Degré, coefficients, racines

1. Soit $z$ une racine complexe de $Q$. Montrer que $|z|\leqslant 1$.\\
2. Montrer que $1$ est la seule racine de module $1$ de $Q$ et que toutes ses racines sont simples.

1. Soit $P \in \C[X]$ un polynôme non constant. On note $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ ses racines complexes distinctes. Montrer que les racines de $P'$ sont dans l'enveloppe convexe des racines de $P$, c'est-à-dire que si $z$ est une racine de $P'$, il existe des réels $t_1,\dots,t_m$ positifs avec $t_1+\cdots+t_m=1$ tels que \[ z=\sum_{k=1}^{m} t_k\lambda_k \]
2. Soit $P$ un polynôme de degré $\leqslant 4$ tel que pour tout $i \in \llbracket 1,3 \rrbracket$, $P$ et $P^{(i)}$ ont une racine commune. Montrer que $P$ a une unique racine.

1. Rappeler la définition d’une racine de multiplicité $k$ d’un polynôme.\\
2. Pour $a\in\mathbb{R}$ et $P\in\mathbb{R}_3[X]$ fixés, prouver que $a$ est racine d’ordre de multiplicité au moins $3$ de \[ Q(X)=(X-a)\bigl(P'(X)-P'(a)\bigr)^2+\bigl(P(X)-P(a)\bigr)^3. \]

1. Construire une famille $(L_1(X),\cdots,L_s(X))$ de polynômes de degré égal à $s-1$ et vérifiant : $\forall (i,j)\in\llbracket 1,s\rrbracket^2,\;L_i(z_j)=\delta_{i,j}$.\\
2. Si $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ est de degré inférieur ou égal à $s-1$, simplifier $\Sum_{k=1}^{s}P(z_k)L_k(X)$.\\
3. En déduire une simplification du polynôme $\Sum_{k=1}^{s}z_k^rL_k(X)$, pour tout entier $r\in\llbracket 0,s\rrbracket$.

1. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples.\\
2. Montrer que $1+P^2$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{C}$.

1. Soit $P(X)$ un polynôme scindé sur $\mathbb{R}$. Montrer que le polynôme $P'(X)$ reste scindé sur $\mathbb{R}$.\\
2. Soit $P(X)$ un polynôme scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$. Montrer que le polynôme $P'(X)$ reste scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$.\\
3. Le résultat précédent subsiste-t-il si l'on remplace le corps $\mathbb{R}$ par le corps $\mathbb{C}$ ?

1. Montrer que les racines de $P'$ sont incluses dans celles de $P$.\\
2. Montrer que le polynôme $P(X)$ ne peut pas avoir au moins deux racines différentes.\\
3. Quels sont tous les polynômes $P(X)$ possibles ?

1. Montrer que $0\notin\{\xi_1,\cdots,\xi_n\}$.\\
2. Calculer $\Sigma_1=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{\xi_k}$ et $\Sigma_2=\Sum_{1\leqslant k < l\leqslant n}\Frac{1}{\xi_k\xi_l}$.\\
3. Calculer $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{\xi_k^2}$.\\
4. En déduire que $P(X)$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $\rho \leqslant \max\Bigl(1,\;|a_1|+\cdots+|a_n|\Bigr)$.\\
2. Montrer que $\rho \leqslant 1+\max_{1\leqslant i\leqslant n}|a_i|$.

1. On suppose que $Q$ est scindé à racines simples sur $K[X]$.\\
   1. Si $K=\mathbb{R}$, montrer que $Q'+aQ$ reste scindé à racines simples sur $\mathbb{R}[X]$, pour tout $a\in\mathbb{R}$.\\
   2. A-t-on les mêmes résultats si $K=\mathbb{C}$ ?
2. On suppose maintenant $Q$ seulement scindé sur $\mathbb{R}[X]$. Montrer qu'il en est de même pour $Q'+aQ$, pour tout $a\in\mathbb{R}$.

Exercice 3305. X MP

1. Montrer que toutes les racines de $P'$ sont réelles.\\
2. En déduire que le polynôme $P^2+1$ est scindé dans $\C$ et à racines simples.\\
3. Montrer les deux résultats tiennent encore même si les racines de $P$ ne sont pas supposées simples.

Exercice 3307. X MP

1. $X^{2}P''+2XP'-2P=0$.\\
2. $X^{2}P''+2XP'-P=0$.

1. Soit $n \in \mathbb{N}$.\\ Exprimer $\sin((2n+1)\alpha)$ en fonction de $\sin\alpha$ et $\cos\alpha$.\\
2. En déduire que les racines du polynôme\\ \[ P(X)=\Sum_{p=0}^{n}(-1)^p\binom{2n+1}{2p+1}X^{n-p} \] sont de la forme $x_k=\cot^2\beta_k$.\\ Déterminer les $\beta_k$.

Exercice 3311. Mines-Pont

1. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples.\\
2. Montrer que $P = \Sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ ne peut pas avoir deux coefficients successifs nuls.\\
3. Montrer que $P$ ne peut pas avoir un coefficient nul entouré de deux coefficients non nuls de même signe.

1. Montrer que $P$ admet au plus une racine multiple.\\
2. Si $P$ admet une racine multiple $s$ de multiplicité $\alpha$, en notant $Q$ tel que $P=Q(X-s)^\alpha$, former une équation différentielle satisfaite par $Q$ et en déduire que $\alpha=n$. Conclusion.\\
3. Caractériser les polynômes $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ tels que $P''$ divise $P$, et sans racine multiple.

1. Les racines de $P_n$ sont-elles simples ? \\
2. Déterminer le nombre de racines réelles de $P_n$.

1. Soit $n \geqslant 1$ et $P$ un polynôme de degré $n$. \\ Quel est le degré des polynômes $Q = X^2P'+P$ et $R = XP'+P$ ? \\
2. Soit $(H_n)$ la suite de polynômes définie par $H_0=1$ et pour tout $n \in \N$, $H_{n+1} = H_n'-2XH_n$. \\
   1. Déterminer $H_1$, $H_2$ et $H_3$. \\
   2. Déterminer le degré de $H_n$ et son coefficient dominant pour $n \in \N$.

Exercice 3321. CCP

1. Montrer que si $P \in \R_n[X]$ et que pour tout $i \in \{0, \hdots, n\}$, $P(i) =0$, alors $P = 0$. \\
2. Soient $P,Q \in \R[X]$. Montrer que si pour tout $x \in [0,1]$, $P(x)=Q(x)$, alors $P=Q$.

1. $X^n-nX+(n-1)$.\\
2. $X^{2n}-nX^{n+1}+nX^{n-1}-1$.\\
3. $X^{2n+1}-(2n+1)X^{n+1}+(2n+1)X^n-1$.

1. On note, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $S_{n}=z_{1}^{n}+z_{2}^{n}+z_{3}^{n}$.\\
   1. Calculer $S_{0}$, $S_{1}$, $S_{2}$.\\
   2. Montrer : $\forall n\in\mathbb{N}$, $S_{n+3}+pS_{n+1}+qS_{n}=0$.\\
   3. En déduire $S_{3}$, $S_{4}$, $S_{5}$, $S_{6}$.\\
2. On suppose de plus $q\neq 0$, et on note, pour tout $n\in\mathbb{Z}$, $S_{n}=z_{1}^{n}+z_{2}^{n}+z_{3}^{n}$.\\ Calculer $S_{-1}$, $S_{-2}$, $S_{-3}$, $S_{-4}$.

1. Montrer : $D=-P'(z_{1})P'(z_{2})P'(z_{3})$.\\
2. En déduire : $D=-(4p^{3}+27q^{2})$.\\
3. Conclure que $P$ admet au moins un zéro au moins double si et seulement si $4p^{3}+27q^{2}=0$.

1. Montrer que, dans $[0;+\infty[$, $Q$ admet un zéro et un seul, noté $\rho$.\\
2. Établir que, pour tout zéro $z$ de $P$ dans $\mathbb{C}$, on a : $|z|\leqslant \rho$.

1. $\forall n \in \mathbb{N},\; X^2 \mid (X+1)^n-nX-1$.\\
2. $\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\; (X-1)^3 \mid nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n$.

1. Montrer que $a=\cos(\Frac{\pi}{9})$ est racine d'un polynôme de degré $3$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$.\\
2. Justifier que le nombre $a$ est irrationnel.

1. Soit $P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0$ un polynôme à coefficients entiers tel que $a_n \neq 0$ et $a_0 \neq 0$.\\ On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r = \Frac{p}{q}$ exprimée sous forme irréductible.\\ Montrer que $p \mid a_0$ et $q \mid a_n$.\\
2. Factoriser $P = 2X^3 - X^2 - 13X + 5$.\\
3. Le polynôme $P = X^3 + 3X - 1$ est-il irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$ ?

1. Montrer que son polynôme dérivé $P'$ possède exactement $n$ racines réelles distinctes.\\
2. En déduire que les racines du polynôme $P^2+1$ sont toutes simples dans $\mathbb{C}$.

1. Si $P \in \mathbb{R}[X]$ est scindé sur $\mathbb{R}$, montrer que $P'$ est scindé ou constant sur $\mathbb{R}$.\\
2. Si $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$, montrer que $X^{10}+aX^9+bX^8+cX^7+X+1$ n’est pas scindé sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer que deux polynômes dans $\mathbb{C}[X]$ sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont aucune racine commune.\\
2. En déduire qu'un polynôme $P(X)$ n'admet que des racines simples si et seulement si $P \wedge P'=1$.\\
3. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Combien le polynôme $P_n(X)=\Sum_{k=0}^{n}\Frac{X^k}{k!}$ a-t-il de racines complexes ? de racines réelles ?

1. On suppose seulement que $b_n=1$ et l'on note $\beta$ le maximum des modules des racines complexes de $P$. Prouver que pour tout $k \in [|0,n-1|]$ :\\ \[ |b_k|\leqslant \binom{n}{k}\beta^{n-k}. \]
2. On suppose ici que les $(b_i)_{i=0}^{n}$ forment une suite strictement croissante de réels strictement positifs. On note :\\ \[ Q(X)=(X-1)P(X). \] Soit $z$ une racine complexe de $P$, montrer que $Q(|z|)\leqslant 0$, en déduire que $|z|\leqslant 1$.

1. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples sur $\R[X]$.
2. Montrer que $P$ ne peut avoir deux coefficients successifs nuls parmi les $(a_k)_{k=0}^{n}$ si l'on écrit $P=\Sum_{k=0}^{n}a_kX^k$.
3. Montrer que $P$ ne peut avoir un coefficient nul parmi les $(a_k)_{k=1}^{n-1}$ encadré par deux coefficients de même signe.

1. Soit $z \in \C$ une racine de $P$, prouver que : \[ |z|\leqslant \Frac{\Sum_{k=0}^{n}|a_k|}{|a_n|}. \]
2. Soit $(P_k)_k$ une suite de $\C_n[X]$ formée de polynômes de degré $n$, telle que \[ P_k\xrightarrow[k\to+\infty]{}P. \] Soit $z \in \C$ une racine de $P$. Montrer que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un rang $k_0 \in \N$ tel que pour tout $k \geqslant k_0$, il existe une racine de $P_k$ dans le disque ouvert de centre $z$ et de rayon $\varepsilon$.\\
3. En déduire que l'ensemble des polynômes de degré $n$ qui sont scindés sur $\R[X]$ est un ensemble fermé de $\R_n[X]$.

1. Montrer que \[ \Delta(P)=(-1)^{n(n-1)/2}\Prod_{k=1}^{n}P'(z_k). \]
2. Calculer $\Delta(P)$ lorsque \[ P=X^2+bX+c. \]
3. Calculer \[ \det\Big(\big(z_i^{\,j-1}\big)_{(i,j)\in[|1,n|]^2}\Big). \]
4. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ et \[ \chi_A(X)=\det(XI_n-A). \] Montrer que : \[ \Delta(\chi_A)=\det\Big(\big(\mathrm{tr}(A^{i+j-2})\big)_{(i,j)\in[|1,n|]^2}\Big). \]
5. Soit $K$ un sous-corps de $\C$. Montrer que, si $P \in K[X]$, alors $\Delta(P)\in K$.\\
6. Soit $\Omega_n$ l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples. Montrer que $\Omega_n$ est un ouvert.

1. Calculer les coefficients de $X^6$ et de $X^2$ du produit $PQ$.\\
2. Soit $n\in\N$ et $P=(X+1)^{2n}=(X+1)^n(X+1)^n$. Calculer de deux façons le coefficient de $X^n$ de $P$ et en déduire une formule portant sur les combinaisons.

1. $P_1=X^3-X(X-2)^2$\\
2. $P_2=\Prod_{k=0}^{n}(2X-k)$\\
3. $P_3=(X-2)^n-(X+5)^n$\\
4. $P_4=\Prod_{k=0}^{n}(X-6)^k$

1. $P_1=X^3-X(X-2)^2$\\
2. $P_2=\Prod_{k=0}^{n}(2X-k)$\\
3. $P_3=(X-2)^n-(X+5)^n$\\
4. $P_4=\Prod_{k=0}^{n}(X-6)^k$

1. Déterminer l’ordre de la racine $\alpha$ du polynôme $P$ lorsque $\alpha=-1$ et $P=X^{99}+2X^{40}-3X^2+2$.\\
2. Déterminer l’ordre de la racine $\alpha$ du polynôme $P$ lorsque $\alpha=1$ et $P=X^{n+1}-(n+1)X+n$.

1. Donner une relation entre $P'_{n+1}$ et $P_n$.\\
2. Montrer que $P_n$ n’admet pas de racine multiple.\\
3. Montrer que $P_{2n}$ n’admet aucune racine réelle et $P_{2n+1}$ admet une unique racine réelle.

1. Montrer que \[ (X-1)^3 \] divise $P_n$.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $P_n$ par \[ (X-1)^3 \]

1. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$. Montrer que $P=X^n-2X^{n-1}-X+2$ est divisible par $(X-1)(X-2)$.\\
2. Montrer que $P=X^8-2X^2-3$ est divisible par $X^2+1$.\\
3. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$. Montrer que $P=X^{n+1}-(n+1)X+n$ est divisible par $(X-1)^2$.

1. Soit $n \in \N^*$. Quelle est la multiplicité de $1$ dans \[ nX^{n+1}-(n+1)X^n+1 \; ? \]
2. Soit $n \in \N$. Montrer que \[ \Sum_{k=1}^n \frac{X^k}{k!} \] n’a que des racines simples dans $\C$.

1. Soient $n \in \N^*$, $P \in \R_n[X]$ et $a \in \R$. \\
   1. Donner sans démonstration, en utilisant la formule de Taylor, la décomposition de $P(X)$ dans la base $(1,X-a,\hdots,(X-a)^n)$. \\
   2. Soit $r \in \N^*$. En déduire que : \\ $a$ est racine de $P$ d’ordre de multiplicité $r$ si et seulement si $P^{(r)}(a) \neq 0$ et \[ \forall k \in [[0,r-1]],\qquad P^{(k)}(a)=0. \]
2. Déterminer deux réels $a$ et $b$ pour que $1$ soit racine double du polynôme \[ P=X^5+aX^2+bX \] et factoriser alors ce polynôme dans $\R[X]$.