Systèmes linéaires
Exercice
3743. Soit $a \in \R$. Résdoure les systèmes suivants : \\
- $\begin{cases} (2-a)x+y+az = 0 \\ y-az = 2 \\ az = 1 \end{cases}$. \\
- $\begin{cases} (2-a)x+y+az = 0 \\ y-az = 2 \\ az=0 \end{cases}$.
Exercice
3744. Résoudre, suivant les valeurs de $m$, le système \[ (S) \begin{cases} x+my+2z = m \\ -2x+y+(m-2)z = 1 \\ mx+y+2z = 2m-1 \end{cases} \]
Exercice
3745. Pour $m \in \mathbb{R}$ fixé, résoudre le système d’équations, d’inconnue $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ :
\[
(S)\quad
\left\{
\begin{aligned}
mx+y+z&=1\\
x+my+z&=m\\
x+y+mz&=m^2
\end{aligned}
\right.
\]
Exercice 3746. Mines-Pont MP
\\ Discuter et résoudre, selon $m \in \R$, le système :\\ \[ (S)\;\;\begin{cases} mx+y+z=1,\\ x+my+z=m,\\ x+y+mz=m^2. \end{cases} \]
Exercice
3747. Pour quelles valeurs du réel $m$ le système linéaire défini par
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
mx+y+z+t&=&0,\\
x+my+z+mt&=&0,\\
x+y+mz+t&=&0,\\
x+y+z+mt&=&0
\end{array}
\right.
\]
est-il de Cramer ? Pour ces valeurs de $m$, le résoudre.
Exercice
3748. Résoudre le système linéaire suivant en discutant selon la valeur du paramètre réel $m$ :
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
2mx+y+z&=&2,\\
x+2my+z&=&4m,\\
x+y+2mz&=&2m^2.
\end{array}
\right.
\]
Exercice
3749. Résoudre le système d’équations suivant :
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_2&=ax_1+b\\
x_3&=ax_2+b\\
\vdots\\
x_n&=ax_{n-1}+b\\
x_1&=ax_n+b
\end{aligned}
\right.
\]
d’inconnue $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{C}^n$, de paramètre $(a,b)\in\mathbb{C}^2$.
Exercice
3750. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $a \in \mathbb{C}$.
Résoudre le système d’équations $(S)$ d’inconnue $(x_0,\ldots,x_n)\in\mathbb{C}^{n+1}$ :
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_0&=1\\
x_0+x_1&=a\\
x_0+2x_1+x_2&=a^2\\
\vdots\\
x_0+\binom{n}{1}x_1+\cdots+\binom{n}{n}x_n&=a^n
\end{aligned}
\right.
\]
Exercice
3751. En utilisant la méthode du pivot de Gauss résoudre le système \[ (S) \begin{cases} x+y = 0 \\ 2x+y = 1 \\ x+2y=-1 \end{cases} \]
Exercice
3752. Résoudre le système $\begin{cases} 3x+5y+2z = 1 \\ x+2y+3z = 5 \\ 4x+7y+5z = 8 \end{cases}$.
Exercice
3753. Résoudre le système $\begin{cases} x-y-2z = 1 \\ y-z = -1 \\ x+y-4z = -1 \end{cases}$.
Exercice
3754. Donner l'ensemble des solutions des systèmes suivants : \\
- $\left\{ \begin{array}{rcrcr} x &+& 2y &= 3 \\ -2x &+& 3y &= 1 \end{array} \right.$ \\
- $\left\{ \begin{array}{rcrcr} 3x &-& y &=& 2 \\ x &+& y &=& -1 \end{array} \right.$ \\
- $\left\{ \begin{array}{rcrcr} (\sqrt{2}+1)x &+& y &=& 1 \\ x &+& (\sqrt{2}-1)y &=& \sqrt{2}-1 \end{array} \right.$ \\
- $\left\{ \begin{array}{rcrcr} 2x &-& 2y &=& 1 \\ -x &+& y &=& 2 \end{array} \right.$ \\
Exercice
3755. Résoudre le système suivant \[ (S) \begin{cases} 2x-y+3z=1 \\ -4x+2y+z=3 \\ -2x+y+4z=4 \\ 10x-5y-6z = -10 \end{cases} \]
Exercice
3756. Résoudre le système \[ (S) \begin{cases} x-y+z+t=0 \\ 3x-3y+3z+2t = 0 \\ x-y+z=0 \\ 5x-5y+5z+7t = 0 \end{cases} \]
Exercice
3757. Soit
\[
A=\begin{pmatrix}
1&1&1&-3\\
1&1&-3&1\\
1&-3&1&1\\
-3&1&1&1
\end{pmatrix}.
\]
Déterminer $\ker(A)$ et $\mathrm{Im}(A)$.
Exercice
3758. Résoudre, suivant les valeurs du paramètre $m \in \R$, le système \[ \begin{cases} x-2y+2z = 0 \\ 2x+y+2mz = 1 \\ 2x-2y+3z = -1 \end{cases} \]