Familles libres, génératrices, bases

Exercice 4923. Soit $E=\R^{\R}$.\\ Pour tout $n\in\N$, on pose $f_n:x\mapsto x^n$.\\
  1. Montrer que $(f_0,\dots,f_n)$ est libre.\\
  2. En déduire $\dim E$.
Exercice 4924. Soit $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$.\\ Les fonctions \[ x\mapsto \sin(x+a),\quad x\mapsto \sin(x+b),\quad x\mapsto \sin(x+c) \] sont-elles linéairement indépendantes ?
Exercice 4925. Les familles suivantes sont-elles libres ? \\
  1. $(f_1,f_2,f_3)$ où $f_1 : x \mapsto 1$, $f_2 : x \mapsto \cos(x)$ et $f_3 : x \mapsto \sin(x)$. \\
  2. $(P_1(X),P_2(X),P_3(X),P_4(X))$ avec $P_1(X) =3+3X+X^3$, $P_2(X)=1-X-X^2+X^3$, $P_3(X) = -1-X+X^2+X^3$ et $P_4(X) = X+2X^2+X^3$.
Exercice 4926. Soient $(e_1,\dots,e_n)$ et $(e_1',\dots,e_n')$ deux bases d’un $\R$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer qu’il existe $j\in\{1,\dots,n\}$ tel que la famille \[ (e_1,\dots,e_{n-1},e_j') \] soit encore une base de $E$.
Exercice 4927. Dans $\mathbb{R}^3$, on considère \[ x=(1,-1,1)\quad \mathrm{et}\quad y=(0,1,a)\quad \mathrm{o\grave{u}}\quad a\in\mathbb{R}. \] Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que \[ u=(1,1,2) \] appartienne à $\mathrm{Vect}(x,y)$.\\ Comparer alors $\mathrm{Vect}(x,y)$, $\mathrm{Vect}(x,u)$ et $\mathrm{Vect}(y,u)$.
Exercice 4928. On pose $f_1,f_2,f_3,f_4:[0;2\pi]\to\mathbb{R}$ définies par :\\ \[ f_1(x)=\cos x,\quad f_2(x)=x\cos x,\quad f_3(x)=\sin x,\quad f_4(x)=x\sin x. \] Montrer que la famille $(f_1,f_2,f_3,f_4)$ est libre.
Exercice 4929. Pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$, on pose $f_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la fonction définie par\\ \[ f_k(x)=e^{kx}. \] Montrer que la famille $(f_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ est une famille libre de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 4930. Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ une famille libre de vecteurs de $E$.\\ Montrer que pour tout $a\in E\setminus \mathrm{Vect}(e_1,\ldots,e_p)$, la famille $(e_1+a,\ldots,e_p+a)$ est libre.
Exercice 4931. Liberté sur $\C$ de la famille $(t\mapsto e^{\mathrm{i}nt})_{n\in\N}$.
Exercice 4932. Soit pour tout $\alpha\in\R$, $f_\alpha:x\mapsto |x-\alpha|$.\\ Montrer que pour tout $\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n$, la famille $(f_{\alpha_1},\ldots,f_{\alpha_n})$ est libre.
Exercice 4933. Soit $E = \{(x,y,z,t) \in \R^4, \;\; x+y+z+t=0, \; y-z =0, \; 2x+y+3z+2t =0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un espace vectoriel et en donner une base.
Exercice 4934. Démontrer qu'il existe des réels $(\lambda_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ non tous nuls tels que, pour tout réel $x$, on ait \[ \Sum_{k=0}^{n}\lambda_k\sin(x+k)=0 \] dès que $n \geqslant 3$. \\ On pourra considérer la famille des $f_k:x \mapsto \sin(x+k)$.
Exercice 4935. Montrer que la famille suivante de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ est libre : \[ \{f_1:x\mapsto x^2,\ f_2:x\mapsto e^x,\ f_3:x\mapsto 1\}. \]
Exercice 4936. Soit $n\in\mathbb{N}$. Pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, on pose $f_k:x\mapsto \ln^k(x)$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$.\\ Montrer que la famille $\{f_0,\dots,f_n\}$ est libre.
Exercice 4937. Montrer la liberté de la famille \[ \{\cos,\sin,x\mapsto x\cos(x),x\mapsto x\sin(x)\}. \]
Exercice 4938. Montrer que la famille \[ \{x\mapsto e^x,\ x\mapsto e^{2x},\ x\mapsto e^{x^2}\} \] est libre.
Exercice 4939. Montrer la liberté des suites $(1)_n$, $(n^2)_n$ et $(2^n)_n$.
Exercice 4940. Montrer que la famille de suites $\{(n^k)_{n\in\mathbb{N}}\mid k\in\mathbb{N}\}$ est libre.
Exercice 4941. Montrer la liberté de la famille \[ \{X(X-1)\cdots(X-k+1)\mid k\in\mathbb{N}\}. \]
Exercice 4942. Pour les trois ensembles suivants, montrer qu’il s’agit d’espaces vectoriels, puis donner une base.\\
  1. $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=z \; \mathrm{et} \; 2x-y+3z=0\}$.\\
  2. $G=\left\{M\in M_2(\mathbb{R})\mid M \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1 \end{pmatrix} M\right\}$.\\
  3. $H=\{P\in\mathbb{R}_3[X]\mid P'(2)=P(1)\}$.
Exercice 4943. Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$ ?\\
  1. $E=\mathbb{R}^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$ et $u_2=(2,3)$.\\
  2. $E=\mathbb{R}^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$ et $u_3=(-4,5)$.\\
  3. $E=\mathbb{R}^3$, $u=(2,5,3)$, $u_1=(1,3,2)$ et $u_2=(1,-1,4)$.\\
  4. $E=\mathbb{R}^3$, $u=(3,1,m)$, $u_1=(1,3,2)$ et $u_2=(1,-1,4)$. Discuter suivant la valeur de $m$.
Exercice 4944.
  1. Dans $\mathbb{R}[X]$, le polynôme $P(X)=16X^3-7X^2+21X-4$ est-il combinaison linéaire de $P_1(X)=8X^3-5X^2+1$ et $P_2(X)=X^2+7X-2$ ?\\
  2. Dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, la fonction $x\mapsto \sin(2x)$ est-elle combinaison linéaire des fonctions $\sin$ et $\cos$ ?
Exercice 4945. Dans $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, est-ce que la fonction $\arctan$ est combinaison linéaire de $x\mapsto e^{x^2}$, $x\mapsto e^{-x}$ et $\sin$ ?
Exercice 4946. On considère dans $\mathbb{R}^3$ les vecteurs $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(4,1,4)$ et $v_3=(2,-1,4)$.\\
  1. Montrer que la famille $(v_1,v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1,v_3)$, puis pour $(v_2,v_3)$.\\
  2. La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est-elle libre ?
Exercice 4947. On considère dans $\mathbb{R}^3$ les vecteurs \[ v_1=(1,-1,1),\quad v_2=(2,-2,2),\quad v_3=(2,-1,2). \]
  1. Peut-on trouver un vecteur $w$ tel que $(v_1,v_2,w)$ soit libre ? Si oui, en construire un.\\
  2. Même question en remplaçant $v_2$ par $v_3$.
Exercice 4948. Soit $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Étudier l’indépendance linéaire des familles suivantes :\\
  1. $(\sin,\cos)$.\\
  2. $(x\mapsto \sin^2(x),\sin,\cos)$.\\
  3. $(x\mapsto \cos(2x),x\mapsto \sin^2(x),x\mapsto \cos^2(x))$.\\
  4. $(x\mapsto x,x\mapsto e^x,\sin)$.
Exercice 4949. Dans $\mathbb{R}^n$, on considère une famille de $4$ vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres ?\\
  1. $(e_1,2e_2,e_3)$.\\
  2. $(e_1,e_3)$.\\
  3. $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$.\\
  4. $(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$.
Exercice 4950.
  1. On admet que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 4x+2y-3z=0\}$ est un espace vectoriel. Donner une base.\\
  2. On admet que $F=\{P\in\mathbb{R}_3[X]\mid P(-2)=0\}$ est un espace vectoriel. Donner une base.\\
  3. Est-ce que la famille composée des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}^*$ est libre ? \[ f_1:x\mapsto x^2,\quad f_2:x\mapsto e^x,\quad f_3:x\mapsto \frac{1}{x}. \]
Exercice 4951. Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb{C}[X]$ non nuls, à degrés échelonnés, c’est-à-dire \[ \deg(P_1) < \deg(P_2) < \cdots < \deg(P_n). \] Montrer que $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.
Exercice 4952. Montrer les affirmations suivantes.\\
  1. Dans $\mathbb{R}^2$, la famille $((1,0),(0,1),(4,-3))$ est liée, de même que la famille $((1,3),(-2,-6))$, mais la famille $((1,0),(0,1))$ est libre.\\
  2. Dans $M_2(\mathbb{R})$, la famille \[ \left( \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \right) \] est liée, mais la famille \[ \left( \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix} \right) \] est libre.
Exercice 4953. Donner la matrice coordonnée de $u=(1,1,1)$ dans la base $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ où \[ e_1=(1,2,3),\quad e_2=(0,1,2),\quad e_3=(1,0,2), \] après avoir prouvé que c’est une base.
Exercice 4954. On considère \[ F=\{(x,y,t,z)\in\mathbb{R}^4\mid x+y-z+t=0 \; \mathrm{et} \; 2x+y+t=0\}. \]
  1. Montrer que $F$ est un espace vectoriel.\\
  2. Déterminer une base de $F$.\\
  3. Donner les coordonnées de $(2,-8,-2,4)$ dans cette base.
Exercice 4955. On pose \[ G=\{P\in\mathbb{R}_3[X]\mid P(-2)=P''(1)\}. \]
  1. Vérifier que $G$ est un espace vectoriel.\\
  2. Donner une base de $G$.\\
  3. Soit $\alpha\in\mathbb{R}$, on pose \[ P=\alpha^3X^3+\alpha^2X^2+\alpha X+14\alpha^3-2\alpha^2+2\alpha. \] Montrer que $P\in G$ et déterminer ses coordonnées dans la base trouvée.
Exercice 4956. On considère l’ensemble \[ F=\{f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f \; \mathrm{dérivable} \; \mathrm{et} \; f'=-2f\}. \]
  1. Montrer que $F$ est un espace vectoriel.\\
  2. Donner un exemple, à l’exception de la fonction nulle, d’une fonction $f$ qui appartient à $F$. On notera cette fonction $f_0$.\\
  3. On considère $f\in F$ quelconque. Calculer $\left(\dfrac{f}{f_0}\right)'$ et en déduire une famille génératrice de $F$. Est-ce une base de $F$ ?
Exercice 4957.
  1. Donner les coordonnées de $2X^2-3X+1$ dans la base $\{1,X+1,(X+1)(X-1)\}$ de $\mathbb{R}_2[X]$.\\
  2. Donner une famille génératrice de $\{P\in\mathbb{R}_2[X]\mid P(1)=0\}$.\\
  3. Donner une famille génératrice de $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=y=z\}$.\\
  4. Donner les coordonnées de la fonction $f_0:x\mapsto e^x$ dans une base simple de \[ \Vect\left(f:x\mapsto \frac{e^x+e^{-x}}{2},g:x\mapsto \frac{e^x-e^{-x}}{2}\right). \]
Exercice 4958. Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ On pose \[ f_1=e_2+2e_3,\qquad f_2=e_3-e_1,\qquad f_3=e_1+2e_2. \] Montrer que $B=(f_1,f_2,f_3)$ est une base de $E$.
Exercice 4959. \\
  1. Montrer que la famille suivante est une base de $\R^3$ : \[ \{(1,1,0),(1,2,3),(0,1,1)\}. \]
  2. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $F$ un sev de $E$. Que dire de la dimension de $F$ ? On suppose alors que $F$ admet une famille libre de cardinal $n$, justifier que $F=E$.
  3. Montrer la proposition suivante : "soit $\mathcal{F}$ une famille d’éléments de $E$. Alors \[ \rg(\mathcal{F})\leqslant \dim(E) \] avec égalité si et seulement si $\mathcal{F}$ est génératrice de $E$"
  4. Donner le rang de la famille \[ \{(1,1,2),(1,2,0),(1,-1,6)\}. \]
  5. Soit $P\in\R_n[X]$ et $a\in\R$. Donner le rang de la famille \[ \{1,X-a,(X-a)^2,\dots,(X-a)^n,P\}. \]
Exercice 4960. Soit $E=\R_4[X]$ et \[ P_1=X+1,\qquad P_2=X^2-2X+1,\qquad P_3=X^4-X^3+3X^2+2. \]
  1. Montrer que la famille $\{P_1,P_2,P_3\}$ peut être complétée en une base de $E$. Compléter alors cette famille en une base.\\
  2. Exprimer le polynôme \[ Q=X^3+2X^2-4X+2 \] dans la nouvelle base.
Exercice 4961. Soit, dans $\R^3$, les quatre vecteurs suivants :\\ \[ v_1=(1,1,-1),\qquad v_2=(1,2,4),\qquad v_3=(3,-1,a),\qquad v_4=(2,3,b). \] Déterminer $a$ et $b$ tels que $\mathrm{Vect}(v_1,v_2)=\mathrm{Vect}(v_3,v_4)$.
Exercice 4962. Soit $N\in\mathbb{N}$ tel que $N$ ne soit le carré d’aucun entier. Montrer :\\
  1. $\sqrt{N}\notin\mathbb{Q}$.\\
  2. $(1,\sqrt{N})$ est $\mathbb{Q}$-libre.
Exercice 4963. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel muni d’une base $\mathcal{B}=(e_1,e_2,\dots,e_n)$. Soit $\mathcal{L}=(f_1,f_2,\dots,f_p)$ une famille libre de $E$ avec $p\leqslant n$. Montrer que l’on peut compléter $\mathcal{L}$ avec des éléments de $\mathcal{B}$ en une base de $E$.
Exercice 4964. Soient $E$ un $\R$-ev, $n\in\N^*$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de $E$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des réels, $u$ le vecteur défini par $u=\Sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i$, et pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $v_i=u+e_i$.\\ À quelle condition sur $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ la famille $(v_k)_{k\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ est-elle liée ?
Exercice 4965. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n$ tels que $a_1 < \cdots < a_n$.\\ La famille d’applications $(f_{a_i})_{1\leqslant i\leqslant n}$ est-elle libre ou est-elle liée, dans les exemples suivants :\\
  1. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto |x-a_i|$.\\
  2. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto e^{a_i x}$.\\
  3. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto \cos(x+a_i)$, pour $n\geqslant 3$.\\
  4. $f_{a_i}:\mathbb{R}\setminus\{a_1,\ldots,a_n\}\to\mathbb{R},\;x\mapsto \Frac{1}{x-a_i}$.\\
Exercice 4966. Montrer que les familles suivantes sont libres :\\ $\big(f_a:x\mapsto \exp(ax)\big)_{a\in\R}$\\ $\big(f_a:x\mapsto |x-a|\big)_{a\in\R}$\\ $(P_1,\dots,P_n)$ avec \[ P_i(X)=\Prod_{k=1,\;k\neq i}^{n}\frac{X-\alpha_k}{\alpha_i-\alpha_k} \] avec les $\alpha_k$ tous différents dans $\R$\\ $(P_1,\dots,P_n)$ avec \[ P_i(X)=(X-1)^i(X+2)^{n-i} \]
Exercice 4967. Soit $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ et $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K$.\\ On pose\\ \[ \vec{u}=\alpha_1\vec{x}_1+\cdots+\alpha_n\vec{x}_n \] et, pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$,\\ \[ \vec{y}_i=\vec{x}_i+\vec{u}. \] À quelle condition sur les $\alpha_i$ la famille $(\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_n)$ est-elle libre ?
Exercice 4968. Pour $a\in\mathbb{R}$, on note $f_a$ l’application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par \[ f_a(x)=|x-a|. \] Montrer que la famille $(f_a)_{a\in\mathbb{R}}$ est une famille libre d’éléments de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 4969. Pour $a\in\mathbb{R}_+$, on note $f_a$ l’application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par \[ f_a(t)=\cos(at). \] Montrer que la famille $(f_a)_{a\in\mathbb{R}_+}$ est une famille libre d’éléments de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 4970. Étudier la liberté des familles suivantes :\\
  1. $(x\mapsto \cos(x^n))_{n\in\N^*}$\\
  2. $(x\mapsto \sin(x^n))_{n\in\N^*}$\\
  3. $(x\mapsto x^\alpha)_{\alpha\in\R}$\\
  4. $(x\mapsto |x-a|)_{a\in\R}$\\
  5. $(x\mapsto |x-a|^{\frac{7}{2}})_{a\in\R}$\\
  6. $\left(x\in[0,1]\mapsto \dfrac{1}{1-\frac{x}{a}}\right)_{a\geqslant 2}$
Exercice 4971. La famille \[ \big(\sin(x),\sin(\sin(x)),\sin(\sin(\sin(x)))\big) \] est-elle libre ?
Exercice 4972. Montrer que dans le $\mathbb{R}$-e.v des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, les familles de fonctions suivantes sont des familles libres :\\
  1. $(f_\lambda)_{\lambda \in \mathbb{R}}$ où $f_\lambda : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto e^{\lambda x}$.\\
  2. $(f_\lambda)_{\lambda \in \mathbb{R}_+^*}$ où $f_\lambda : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \cos(\lambda x)$.\\
  3. $(f_\lambda)_{\lambda \in \mathbb{R}}$ où $f_\lambda : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto |x-\lambda|$
Exercice 4973. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ \Vect(x\mapsto \cos(kx))_{0\leqslant k\leqslant n} = \Vect(x\mapsto \cos^k(x))_{0\leqslant k\leqslant n}. \]
Exercice 4974. Considérons $A\in M_n(\mathbb{R})$ telle qu’il existe un entier $p$ vérifiant $A^p=0_n$ et $A^{p-1}\neq 0_n$.\\
  1. On suppose que $p=3$. Démontrer que la famille $\{I_n,A,A^2\}$ est libre.\\
  2. Soit $p\in\mathbb{N}^*$. Montrer que la famille $\{I_n,A,\dots,A^{p-1}\}$ est libre dans $M_n(\mathbb{R})$.
Exercice 4975.
  1. Soit $H=\{(a+b,b+c,c-a)\mid (a,b,c)\in\mathbb{R}^3\}$. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ et en donner une base.\\
  2. Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ et en donner une base.\\
  3. Montrer que $F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y-z+2t=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ et en donner une base.\\
  4. Montrer que $F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y=0 \; \mathrm{et} \; x-2y-z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ et en donner une base. Écrire cet espace vectoriel comme l’intersection de deux espaces vectoriels.\\
  5. Montrer que l’ensemble des suites réelles $u$ telles que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et en donner une base.
Exercice 4976.
  1. Dans $E=\mathcal{F}(\mathbb{R}_+^*,\mathbb{R})$, on considère les fonctions $f_1:x\mapsto 1$, $f_2:x\mapsto \ln(x)$, $f_3:x\mapsto x$, $f_4:x\mapsto e^x$. Montrer que la famille $(f_1,f_2,f_3,f_4)$ est libre.\\
  2. Montrer que la famille de suites $(1)_{n\in\mathbb{N}}$, $(2^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(5^n)_{n\in\mathbb{N}}$ forme une famille libre dans l’espace vectoriel des suites réelles.\\
  3. Pour tout $k\in\mathbb{N}$, soit $f_k:x\in\mathbb{R}\mapsto e^{kx}\in\mathbb{R}$. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la famille $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est libre.
Exercice 4977. Dans chaque espace vectoriel $E$, les familles $F$ sont-elles génératrices ? libres ? liées ?\\
  1. $F=\{i,e^{i\frac{\pi}{4}}\}$ dans $E=\mathbb{C}$.\\
  2. $F=\{(9,-3,7),(1,8,8),(5,-5,1)\}$ dans $E=\mathbb{R}^3$.\\
  3. $F=\{2,X^2,(X-1)^3\}$ dans $E=\mathbb{R}[X]$.\\
  4. $F=\{\exp,\cos,\sin,\arctan\}$ dans $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 4978. Soit $E$ un espace vectoriel et $u_1,\dots,u_n\in E$. Pour $k=1,\dots,n$, on pose \[ v_k=u_1+\cdots+u_k. \] Démontrer que la famille $(u_1,\dots,u_n)$ est libre si et seulement si la famille $(v_1,\dots,v_n)$ est libre.
Exercice 4979. Soient $p\in\mathbb{N}^*$ et $u=(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$. On dit que la suite $u$ est $p$-périodique lorsque, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ u_{n+p}=u_n. \] On note $E_p$ l’ensemble des suites $p$-périodiques.\\ Montrer que $E_p$ est un espace vectoriel et en donner une base.
Exercice 4980. Soit $E$ l’ensemble des applications $f:[-1;1]\to\mathbb{R}$ continues telles que les restrictions de $f$ à $[-1;0]$ et $[0;1]$ soient affines.\\
  1. Montrer que $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\
  2. Donner une base de $E$.
Exercice 4981. Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels et en déterminer une base :\\ $F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+y+3z=0 \; \mathrm{et} \; x+3y-z=0\}$\\ $F$ inclus dans $\C^5$ d’équations : \[ \begin{cases} x_1+x_3-x_5=0\\ x_1+x_4-2x_5=0\\ 2x_2+x_3-x_4+4x_5=0 \end{cases} \] $F=\left\{P(X)\in\R_d[X]\mid \Sum_{k=0}^{d}P(X+k)=0\right\}$\\ $F=\left\{z\in\C^d\mid \Sum_{k=1}^{d}(-1)^kz_k=0\right\}$\\ $F=\left\{u\in\C^\N\mid \forall n\in\N,\; \Sum_{k=0}^{d}u_{n+k}=0\right\},\; \mathrm{où}\; d\in\N^*$\\ $F=\left\{y\in\mathcal{C}^\infty(\R,\R)\mid \Sum_{k=0}^{d}y^{(k)}=0\right\},\; \mathrm{où}\; d\in\N^*$
Exercice 4982. Liberté des familles suivantes :\\
  1. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, où $f_k:x\mapsto e^{kx}$, dans $C^0(\R)$ (on demande trois méthodes différentes)\\
  2. $(X^k(1-X)^{n-k})_{0\leqslant k\leqslant n}$, dans $\mathbb{K}[X]$\\
  3. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, où $f_k:x\mapsto r_k^x$, où $0
Exercice 4983. Étudier la liberté des familles suivantes (dans le $\R$-ev des fonctions de $\R$ dans $\R$) :\\
  1. $(\varphi_a,\varphi_b)$, $(a,b)\in\R^2$, où pour tout $a\in\R$, $\varphi_a:x\mapsto \sin(x+a)$.\\
  2. $(\varphi_a,\varphi_b,\varphi_c)$, $(a,b,c)\in\R^3$.\\
  3. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, $f_k:x\mapsto \cos^k x$.\\
  4. Idem pour $(f_k)_{k\in\N^*}$.\\
  5. $(f_n)_{n\in\N}\cup(g_n)_{n\in\N}$, $f_n:x\mapsto x^n\cos(x)$, $g_n:x\mapsto x^n\sin(x)$.\\
  6. $(f^n)_{n\in\N}$, $f:\R\to\R$ telle que $f(\R)$ soit infini.\\
  7. $(f_k)_{k\in\N}$, $f_k:x\mapsto \cos(x^k)$.
Exercice 4984. Déterminer une CNS sur les réels $x,y,z$ pour que les trois vecteurs\\ \[ u=(yz,z,y),\qquad v=(z,xz,x),\qquad w=(y,x,xy) \] soient liés.
Exercice 4985. Montrer que la famille \[ (x\mapsto e^{\alpha x})_{\alpha\in\R} \] est libre par deux méthodes différentes :\\
  1. En faisant une étude au voisinage de $+\infty$.\\
  2. En faisant des dérivations successives.

Exercice 4986. X ENS

\\ Soit un espace vectoriel réel $E$ de dimension $n \geqslant 1$ et une famille \[ \mathcal{F}=(e_1,\dots,e_p) \] de vecteurs de $E$ positivement génératrice, c’est-à-dire telle que pour tout $x \in E$, il existe \[ (\lambda_1,\dots,\lambda_p) \in (\mathbb{R}_+^*)^p \] tel que \[ x=\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_p e_p. \]
  1. Montrer que $p \geqslant n+1$. Donner un exemple de famille positivement génératrice de cardinal $n+1$.\\
  2. On suppose $p \geqslant 2n+1$. Montrer qu’il existe une sous-famille stricte de $\mathcal{F}$ qui est encore positivement génératrice. Donner un exemple de famille positivement génératrice de cardinal $2n$ dont aucune sous-famille stricte ne l’est.
Exercice 4987. Dans cette partie, on dégage une condition suffisante de liberté.\\ On fixe un corps $K$, un $K$-espace vectoriel $E$ et une famille $(x_i)_{i \in I}$ de vecteurs non nuls de $E$.\\ Le but est de montrer le résultat suivant :\\ Lemme. On suppose qu’il existe $T \in \mathcal{L}(E)$ et une famille de scalaires distincts $(\lambda_i)_{i \in I}$ telle que $\forall i \in I,\, T(x_i)=\lambda_i x_i$.\\ Alors $(x_i)_{i \in I}$ est libre.
  1. Une relation de liaison essentiellement unique. On suppose ici la famille $(x_i)_{i \in I}$ liée.\\
    1. Une sous-famille à peine liée. Justifier qu’il existe une partie finie $J \subset I$ et une famille de scalaires $(\alpha_j)_{j \in J}$ telles que \[ \Sum_{j \in J}\alpha_j x_j=0_E, \] la famille $(\alpha_j)_{j \in J}$ n’étant pas nulle, et toute sous-famille $(x_j)_{j \in J'}$ où $J'$ est une partie stricte de $J$ est libre.\\
    2. Justifier que $|J| \geqslant 2$.\\
    3. Montrer que la relation de liaison obtenue ci-dessus est unique à une constante multiplicative près, c’est-à-dire que si une famille $(\beta_j)_{j \in J}$ vérifie $\Sum_{j \in J}\beta_j x_j=0_E$, alors il existe $\kappa \in K$ tel que $\forall j \in J,\, \beta_j=\kappa \alpha_j$.\\
  2. Démonstration du lemme. On suppose maintenant qu’il existe $T \in \mathcal{L}(E)$ et une famille de scalaires distincts $(\lambda_i)_{i \in I}$ telle que $\forall i \in I,\, T(x_i)=\lambda_i x_i$.\\
    1. Montrer que si $(\alpha_i)_{i \in I} \in K^{(I)}$ vérifie $\Sum_{i \in I}\alpha_i x_i=0_E$, alors la famille $(\alpha_i \lambda_i)_{i \in I}$ est encore presque nulle et vérifie $\Sum_{i \in I}\alpha_i \lambda_i x_i=0_E$.\\
    2. Conclure.
Exercice 4988. Pour tous $x,y,z,t\in\mathbb{R}$, on pose \[ M(x,y,z,t)= \begin{pmatrix} x&-y&-z&-t\\ y&x&-t&z\\ z&t&x&-y\\ t&-z&y&x \end{pmatrix} \] et \[ H=\{M(x,y,z,t)\in M_4(\mathbb{R})\mid x,y,z,t\in\mathbb{R}\}. \]
    1. Expliciter les matrices $I=M(1,0,0,0)$, $J=M(0,1,0,0)$, $K=M(0,0,1,0)$ et $L=M(0,0,0,1)$.\\
    2. On admet $KJ=-L$, $J^2=-I$ et $JK=L$. Montrer $7$ identités semblables.
    1. Justifier que $H$ est un espace vectoriel.\\
    2. Montrer que la famille $(I,J,K,L)$ est une base de $H$. Est-ce une base de $M_4(\mathbb{R})$ ?\\
    3. Donner les coordonnées de \[ M_0= \begin{pmatrix} 1&-2&1&-3\\ 2&1&-3&-1\\ -1&3&1&-2\\ 3&1&2&1 \end{pmatrix} \] dans cette base.
  3. En utilisant les questions précédentes, montrer que $H$ est stable par multiplication matricielle.\\
  4. Montrer par le calcul de $M(x,y,z,t)M(x,-y,-z,-t)$ que toute matrice non nulle de $H$ est inversible et préciser son inverse.
Exercice 4989. Démontrer que les familles suivantes sont libres dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ :\\
  1. $(x\mapsto e^{ax})_{a\in\mathbb{R}}$.\\
  2. $(x\mapsto |x-a|)_{a\in\mathbb{R}}$.\\
  3. $(x\mapsto \cos(ax))_{a > 0}$.\\
  4. $(x\mapsto \sin^n(x))_{n\geqslant 1}$.
Exercice 4990. Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$.\\ Pour $k=1,\dots,n-1$, on pose $w_k=v_k+v_{k+1}$ et $w_n=v_n+v_1$.\\ Étudier l’indépendance linéaire de la famille $(w_1,\dots,w_n)$.
Exercice 4991. Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$. Pour $k=1,\dots,n-1$, on pose \[ w_k=v_k+v_{k+1} \] et \[ w_n=v_n+v_1. \]
  1. Écrire $w_1$, $w_2$, $w_3$.\\
  2. On suppose qu’il existe $n$ scalaires $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ tels que $\lambda_1w_1+\cdots+\lambda_nw_n=0$. En utilisant la liberté de la famille $(v_1,\dots,v_n)$, montrer que $\lambda_n=-\lambda_1$ et que, pour $2\leqslant k\leqslant n$, $\lambda_k=-\lambda_{k-1}$.\\
  3. Montrer que $\lambda_k=(-1)^{k-1}\lambda_1$ pour tout $k\in\llbracket 2,n\rrbracket$.\\
  4. Montrer que si $n$ est impair, alors $\lambda_1=0$ et montrer que la famille est libre.\\
  5. Montrer que si $n$ est pair, alors la famille est liée.