Exercices divers

1. Résoudre l'équation $(z+1)^n=e^{2ina}$, d'inconnue $z\in\mathbb{C}$.\\
2. En déduire une factorisation du polynôme $P(X)=(X+1)^n-e^{2ina}$.\\
3. En déduire une valeur du produit $\Prod_{k=0}^{n-1}\sin\parenthese{a+\Frac{k\pi}{n}}$.

1. Déterminer le degré de $P_n(X)$, puis son terme dominant.\\
2. Factoriser $P_n(X)$ dans $\mathbb{C}[X]$.\\
3. 1. Calculer les quantités $\Sum_{k=1}^{2n}\cotan\parenthese{\Frac{k\pi}{2n+1}}$ et $\Sum_{k=1}^{2n}\cotan^2\parenthese{\Frac{k\pi}{2n+1}}$.\\
   2. Montrer alors : $\Sum_{k=1}^{n}\cotan^2\parenthese{\Frac{k\pi}{2n+1}}=\Frac{n(2n-1)}{3}$.
4. Montrer que $\forall x\in]0,\Frac{\pi}{2}[,\;\sin x < x < \tan x$, puis $\cotan^2x < \Frac{1}{x^2} < \cotan^2x+1$.\\
5. En déduire que la série $\Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{1}{k^2}$ est convergente de somme égale à $\Frac{\pi^2}{6}$.

1. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$. Montrer l'équivalence : $P(\mathbb{Q})\subset\mathbb{Q}\iff P(X)\in\mathbb{Q}[X]$.\\
2. Déterminer toutes les parties $I$ de $\mathbb{R}$ de la forme $I=P(\mathbb{R})$, pour un certain polynôme $P(X)$ dans $\mathbb{R}[X]$.

1. Exemple : montrer que $\sqrt{6}$ est irrationnel.\\
2. Quelle est la forme de $(a+\sqrt{b})^n$ ?\\
3. Montrer que si $a+\sqrt{b}$ est racine de $P$ alors $a-\sqrt{b}$ aussi.\\
4. On suppose que $a+\sqrt{b}$ est racine double de $P$.\\ Montrer que $P=RQ^2$ avec $R$ et $Q$ dans $\mathbb{Z}[X]$.

Exercice 3557. Polynômes de Laguerre

1. En considérant les polynômes $\parenthese{(X^2-1)^n}^{(k)}$, montrer que le polynôme $L_n(X)=\parenthese{(X^2-1)^n}^{(n)}$ est scindé à racines simples dans $]-1,1[$.\\
2. Soit $n\in\mathbb{N}$. Montrer que pour tout polynôme $Q(X)$ tel que $\deg(Q) < n$, $\integrale{-1}{1}{Q(t)L_n(t)}{t}=0$.\\
3. Retrouver le fait que chaque polynôme $L_n(X)$ est scindé à racines simples dans $]-1,1[$.

1. Énoncer le théorème de Rolle.\\
2. Si $x_0$ est racine de $P$ de multiplicité $m \geqslant 1$, déterminer sa multiplicité dans $P'$.\\
3. Prouver le résultat énoncé.

1. Calculer\\ \[ \Sum_{i=1}^{n}\Prod_{j\neq i}\Frac{X-a_j}{a_i-a_j}. \]\\
2. On pose $A(X)=\Prod_{j=1}^{n}(X-a_j)$.\\ Calculer\\ \[ \Sum_{i=1}^{n}\Frac{1}{A'(a_i)}. \]

1. $X^{2}P''+2XP'-2P=0$.\\
2. $X^{2}P''+2XP'-P=0$.

1. Trouver tous les polynômes $P \in \C[X]$ tels que $P(\C)=\C$. \\
2. Trouver tous les polynômes $P \in \C[X]$ tels que $P(\R)=\R$. \\
3. Trouver tous les polynômes $P \in \C[X]$ tels que $P(\Q)=\Q$.

1. Démontrer qu’il existe une unique famille $(L_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de polynômes vérifiant \[ L_i(a_j)=\delta_{i,j} \] pour tout $(i,j)\in\llbracket 0,n\rrbracket^2$.\\
2. Démontrer que $(L_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ est une base de $\mathbb{C}_n[X]$.\\
3. Démontrer qu’il existe un unique polynôme $P$ tel que \[ (P(a_0),\dots,P(a_n))=(b_0,\dots,b_n). \] Expliciter $P$.

1. Démontrer que $f$ est un isomorphisme.\\
2. Démontrer que pour tout entier naturel $k$, il existe un unique $E_k$ dans $\mathbb{R}[X]$ tel que \[ E_k(X+1)+E_k(X)=X^k \] et \[ E_k'=kE_{k-1}. \]
3. Démontrer que pour tous $n\in\mathbb{N}$ et $P\in\mathbb{R}[X]$, \[ f^n(P(X))=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}P(X+k). \]

1. 1. Déterminer le degré et le terme de plus haut degré de $T_n$.\\
   2. Prouver que \[ T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta) \] pour tout $\theta\in\mathbb{R}$.\\
2. Soit \[ E_n=\left\{P\in\mathbb{R}[X]\;/\;(1-X^2)P''(X)-XP'(X)+n^2P(X)=0\right\}. \]
   1. Donner que si $P\in E_n$ alors $\deg(P)=n$ ou $P=0$.\\
   2. Prouver que $T_n\in E_n$.\\
   3. Montrer que si $P\in E_n$ alors il existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tel que \[ P=\lambda T_n. \]

1. Déterminer le degré et le coefficient dominant du polynôme $P_n$.\\
2. Pour $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, on pose $B_{n,k}=(X+1)^k(X-1)^{n-k}$.\\
   1. Démontrer que $P_n=\Sum_{k=0}^n \Frac{1}{2^n}\binom{n}{k}^2\,B_{n,k}$.\\
   2. En déduire que $P_n(1)=1$ et $P_n(-1)=(-1)^n$.\\
   3. Déterminer la parité de $P_n$.\\
3. Montrer que $P_n$ possède $n$ racines distinctes dans l’intervalle $]-1,1[$.

1. Calculer $(A-I)(A-3I)$. \\
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-3)$. \\
3. En déduire la valeur de $A^n$.

Exercice 3579. Centrale

1. Déterminer trois éléments $a,b,c$ de $\mathbb{C}$, non tous réels, tels que $a+b+c$, $a^2+b^2+c^2$ et $a^3+b^3+c^3$ soient trois réels.\\
2. Montrer que, si $a,b,c$ sont trois éléments du même module et si $a+b+c\in\mathbb{R}$, $a^2+b^2+c^2\in\mathbb{R}$ et $a^3+b^3+c^3\in\mathbb{R}$, alors $a,b,c$ sont trois réels.\\

Exercice 3580. ENS MP

1. Soient $P,Q,R\in\mathbb{C}[X]$ premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que $P+Q+R=0$.\\ Soient $p,q,r$ le nombre de racines distinctes des polynômes $P,Q,R$ respectivement.\\ Prouver que $\deg P$ est strictement inférieur à $p+q+r$.\\ On pourra introduire $P'Q-Q'P$.\\
2. Trouver tous les triplets de polynômes complexes $(P,Q,R)$ tels que\\ \[ P^n+Q^n=R^n \] pour $n\geqslant 3$ donné.\\
3. Le résultat s’étend-il à $n=2$ ?

1. Montrer\\ \[ \forall n\in\mathbb{N},\;P_{n+1}^2=1+P_nP_{n+2}. \]
2. En déduire\\ \[ \forall n\in\mathbb{N},\;P_n\;\mathrm{et}\;P_{n+1}\;\mathrm{sont\;premiers\;entre\;eux}. \]
3. Établir que pour tout $m\in\mathbb{N}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$ on a\\ \[ P_{m+n}=P_nP_{m+1}-P_{n-1}P_m. \]
4. Montrer que pour tout $m\in\mathbb{N}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$ on a\\ \[ \mathrm{pgcd}(P_{m+n},P_n)=\mathrm{pgcd}(P_n,P_m). \] En déduire que $\mathrm{pgcd}(P_m,P_n)=\mathrm{pgcd}(P_n,P_r)$ où $r$ est le reste de la division euclidienne de $m$ par $n$.\\
5. Conclure\\ \[ \mathrm{pgcd}(P_n,P_m)=P_{\mathrm{pgcd}(m,n)}. \]

1. Soient $p\in\N$ et $P$ un polynôme de degré $p$. Justifier que $(X-1)P'-P\in\R_p[X]$ puis déterminer le degré de $(X-1)P'-P$.\\
2. Justifier que $(R_1)$ n’a pas de solution.\\
3. Déterminer de deux manières différentes les solutions de $(R_0)$.\\
4. Supposons $n\geqslant 2$.\\
   1. Montrer que si $P$ vérifie $(R_n)$, alors $(X-1)P''=nX^{n-1}$ et en déduire que $(R_n)$ n’a pas de solution.\\
   2. Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant l’écriture sommatoire de $P$.\\

1. Montrer que $L_n$ est un polynôme de degré $n$.\\
2. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$, $Q_n^{(k)}(1) = Q_n^{(k)}(-1) = 0$.\\
3. Montrer que $L_n$ admet exactement $n$ racines, qui sont toutes réelles et même dans $]-1,1[$.

Exercice 3589. Polynômes de Lagrange

1. Observer que, pour tout $j\in\{0,1,\dots,n\}$, on a $L_i(a_j)=\delta_{i,j}$.\\
2. Montrer que pour tout $P\in\mathbb{K}_n[X]$,\\ \[ P(X)=\Sum_{i=0}^{n}P(a_i)L_i(X). \]

1. Montrer que toutes les racines complexes de $P$ sont de module inférieur ou égal à $R$.\\
2. Soient $P=nX^n-\Sum_{k=0}^{n-1}X^k$ et $z$ une racine de $P$ différente de $1$. Montrer que $|z| < 1$.

1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe $P_{n}\in\mathbb{R}[X]$ unique tel que : $P_{n}(X)+P_{n}(X+1)=2X^{n}$, et montrer $\deg(P_{n})=n$.\\ À cet effet, on pourra considérer l’application $f:\mathbb{R}[X]\to\mathbb{R}[X]$, $P\mapsto f(P)=P(X)+P(X+1)$.\\
2. Établir : $\forall n\in\mathbb{N}^{*}$, $P'_{n}=nP_{n-1}$.\\
3. Exprimer, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P_{n}(X+1)$ en fonction de $P_{0}(X),\ldots,P_{n}(X)$ et en déduire une relation de récurrence donnant $P_{n}$ en fonction de $P_{0},\ldots,P_{n-1}$.

1. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction dérivable. On suppose que $f$ s’annule au moins $n$ fois. Montrer que $f'$ s’annule au moins $n-1$ fois.\\
2. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé à racines simples avec $n=\deg P \geqslant 2$. Montrer que le polynôme $P'$ est lui aussi scindé.\\
3. Montrer que le résultat perdure même si les racines de $P$ ne sont pas simples.

1. Pour $n \in \mathbb{N}$, développer le polynôme\\ \[ (1+X)(1+X^2)(1+X^4)\cdots(1+X^{2^n}). \]
2. En déduire que tout entier $p>0$ s’écrit de façon unique comme somme de puissances de $2$ : $1,2,4,8,\ldots$.

1. Montrer que pour tout $k \in \N$, $P_n^{(k)}(0)$ et $P_n^{(k)}(a/b)$ sont des entiers relatifs.
2. On pose $I_n=\integrale{0}{a/b}{e^xP_n(x)}{x}$, montrer que $I_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$.
3. On suppose que $e^{a/b}$ est un rationnel de dénominateur $d$. Montrer que $dI_n$ est dans $\Z$ pour tout $n \in \N$. Quels sont les $r \in \Q$ tels que $e^r \in \Q$ ?

1. Soit $Q \in \R[X]$ et $a \in \R$. On suppose que $Q$ est scindé sur $\R[X]$, montrer que $Q'+aQ$ l'est aussi.
2. Soient $P=\Sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k$ et $Q$ deux polynômes scindés sur $\R[X]$. Montrer que\\ \[ \Sum_{k=0}^{+\infty}a_kQ^{(k)} \] est également scindé sur $\R[X]$.

1. Montrer qu'il existe un unique polynôme $T_n \in \R[X]$ tel que : \[ \forall x \in \R,\; T_n(\cos(x))=\cos(nx). \] On précisera le degré de $T_n$. Calculer $T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$.\\
2. Montrer que pour tout $n \in \N$ : \[ T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X). \]
3. Calculer le coefficient dominant de $T_n$ puis en donner une factorisation, pour tout $n \in \N^*$.\\
4. Calculer la somme $S_n$ et le produit $P_n$ des racines de $T_n$ en fonction de $n \in \N^*$.

1. Montrer que si $A$ est unitaire et stable, alors tous ses coefficients sont strictement positifs.\\
2. Soit \[ A=\Prod_{i=1}^{n}(X-\lambda_i) \] un polynôme scindé, unitaire. On pose \[ B=\Prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n}(X-(\lambda_i+\lambda_j)). \] Montrer que $A$ est stable si et seulement si tous les coefficients de $A$ et de $B$ sont strictement positifs.\\
3. On prend ici \[ A=X^3+aX^2+bX+c. \] Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit stable.

1. Prouver que \[ L_n(X)=\Frac{1}{2^nn!}\big[(X^2-1)^n\big]^{(n)}. \] En déduire la parité de $L_n$ et l'égalité \[ \Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}. \]
2. Soit $n \in \N^*$, montrer que $L_n(X)$ est scindé à racines simples dans $]-1,1[$.\\
3. Montrer que : \[ \forall n \in \N,\; (X^2-1)L_n''(X)+2XL_n'(X)=n(n+1)L_n(X). \]

1. Montrer que : \[ \forall (k,n)\in\N \times \Z,\; P_k(n)\in\Z. \]
2. Soient $n \in \N^*$ et $Q \in \R_n[X]$. Montrer que sont équivalents :\\
   1. $Q(\Z)\subset \Z$.\\
   2. $\forall m \in [|0,n|],\; Q(m)\in\Z$.
3. Déterminer les fractions rationnelles $F \in \R(X)$ telles que : \[ \forall k \in \Z,\; F(k)\in\Z. \]

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ il existe un unique $P_n$ dans $\R[X]$ tel que : \[ \forall t \in \R,\; f^{(n)}(t)=\Frac{P_n(t)}{(1+t^2)^{n+\frac{1}{2}}}, \] préciser le terme dominant de $P_n$.\\
2. Prouver que $P_n$ est scindé à racines simples dans $\R[X]$ pour tout $n \in \N^*$.\\
3. En utilisant la relation \[ (1+t^2)f'(t)+tf(t)=0, \] obtenir une relation entre $P_{n+1}$, $P_n$ et $P_{n-1}$. Préciser $P_n(0)$ et montrer \[ P_n'=-n^2P_{n-1}. \] En déduire une méthode de calcul des polynômes $P_n$.

1. On suppose que $P$ est de degré $n$ avec $n\in\N$. Quel est le degré de $Q$ ?\\
2. Déterminer tous les polynômes $P\in\R[X]$ tels que $P(X+1)+P(X)=0$.

1. Déterminer tous les polynômes $P\in\C[X]$ vérifiant $P\circ P=P$.\\
2. Déterminer tous les polynômes $P\in\C[X]$ vérifiant $P^2=P$.\\
3. Déterminer tous les polynômes $P\in\C[X]$ vérifiant $P(X^2)=(X^2+1)P(X)$.\\
4. Déterminer tous les polynômes $P\in\C[X]$ vérifiant $XP(X)=P(X)$.\\
5. Déterminer tous les polynômes $P\in\C[X]$ vérifiant $P(X+1)=P(X)$.

1. Soit $P=\Sum_{k=0}^{n}a_kX^k$. Montrer que $P$ est paire si et seulement si $a_{2k+1}=0$ pour tout entier $k$.\\
2. Soit $P$ un polynôme et $A_P$ l’ensemble des racines de $P$.\\
   1. Soit $P,Q\in\R[X]$. Prouver que $P\mid Q\iff A_Q\subset A_P$.\\
   2. Que dire si $A_P=A_Q$ ?

1. $F \subset E$. \\
2. $F$ est stable par produit. \\
3. Soit $P \in E$. Que dire du degré de $P$ ? Que dire des multiplicités des racines réelles de $P$ ? \\
4. Montrer que $E = F$. \\
5. Soit $E'$ l’ensemble des polynômes $P$ tels que $P$ soit positif ou nul sur le segment $[a,b]$. Soit $F'$ l’ensemble des polynômes de la forme \[ (X-a)P + (b-X)Q + (X-a)(b-X)R + S \] avec $(P,Q,R,S) \in E^4$. Montrer que $E' = F'$.

1. Calculer, pour tout $k \in \N$, \[ \Frac{1}{2\pi}\integrale{0}{2\pi}{P(e^{i\theta})e^{-ik\theta}}{\theta} \]
2. Calculer \[ \Frac{1}{2\pi}\integrale{0}{2\pi}{P(e^{i\theta})\overline{P(e^{i\theta})}e^{-id\theta}}{\theta} \] et aboutir à une contradiction.
3. Déterminer les $Q \in \C[X]$ tels que \[ Q(\mathbb{U}) \subset \mathbb{U} \]

1. Montrer que si $P$ est une solution non constante, alors ses racines sont de module $1$. \\
2. Résoudre l’équation.

1. Donner le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$. \\
2. Application : Soit $A= \begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & 3/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 2 \end{pmatrix}$ : vérifier que $A^2-3A+2=0$. En déduire de la question précédente $A^n$ pour tout $n$.

1. Calculer $P_2$ et $P_3$. \\
2. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $P_n$ pour tout $n \in \N$. \\
3. Pour $n \in \N$, on pose $u_n=P_n(0)$. \\
   1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_{n+2}=-2(n+1)u_n$. \\
   2. En déduire $u_{2p}$ et $u_{2p+1}$ pour $p$ entier naturel. \\
   3. Pour quelles valeurs de $n \in \N$ a-t-on $X$ qui divise $P_n$ ?

1. 1. Expliciter $T_2$, $T_3$, $T_4$. \\
   2. Déterminer le degré de $T_n$ et son coefficient dominant. \\
   3. Montrer que $\forall n \in \N$, $T_n(-X)=(-1)^nT_n(X)$. En déduire la parité de $T_n$.
2. 1. Soit $\theta \in \R$. Ecrire $\cos(2\theta)$ puis $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$. \\
   2. Etablir par récurrence que \[ \forall n \in \N, \forall \theta \in \R, \quad T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \]
   3. En déduire $T_n(1)$.

1. Calculer $P_2$ et $P_3$. \\
2. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $P_n$ pour tout entier $n$. \\
3. Montrer que pour tout $n \in \N$ et pour tout $z \in \C^*$, \[ P_n\parenthese{z+\frac{1}{z}}=z^n+\frac{1}{z^n}. \]
4. En déduire $P_n(2\cos(\theta))$ pour tout $\theta \in \R$. \\
5. En déduire une factorisation de $P_n$ dans $\R[X]$.

1. Déterminer les polynômes $L_0$, $L_1$ et $L_2$. \\
2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $L_n$ est de degré $n$, et déterminer le coefficient dominant. \\
3. Comparer les polynômes $L_n(X)$ et $L_n(-X)$. \\
4. Soit $n \in \N^*$, et $k \in [[1,n-1]]$, déterminer $P_n^{(k)}(-1)$ et $P_n^{(k)}(1)$. \\
5. Pour tout $n \in \N$, expliciter $L_n$ sous forme d’une somme de polynômes. En déduire $L_n(1)$ et $L_n(-1)$. \\
6. 1. Montrer que \[ \forall n \in \N, \quad P'_{n+1}=2(n+1)XP_n \] et \[ \forall n \in \N^*, \quad P''_{n+1}=2(n+1)(2n+1)P_n+4n(n+1)P_{n-1}. \]
   2. En déduire une relation liant $L_{n+1}$, $L_n$ et $L_{n-1}$.
7. 1. Montrer que pour tout $k \in [[\lfloor n/2 \rfloor +1,n]]$, \[ (X^{2k})^{(n)}=n!\binom{2k}{n}X^{2k-n}. \]
   2. En déduire tous les coefficients de $L_n$.

1. Déterminer, pour tout $j \in \{1,\cdots,n\}$, le degré de $Q_j$. \\
2. Déterminer, pour tout $j \in \{1,\cdots,n\}$, la valeur de $Q_j(x_k)$ pour $k \neq j$, puis la valeur de $Q_j(x_j)$. \\
3. Soit $y_1,y_2,\cdots,y_n$ des réels. \\
   1. Soit $P=\Sum_{j=1}^n y_jQ_j$. Calculer, pour tout $k \in \{1,\cdots,n\}$, la valeur de $P(x_k)$. \\
   2. Montrer que, si $P$ et $Q$ sont deux polynômes réels, tous deux de degré inférieur ou égal à $n-1$, vérifiant \[ \forall k \in \{1,\cdots,n\}, \quad P(x_k)=Q(x_k), \] alors $P=Q$. \\
   3. Déduire des questions précédentes qu’il existe un unique polynôme $P \in \R[X]$, de degré inférieur ou égal à $n-1$, tel que \[ \forall k \in \{1,\cdots,n\}, \quad P(x_k)=y_k. \]
4. Exemple : on prend ici $n=3$, $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=2$. \\
   1. Expliciter les polynômes $Q_1,Q_2,Q_3$. \\
   2. Déterminer le polynôme $P$ de degré au plus $2$ tel que $P(0)=3$, $P(1)=3$ et $P(2)=1$.

1. Montrer que si $b_0,b_1,\cdots,b_n$ sont $n+1$ réels quelconques, alors il existe un unique polynôme $P$ vérifiant \[ \deg(P) \leqslant n \qquad \text{et} \qquad \forall i \in [[0,n]], \; P(a_i)=b_i. \] Pour cela, soit $k \in [[0,n]]$, commencer par expliciter ce polynôme $P$ que l’on notera $L_k$ lorsque \[ \forall i \in [[0,n]], \quad b_i= \begin{cases} 0 \quad \text{si} \quad i \neq k \\ 1 \quad \text{si} \quad i=k \end{cases} \]
2. Prouver que \[ \forall p \in [[0,n]], \quad \Sum_{k=0}^n a_k^pL_k=X^p. \]

1. Trouver tous les polynômes tels que $P(X+1)=P(X)$. \\
2. Trouver tous les polynômes tels que $P(X^2)=(X^2+1)P(X)$. \\
3. Trouver tous les polynômes tels que $(X-1)P'(X)-nP(X)=0$.

1. Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$. Conjecturer le degré, le coefficient dominant et le coefficient constant de $P_n$. \\
2. Prouver la conjecture.

1. Calculer $R_2$ et $R_3$. \\
2. Déterminer le degré de $R_n$ et son coefficient dominant pour tout $n \in \N^*$. \\
3. Montrer que \[ \forall n \in \N,\forall x \in \R,\quad R_n(-1-x)=(-1)^nR_n(x). \]
4. En déduire que \[ \forall n \in \N,\forall x \in \R,\quad R_n'(-1-x)=(-1)^{n+1}R_n'(x). \]
5. Montrer que pour tout $n \in \N$, $-\frac12$ est racine de $R_{2n+1}$ et de $R'_{2n}$. \\
6. On pose \[ u_n=R_n(0). \] Montrer que $(u_n)$ vérifie une relation de récurrence linéaire d’ordre $2$. Calculer $u_n$ en fonction de $n$. \\
7. En déduire que \[ \forall n \in \N,\quad R_n(-1)=(-1)^n\frac{2}{2^{2n-1}}. \]

1. Rappeler la relation qui lie $\cos(2\theta)$ et $\cos^2(\theta)$ puis exprimer $f_1(\theta)$ en fonction de $\cos(2\theta)$. \\
2. Exprimer $f_2(\theta)$ en fonction de $\cos(4\theta)$. \\
3. Vérifier que pour tout $(a,b) \in \R^2$, on a \[ \cos(a)\cos(b)=\frac12\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr). \]
4. Montrer que \[ \forall n \in \N^*,\quad f_n(\theta)=(-1)^n\frac{2}{2^{2n-1}}\cos(2n\theta). \]
5. Pour $n \in \N^*$, déterminer les réels $\theta$ tels que $f_n(\theta)=0$. \\
6. En déduire que, pour $n \in \N^*$, l’ensemble des racines de $R_n$ est \[ \left\{-\cos^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{4n}\right),\; k \in [[0,n-1]]\right\}. \]
7. En déduire une factorisation de $R_n$ en produit de polynômes de degré $1$ lorsque $n \in \N^*$.

1. Calculer $H_2$ et $H_3$. \\
2. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $H_n$ pour tout $n \in \N$. \\
3. Pour $n \in \N$, on pose $u_n=H_n(1)$. Vérifier que pour tout $n \in \N$, $n \geqslant 2$, \[ u_n=u_{n-1}-\frac{n-3}{4}u_{n-2} \] puis écrire une fonction Python qui prend en argument un entier $n$ et renvoie $u_n$.

1. Trouver les réels $a,b,c,d$ tels que \[ \forall x \in \R,\quad 2x^3+x^2-2x+5=d(x-1)^3+c(x-1)^2+b(x-1)+a. \]
2. 1. Soit $P=2$ (fonction constante égale à $2$ sur $\R$). Quel est le degré de $P$ ? son coefficient dominant ? \\
   2. Si $P$ vérifie $\deg(P) \leqslant 0$, qu’est-ce que cela signifie ? \\
   3. Donner quelques exemples de polynômes unitaires. \\
   4. Soit \[ P=(\alpha-2)X^3-\alpha^2X^2-X+\frac{3\alpha}{2}-4 \] avec $\alpha \in \R$. Donner le degré de $P$ et son coefficient dominant selon les valeurs du paramètre $\alpha$. \\
   5. Soit \[ P_n=\Sum_{k=0}^n \frac{1+(-1)^k}{2}X^k. \] Donner le degré de $P_n$ et son coefficient dominant en distinguant deux cas.
3. Montrer que si $\deg(P) \leqslant n$ alors \[ \deg((X+1)P'-3P) \leqslant n. \]
4. On définit par récurrence la suite de polynômes $(P_n)$ par \[ P_0=1 \qquad \text{et} \qquad \forall n \in \N,\quad P_{n+1}=2XP_n-P_n'. \] Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$. Conjecturer le degré et le coefficient dominant de $P_n$ puis démontrer cette conjecture par récurrence. \\
5. 1. $X^3-X^2-2X$ est-il divisible par $(X-2)$ ? Finir de factoriser ce polynôme. \\
   2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $X^n-1$ est divisible par $(X-1)$ et factoriser.

1. Soit $k \in \N$. Donner la dérivée $n$-ième de $X^{2k}$ en fonction de $n$ et $k$. \\
2. Donner le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-a)^3$ en fonction de $a$. \\
3. Justifier que $X^3-X$ divise $X^{2n}+X^4-2X^2$ pour tout $n \in \N$. \\
4. Montrer que pour tout $P \in \R_4[X]$, si $P^{(k)}(2)=0$ pour tout $k \in [[0,4]]$ alors $P=0$.

1. 1. Donner les dérivées successives de $P=X^5-2X^3+X+1$. \\
   2. Donner les dérivées successives de $X^n$.
2. Montrer l’unicité du polynôme de degré $2$ tel que $P(1)=1$, $P(2)=2$ et $P(-1)=1$. \\
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $P=aX^2+bX+c$ admette une racine double. \\
4. Montrer que le polynôme suivant admet une racine de multiplicité au moins $3$ pour tout $n \geqslant 3$ : \[ P_n=X^{2n}-nX^{n+1}+nX^{n-1}-1. \]
5. Factoriser dans $\R[X]$ et dans $\C[X]$ : \[ X^3-1,\qquad (X^2+2)(X^3+1),\qquad X^4+X^2+1. \]

1. 1. Sans preuve, donner la valeur de \[ \cos\parenthese{\frac{\pi}{n}} \] pour $n \in [[1,4]]$ et justifier s’ils sont irrationnels. \\
   2. On considère le polynôme $P=X^5-1$. On note \[ \alpha=\cos\parenthese{\frac{2\pi}{5}} \qquad \text{et} \qquad \beta=\cos\parenthese{\frac{4\pi}{5}}. \]
      1. Factoriser dans $\C[X]$ le polynôme $P$, puis le factoriser dans $\R[X]$. \\
      2. Donner le quotient de la division euclidienne de $P$ par $X-1$, que l’on notera $Q$. Donner une expression de $Q$ à l’aide de $\alpha$ et $\beta$ et en déduire que \[ \alpha+\beta=-\frac{1}{2} \qquad \text{et} \qquad \alpha \beta=-\frac{1}{4}. \]
      3. Déterminer enfin la valeur de $\alpha$ et en déduire que \[ \cos\parenthese{\frac{\pi}{5}} \] est irrationnel.
2. Soit \[ P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}+X^n \] un polynôme à coefficients entiers. Soit \[ r=\frac{p}{q} \] une racine rationnelle de $P$, avec $p,q$ premiers entre eux. \\
   1. Justifier que $q$ divise $p^n$, puis en déduire que $q=1$. \\
   2. En déduire que si $d$ est un entier qui n’est pas le carré d’un autre entier, alors $\sqrt{d}$ est irrationnel.
3. 1. Soit $n \in \N$. Déterminer, en développant \[ (\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n, \] un polynôme $P \in \R[X]$ tel que \[ \forall \theta \in \R,\qquad \cos(n\theta)=P(\cos(\theta)). \]
   2. Démontrer l’unicité du polynôme vérifiant la relation précédente. On le notera $T_n$ dans la suite.
   3. Pour tout $x \in [-1,1]$, on pose \[ f_n(x)=\cos(n \arccos(x)). \] Démontrer que \[ f_{n+2}(x)=2xf_{n+1}(x)-f_n(x) \] et en déduire que \[ T_{n+2}=2XT_{n+1}-T_n. \]
4. On montre ici que \[ \cos\parenthese{\frac{\pi}{n}} \] est irrationnel si $n \geqslant 4$. \\
   1. Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, il existe $Q_n$ à coefficients entiers, unitaire, de degré $n$, tel que \[ 2(T_n(X)+1)=Q_n(2X). \]
   2. Soit $n \in \N^*$. Déduire des questions précédentes que si \[ \cos\parenthese{\frac{\pi}{n}} \] est rationnel, alors \[ 2\cos\parenthese{\frac{\pi}{n}} \] est un entier, puis conclure.

1. Soit $P \in \C[X]$ de degré $n$. Démontrer que $P$ est réciproque si et seulement si \[ P(X)=X^nP\parenthese{\frac{1}{X}}. \]
2. Montrer qu’un produit de polynômes réciproques est réciproque. \\
3. On suppose que $P$ et $Q$ sont réciproques et que $Q \mid P$. Démontrer que le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ est réciproque. \\
4. 1. Démontrer que si $a$ est une racine de $P$ alors $a \neq 0$ et $a^{-1}$ est une racine de $P$. \\
   2. Démontrer que si $1$ est une racine de $P$ alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$. \\
   3. Démontrer que si $\deg(P)$ est impair alors $-1$ est racine de $P$. \\
   4. Démontrer que si $\deg(P)$ est pair et si $-1$ est racine de $P$ alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
5. Démontrer que tout polynôme réciproque de $\C[X]$ de degré $2n$ se factorise en \[ P=a_{2n}\Prod_{k=1}^n(X^2+b_kX+1). \] Que peut-on dire si le degré de $P$ est impair ?

1. Montrer que, si $a$ est une racine de $P$ alors $(a+1)^2-1$ et $(a-1)^2-1$ sont aussi des racines de $P$. \\
2. Soit $a_0 \in \C$. On définit la suite $(a_n)_{n \geqslant 0}$ par \[ \forall n \geqslant 0,\qquad a_{n+1}=a_n^2+2a_n. \]
   1. Vérifier que, lorsque $a_0$ est une racine de $P$, pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $a_n$ est une racine de $P$. \\
   2. Montrer que, lorsque $a_0$ est un réel strictement positif, la suite $(a_n)$ est une suite strictement croissante de réels strictement positifs. \\
   3. En déduire que $P$ n’admet pas de racine réelle strictement positive. \\
   4. Montrer que $-1$ n’est pas racine de $P$. \\
   5. Montrer que, pour tout $n \in \N$, on a \[ a_n+1=(a_0+1)^{2^n}. \]
3. Déduire des questions précédentes que, si $a$ est une racine complexe de $P$, alors $|a+1|=1$. On admettra que l’on a aussi $|a-1|=1$. \\
4. Montrer que si le degré de $P$ est strictement supérieur à $0$ alors $P$ a pour unique racine $0$. \\
5. Déterminer alors tous les polynômes $P \in \C[X]$ qui vérifient la relation ci-dessus.

1. Calculer les polynômes $L_0$, $L_1$, $L_2$ et $L_3$. \\
2. Calculer $L_n(1)$ pour tout $n \in \N$. \\
3. Donner le degré et le coefficient dominant de $(X-1)^{n-k}(X+1)^k$ pour $k \in [[0,n]]$. \\
4. Déterminer le degré de $L_n$ en fonction de $n$ et donner son coefficient dominant sous la forme d’une somme. \\
5. On dit qu’un polynôme $P$ est pair si $P(X)=P(-X)$, qu’il est impair si $P(-X)=-P(X)$. En utilisant un changement d’indice, montrer que $L_n$ est pair pour $n$ pair et impair pour $n$ impair. \\
6. Donner sans justifier la dérivée $k$-ième de $(X-a)^n$ si $a \in \R$. \\
7. Vérifier, à l’aide de la formule de Leibniz, que : \[ \forall n \in \N,\qquad L_n(X)=\frac{1}{2^n n!}\parenthese{(X^2-1)^n}^{(n)}. \]
8. En déduire explicitement le coefficient dominant de $L_n$, puis la relation \[ \forall n \in \N,\qquad \Sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}. \]
9. Montrer que pour tout $x \in \R$, \[ |x+1| \leqslant 1+|x| \qquad \text{et} \qquad |x-1| \leqslant 1+|x|. \]
10. Montrer alors que \[ \forall n \in \N,\forall x \in \R,\qquad |L_n(x)| \leqslant \parenthese{\frac{1+|x|}{2}}^n \binom{2n}{n}. \]
11. On définit, pour tout entier naturel $n$, le polynôme \[ U_n(X)=(X^2-1)^n. \]
    1. Vérifier que \[ \forall n \in \N,\qquad (X^2-1)U_n'(X)=2nXU_n(X). \]
    2. En dérivant $n+1$ fois cette relation, montrer que \[ \forall n \in \N,\qquad (X^2-1)L_n''(X)+2XL_n'(X)=n(n+1)L_n(X). \]

1. 1. Quel est le degré de $P_n(X)$ ? Son coefficient dominant ? \\
   2. Montrer que \[ P_n(X)=\frac{1}{2i}\Bigl((X+i)^{2n+1}-(X-i)^{2n+1}\Bigr). \]
2. 1. Déduire de la question précédente que les racines du polynôme $P_n(X)$ sont les réels \[ \pm \cotan\parenthese{\frac{k\pi}{2n+1}} \] avec $k \in [[1,n]]$. \\
   2. Factoriser $P_n(X)$ dans $\R[X]$. \\
   3. Montrer que $P_n'$ est scindé sur $\R$.
3. On pose \[ V_n(X)=\Sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k+1}(-1)^kX^{n-k}. \]
   1. Établir une relation simple entre $V_n(X)$ et $P_n(X)$. En déduire que les racines de $V_n(X)$ sont les réels \[ x_k=\cotan^2\parenthese{\frac{k\pi}{2n+1}}, \qquad k \in [[1,n]]. \]
   2. Montrer que \[ \Sum_{k=1}^n x_k=\frac{n(2n-1)}{3}. \]
   3. Établir la relation \[ \Sum_{k=1}^n x_k^2=\parenthese{\Sum_{k=1}^n x_k}^2-2\Sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}x_ix_j \] et en déduire que \[ \Sum_{k=1}^n x_k^2=\frac{n(2n-1)(4n^2+10n-9)}{45}. \]
4. Soit \[ u_n=\Sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \qquad \text{et} \qquad w_n=\Sum_{k=1}^n \frac{1}{k^4}. \]
   1. Montrer que pour tout $x \in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, \[ \cotan^2(x) \leqslant \frac{1}{x^2} \leqslant 1+\cotan^2(x). \]
   2. En déduire un encadrement de \[ \frac{1}{\parenthese{\frac{k\pi}{2n+1}}^2} \qquad \text{et} \qquad \frac{1}{\parenthese{\frac{k\pi}{2n+1}}^4} \] pour $k \in [[1,n]]$. \\
   3. Donner alors un encadrement simple de $u_n$, puis de $w_n$. En déduire $\lim u_n$ et $\lim w_n$.

1. Soit \[ P=\Sum_{k=0}^n a_kX^k \in \C[X]. \]
   1. Calculer $P^{(p)}$. Pourquoi est-il scindé ? \\
   2. On note $u_p$ la somme des racines de $P^{(p)}$. Montrer que $u_{p+1}-u_p$ est constant en $p$.
2. Soient \[ P=X^3+aX^2+bX+c \] un polynôme complexe de racines $\alpha,\beta,\gamma$. Calculer \[ \frac{\alpha}{\beta+\gamma}+\frac{\beta}{\gamma+\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta}. \]
3. Montrer qu’il n’existe pas de réels $u,v,w$ tels que \[ u+v+w=3 \qquad \text{et} \qquad uv+vw+wu=6. \]

1. Montrer que l’application \[ f : \mathbb{R}_n[X] \longrightarrow \mathbb{R}^{n+1} \] définie par \[ f(P)=\bigl(P(a_0),\hdots,P(a_n)\bigr) \] est un isomorphisme d’espace vectoriel. En déduire que par $n+1$ points deux à deux distincts du plan, il existe un unique polynôme $P$ de degré au plus $n$ tel que la courbe représentative de la fonction $y=P(x)$ passe par ces points.\\
2. On note $e_0=(1,0,\hdots,0)$, $e_1=(0,1,\hdots,0)$, $\hdots$, $e_n=(0,0,\hdots,1)$ les vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^{n+1}$. Pour tout $i \in \llbracket 0,n \rrbracket$, expliciter l’antécédent $L_i$ par $f$ du vecteur $e_i$ et écrire une fonction Python qui définit le polynôme $L_i$ en fonction de $i$ et de $a=(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$.\\
3. Plus généralement, déterminer l’antécédent de $b=(b_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$. Écrire une fonction Python interpole(a,b) définissant ce polynôme.\\
4. Avec Python, choisir des points aléatoirement dans le carré $[-5,5]^2$ et représenter sur un graphique ces points et le polynôme interpolateur correspondant.