $P=X^{4}+aX^{3}+bX^{2}+12X+9$ soit le carré d’un polynôme de $\mathbb{R}[X]$.\\
  2. Dans ce cas, factoriser $P$ et $P-1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Exercice 3490. X

\\ Trouver tous les couples $(P,Q)\in\mathbb{C}[X]^2$ tels que $P^2=1+(X^2-1)Q^2$.\\
Exercice 3491. Résoudre le système d’équations d’inconnue $(x,y,z)\in\mathbb{C}^{3}$ :\\ \[ (S)\qquad \left\{ \begin{aligned} x+y+z&=1\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}&=1\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}&=-5 \end{aligned} \right. \]
Exercice 3492. On cherche les polynômes $P$ non nuls tels que\\ \[ P(X^2)=P(X-1)P(X). \]\\
  1. Montrer que toute racine d’un tel $P$ est de module $1$.\\
  2. Déterminer les polynômes $P$.
Exercice 3493. On considère l’équation : $x^3-(2+\sqrt{2})x^2+2(\sqrt{2}+1)x-2\sqrt{2}=0$ de racines $x_1,x_2,x_3$.\\
  1. Former une équation dont $x_1^2,x_2^2,x_3^2$ seraient racines.\\
  2. En déduire les valeurs de $x_1,x_2,x_3$.
Exercice 3494. Déterminer une CNS sur $\lambda \in \mathbb{C}$ pour que deux des solutions de l’équation\\ \[ z^{4}-4z^{3}+\lambda z^{2}-12z+3=0 \] soient de produit égal à $1$, et résoudre l’équation dans ce cas.
Exercice 3495. Soient $a,b,c,d,e$ des réels avec $a \neq 0$, tels que le polynôme $P=aX^2+(c-b)X+(e-d)$ possède une racine réelle $r > 1$.\\ Montrer que le polynôme $Q=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e$ possède une racine réelle.
Exercice 3496. Déterminer les $P \in \C[X]$ tels que :\\ \[ (E):P(X^2)=P(X)P(X-1). \]
Exercice 3497. En considérant le polynôme $(X-a)(X-b)$, résoudre le système d’inconnues $a,b\in\R$ : \[ \begin{cases} a+b=1\\ ab=-1 \end{cases} \]
Exercice 3498. Résoudre dans $\C[X]$ l’équation \[ P(X^2) = P(X)^2 \]
Exercice 3499. \\
  1. Soit $P=X^4+2X^2+1$. Factoriser $P$ dans $\R[X]$.\\
  2. Factoriser dans $\R[X]$ les polynômes suivants :\\
    1. $P=X^3+2X^2-1$\\
    2. $Q=2X^4+32$
Exercice 3500. Trouver l’ensemble des polynômes $P$ de $\C[X]$ tels que : \[ P(X)=(X-a)(X-b) \] et $P(X)$ divise $P(X^3)$. On pourra d’abord étudier le cas $a=b$.
Exercice 3501. Factoriser dans $\C[X]$ et dans $\R[X]$ les polynômes suivants. Sont-ils scindés ? À racines simples ?\\
  1. $X^4-1$\\
  2. $X^5-1$\\
  3. $X^4+X^2+1$\\
  4. $X^4+16$\\
  5. $4X^4-4X^3-3X^2-X-1$\\
  6. $X^{2n}-1$, avec $n \in \N^*$
Exercice 3502. On souhaite résoudre le système suivant : \[ \begin{cases} a+b+c=0 \\ a^2+b^2+c^2=1 \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \end{cases} \] On pose \[ P(X)=(X-a)(X-b)(X-c). \]
  1. Déterminer l’expression développée de $P$. \\
  2. Résoudre le système.