Racines et multiplicité
Exercice
824. Trouver l'ordre de multiplicité de la racine $1$ du polynôme $P(X)=X^4-X^3-3X^2+5X-2$.
Exercice
825. \\
- Montrer que si $P \in \R_n[X]$ et que pour tout $i \in \{0, \hdots, n\}$, $P(i) =0$, alors $P = 0$. \\
- Soient $P,Q \in \R[X]$. Montrer que si pour tout $x \in [0,1]$, $P(x)=Q(x)$, alors $P=Q$.
Exercice
826. Soit $P \in \R[X]$ et $a \in \R$. \\
Montrer l'équivalence \[ P(a) = 0 \iff \exist Q \in \R[X], \;\; P(X)=(X-a)Q(X) \]
Exercice
827. Soit $n \in \N$ et $a,b \in \R$ tels que $a \neq b$. \\
Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-a)$, puis par $(X-a)(X-b)$ puis par $(X-a)^2$.
Exercice 828. ESCP 2023
\\ Soit $P$ un polynôme de degré $k > 0$ et de coefficient dominant $1$ tel que $\forall x \in \R$, $xP'(x)=kP(x)$. \\- Montrer que $0$ est une racine de $P$. \\
- En déduire qu'il existe $r \in \N^*$, $r \leqslant k$ et $Q$ un polynôme ne s'annulant pas en $0$ tels que $\forall x \in \R$, $P(x)=x^rQ(x)$. \\
- Conclure que $\forall x \in \R$, $P(x)=x^k$.