Exercices divers

Exercice 1167. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $A^2 + 2A$. En déduire que $A$ est inversible, préciser son inverse. \\
  2. Soit $n \in \N$. Trouver le reste dans la division euclidienne de $X^n$ par $X^2 + 2X - 3$. \\ En déduire $A^n$.
Exercice 1168. Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que \[ \mathrm{Tr}(A^\top A) = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{ij}^2. \] Que peut-on en déduire si $\mathrm{Tr}(A^\top A) = 0$ ?
Exercice 1169. On dit qu'une matrice $A \in \Mnr$ est antisymétrique si \[ ^{t}A = -A \]
  1. Donner un exemple de matrice antisymétrique de $\mathcal{M}_3(\R)$. \\
  2. Montrer que la somme de deux matrices antisymétriques de $\Mnr$ est antisymétrique. \\
  3. Que peut-on dire du produit de deux matrices antisymétriques ? \\
  4. Montrer que toute matrice de $\Mnr$ peut s'écrire de manière unique, comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
Exercice 1170. Déterminer les valeurs de $m \in \R$ pour lesquelles la matrice $A_m$ est inversible et calculer $A^{-1}_m$ pour ces valeurs, où $A_m$ est donnée par \[ A_m = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix} \]
Exercice 1171. Soit la matrice $B = (\min(i,j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$, \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \hdots & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \hdots & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \hdots & 3 & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \hdots & n-1 & n-1 \\ 1 & 2 & 3 & \hdots & n-1 & n \end{pmatrix} \]
  1. Trouver une matrice $M \in \Mnr$ telle que $B = ^{t}MM$. \\
  2. En déduire que $B$ est inversible et calculer $B^{-1}$.

Exercice 1172. Lemme d'Hadamard

\\ Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $A$ une matrice carré d'ordre $n$ à coefficients réels telle que pour tout $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$, on ait : $\abs{a_{i,i}} > \Sum_{i \neq i} \abs{a_{i,j}}$. \\ On dit que $A$ est une matrice à diagonale strictement dominante. \\ Montrer que la matrice $A$ est inversible. \\ On pourra raisonner par l'absurde en considérant une matrice colonne $X$ non nulle telle que $AX=0$.
Exercice 1173. Soit $A = \begin{pmatrix} 11 & 6 \\ -18 & -10 \end{pmatrix}$. \\
  1. Montrer que $P(X) = X^2-X-2$ est un polynôme annulateur de $A$. \\
  2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $P$ pour $n \in \N$. \\
  3. En déduire $A^n$ en fonction de $A$, $I_2$ et $n$.

Exercice 1174. Matrices nilpotentes

\\ $M$ est une matrice nilpotente s'il existe un entier naturel non nul $k$ tel que $M^k = 0$. Soient $A$ et $B$ deux matrices qui commutent. \\
  1. Montrer que si $A$ est nilpotente, alors $AB$ l'est aussi. \\
  2. Montrer que si $A$ et $B$ sont toutes les deux nilpotentes alors $A+B$ l'est aussi.
Exercice 1175. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$. \\ Montrer par récurrence que, pour tout $p \in \N$, $AB^p-B^pA= pB^p$. \\ En déduire la valeur de $tr(B^p)$.
Exercice 1176. Soit $p$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $A \in \mathcal{M}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que $I-A^p = (I-A)\Sum_{k=0}^{p-1}A^k$. \\
  2. On suppose dorénavant que $A^p = O_n$ et $A^{p-1} \neq 0_n$. \\
    1. Montrer que $A$ n'est pas inversible. \\
    2. En utilisant 1., montrer que $I-A$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $A$.
Exercice 1177. Soit $A \in \Mnr$ telle que $A^2$ est combinaison linéaire de $A$ et $I_n$. \\ Montrer que pour tout $p \in \N$, $A^p$ est combinaison linéaire de $A$ et $I_n$.
Exercice 1178. Soit $A,B \in \Mnr$ telle que $AB = A+I_n$. Montrer que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$.
Exercice 1179. Soit $A \in \Mnr$ telle que $A^2=2A-5I$. Montrer que $A$ est inversible.
Exercice 1180. Soit $n \geqslant 2$. \\ On pose $A = J_n-I_n$ où $J_n$ est la matrice de $\Mnr$ où tous ses coefficients sont des $1$. \\ Montrer que $A^2 = (n-2)A+(n-1)I_n$. En déduire que $A$ est inversible puis déterminer son inverse en fonction de $J_n$ et $I_n$.
Exercice 1181. Pour $x \in \R$, on note $M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -x^2 & 1 & x \\ -2x & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et on note $\mathscr{U} = \{M(x), x \in \R \}$. \\
  1. Montrer que $\forall A,B \in \mathscr{U}, \; AB \in \mathscr{U}$. \\
  2. Montrer que $\forall A \in \mathscr{U}$, $A \in GL_n(\R)$ et $A^{-1} \in \mathscr{U}$.
Exercice 1182. On note $\mathcal{S}_n(\R)$ et $\mathcal{A}_n(\R)$ l'ensemble des matrices symétriques et antisymétriques de $\Mnr$. \\
  1. Déterminer $\mathcal{S}_n(\R) \cap \mathcal{A}_n(\R)$. \\
  2. Le produit de deux matrices de $\mathcal{S}_n(\R)$ est-il une matrice de $\mathcal{S}_n(\R)$ ?

Exercice 1183. oral HEC

\\ Soit $A \in \Mnr$ vérifiant $A A^{T} A = I_n$. Montrer que $A$ est symétrique puis déterminer $A$.

Exercice 1184. oral HEC

\\ Soit $A$ une matrice symétrique réelle d'ordre $n$ $(n \in \N^*)$ vérifiant $A^k = I_n$. \\ Que peut-on dire de $A$ dans les cas suivants : \\
  • $k$ est un entier naturel impair ? \\
  • $k$ est un entier naturel pair, non nul ?

Exercice 1185. Edhec 2018

\\ On dit que $A \in \mathcal{M}_2(\R)$ est nilpotente d'indice $k \in \N^*$ si l'on a $A^k = 0$ et $A^{k-1} \neq 0$. \\ Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice non nulle. \\
  1. Calculer $A^2-(a+d)A$ en fonction de $I_2$. \\
  2. On suppose dans cette question que $A$ est nilpotente d'indice $k$. \\
    1. Etablir l'égalité $ad-bc=0$. \\
    2. Montrer que $k \geqslant 2$. \\
    3. En déduire que $a+d=0$. \\
  3. Conclure que $A$ est nilpotente si et seulement si $A^2=0$.
Exercice 1186. Soit $T \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice triangulaire supérieure. Montrer que $T$ commute avec sa transposée si et seulement si la matrice $T$ est diagonale.
Exercice 1187. \\
  1. Trouver toutes les matrices $A \in \mathcal{M}_2(\R)$ telles que $A^2=I_2$.\\
  2. Trouver toutes les matrices $B \in \mathcal{M}_2(\R)$ telles que $B^2=B$.
Exercice 1188. Une matrice $N \in \mathcal{M}_n(\R)$ est dite nilpotente s’il existe $p \in \N^*$ tel que $N^p = 0$. \\
  1. Donner des exemples de telles matrices. \\
  2. Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut pas être inversible. \\
  3. On suppose que $N$ et $M$ sont deux matrices nilpotentes qui commutent. Montrer que $N + M$ et $NM$ sont nilpotentes. Le résultat est-il vrai si les matrices ne commutent pas ? \\
  4. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice nilpotente. Montrer que la matrice $I_n - A$ est inversible et calculer son inverse.
Exercice 1189. On considère les matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, \quad $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, \\ $Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, \quad $D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer le produit $QP$. \\
  2. Vérifier que $A = \Frac{1}{2} P D Q$, puis montrer que : $\forall n \in \N \quad A^n = \Frac{1}{2} P D^n Q$ et expliciter $A^n$. \\
  3. On considère trois suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ telles que \[ \forall n \in \N \quad \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} = a_n - 2b_n + 2c_n \\ b_{n+1} = -a_n + c_n \\ c_{n+1} = a_n - b_n + 2c_n \end{array} \right. \quad \text{avec} \quad \left\{ \begin{array}{l} a_0 = 2 \\ b_0 = 0 \\ c_0 = -2 \end{array} \right. \] On introduit la matrice $X_n = {}^t(a_n, b_n, c_n)$. \\
    1. Vérifier que $\forall n \in \N \quad X_{n+1} = A X_n$, puis que $\forall n \in \N \quad X_n = A^n X_0$. \\
    2. En déduire l’expression des suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ en fonction de $n$.

Exercice 1190. HEC 2024

\\
  1. Soit $P(x)\in \R[x]$ un polynôme. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $P$ définisse une fonction injective, respectivement surjective sur $\R$.\\
  2. On définit une fonction sur $\mathcal{M}_{2}(\R)$ par $M \mapsto P(M)\in \mathcal{M}_{2}(\R)$. Montrer que cette fonction n’est jamais injective si le degré de $P$ est supérieur à $2$.