Systèmes linéaires

Exercice 4595. En utilisant la méthode du pivot de Gauss résoudre le système \[ (S) \begin{cases} x+y = 0 \\ 2x+y = 1 \\ x+2y=-1 \end{cases} \]
Exercice 4596. Résoudre le système $\begin{cases} 3x+5y+2z = 1 \\ x+2y+3z = 5 \\ 4x+7y+5z = 8 \end{cases}$.
Exercice 4597. Résoudre le système $\begin{cases} x-y-2z = 1 \\ y-z = -1 \\ x+y-4z = -1 \end{cases}$.
Exercice 4598. Donner l'ensemble des solutions des systèmes suivants : \\
  • $\left\{ \begin{array}{rcrcr} x &+& 2y &= 3 \\ -2x &+& 3y &= 1 \end{array} \right.$ \\
  • $\left\{ \begin{array}{rcrcr} 3x &-& y &=& 2 \\ x &+& y &=& -1 \end{array} \right.$ \\
  • $\left\{ \begin{array}{rcrcr} (\sqrt{2}+1)x &+& y &=& 1 \\ x &+& (\sqrt{2}-1)y &=& \sqrt{2}-1 \end{array} \right.$ \\
  • $\left\{ \begin{array}{rcrcr} 2x &-& 2y &=& 1 \\ -x &+& y &=& 2 \end{array} \right.$ \\
Exercice 4599. Résoudre le système suivant \[ (S) \begin{cases} 2x-y+3z=1 \\ -4x+2y+z=3 \\ -2x+y+4z=4 \\ 10x-5y-6z = -10 \end{cases} \]
Exercice 4600. Résoudre le système \[ (S) \begin{cases} x-y+z+t=0 \\ 3x-3y+3z+2t = 0 \\ x-y+z=0 \\ 5x-5y+5z+7t = 0 \end{cases} \]
Exercice 4601. Calculer le rang des applications linéaires suivantes :\\
  1. $f : K^3 \to K^3$, $f(x,y,z)=(-x+y+z,x-y+z,x+y-z)$
  2. $f : K^3 \to K^3$, $f(x,y,z)=(x-y,y-z,z-x)$
  3. $f : K^4 \to K^4$, $f(x,y,z,t)=(x+y-t,x+z+2t,2x+y-z+t,-x+2y+z)$
Exercice 4602. Soit $a \in \R$. Résdoure les systèmes suivants : \\
  1. $\begin{cases} (2-a)x+y+az = 0 \\ y-az = 2 \\ az = 1 \end{cases}$. \\
  2. $\begin{cases} (2-a)x+y+az = 0 \\ y-az = 2 \\ az=0 \end{cases}$.
Exercice 4603. Pour $m \in \mathbb{R}$ fixé, résoudre le système d’équations, d’inconnue $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ : \[ (S)\quad \left\{ \begin{aligned} mx+y+z&=1\\ x+my+z&=m\\ x+y+mz&=m^2 \end{aligned} \right. \]
Exercice 4604. Pour quelles valeurs du réel $m$ le système linéaire défini par \[ \left\{ \begin{array}{rcl} mx+y+z+t&=&0,\\ x+my+z+mt&=&0,\\ x+y+mz+t&=&0,\\ x+y+z+mt&=&0 \end{array} \right. \] est-il de Cramer ? Pour ces valeurs de $m$, le résoudre.
Exercice 4605. Résoudre le système linéaire suivant en discutant selon la valeur du paramètre réel $m$ : \[ \left\{ \begin{array}{rcl} 2mx+y+z&=&2,\\ x+2my+z&=&4m,\\ x+y+2mz&=&2m^2. \end{array} \right. \]
Exercice 4606. Résoudre le système d’équations suivant : \[ \left\{ \begin{aligned} x_2&=ax_1+b\\ x_3&=ax_2+b\\ \vdots\\ x_n&=ax_{n-1}+b\\ x_1&=ax_n+b \end{aligned} \right. \] d’inconnue $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{C}^n$, de paramètre $(a,b)\in\mathbb{C}^2$.
Exercice 4607. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $a \in \mathbb{C}$. Résoudre le système d’équations $(S)$ d’inconnue $(x_0,\ldots,x_n)\in\mathbb{C}^{n+1}$ : \[ \left\{ \begin{aligned} x_0&=1\\ x_0+x_1&=a\\ x_0+2x_1+x_2&=a^2\\ \vdots\\ x_0+\binom{n}{1}x_1+\cdots+\binom{n}{n}x_n&=a^n \end{aligned} \right. \]
Exercice 4608. Soit \[ A=\begin{pmatrix} 1&1&1&-3\\ 1&1&-3&1\\ 1&-3&1&1\\ -3&1&1&1 \end{pmatrix}. \] Déterminer $\ker(A)$ et $\mathrm{Im}(A)$.
Exercice 4609. Soit $m \in \R$. \\ Résoudre et discuter selon le paramètre réel $m$ le système : \[ \left\{ \begin{array}{rcl} mx+y+z&=&1\\ x+my+z&=&m\\ x+y+mz&=&m^2 \end{array} \right. \]
Exercice 4610. Discuter, selon $m \in \mathbb{R}$, la dimension de :\\
  1. $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+my+z=0,\; mx+y+mz=0\}$
  2. système à $3$ équations
Exercice 4611. Résoudre le système $(S)$ d'inconnues $(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4$ :\\ \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x-y+z-t&=&1\\ 3x-2y+z&=&5\\ 2x+2y-6z+3t&=&3\\ 3y-6z+2t&=&\lambda \end{array} \right. \] où $\lambda$ est un paramètre réel

Exercice 4612. Mines-Pont MP

\\ Discuter et résoudre, selon $m \in \R$, le système :\\ \[ (S)\;\;\begin{cases} mx+y+z=1,\\ x+my+z=m,\\ x+y+mz=m^2. \end{cases} \]
Exercice 4613. Résoudre, suivant les valeurs du paramètre $m \in \R$, le système \[ \begin{cases} x-2y+2z = 0 \\ 2x+y+2mz = 1 \\ 2x-2y+3z = -1 \end{cases} \]
Exercice 4614. Soient \[ F=\{(x,y,z)\mid x+my+z=0,\; mx+y-mz=0\} \] et \[ G=\{(x,y,z)\mid x-my+z=0\}. \]
  1. Déterminer $\dim F$ et $\dim G$.
  2. Étudier $\dim(F \cap G)$.
Exercice 4615. Discuter suivant $a,b \in \mathbb{R}$ et résoudre : \[ \begin{cases} ax+2by+2z=1\\ 2x+aby+2z=b\\ 2x+2by+az=1 \end{cases} \]
Exercice 4616. Résoudre, en discutant selon $a,b \in \mathbb{R}$, le système \[ \begin{cases} ax+y+z+t=1\\ x+ay+z+t=b\\ x+y+az+t=b^2\\ x+y+z+at=b^3 \end{cases} \]
Exercice 4617. Résoudre, suivant les valeurs de $m$, le système \[ (S) \begin{cases} x+my+2z = m \\ -2x+y+(m-2)z = 1 \\ mx+y+2z = 2m-1 \end{cases} \]