Familles libres, génératrices, bases

Exercice 3669. Soient $E$ un $\R$-ev, $n\in\N^*$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de $E$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des réels, $u$ le vecteur défini par $u=\Sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i$, et pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $v_i=u+e_i$.\\ À quelle condition sur $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ la famille $(v_k)_{k\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ est-elle liée ?
Exercice 3670. Soient $(e_1,\dots,e_n)$ et $(e_1',\dots,e_n')$ deux bases d’un $\R$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer qu’il existe $j\in\{1,\dots,n\}$ tel que la famille \[ (e_1,\dots,e_{n-1},e_j') \] soit encore une base de $E$.
Exercice 3671. On considère les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ \[ u=(1,1,1)\quad \mathrm{et}\quad v=(1,0,-1). \] Montrer \[ \mathrm{Vect}(u,v)=\{(2\alpha,\alpha+\beta,2\beta)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}. \]
Exercice 3672. Dans $\mathbb{R}^3$, on considère \[ x=(1,-1,1)\quad \mathrm{et}\quad y=(0,1,a)\quad \mathrm{o\grave{u}}\quad a\in\mathbb{R}. \] Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que \[ u=(1,1,2) \] appartienne à $\mathrm{Vect}(x,y)$.\\ Comparer alors $\mathrm{Vect}(x,y)$, $\mathrm{Vect}(x,u)$ et $\mathrm{Vect}(y,u)$.
Exercice 3673. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n$ tels que $a_1 < \cdots < a_n$.\\ La famille d’applications $(f_{a_i})_{1\leqslant i\leqslant n}$ est-elle libre ou est-elle liée, dans les exemples suivants :\\
  1. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto |x-a_i|$.\\
  2. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto e^{a_i x}$.\\
  3. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto \cos(x+a_i)$, pour $n\geqslant 3$.\\
  4. $f_{a_i}:\mathbb{R}\setminus\{a_1,\ldots,a_n\}\to\mathbb{R},\;x\mapsto \Frac{1}{x-a_i}$.\\
Exercice 3674. On pose $f_1,f_2,f_3,f_4:[0;2\pi]\to\mathbb{R}$ définies par :\\ \[ f_1(x)=\cos x,\quad f_2(x)=x\cos x,\quad f_3(x)=\sin x,\quad f_4(x)=x\sin x. \] Montrer que la famille $(f_1,f_2,f_3,f_4)$ est libre.
Exercice 3675. Montrer que les familles suivantes sont libres :\\ $\big(f_a:x\mapsto \exp(ax)\big)_{a\in\R}$\\ $\big(f_a:x\mapsto |x-a|\big)_{a\in\R}$\\ $(P_1,\dots,P_n)$ avec \[ P_i(X)=\Prod_{k=1,\;k\neq i}^{n}\frac{X-\alpha_k}{\alpha_i-\alpha_k} \] avec les $\alpha_k$ tous différents dans $\R$\\ $(P_1,\dots,P_n)$ avec \[ P_i(X)=(X-1)^i(X+2)^{n-i} \]
Exercice 3676. Soient $n\in\N^*$, puis $z_1,\dots,z_n$ différents dans $\C$ et enfin $P(X)$ un polynôme complexe de degré $n-1$. Montrer que la famille \[ \big(P(X+z_1),\dots,P(X+z_n)\big) \] est une base de $\C_{n-1}[X]$.
Exercice 3677. Soient $z_1,\dots,z_d$ des nombres complexes tels que \[ \lim_{N\to+\infty}\sum_{k=1}^{d}z_k^N=0. \] Montrer que ces nombres complexes sont de module strictement inférieur à $1$.
Exercice 3678. Soit $n\in\N$.\\
  1. Montrer qu’il existe un seul polynôme $P_n(X)\in\R[X]$ tel que \[ P_n(X)+P_n(X+1)=2X^n. \]
  2. Trouver une formule entre $P_{n+1}(X)$ et $P_n(X)$.\\
    1. Montrer que la famille $(P_k)_{k\in\N}$ forme une base de $\R[X]$.\\
    2. Montrer que pour tout $Q(X)\in\R[X]$, on a \[ Q(X+1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\Frac{Q^{(k)}(X)}{k!}. \]
    3. Donner la décomposition de $P_n(X+1)$ dans la base $(P_k)_{k\in\N}$.
  4. Montrer que \[ P_n(1-X)=(-1)^nP_n(X). \]
Exercice 3679. Soit $E=\R^{\R}$.\\ Pour tout $n\in\N$, on pose $f_n:x\mapsto x^n$.\\
  1. Montrer que $(f_0,\dots,f_n)$ est libre.\\
  2. En déduire $\dim E$.
Exercice 3680. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ On pose \[ \varepsilon_1=e_2+2e_3,\qquad \varepsilon_2=e_3-e_1,\qquad \varepsilon_3=e_1+2e_2. \] Montrer que $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ est une base de $E$.
Exercice 3681. Soit $E=\R^{\R}$.\\ Pour tout $n\in\N$, on pose $f_n:x\mapsto x^n$.\\
  1. Montrer que $(f_0,\dots,f_n)$ est libre.\\
  2. En déduire $\dim E$.
Exercice 3682. On pose \[ e_1=(1,1,1),\qquad e_2=(1,1,0),\qquad e_3=(0,1,1). \] Montrer que $B=(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\R^3$.
Exercice 3683. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ On pose \[ \varepsilon_1=e_2+2e_3,\qquad \varepsilon_2=e_3-e_1,\qquad \varepsilon_3=e_1+2e_2. \] Montrer que $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ est une base de $E$.
Exercice 3684. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ Soit \[ \varepsilon_1=e_1+2e_2+2e_3,\qquad \varepsilon_2=e_2+e_3. \] Montrer que la famille $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$ est libre et compléter celle-ci en une base de $E$.
Exercice 3685. Pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$, on pose $f_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la fonction définie par\\ \[ f_k(x)=e^{kx}. \] Montrer que la famille $(f_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ est une famille libre de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 3686. Soit $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ et $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K$.\\ On pose\\ \[ \vec{u}=\alpha_1\vec{x}_1+\cdots+\alpha_n\vec{x}_n \] et, pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$,\\ \[ \vec{y}_i=\vec{x}_i+\vec{u}. \] À quelle condition sur les $\alpha_i$ la famille $(\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_n)$ est-elle libre ?
Exercice 3687. Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ une famille libre de vecteurs de $E$.\\ Montrer que pour tout $a\in E\setminus \mathrm{Vect}(e_1,\ldots,e_p)$, la famille $(e_1+a,\ldots,e_p+a)$ est libre.
Exercice 3688. Soit $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$.\\ Les fonctions \[ x\mapsto \sin(x+a),\quad x\mapsto \sin(x+b),\quad x\mapsto \sin(x+c) \] sont-elles linéairement indépendantes ?
Exercice 3689. Pour $a\in\mathbb{R}$, on note $f_a$ l’application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par \[ f_a(x)=|x-a|. \] Montrer que la famille $(f_a)_{a\in\mathbb{R}}$ est une famille libre d’éléments de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 3690. Pour $a\in\mathbb{R}_+$, on note $f_a$ l’application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par \[ f_a(t)=\cos(at). \] Montrer que la famille $(f_a)_{a\in\mathbb{R}_+}$ est une famille libre d’éléments de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 3691. Pour $k\in\{0,\ldots,n\}$, on pose \[ P_k=(X+1)^{k+1}-X^{k+1}. \] Montrer que la famille $(P_0,\ldots,P_n)$ est une base de $K_n[X]$.
Exercice 3692. Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels et en déterminer une base :\\ $F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+y+3z=0 \; \mathrm{et} \; x+3y-z=0\}$\\ $F$ inclus dans $\C^5$ d’équations : \[ \begin{cases} x_1+x_3-x_5=0\\ x_1+x_4-2x_5=0\\ 2x_2+x_3-x_4+4x_5=0 \end{cases} \] $F=\left\{P(X)\in\R_d[X]\mid \Sum_{k=0}^{d}P(X+k)=0\right\}$\\ $F=\left\{z\in\C^d\mid \Sum_{k=1}^{d}(-1)^kz_k=0\right\}$\\ $F=\left\{u\in\C^\N\mid \forall n\in\N,\; \Sum_{k=0}^{d}u_{n+k}=0\right\},\; \mathrm{où}\; d\in\N^*$\\ $F=\left\{y\in\mathcal{C}^\infty(\R,\R)\mid \Sum_{k=0}^{d}y^{(k)}=0\right\},\; \mathrm{où}\; d\in\N^*$
Exercice 3693. On note $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x+1$ et $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x^2$.\\ Quel est le rang de la famille \[ \mathcal{A}=(f,g,f\circ f,f\circ g,g\circ f,g\circ g)\;? \]
Exercice 3694. Liberté des familles suivantes :\\
  1. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, où $f_k:x\mapsto e^{kx}$, dans $C^0(\R)$ (on demande trois méthodes différentes)\\
  2. $(X^k(1-X)^{n-k})_{0\leqslant k\leqslant n}$, dans $\mathbb{K}[X]$\\
  3. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, où $f_k:x\mapsto r_k^x$, où $0
Exercice 3695. Étudier la liberté des familles suivantes (dans le $\R$-ev des fonctions de $\R$ dans $\R$) :\\
  1. $(\varphi_a,\varphi_b)$, $(a,b)\in\R^2$, où pour tout $a\in\R$, $\varphi_a:x\mapsto \sin(x+a)$.\\
  2. $(\varphi_a,\varphi_b,\varphi_c)$, $(a,b,c)\in\R^3$.\\
  3. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, $f_k:x\mapsto \cos^k x$.\\
  4. Idem pour $(f_k)_{k\in\N^*}$.\\
  5. $(f_n)_{n\in\N}\cup(g_n)_{n\in\N}$, $f_n:x\mapsto x^n\cos(x)$, $g_n:x\mapsto x^n\sin(x)$.\\
  6. $(f^n)_{n\in\N}$, $f:\R\to\R$ telle que $f(\R)$ soit infini.\\
  7. $(f_k)_{k\in\N}$, $f_k:x\mapsto \cos(x^k)$.
Exercice 3696. Liberté sur $\C$ de la famille $(t\mapsto e^{\mathrm{i}nt})_{n\in\N}$.
Exercice 3697. Soit pour tout $\alpha\in\R$, $f_\alpha:x\mapsto |x-\alpha|$.\\ Montrer que pour tout $\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n$, la famille $(f_{\alpha_1},\ldots,f_{\alpha_n})$ est libre.
Exercice 3698. Déterminer une CNS sur les réels $x,y,z$ pour que les trois vecteurs\\ \[ u=(yz,z,y),\qquad v=(z,xz,x),\qquad w=(y,x,xy) \] soient liés.
Exercice 3699. On se place dans $E = \R^3$. \\ Soit \[ F = \{(x,y,z) \in E, \;\; x-2y+z=0 \} \quad et \quad G = Vect((1,1,0)) \] Montrer que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$. \\ Donner une base de $F$ et une base de $G$.
Exercice 3700. Soit $E = \{(x,y,z,t) \in \R^4, \;\; x+y+z+t=0, \; y-z =0, \; 2x+y+3z+2t =0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un espace vectoriel et en donner une base.
Exercice 3701. Les familles suivantes sont-elles libres ? \\
  1. $(f_1,f_2,f_3)$ où $f_1 : x \mapsto 1$, $f_2 : x \mapsto \cos(x)$ et $f_3 : x \mapsto \sin(x)$. \\
  2. $(P_1(X),P_2(X),P_3(X),P_4(X))$ avec $P_1(X) =3+3X+X^3$, $P_2(X)=1-X-X^2+X^3$, $P_3(X) = -1-X+X^2+X^3$ et $P_4(X) = X+2X^2+X^3$.
Exercice 3702. Pour chacune des familles suivantes de $\R^3$, dire si elles sont libres, génératrices ; lesquelles sont des bases ?\\ On répondra à ces questions une première fois en revenant systématiquement aux définitions, une deuxième fois en admettant le théorème de la dimension, stipulant que s’il existe une base finie, toutes les bases ont même cardinal.\\
  1. $((1,3,-2),(2,1,0))$\\
  2. $((1,5,6),(2,3,0),(3,8,6),(1,0,0))$\\
  3. $((2,2,1),(1,1,2),(1,1,1))$\\
  4. $((1,2,3),(2,3,4),(3,4,5))$\\
  5. $((1,2,0),(0,1,1),(2,0,1))$
Exercice 3703. Calculer la matrice du vecteur $P=X^3-3X^2+5X-2$ de $\R_3[X]$ dans la base $(1,(X+2),(X+2)^2,(X+2)^3)$.