Familles libres, génératrices, bases

Exercice 1206. On se place dans $E = \R^3$. \\ Soit \[ F = \{(x,y,z) \in E, \;\; x-2y+z=0 \} \quad et \quad G = Vect((1,1,0)) \] Montrer que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$. \\ Donner une base de $F$ et une base de $G$.
Exercice 1207. Soit $E = \{(x,y,z,t) \in \R^4, \;\; x+y+z+t=0, \; y-z =0, \; 2x+y+3z+2t =0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un espace vectoriel et en donner une base.
Exercice 1208. Les familles suivantes sont-elles libres ? \\
  1. $(f_1,f_2,f_3)$ où $f_1 : x \mapsto 1$, $f_2 : x \mapsto \cos(x)$ et $f_3 : x \mapsto \sin(x)$. \\
  2. $(P_1(X),P_2(X),P_3(X),P_4(X))$ avec $P_1(X) =3+3X+X^3$, $P_2(X)=1-X-X^2+X^3$, $P_3(X) = -1-X+X^2+X^3$ et $P_4(X) = X+2X^2+X^3$.
Exercice 1209. On pose $u = (1,1,1)$ et $v = (1,0,-1)$. Montrer que \\ \[ Vect(u,v) = \{(2\alpha, \alpha + \beta, 2\beta), \; (\alpha, \beta) \in \R^2\}. \]
Exercice 1210. Les familles suivantes de vecteurs de $\R^3$ sont-elles libres ? Si ce n’est pas le cas, exhiber une relation linéaire liant ces vecteurs. \\
  1. $(x_1, x_2)$ avec $x_1 = (1,0,1)$ et $x_2 = (1,2,2)$. \\
  2. $(x_1, x_2, x_3)$ avec $x_1 = (1,0,0)$, $x_2 = (1,1,0)$ et $x_3 = (1,1,1)$. \\
  3. $(x_1, x_2, x_3)$ avec $x_1 = (1,2,1)$, $x_2 = (2,1,-1)$ et $x_3 = (1,-1,-2)$. \\
  4. $(x_1, x_2, x_3)$ avec $x_1 = (1,-1,1)$, $x_2 = (2,-1,3)$ et $x_3 = (-1,1,-1)$.
Exercice 1211. Pour tout entier $0 \leqslant k \leqslant n$, on pose $f_k : \R \to \R$ la fonction définie par $f_k(x) = e^{kx}$. \\ Montrer que la famille $(f_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ est libre dans $\mathcal{F}(\R, \R)$.
Exercice 1212. Soit $(x_1, \dots, x_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ et $(\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \K^n$. On pose : \[ u = \alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_n x_n \quad \text{et} \quad \forall i \leqslant n, \; y_i = x_i + u. \] À quelle condition sur les $\alpha_i$ la famille $(y_1, \dots, y_n)$ est-elle libre ?
Exercice 1213. \\
  1. Déterminer l’ensemble des $x \in \R$ tels que les vecteurs $(1,x)$ et $(-x,1)$ soient liés dans $\R^2$. \\
  2. Déterminer l’ensemble des $z \in \C$ tels que les vecteurs $(1,z)$ et $(-z,1)$ soient liés dans $\C^2$.
Exercice 1214. Dans $\R^3$, on donne les vecteurs $u_1 = (2,-1,3)$, $u_2 = (3,2,1)$ et $u_3 = (0,1,1)$. \\
  1. Déterminer une équation du sous-espace vectoriel de $\R^3$ engendré par $u_1$ et $u_2$. \\
  2. Déterminer une équation du sous-espace vectoriel de $\R^3$ engendré par $u_1$ et $u_3$. \\
  3. Déterminer une équation du sous-espace vectoriel de $\R^3$ engendré par $u_2$ et $u_3$.
Exercice 1215. Déterminer une base pour chacun des sous-espaces vectoriels de $\R^3$ suivants : \\
  1. $A = \{(x + 2y, -y + 3x, 3y) \; | \; (x,y) \in \R^2\}$, \\
  2. $B = \{(x,y,z) \in \R^3 \; | \; x + 2y + z = 0\}$, \\
  3. $C = \{(x,y,z) \in \R^3 \; | \; 2x - z = 0 \;\text{et}\; y + z = 0\}$.
Exercice 1216. On note $F = \{M \in \mathcal{M}_2(\R) \; | \; AM = MA\}$ avec \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\R)$. \\
  2. Déterminer une base de $F$.
Exercice 1217. \\
  1. Montrer que la famille de vecteurs $u_1 = (3,-1,1)$ et $u_2 = (1,2,3)$ est une famille libre de $\R^3$. \\
  2. Déterminer un troisième vecteur pour former une base de $\R^3$.
Exercice 1218. Soit $u = (1,3,4,5)$, $v = (2,1,5,6)$, $w = (4,7,0,1) \in \R^4$.\\ Montrer que la famille $(u,v,w)$ forme une famille libre.
Exercice 1219. Soit $u = (1,2,3)$ et $v = (2,-1,1) \in \R^3$. Déterminer $a,b,c \in \R$ tel que $\text{Vect}(u,v) = \{(x,y,z) \in \R^3 \; | \; ax + by + cz = 0\}$.
Exercice 1220. Soit $E$ un espace vectoriel et $(e_1,e_2,e_3,)$ une famille libre de $E$.\\ Montrer que $(e_1,2e_1+e_3,e_2+e_3)$ est libre.
Exercice 1221. Soit $\alpha \neq \beta \in \R$. On pose pour $k \in [\![0,n]\!]$, $P_k = (X - \alpha)^k (X - \beta)^{n-k}$.\\ Montrer que $(P_k)_{k \in [\![0,n]\!]}$ est une famille libre de $\R_n[X]$.\\ Indication : On pourra raisonner par l’absurde.
Exercice 1222. Soit $\alpha \neq \beta \in \R$. On pose pour $k \in [\![0,n]\!]$, $P_k = (X - \alpha)^k (X - \beta)^{n-k}$.\\
  1. Montrer que $(P_k)_{k \in [\![0,n]\!]}$ est une famille libre de $\R_n[X]$.\\ Indication : On pourra raisonner par l’absurde.\\
  2. Application : Montrer que $(X^2, X(X-4), (X-4)^2)$ est une base de $\R_2[X]$ et calculer les coordonnées de $2X^2 + 32$ dans cette base.
Exercice 1223. Soit $P \in \R[X]$, on appelle valuation de $P$ notée $\mathrm{val}(P)$ le plus petit exposant apparaissant dans la forme réduite de $P$.\\ Par exemple : $\mathrm{val}(X^2 + 4X) = 1$.\\
  1. Montrer que toute famille de polynômes non nuls de valuation deux à deux distinctes est libre.\\
  2. Montrer que $(X^2, X^2 + X, X^2 + X + 1)$ est une base de $\R_2[X]$ et décomposer $X^2 + 2X + 2$ dans cette base.
Exercice 1224. Soit $(v_1, \dots, v_n)$ une famille libre d’un $\R$-espace vectoriel $E$.\\ Pour $k = 1, \dots, n-1$, on pose $w_k = v_k + v_{k+1}$ et $w_n = v_n + v_1$.\\
  1. Étudier l’indépendance linéaire de la famille $(w_1, \dots, w_n)$.\\ Indication : On pourra commencer par le cas $n=2$ et $n=3$.\\
  2. Application : Montrer que $(X^2 + X, X^2 + 1, X + 1)$ est une base de $\R_2[X]$ et déterminer les coordonnées de $X^2 + 2X + 2$ dans cette base.