Nature de series

Exercice 1695. Nature de $\Sum \ln\parenthese{1+\Frac{1}{2^{n}}}$.
Exercice 1696. Nature de $\Sum \ln\parenthese{1+\Frac{1}{n}}$ pour $n \geqslant 1$.
Exercice 1697. Étudier la nature de la série de terme général $u_n$, avec \\
  1. $u_n = \Frac{3^n - n^2}{5^n - 2^n}$, $n \geqslant 1$. \\
  2. $u_n = \parenthese{\Frac{1}{2}}^{\sqrt{n}}$, $n \geqslant 0$.
Exercice 1698. Nature de $\Sum \Frac{\arctan(n^2)}{4^n}$.
Exercice 1699. Nature de la série $\Sum \Frac{1}{(\ln(n))^n}$.
Exercice 1700. Nature de $\Sum\parenthese{1-3^n\sin{\frac{1}{3^n}}}$.
Exercice 1701. Si $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n}$ et $v_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n+1}$. \\
  1. Justifier que la série $\Sum_{k \geqslant 1} \Frac{1}{\sqrt{k}}$ diverge. On se propose de trouver un équivalent de la suite des sommes partielles. \\
  2. Montrer que les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont adjacentes. \\
  3. En déduire un équivalent de $\Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}}$ lorsque $n \longrightarrow +\infty$.
Exercice 1702. Déterminer la nature de la série de terme général $u_n=\Frac{\Sum_{k=1}^{n}\ln k}{n^{\alpha}}$, où $\alpha \in \mathbb{R}$.

Exercice 1703. Lien suite-série

\\ Soit $(a_n)$ une suite positive. Pour $n \in \N$ on pose $b_n = \Frac{a_n}{\Prod_{k=0}^{n}(1+a_k)}$. \\ Montrer que la série $\Sum b_n$ converge.

Exercice 1704. ENS Cachan MP

\\ Soit $(a_n)_{n \geqslant 0}$ dans $\mathbb{R}^n$ telle que, pour toute suite $(b_n)_{n \geqslant 0} \in \mathbb{R}^n$ de limite nulle, la série de terme général $a_n b_n$ est convergente. \\ Montrer que la série de terme général $a_n$ est absolument convergente.
Exercice 1705. Nature de la série de terme général $a_n=\cos\!\left(\Frac{\pi n^2}{2n^2+an+1}\right)$, où $a\in\mathbb{R}$.
Exercice 1706. Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. On pose $u_n=\Frac{1}{\ln n+(-1)^n n^{\alpha}}$. Déterminer la nature de $\Sum u_n$.
Exercice 1707. Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. Déterminer la nature de la série de terme général $a_n=\Frac{1}{n^{\alpha}}\left((n+1)^{1+\Frac{1}{n}}-(n-1)^{1-\Frac{1}{n}}\right)$.
Exercice 1708. Nature de la série $\Sum \Frac{\ch n}{\ch(2n)}$.
Exercice 1709. Nature de $\Sum u_n$ où $u_0 \in \mathbb{R}$ et $u_{n+1}=\Frac{1}{n+1}e^{-u_n}$.
Exercice 1710. Grâce à une comparaison entre série et intégrale, déterminer un équivalent de $\Sum_{k=2}^{n}\ln k$. \\ En déduire la nature de la série de terme général $u_n=\left(\Sum_{k=2}^{n}\ln k\right)^{-1}$.
Exercice 1711. Nature de la série $\Sum a_n$ où $a_n=\integrale{0}{\Frac{1}{n}}{\Frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}}{x}$.
Exercice 1712. Nature de $\Sum_{n\geqslant 1} a_n$ où $a_n=\left(1+\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-n}$.
Exercice 1713. Soit $a,b,c \in \mathbb{C}$. \\ Étudier la série $\Sum u_n$, où $u_n=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}+c\sqrt{n+2}$.
Exercice 1714. \\
  1. Soit $\Sum a_n \in \mathcal{S}(\mathbb{C})$ telle que $\sqrt[n]{|a_n|}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}$. \\
    • Si $\ell < 1$, montrer que $\Sum a_n$ est absolument convergente. \\
    • Si $\ell > 1$ ou si $\ell=1^+$, montrer que $\Sum a_n$ diverge grossièrement. \\
    • Lorsque $\ell=1$, montrer qu’on ne peut pas conclure. \\
  2. En déduire la nature des séries $\Sum\left(\Frac{n+1}{2n+5}\right)^n$ et $\Sum \Frac{n^{\ln n}}{\ln^n n}$.
Exercice 1715. $\alpha$ désigne un réel strictement positif. \\ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $a_n=\Frac{(n\alpha)^n}{\Sum_{k=0}^{n}(k!)}$. \\ Déterminer la nature de la série $\Sum a_n$.
Exercice 1716. Soit $(u_n)$ une suite réelle décroissante qui tend vers $0$. \\ Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum 2^n u_{2^n}$ ont la même nature. \\ En déduire la nature de $\Sum_{n \geqslant 2}\Frac{1}{n(\ln n)^\beta}$, où $\beta \in \mathbb{R}$.
Exercice 1717. Déterminer la nature de $\Sum_{n \geqslant 1} a_n$ où $a_n=\integrale{0}{\pi/2}{\Frac{1}{1+n^2\tan^2(x)}}{x}$.
Exercice 1718. Soient $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. \\ Nature de $\Sum_{n\geqslant 1} a_n$ où $a_n=\Frac{n^\alpha}{(1+a)(1+a^2)\cdots(1+a^n)}$.
Exercice 1719.
  1. Soit $\Sum a_n$ une série à termes strictement positifs.\\
    1. On suppose qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $\Frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \Frac{\alpha}{n} + o\!\left(\Frac{1}{n}\right)$.\\ Si $\alpha > 1$, montrer que $\Sum a_n$ converge et si $\alpha < 1$, montrer que $\Sum a_n$ diverge.\\
    2. Déterminer la nature de la série $\Sum a_n$, où $a_n = \Frac{2 \times 4 \times \cdots \times (2n-2) \times (2n)}{3 \times 5 \times \cdots \times (2n-1) \times (2n+1)}$.\\
Exercice 1720. Soit $\varphi : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ une application injective.\\ Montrer que la série $\Sum_{n\geqslant 1}\Frac{\varphi(n)}{n^2}$ diverge.