Nature de series

Exercice 1286. Étudier la nature de la série de terme général $u_n$ dans les cas suivants.\\
  1. $u_n=\Frac{\ln n}{n^2}$\\
  2. $u_n=\Frac{1}{\sqrt{n}(n^2+1)}$\\
  3. $u_n=\ln\!\parenthese{\Frac{2+\sin\!\parenthese{\Frac{1}{n}}}{2-\sin\!\parenthese{\Frac{1}{n}}}}$\\
  4. $u_n=\Frac{1}{n^2+\sin(n^6)}$\\
  5. $u_n=\parenthese{\Frac{n-1}{n}}^{n\sqrt{n}}$\\
  6. $u_n=\Frac{(-1)^n\cos(n)}{n^2\sqrt{n}}$\\
  7. $u_n=\Frac{n+e^{-2n}}{n^4+n^2+1}$\\
  8. $u_n=(-1)^n n e^{-n}$
Exercice 1287. En calculant les sommes partielles, déterminer si les séries suivantes sont convergentes :\\
  1. $\Sum_{n \geqslant 2} \Frac{\ln\!\parenthese{1+\Frac{1}{n}}}{\ln(n)\ln(n+1)}$\\
  2. $\Sum_{n \geqslant 2} \ln\!\parenthese{1-\Frac{1}{n^2}}$\\
  3. $\Sum_{n \geqslant 0} \arctan\!\parenthese{\Frac{1}{n^2+n+1}}$\\
Indication : Si $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$, $\arctan(a)-\arctan(b)=\arctan\!\parenthese{\Frac{a-b}{1+ab}}$.
Exercice 1288. Nature de la série de terme général $u_n = \ln\parenthese{1+\Frac{1}{n}}$ pour $n \geqslant 1$.

Exercice 1289. Lien suite-série

\\ Soit $(a_n)$ une suite positive. Pour $n \in \N$ on pose $b_n = \Frac{a_n}{\Prod_{k=0}^{n}(1+a_k)}$. \\ Montrer que la série $\Sum b_n$ converge.

Exercice 1290. Comparaison de série

\\ Nature de $\Sum \Frac{\arctan(n^2)}{4^n}$.

Exercice 1291. Comparaison de série

\\ Nature de la série $\Sum \Frac{1}{(\ln(n))^n}$.

Exercice 1292. Equivalents

\\ Nature de $\Sum \ln\parenthese{1+\Frac{1}{2^{n}}}$.

Exercice 1293. Equivalents n°2

\\ Nature de la série $\Sum\parenthese{1-3^n\sin{\frac{1}{3^n}}}$.
Exercice 1294.
  1. Donner la nature de la série $\Sum \cos\parenthese{\Frac{1}{n}}^{4}$. \\
  2. Donner la nature de la série $\Sum \parenthese{\Frac{1}{\sqrt{n-2}} - \Frac{1}{\sqrt{n+3}}}$.\\
  3. Donner la nature de la série $\Sum \parenthese{2\ln(n^3+1) - 3\ln(n^2+1)}$.
Exercice 1295. Déterminer la nature de la série \[ \Sum_{k \geqslant 1} \Frac{1 - \cos\parenthese{\Frac{1}{\sqrt[4]{k^3 \ln(k)}}}}{\sin\parenthese{\Frac{1}{k}}}. \]
Exercice 1296. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $n^{\frac{n}{2}} \leqslant n!$.\\
  2. Déterminer la nature de la série \[ \Sum_{n \geqslant 2} \Frac{1}{\sqrt[3]{(n \ln(n!))^2}}. \]
Exercice 1297. Déterminer la nature de la série \[ \Sum_{n \geqslant 2} \Frac{\parenthese{e - \parenthese{1 + \Frac{1}{n}}^n}\sin\parenthese{\Frac{1}{n}}}{(\ln(n^2 + n))^2}. \]