Nature de series

Exercice 2771. Nature de la série $\Sum a_n$ où $a_n=\integrale{0}{\frac{1}{n}}{\Frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}}{x}$.
Exercice 2772. Nature de $\Sum_{n\geqslant 1} a_n$ où $a_n=\left(1+\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-n}$.
Exercice 2773. $\alpha$ désigne un réel strictement positif. \\ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $a_n=\Frac{(n\alpha)^n}{\Sum_{k=0}^{n}(k!)}$. \\ Déterminer la nature de la série $\Sum a_n$.
Exercice 2774. Soit $f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+^*)$ telle que \[ \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{f(x)}=-\infty. \]
  1. Démontrer que la série $\Sum_n f(n)$ converge.\\
  2. Déterminer un équivalent de \[ R_n=\Sum_{k=n+1}^{+\infty}f(k). \]
NB. L’énoncé ainsi posé est ambigu : il sous-entend que l’équivalent cherché serait indépendant de la fonction $f$. Il n’en est rien.
Exercice 2775. Soit \[ u_n=\Frac{1}{\Sum_{k=1}^{n}\sqrt[k]{k}}. \] Étudier la convergence de la série $\Sum_{n\geqslant 1}u_n$.
Exercice 2776. Nature de la série de terme général \[ u_n=\left(\cos\left(\Frac{1}{n}\right)\right)^{n^b}, \] avec $b$ réel.
Exercice 2777. Soit $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels telle que :\\ \[ \alpha_0 > 0 \qquad \text{et} \qquad \forall n\in\mathbb{N},\quad \Frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}=\Frac{(n+a)(n+b)}{(n+c)(n+d)}. \] On pose $\lambda=a+b-c-d$.\\
  1. Soit $\beta_n=\ln(n^{-\lambda}\alpha_n)$. Démontrer que la série $\Sum_n \beta_{n+1}-\beta_n$ converge.\\
  2. En déduire qu’il existe un réel $k\neq 0$ tel que \[ \alpha_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\Frac{k}{n^{-\lambda}}, \] et donner la nature de $\Sum_n \alpha_n$.
Exercice 2778. On pose \[ S_n=\Sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}{k} \] pour tout $n \geqslant 1$.\\
    1. Démontrer que \[ \dfrac{\ln 2}{2}+\integrale{3}{n+1}{\dfrac{\ln t}{t}}{t}\leqslant S_n\leqslant \dfrac{\ln 2}{2}+\dfrac{\ln 3}{3}+\integrale{3}{n}{\dfrac{\ln t}{t}}{t}. \]
    2. En déduire un équivalent simple de $S_n$.
  2. Démontrer que \[ \ln^2(n)-\ln^2(n-1)=2\dfrac{\ln n}{n}+\dfrac{\ln n}{n^2}+o\left(\dfrac{\ln n}{n^2}\right). \]
  3. Soit \[ u_n=\dfrac{\ln n}{n}-\dfrac{1}{2}\bigl(\ln^2(n)-\ln^2(n-1)\bigr). \] Démontrer que $\Sum_n u_n$ est convergente.\\
  4. Démontrer qu’il existe un réel $c$ et une suite $(\varepsilon_n)_n$ de limite nulle telle que \[ S_n=\dfrac{1}{2}\ln^2 n+c+\varepsilon_n. \]
Exercice 2779. Soient $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. \\ Nature de $\Sum_{n\geqslant 1} a_n$ où $a_n=\Frac{n^\alpha}{(1+a)(1+a^2)\cdots(1+a^n)}$.
Exercice 2780. Étudier la nature de la série de terme général \[ u_n=(-1)^n\dfrac{\sin(\ln(n))}{n}. \]
Exercice 2781. On pose \[ u_n=\sin(\pi en!). \] Déterminer la nature de $\Sum u_n$.
Exercice 2782. Nature de la série $\Sum \Frac{1}{(\ln(n))^n}$.
Exercice 2783. Nature de $\Sum\parenthese{1-3^n\sin{\frac{1}{3^n}}}$.
Exercice 2784. Soit pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $S_n=\Sum_{k=1}^n \Frac{1}{k}$ et $u_n=S_n-\ln n$.\\ Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une limite finie $\gamma$, et en déduire un équivalent de $S_n$.
Exercice 2785. Déterminer la nature de la série de terme général \[ (n+1)^{\frac{1}{n+1}}-n^{\frac{1}{n}}. \]
Exercice 2786. Chercher un équivalent de \[ I_n=\integrale{0}{\pi/2}{\cos^n t}{t}. \] En déduire la nature de la série \[ \Sum (I_n)^{\alpha}. \]
Exercice 2787. Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. On pose $u_n=\Frac{1}{\ln n+(-1)^n n^{\alpha}}$. Déterminer la nature de $\Sum u_n$.
Exercice 2788. Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. Déterminer la nature de la série de terme général $a_n=\Frac{1}{n^{\alpha}}\left((n+1)^{1+\frac{1}{n}}-(n-1)^{1-\frac{1}{n}}\right)$.
Exercice 2789. Nature de $\Sum \parenthese{1-\Frac{1}{\sqrt{n}}}^{n}$.
Exercice 2790. Nature de $\Sum u_n$ où $u_0 \in \mathbb{R}$ et $u_{n+1}=\Frac{1}{n+1}e^{-u_n}$.
Exercice 2791. Soit $(a_n)$ une suite réelle strictement positive et $(b_n)$ une suite réelle.\\ On suppose que $b_n = 1 + \mathcal{O}\!\left(\Frac{1}{\ln n}\right)$ et que la série $\Sum a_n$ converge.\\ Étudier la nature de la série $\Sum a_n^{\,b_n}$.
Exercice 2792. Soit $x \in \R$.\\ Pour tout $n \in \N$, on note $a_n$ la $n$-ième décimale de $\pi$.\\ Étudier la nature de la série $\Sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.
Exercice 2793. Soient $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(v_n)_{n \in \N^*}$ deux suites réelles, puis $\lambda \in \R$.\\ On suppose que :\\
  • $\forall n \in \N^*,\;\; u_n > 0$.\\
  • La série $\Sum_{n \geqslant 1} v_n$ est absolument convergente.\\
  • $\forall n \in \N^*,\;\; \Frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\Frac{\lambda}{n}+v_n$.\\
  1. Montrer que la suite $(n^{\lambda}u_n)_{n \in \N^*}$ converge.\\
  2. Déterminer la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{n^n}{n!\,e^n}$.\\
  3. De quelle autre façon aurait-on pu obtenir ce résultat ?
Exercice 2794. Soit $u$ une suite réelle ne s’annulant pas et telle que la limite $\ell=\limn\abs{\Frac{u_{n+1}}{u_n}}$ existe dans $\R$.\\ Montrer que si $\ell < 1$, alors la série $\Sum_n u_n$ est absolument convergente.\\
  1. Si $x\in\R$, déterminer la nature de la série $\Sum_n \binom{2n}{n}x^n$.\\
  2. Soit la suite $u$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.\\ Déterminer la nature de la série $\Sum_n(2-u_n)$.
Exercice 2795. Quelle est la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 2}\ln\!\left(\Frac{(\ln(n+1))^2}{\ln n\,\ln(n+2)}\right)$ ?
Exercice 2796. On note, pour tout $n \geqslant 1$, $p_n$ le nombre de chiffres significatifs dans l’écriture en base $10$ de l’entier $n$.\\ Déterminer la nature de la série $\Sum_{n=1}^{+\infty}\parenthese{10-n^{1/p_n}}$.\\ On groupera les termes par paquets.
Exercice 2797. On fixe $x \in \R_+^*$.\\ Pour $n \in \N^*$, on pose\\ \[ u_n=\Frac{n!}{x^n}\Prod_{k=1}^{n}\ln\left(1+\Frac{x}{k}\right). \]
  1. Étudier la suite de terme général $\ln(u_{n+1})-\ln(u_n)$.\\ En déduire que la suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ converge et préciser sa limite.\\
  2. Établir l'existence de $\alpha \in \R$ tel que la série de terme général\\ \[ \ln(u_{n+1})-\ln(u_n)-\alpha\ln\left(1+\Frac{1}{n}\right) \] converge.\\
  3. Établir l'existence de $A \in \R_+^*$ tel que $u_n\sim An^\alpha$.\\
  4. Étudier la convergence de la série de terme général $u_n$.
Exercice 2798. Soit $a>0$.\\
  1. Déterminer la limite de la suite de terme général\\ \[ u_n=\Frac{a(a+1)\cdots(a+n-1)}{n!}. \]
  2. Quelle est la nature de la série de terme général $u_n$ ?
Exercice 2799. Déterminer la nature des séries suivantes :\\
  • $\Sum_{n \geqslant 2}\Frac{e^{i\ln n}}{n}$.\\
  • $\Sum_{n \geqslant 2}\Frac{e^{i\ln n}}{n\ln n}$.

Exercice 2800. Mines-Pont 2016

\\
  1. Étudier la convergence de la suite définie par :\\ $\forall n \geqslant 0,\;u_n=\sqrt{n}+a\sqrt{n+1}+b\sqrt{n+2},$\\ en fonction de $(a,b)\in\R^2$.\\
  2. On considère maintenant la série de même terme général $u_n$.\\
    1. Étudier la convergence de la série $\Sum_{n\geqslant 0}u_n$ en fonction de $(a,b)\in\R^2$.\\
    2. En cas de convergence, calculer sa somme.\\
    3. Toujours en cas de convergence, déterminer un équivalent de son reste partiel d'ordre $n$.
Exercice 2801. \\
  1. Soit $\Sum a_n \in \mathcal{S}(\mathbb{C})$ telle que $\sqrt[n]{|a_n|}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}$. \\
    • Si $\ell < 1$, montrer que $\Sum a_n$ est absolument convergente. \\
    • Si $\ell > 1$ ou si $\ell=1^+$, montrer que $\Sum a_n$ diverge grossièrement. \\
    • Lorsque $\ell=1$, montrer qu’on ne peut pas conclure. \\
  2. En déduire la nature des séries $\Sum\left(\Frac{n+1}{2n+5}\right)^n$ et $\Sum \Frac{n^{\ln n}}{\ln^n n}$.
Exercice 2802. Nature de la série de terme général $a_n=\cos\!\left(\Frac{\pi n^2}{2n^2+an+1}\right)$, où $a\in\mathbb{R}$.

Exercice 2803. Lien suite-série

\\ Soit $(a_n)$ une suite positive. Pour $n \in \N$ on pose $b_n = \Frac{a_n}{\Prod_{k=0}^{n}(1+a_k)}$. \\ Montrer que la série $\Sum b_n$ converge.
Exercice 2804. Soit $a > 0$, on pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\Frac{a(a+1)\cdots(a+n-1)}{n^{a-1}(n!)}$.\\
  1. Étudier la convergence de la série de terme général $\ln\left(\Frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$.\\
  2. Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\N^*}$ a une limite strictement positive.
Exercice 2805. Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0$ et pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=e^{u_n}-1$.\\
  1. Étudier la limite de $(u_n)$, suivant la valeur de $u_0$.\\
  2. Étudier la nature de la série de terme général $(-1)^n u_n$, suivant la valeur de $u_0$.
Exercice 2806. Soit $(u_n)$ une suite réelle décroissante qui tend vers $0$. \\ Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum 2^n u_{2^n}$ ont la même nature. \\ En déduire la nature de $\Sum_{n \geqslant 2}\Frac{1}{n(\ln n)^\beta}$, où $\beta \in \mathbb{R}$.
Exercice 2807. Grâce à une comparaison entre série et intégrale, déterminer un équivalent de $\Sum_{k=2}^{n}\ln k$. \\ En déduire la nature de la série de terme général $u_n=\left(\Sum_{k=2}^{n}\ln k\right)^{-1}$.

Exercice 2808. Série de Bertrand

\\ Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels positifs.\\ Déterminer la nature de la série $\Sum_{n=2}^{+\infty}\Frac{1}{n^\alpha \cdot \ln^\beta n}$.
Exercice 2809. Déterminer la nature de la série de terme général\\ \[ u_n=\left(\Frac{1}{n}\right)^{1+\frac{1}{n}}. \]
Exercice 2810. Soient $\alpha>0$ et $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs vérifiant\\ \[ u_n^{1/n}=1-\Frac{1}{n^\alpha}+o\left(\Frac{1}{n^\alpha}\right). \] La série de terme général $u_n$ converge-t-elle ?\\
Exercice 2811. Déterminer la nature des séries $\Sum_{n \geqslant 0}\tan\!\Big(\pi(7+4\sqrt{3})^n\Big)$ et $\Sum_{n \geqslant 0}\sin\!\Big(\pi(5+\sqrt{17})^n\Big)$.
Exercice 2812. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels $a,b,c$ pour qu'il y ait convergence de la suite de terme général\\ \[ \Frac{a}{\sqrt{1}}+\Frac{b}{\sqrt{2}}+\Frac{c}{\sqrt{3}}+\Frac{a}{\sqrt{4}}+\Frac{b}{\sqrt{5}}+\Frac{c}{\sqrt{6}}+\cdots \]
Exercice 2813. Nature de la série de terme général $\Frac{(-1)^{\binom{n}{3}}}{n}$.
Exercice 2814. Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par la donnée de $u_0$ et la relation $\forall n\in\N,\;u_{n+1}=\sin u_n$.\\
  1. Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ converge vers $0$.\\
  2. En étudiant la série de terme général $u_n-u_{n+1}$, montrer que la série de terme général $u_n^3$ est convergente.\\
  3. Montrer que les séries de termes généraux : $\ln\left(\Frac{\sin u_n}{u_n}\right)$ et $u_n^2$ sont divergentes.\\
  4. Étudier la convergence de la série $\Sum u_n x^n$ pour toutes les valeurs du réel $x$.
Exercice 2815. Soit $\Sum a_n$ une série à termes strictement positifs.\\
  1. On suppose qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $\Frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \Frac{\alpha}{n} + o\!\left(\Frac{1}{n}\right)$.\\ Si $\alpha > 1$, montrer que $\Sum a_n$ converge et si $\alpha < 1$, montrer que $\Sum a_n$ diverge.\\
  2. Déterminer la nature de la série $\Sum a_n$, où $a_n = \Frac{2 \times 4 \times \cdots \times (2n-2) \times (2n)}{3 \times 5 \times \cdots \times (2n-1) \times (2n+1)}$.\\
Exercice 2816. Soit $p_n$ le $n$-ième nombre premier.\\ Montrer que la série de terme général $\Frac{1}{p_n}$ diverge.
Exercice 2817. Étudier la nature de la série $\Sum \Frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor}}{n}$.
Exercice 2818. Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :\\
  1. $u_n=\left(\Frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$.\\
  2. $u_n=\Frac{1}{n\cos^2 n}$.\\
  3. $u_n=\Frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$.
Exercice 2819. Soient $\alpha \in \R$ et $f \in \mathcal{C}^0([0;1],\R)$ telle que $f(0)\neq 0$.\\ Étudier la convergence de la série de terme général\\ \[ u_n=\Frac{1}{n^\alpha}\integrale{0}{1/n}{f(t^n)}{t}. \]
Exercice 2820. Étude de la nature des séries de terme général $u_n$ :\\
  1. $u_n=(-1)^n\left(\cos\left(\Frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)-1\right)$.\\
  2. $u_n=\Frac{(-1)^n}{\ln(n)+(-1)^n}$.\\
  3. $u_n=\ln\left(1+\Frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$, $\alpha>0$.
Exercice 2821. Soit $\lambda$ un réel.\\ Étudier la nature des séries de terme général\\ \[ u_n=\Frac{\lambda^n}{1+\lambda^{2n}}, \qquad v_n=\Frac{\lambda^{2n}}{1+\lambda^{2n}}, \qquad w_n=\Frac{1}{1+\lambda^{2n}}. \]

Exercice 2822. X ENS

\\ Nature de $\Sum \sin(\pi(2+\sqrt{3})^n)$ ?
Exercice 2823. Déterminer en fonction du paramètre $\alpha \in \R$ la nature des séries de termes généraux :\\
  1. $u_n=e^{-n^\alpha}$.\\
  2. $u_n=\Frac{\ln n}{n^\alpha}$.\\
  3. $u_n=\exp\left(-(\ln n)^\alpha\right)$.
Exercice 2824. Soit $a,b,c \in \mathbb{C}$. \\ Étudier la série $\Sum u_n$, où $u_n=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}+c\sqrt{n+2}$.
Exercice 2825. Soit $p_n$ le $n$-ième nombre entier dont l’écriture décimale ne comporte pas de $9$.\\ Étudier la nature de la série de terme général $\Frac{1}{p_n}$.
Exercice 2826. Soient $a,b \in \R$.\\ Déterminer la nature de la série\\ \[ \Sum_{n\geqslant 1}\Bigl(\ln(n)+a\ln(n+1)+b\ln(n+2)\Bigr). \] Calculer la somme lorsqu'il y a convergence.
Exercice 2827. Nature de la série de terme général\\ \[ u_n=\Frac{e-\left(1+\Frac{1}{n}\right)^n}{n^{3/2}-\left[n^{3/2}\right]+n}. \]