Sens de variations, tableaux, extremums

Exercice 219. Déterminer le sens de variations de $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \Frac{-2x}{x^2+1}$.
Exercice 220. Déterminer le sens de variations de $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x^2-5x+6)e^x$.
Exercice 221. Déterminer le tableau de variations de $g$ définie sur $\Rpe$ par $g(x) = (1-2x)^3$.
Exercice 222. Soit $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{x^2+4}{\sqrt{2x}}$.\\
  1. Montrer que $\forall x>0$, $f'(x) = \Frac{3x^2-4}{2x\sqrt{2x}}$. \\
  2. Dresser le tableau de variation de $f$ et montrer qu'elle admet un extremum.

Exercice 223. Déduire un signe

\\ Démontrer que $g$ définie par $g(t) = 1+e^t+te^t$ admet un minimum sur $\R$ puis en déduire le signe de $g$ sur $\R$.

Exercice 224. Déduire un signe n°2

\\ Soit $f(x) = x+1+\Frac{x}{e^x}$ et $g(x) = 1-x+e^x$. \\
  1. Dresser le tableau de variations de $g$. \\ En déduire le signe de $g(x)$ sur $\R$. \\
  2. Démontrer que $f'(x) = e^{-x}g(x)$ puis en déduire le tableau de variations de $f$.

Exercice 225. Famille de fonctions

\\ Pour tout réel $k > 0$, on considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ par $f_k(x) =kxe^{-kx}$.\\
  1. Montrer que $f_k$ admet un maximum puis calculer ce maximum. \\
  2. Ecrire une équation de la tangente à $\mathscr{C}_k$ au point $O$ oirigine du repère.

Exercice 226. Distance minimale

\\ Soit $f(x) = 5e^{-x}-3e^{-2x}+x-3$ et $g(x) = f(x)-(x-3)$. \\ Soit $d$ la droite d'équation $y=x-3$. \\ On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\Cf$ et $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $d$. \\
  1. Justifier que la distance $MN$ est égale à $g(x)$, pour tout $x \in \Rp$. \\
  2. Montrer que $g$ possède un maximum sur $\Rp$ puis donner une interprétation graphique.
Exercice 227. Soit $f_n$ la fonciton définie pour tout $n \in \N^*$ et pour tout $x \in \Rp$ par $f_n(x) = x^ne^{-x^2}$.\\ Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $f_n$ admet un maximum pour $x= \sqrt{\Frac{n}{2}}$.
Exercice 228. Soit $f : x \mapsto \Frac{e^{3x}}{e^x-x}$. \\ Montrer que $\mathcal{D}_f = \R$.

Exercice 229. Inégalité classique

\\ Montrer que pour tout réel $x \geqslant 0$, $\sin{x} \leqslant x$.
Exercice 230. Soit $f(x) = (x+1)e^{x}$. \\ Dresser le tableau complet de variations de $f$ sur $\R$.
Exercice 231. Soit $g(x) = e^x-x-1$. \\
  1. Etudier le sens de variations de $g$ sur $\R$ puis en déduire le signe de $g$ sur $\R$.
  2. Justifier que pour tout réel $x$, $e^x-x > 0$.
Exercice 232. Etudier les variations de $f : x \mapsto \Frac{1}{e^x+e^{-x}}$ sur $\Rp$.
Exercice 233. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0,1[$ et sur $]1,+\infty[$.
Exercice 234. Soit $g$ définie sur $\Rpe$ par $g(x)=\Frac{e^x-1}{xe^{2x}}$.\\ Montrer que pour tout $x>0$, $g'(x)\leqslant 0$.\\ En déduire le sens de variations de $g$ sur $]0,+\infty[$.
Exercice 235. La fonction $g$ est définie sur $\Rp$ par $g(x)=1-e^{-x}$.\\ Étudier le sens de variations de $g$ sur $\Rp$ et dresser son tableau de variations.
Exercice 236. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\parenthese{x+\Frac{1}{2}}e^{-x}+x$.\\ En utilisant $f''(x)=\parenthese{x-\Frac{3}{2}}e^{-x}$, déterminer les variations de $f'$ sur $\R$ et le minimum de $f'$.
Exercice 237. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\parenthese{x+\Frac{1}{2}}e^{-x}+x$.\\ Justifier que pour tout $x\in\R$, $f'(x)>0$, puis en déduire le sens de variations de $f$ sur $\R$.
Exercice 238. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\Frac{1}{1+e^{-3x}}$.\\ Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\R$.
Exercice 239. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x^2-5x+6)e^x$.\\ Déterminer le sens de variations de $f$ sur $\R$.
Exercice 240. Soit $p$ définie sur $I=[-3;4]$ par $p(x)=x^3-2x^2+5x+1$.\\ Déterminer les variations de $p$ sur $I$.
Exercice 241. Soit $p$ définie sur $I=[-3;4]$ par $p(x)=x^3-2x^2+5x+1$.\\ Donner le tableau de signes de $p$ sur $I$.
Exercice 242. On considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x)=xe^{-x}$.\\ Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\Rp$, en faisant figurer les limites aux bornes et la valeur exacte de l’extremum.
Exercice 243. On considère la fonction $g$ définie sur $\Rp$ par $g(a)=a^2e^{-a}$.\\ Démontrer que $g$ admet un maximum sur $\Rp$ et déterminer en quel point ce maximum est atteint.
Exercice 244. Soit $f$ définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.\\ Étudier le sens de variation de $f'$ sur $[0 \; ; \; +\infty[$.\\ En déduire que, pour tout $x \in [0 \; ; \; +\infty[$, $f'(x) > 0$.
Exercice 245. Soit $f$ définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.\\ Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0 \; ; \; +\infty[$.\\ On fera figurer $f(0)$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
Exercice 246. Soient $f(x)=x-e^x$ et $g(x)=(1-x)e^x$ définies sur $\R$.\\ Étudier le sens de variation de $f$ sur $\R$.
Exercice 247. Soit $g(x)=(1-x)e^x$ définie sur $\R$.\\ Étudier le sens de variation de $g$ sur $\R$.
Exercice 248. Soient $g_1(x)=xe^{-x}$ et $g_2(x)=x^2e^{-x}$ définies sur $\R$.\\ Étudier le sens de variation de $g_1$ sur $\R$, puis celui de $g_2$ sur $\R$.
Exercice 249. Soit $g(x)=(x+2)e^{x-4}-2$ définie sur $\R$.\\ Étudier le sens de variation de $g$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
Exercice 250. On conserve $f(x)=x^2-x^2e^{x-4}$ et $g(x)=(x+2)e^{x-4}-2$.\\ On admet que $f'(x)=xg(x)$.\\ En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
Exercice 251. On note $\alpha$ l’unique réel tel que $g(\alpha)=0$, avec $g(x)=(x+2)e^{x-4}-2$.\\ On considère $f(x)=x^2-x^2e^{x-4}$ sur $\Rp$.\\ Démontrer que le maximum de $f$ sur $\Rp$ est égal à $\Frac{\alpha^3}{\alpha+2}$.
Exercice 252. Soit $\varphi(x)=\parenthese{x^2+x+1}e^{-x}-1$ définie sur $\R$.\\ Calculer $\varphi'(x)$ puis étudier le sens de variation de $\varphi$ sur $\R$.\\ Dresser le tableau de variations de $\varphi$ sur $\R$.
Exercice 253. Soit $g(x)=(x+2)e^{x-1}-1$ définie sur $\R$.\\ Étudier le sens de variation de $g$ sur $\R$ puis dresser son tableau de variations.
Exercice 254. On admet que, pour tout $x \in \R$, $f'(x)=xg(x)$ avec $f(x)=x^2e^{x-1}-\Frac{x^2}{2}$ et $g(x)=(x+2)e^{x-1}-1$.\\ Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$.
Exercice 255. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(x^2+2x-1)e^{-x}+1$. \\ En utilisant l'étude du signe de $g'(x)$, dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
Exercice 256. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\Frac{e^x-e^{-x}}{2}$. \\ Étudier les variations de $f$ sur $\Rp$.
Exercice 257. Soit $f$ la fonction définie sur $\Rp$ par $f(x)=(x+1)e^{-\Frac{1}{2}x}$. \\ Étudier les variations de $f$ sur $\Rp$ et dresser son tableau de variations.