Séries à termes positifs

Exercice 2854.
  1. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose \[ a_n=\Frac{1}{n^2} \quad \text{et} \quad R_n=\Sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k. \] Représenter graphiquement avec python les $50$ premiers termes des sommes partielles des séries suivantes : \[ \Sum_{n\geqslant 1}\Frac{a_{n+1}}{R_n},\qquad \Sum_{n\geqslant 1}\Frac{a_{n+1}}{\sqrt{R_n}},\qquad \Sum_{n\geqslant 1}\Frac{1}{2n}. \] Conjecturer la nature de ces trois séries.\\ Dans la suite, on considère le cas général d’une suite $(a_n)_n$ à termes strictement positifs telle que la série $\Sum_n a_n$ converge.\\
  2. Démontrer que : \[ \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \Frac{a_{n+1}}{\sqrt{R_n}}\leqslant 2(\sqrt{R_n}-\sqrt{R_{n+1}}). \] En déduire la nature de la série $\Sum_{n\geqslant 1}\Frac{a_{n+1}}{\sqrt{R_n}}$.\\
  3. Soit $(m,n)\in(\mathbb{N}^*)^2$ tel que $1\leqslant m\leqslant n$. Prouver que \[ \Sum_{i=m}^{n}\Frac{a_{i+1}}{R_i}\geqslant 1-\Frac{R_n}{R_m}. \] En déduire la nature de la série $\Sum_{n\geqslant 1}\Frac{a_{n+1}}{R_n}$.\\
  4. Montrer qu’il existe un réel $\alpha\in\left[\Frac{1}{2},1\right]$ tel que :\\
    • pour tout $a\in]0,\alpha[$, la série $\Sum_{n\geqslant 1}\Frac{a_{n+1}}{R_n^a}$ converge,\\
    • pour tout $a\in]\alpha,+\infty[$, la série $\Sum_{n\geqslant 1}\Frac{a_{n+1}}{R_n^a}$ diverge.\\
  5. Déterminer le $\alpha$ de la question précédente lorsque \[ a_n=\Frac{1}{n^2}. \]
Exercice 2855. Soit $(a_n)_n$ une suite de réels positifs bornée telle que la série $\Sum_n a_n$ diverge.\\
  1. Démontrer que la série $\Sum_n \Frac{a_n}{1+a_n}$ diverge.\\
  2. Démontrer que la série $\Sum_n \Frac{a_ne^{in}}{1+a_ne^{in}}$ ne converge pas absolument.
Exercice 2856. Soit $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$. Démontrer l’équivalence entre les deux propriétés suivantes :\\
  1. Pour toute série à termes positifs $\Sum_n u_n$ convergente, la série $\Sum_n f(u_n)$ est convergente.\\
  2. La fonction $x\mapsto \Frac{f(x)}{x}$ est bornée au voisinage de $0$.
Exercice 2857. Déterminer la nature de la série $\Sum \Frac{1}{p_n}$ où $p_n$ est le $n$-ième entier naturel non nul dont l'écriture décimale ne comporte pas de $9$.
Exercice 2858.
  1. Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$ : \[ (n!)^{\Frac{1}{n}}\geqslant \Frac{n+1}{e}. \]
  2. Soit $(u_n)_{n \geqslant 1}$ une suite réelle à valeurs strictement positives. On suppose que \[ \Sum u_n \] converge et on pose, pour tout $n \in \N^*$ : \[ w_n=\Sum_{p=1}^{n}p\,u_p. \] Montrer que \[ \Sum_{n \geqslant 1}\Frac{w_n}{n(n+1)} \] converge et que sa somme est \[ \Sum_{n \geqslant 1}u_n. \]
  3. On pose, pour tout $n \geqslant 1$, \[ v_n=(u_1\cdots u_n)^{\Frac{1}{n}}. \] Montrer que la série de terme général $v_n$ converge et que \[ \Sum_{n \geqslant 1}v_n\leqslant e\Sum_{n \geqslant 1}u_n. \]
Exercice 2859. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite strictement croissante d'entiers naturels non nuls. \\ On pose \[ a_n=\mathrm{ppcm}(u_0,u_1,\dots,u_n). \] Étudier la nature de la série \[ \sum \frac{1}{a_n}. \]
Exercice 2860. Soit $(p_n)_{n \geqslant 1}$ la suite croissante des nombres premiers. \\ Montrer que la série \[ \sum \frac{1}{p_n} \] diverge.
Exercice 2861. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites réelles positives telles que $\Sum_n u_n$ et $\Sum_n v_n$ convergent.\\ Démontrer que $\Sum_n \sqrt{u_nv_n}$ converge.
Exercice 2862. Soit $(u_n)_n$ une suite de nombres réels strictement positifs telle que $\Sum_n u_n$ converge.\\
  1. Démontrer que l’on n’a pas nécessairement $u_n=o\left(\Frac{1}{n}\right)$.\\
  2. Démontrer que c’est le cas lorsque $(u_n)_n$ est décroissante.
Exercice 2863. Soit $\Sum_n u_n$ une série convergente à termes réels positifs. Démontrer que la série $\Sum_n \sqrt{u_nu_{2n}}$ converge.
Exercice 2864. Étudier la série $\Sum u_n$ avec \[ u_n=\Sum_{p=1}^{n}\frac{1}{p^2+(n-p)^2}. \]
Exercice 2865. Notons \[ u_n=\Sum_{p=1}^{n}\frac{1}{p^{\alpha}+(n-p)^{\alpha}},\qquad \alpha > 0. \] Déterminer la nature de la série $\Sum u_n$.
Exercice 2866.
  1. Énoncer la règle de d’Alembert pour les séries numériques.\\
  2. Fixons $\alpha\in\mathbb{R}$ et posons $v_n=\Frac{1}{n^\alpha}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. Peut-on utiliser la règle de d’Alembert pour déterminer la nature de $\Sum_{n\geqslant 1}v_n$ ?\\
  3. Déterminer la nature de la série $\Sum_{n\geqslant 2}\Frac{1}{n(\ln n)^2}$.\\
  4. Démontrer qu’à partir d’un certain rang : \[ \Frac{v_{n+1}}{v_n}=1-\Frac{\alpha}{n}+o\left(\Frac{1}{n}\right). \]
  5. Soit $a > 1$ et $(u_n)_n$ une suite à termes strictement positifs telle qu’à partir d’un certain rang \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\Frac{a}{n}+o\left(\Frac{1}{n}\right). \] Posons $\alpha=\Frac{1+a}{2}$. Démontrer qu’à partir d’un certain rang \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n}. \] En déduire qu’il existe un réel $c$ et un rang à partir duquel $u_n\leqslant cv_n$. Que peut-on en déduire quant à la nature de $\Sum_n u_n$ ?\\ C’est la règle de Raabe-Duhamel, permettant de pallier partiellement aux insuffisances de la règle de d’Alembert.\\
  6. Quelle est la nature de $\Sum_n u_n$ quand $a=1$ ?
Exercice 2867. On pose \[ S_n=\Sum_{k=2}^{n}\Frac{\ln k}{k} \quad \text{pour tout } n \geqslant 1 \]
    1. Démontrer que \[ \Frac{\ln 2}{2}+\integrale{3}{n+1}{\Frac{\ln t}{t}}{t}\leqslant S_n\leqslant \Frac{\ln 2}{2}+\Frac{\ln 3}{3}+\integrale{3}{n}{\Frac{\ln t}{t}}{t} \]
    2. En déduire un équivalent simple de $S_n$.
  2. Démontrer que \[ \ln^2(n)-\ln^2(n-1)=2\Frac{\ln n}{n}+\Frac{\ln n}{n^2}+o\left(\Frac{\ln n}{n^2}\right) \]
  3. Soit \[ u_n=\Frac{\ln n}{n}-\Frac{1}{2}\left(\ln^2(n)-\ln^2(n-1)\right) \] Démontrer que $\Sum_n u_n$ est convergente.
  4. Démontrer qu'il existe un réel $c$ et une suite $(\varepsilon_n)_n$ de limite nulle telle que \[ S_n=\Frac{1}{2}\ln^2 n+c+\varepsilon_n \]
Exercice 2868. Soit $\Sum u_n$ une série à termes réels strictement positifs. Pour tout $n \in \N$, on pose \[ S_n=\Sum_{k=0}^{n}u_k,\qquad a_n=\frac{u_n}{S_n^2},\qquad b_n=\frac{u_n}{S_n}. \]
  1. On suppose que $\Sum u_n$ converge. Que peut-on dire de $\Sum a_n$ et $\Sum b_n$ ?\\
  2. On suppose maintenant que $\Sum u_n$ diverge. Donner la nature de $\Sum a_n$ et $\Sum b_n$.
Exercice 2869. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $z \in \C$ pour que la famille \[ \left(\binom{p+q}{q}z^{p+q}\right)_{(p,q)\in\N^2} \] soit sommable.
Exercice 2870. Soit $z \in \C$ tel que $|z| < 1$. Montrer, après avoir justifié la convergence : \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{1-z^n}=\Sum_{n=1}^{+\infty} d(n)z^n, \] où $d(n)$ désigne le nombre de diviseurs positifs de $n$.
Exercice 2871. Soit $\Sum u_n$ une série à termes positifs, dont le terme général tend vers $0$ en décroissant. On suppose que la suite $\left(\left(\Sum_{k=1}^{n}u_k\right)-nu_n\right)_n$ est bornée. Montrer que $\Sum u_n$ est convergente.
Exercice 2872. Soient $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(v_n)_{n \in \N^*}$ deux suites à termes réels, strictement positifs.\\
  1. On suppose qu'il existe $n_0 \in \N^*$ tel que : \[ \forall n \geqslant n_0,\;\; \frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \frac{v_{n+1}}{v_n}. \] Prouver l'existence de $C \in \R_+^*$ tel que : \[ \forall n \geqslant n_0,\;\; u_n \leqslant Cv_n. \]
  2. Déduire de a) que, s'il existe $0 < \alpha < 1$ tel que : \[ \frac{v_{n+1}}{v_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right), \] alors $\Sum v_n$ diverge.\\
  3. Étudier la nature de la série de terme général \[ v_n=\frac{2\times 4\times \cdots \times (2n)}{3\times 5\times \cdots \times (2n+1)}. \]
Exercice 2873. Soit $\Sum_{n \geqslant 1}u_n$ une série à termes réels positifs, telle que $(u_n)_{n \geqslant 1}$ soit décroissante. Montrer que les séries \[ \Sum_{n \geqslant 1}u_n \qquad \mathrm{et} \qquad \Sum_{n \geqslant 0}2^n u_{2^n} \] sont de même nature.
Exercice 2874. Soit $\Sum_{n \geqslant 1}u_n$ une série à termes positifs, dont le terme général tend vers $0$ en décroissant. On suppose que la suite \[ \left(\left(\Sum_{k=1}^{n}u_k\right)-nu_n\right)_n \] est bornée. Montrer que $\Sum_{n \geqslant 1}u_n$ est convergente.
Exercice 2875. Soit \[ u_n=\integrale{0}{\pi/n}{\dfrac{\sin^3 x}{1+x}}{x}. \] Démontrer que $\Sum_n u_n$ converge.
Exercice 2876. Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle telle que, pour toute suite $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^2(\mathbb{N},\mathbb{R})$, on ait \[ \Sum_{n=0}^{+\infty}|x_ny_n| < +\infty. \] Montrer que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^2(\mathbb{N},\mathbb{R})$
Exercice 2877. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives telles que \[ u_n \sim v_n \quad \text{lorsque } n\to+\infty. \] On pose : \[ U_n=\Sum_{k=1}^n u_k \quad \text{et} \quad V_n=\Sum_{k=1}^n v_k, \] et on suppose de plus que \[ V_n\to+\infty. \] Montrer que \[ U_n\sim V_n \quad \text{lorsque } n\to+\infty. \]
Exercice 2878. Considérons la suite suivante : \[ a_1=1 \quad \text{et} \quad \forall n\in\mathbb{N}^*,\; a_{n+1}=\sin(a_n). \] Étudier la convergence de \[ \Sum_{n\geqslant 1} a_n^2. \]
Exercice 2879. Soient $a \in ]0,\frac{\pi}{2}[$ et la suite $(u_n)$ définie par \[ u_0=a \quad \text{et} \quad u_{n+1}=\sin(u_n). \]
  1. Déterminer la limite de $(u_n)$ et en déduire la nature de la série \[ \Sum_{n \geqslant 0}(u_{n+1}-u_n). \]
  2. Montrer que la série \[ \Sum_{n \geqslant 0} u_n^3 \] converge.
  3. Montrer que la série \[ \Sum_{n \geqslant 0} u_n^2 \] diverge.
Exercice 2880. Soit $\Sum u_n$, $\Sum v_n$ et $\Sum w_n$ trois séries de réels telles que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$. \\ Montrer si $\Sum u_n$ et $\Sum w_n$ convergent, alors $\Sum v_n$ est aussi convergente.
Exercice 2881. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels positifs. \\ Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum \Frac{u_n}{1+u_n}$ sont de même nature.
Exercice 2882. On pose \[ u_n=\integrale{0}{1/2}{\frac{\sin^2(\pi nx)}{\tan(\pi x)}}{x}. \] Étudier la série \[ \Sum \frac{u_n^{\alpha}}{n^{\beta}} \] pour \[ (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2 \]
Exercice 2883. Soit $f \in C^1(\R_+^*,\R_+^*)$ telle que \[ \lim_{x\to+\infty}\Frac{f'(x)}{f(x)}=-\infty \]
  1. Démontrer que la série $\Sum_n f(n)$ converge.
  2. Déterminer un équivalent de \[ R_n=\Sum_{k=n+1}^{+\infty}f(k) \]

Exercice 2884. X

\\ Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites réelles strictement positives. On suppose que $\Sum b_n$ diverge, et que\\ \[ \limn \parenthese{\Frac{1}{b_n}\Frac{a_n}{a_{n+1}}-\Frac{1}{b_{n+1}}}=\ell \] Montrer que si $\ell > 0$, $\Sum a_n$ converge et que si $\ell < 0$, $\Sum a_n$ diverge.
Exercice 2885. \\ Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$.\\
  1. Quelle est la nature de la série $\Sum \Frac{\sigma(n)}{n^2}$ ?\\
  2. Même question avec $\Sum \Frac{\sigma(n)}{n^2\ln n}$.\\
  3. Même question avec $\Sum \Frac{\sigma(n)}{n^3}$.
Exercice 2886. Soient\\ \[ u_n=\Frac{1}{3^n n!}\Prod_{k=1}^{n}(3k-2) \quad\mathrm{et}\quad v_n=\Frac{1}{n^{3/4}}. \]
  1. Montrer que pour $n$ assez grand,\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n}. \]
  2. En déduire que $\Sum u_n$ diverge.
Exercice 2887. Soit $(a_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de réels positifs ou nuls telle que la série $\Sum_{n \geqslant 1} a_n$ converge.\\
  1. Montrer que si $\alpha > \Frac{1}{2}$, la série $\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{\sqrt{a_n}}{n^{\alpha}}$ converge.\\
  2. Que dire dans le cas $\alpha=\Frac{1}{2}$ ?
Exercice 2888. Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs qui décroît vers $0$. Étudier la nature de la série $\Sum \Frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}$.
Exercice 2889. Soit $(u_n)_{n \geqslant 1}$ une suite réelle décroissante, qui converge vers $0$.\\
  1. Soit $p \geqslant 2$ un entier. Établir l'équivalence :\\ \[ \Sum u_n\;\;\mathrm{converge}\;\;\Longleftrightarrow\;\;\Sum p^n u_{p^n}\;\;\mathrm{converge}. \] C'est le critère de condensation de Cauchy.\\
  2. Montrer que si $\Sum u_n$ diverge, alors $\Sum \min(u_n,\Frac{1}{n})$ diverge aussi.
Exercice 2890. Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général $u_n$ converge.\\ On note le reste d’ordre $n$\\ \[ R_n=\Sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k. \] Étudier la nature des séries de termes généraux $\Frac{u_n}{R_n}$ et $\Frac{u_n}{R_{n-1}}$.
Exercice 2891. Soit $(u_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de réels positifs.\\ On considère la suite $(v_n)$ définie par\\ \[ v_n=\Frac{1}{n(n+1)}\Sum_{k=1}^{n}ku_k. \] Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ ont même nature et qu'en cas de convergence\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}u_n=\Sum_{n=1}^{+\infty}v_n. \]

Exercice 2892. X

\\ Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite croissante de réels positifs qui tend vers l'infini.\\ Construire une suite $(u_n)_{n \in \N}$ de réels positifs, telle que $\Sum u_n$ converge et $\Sum a_nu_n$ diverge.

Exercice 2893. X

\\ Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs. On considère la suite $(\alpha_n)_{n \in \N}$ définie par le choix de $\alpha_0$ et $\alpha_1$ dans $]0,+\infty[$ et la relation de récurrence $\alpha_{n+1}=\alpha_n+a_n\alpha_{n-1}$ pour $n \geqslant 1$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la suite $(a_n)_{n \in \N}$ pour que la suite $(\alpha_n)_{n \in \N}$ converge.
Exercice 2894. Soit $\Sum u_n$ une série à termes $>0$. On note pour tout $n \in \mathbb{N}^\ast$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n} u_k$. \\
  1. Soit $\alpha > 1$. Montrer que la série $\Sum \Frac{u_n}{S_n^\alpha}$ converge. \\
  2. Soit $\alpha \leqslant 1$. On suppose que la série $\Sum u_n$ diverge. Montrer que la série $\Sum \Frac{u_n}{S_n^\alpha}$ diverge. \\ On pourra utiliser le critère de Cauchy : si $(v_n)_n$ est une suite de réels, la série $\Sum v_n$ converge si et seulement si \\ $\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall p > q \geqslant N,\; \Abs{\Sum_{k=q}^{p} v_k} \leqslant \varepsilon$.
Exercice 2895. Soit $\Sum u_n$ une série à termes positifs. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ \\ \[ v_n = \Frac{1}{1 + n^2 u_n}. \] Si la série $\Sum u_n$ converge, déterminer la nature de la série $\Sum v_n$. Que peut-on dire si la série $\Sum u_n$ diverge ?
Exercice 2896. Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que $\Sum u_n$ converge. \\ Déterminer la nature de $\Sum \sqrt{u_{2n}u_n}$.
Exercice 2897. Soit $(u_n)_{n \geqslant 1}$ une suite réelle à termes strictement positifs. On considère les deux suites $(v_n)_{n \geqslant 1}$ et $(w_n)_{n \geqslant 1}$ définies par :\\ $\forall n \in \mathbb{N}^*$, \[ v_n=\Frac{1}{n u_n}\Sum_{k=1}^n u_k \qquad et \qquad w_n=\Frac{1}{n^2 u_n}\Sum_{k=1}^n k u_k. \] On suppose que $(v_n)$ converge vers un réel $a$.\\
  1. Montrer que si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_n \geqslant 0$ et $b_n \geqslant 0$, $a_n \sim_{n\to+\infty} b_n$ et si $\Sum a_n$ diverge, alors\\ \[ \Sum_{k=1}^n a_k \sim_{n\to+\infty} \Sum_{k=1}^n b_k. \]
  2. Montrer que la série de terme général $u_n$ est divergente.\\
  3. Déterminer, en fonction de $a$, la limite de la suite $(w_n)_{n \geqslant 1}$.\\
Exercice 2898. Soit $\Sum a_n$ une série convergente à termes strictement positifs.\\ À quelle condition existe-t-il une suite $(b_n)$ de réels strictement positifs telle que\\ \[ \Sum \Frac{a_n}{b_n} \qquad\mathrm{et}\qquad \Sum b_n \quad \mathrm{convergent ?} \]
Exercice 2899. Soient $\Sum u_n$, $\Sum v_n$ et $\Sum w_n$ $3$ séries convergentes à termes positifs. \\ Montrer que les séries $\Sum \sqrt[3]{u_nv_nw_n}$ et $\Sum \sqrt{u_nv_n+u_nw_n+v_nw_n}$ sont convergentes.
Exercice 2900. Soit $(a_n)$ une suite décroissante de réels positifs. \\ On suppose que la série $\Sum a_n$ converge. \\ Montrer que $na_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.
Exercice 2901. Soient $\Sum a_n$ et $\Sum b_n$ deux séries convergentes à termes positifs.\\
  1. Montrer que les séries de termes généraux $\min(a_n,b_n)$ et $\max(a_n,b_n)$ convergent.\\
  2. Montrer que $\Sum \sqrt{a_nb_n}$ converge.\\
  3. En déduire que, si $\Sum a_n$ converge, alors $\Sum \sqrt{a_na_{n+1}}$ converge. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 2902. Soient $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ deux séries de termes positifs convergentes. \\ Montrer que les séries $\Sum \sqrt{u_n v_n}$ et $\Sum \max(u_n,v_n)$ convergent.
Exercice 2903. Soit $\Sum u_n$ une série convergente à termes positifs.\\
  1. Montrer que si $(u_n)_{n\in\N}$ est décroissante, alors $\limn nu_n=0$.\\
  2. Montrer par un contre-exemple que cela n’est pas vrai si $(u_n)_{n\in\N}$ n’est pas décroissante.
Exercice 2904. Soit $\Sum a_n$ une série à termes strictement positifs convergente.\\ Établir la convergence de la série $\Sum a_n^{1-\frac{1}{n}}$.
Exercice 2905. Soit $\Sum u_n$ une série à termes strictement positifs divergente.\\ On pose, pour tout $n\in\N$, $U_n=\Sum_{k=0}^n u_k$.\\ En comparant $\Frac{u_n}{U_n^\alpha}$ à une intégrale, étudier la convergence de la série de terme général $\Frac{u_n}{U_n^\alpha}$, pour tout $\alpha\in\R_+$.
Exercice 2906. Soit $\Sum a_n$ une série à termes positifs convergente.\\ Peut-on préciser la nature de la série de terme général $u_n=a_0a_1\cdots a_n$ ?
Exercice 2907. Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.\\ On suppose que la suite de terme général $\Sum_{k=1}^{n}u_k-nu_n$ est bornée.\\ Montrer que la série de terme général $u_n$ converge.
Exercice 2908. Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive et convergeant vers $0$.\\ On pose $v_n=\Frac{u_{n+1}}{S_n}$ avec $S_n=\Sum_{k=0}^{n}u_k$.\\ Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ ont même nature.
Exercice 2909. Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ une suite de réels strictement positifs.\\ On pose, pour $n \in \N^*$, $v_n=\Frac{u_n}{S_n}$ où $S_n=u_1+\cdots+u_n$.\\ Déterminer la nature de $\Sum v_n$.
Exercice 2910. Soit $a_n > 0$. A-t-on l’équivalence entre :\\
  1. Pour tout $x\in\R$, $\Sum a_nx^n$ converge.\\
  2. Pour tout $x\in\R^*$, $\Sum \Frac{1}{a_n}x^n$ diverge.
Exercice 2911. Soit $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels de $]0,1[$, telle que $\varepsilon_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$. \\ Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $p_n=\Prod_{i=1}^{n}(1-\varepsilon_i)$. \\ Montrer que $\Big(p_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\Big)\iff\Big(\Sum \varepsilon_n\;\; diverge\Big)$.
Exercice 2912. Soit $\Sum u_n$ une série à termes positifs convergente telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant \Sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$.\\ Soit $S = \Sum_{n=0}^{+\infty} u_n$. Montrer que pour tout $x \in ]0,S]$ il existe une suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ de $(u_n)$ telle que $x = \Sum_{n=0}^{+\infty} u_{\varphi(n)}$.

Exercice 2913. X

\\ Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels qui tend vers $0$. \\ Montrer que $\Sum u_n$ et $\Sum n(u_n-u_{n+1})$ ont la même nature. \\ Lorsqu’elles sont définies, comparer les sommes de ces deux séries.
Exercice 2914. Soient $(u_n)$ une suite décroissante de réels positifs et $\alpha$ un réel positif.\\ On suppose la convergence de la série $\Sum n^\alpha u_n$.\\ Montrer $n^{\alpha+1}u_n \to 0$.
Exercice 2915. Soit $\Sum_{n \geqslant 1} a_n$ une série à termes positifs convergente, et $u_n = (a_1 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}$. On note $A = \Sum_{n=1}^{+\infty} a_n$.\\
  1. Montrer que $\Sum u_n$ converge et qu’en notant $U = \Sum_{n=1}^{+\infty} u_n$, on a $U \leqslant eA$.\\
  2. Montrer que $e$ est optimal, autrement dit que si $k$ est un réel vérifiant $U \leqslant kA$ pour toute série convergente $\Sum a_n$, alors $k \geqslant e$.
Exercice 2916. \\
  1. Déterminer un équivalent de $\Sum_{k=1}^n \Frac{1}{k^\alpha}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, dans le cas où $\alpha \leqslant 1$.\\
  2. Même question pour $\Sum_{k=n+1}^{+\infty} \Frac{1}{k^\alpha}$ lorsque $\alpha > 1$.\\
  3. Même question pour $\Sum_{k=1}^n \Frac{\ln k}{k}$.
Exercice 2917. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Montrer que si la série $\Sum u_n$ converge, alors la suite $(nu_n)_{n \in \N}$ tend vers $0$.
Exercice 2918. Soient $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de termes positifs puis $\sigma:\N\to\N$ une bijection.\\ Montrer que les séries $\Sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ et $\Sum_{n=0}^{+\infty}u_{\sigma(n)}$ sont de même nature et qu’en cas de convergence, elles ont la même somme.
Exercice 2919. Soient $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites de réels strictement positifs.\\
  1. On suppose qu'à partir d'un certain rang\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n}. \] Montrer que $u_n=O(v_n)$ lorsque $n\to+\infty$.\\
  2. On suppose que\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}\sim 1-\Frac{\alpha}{n}+o\parenthese{\Frac{1}{n}} \quad\mathrm{avec}\quad \alpha > 1. \] Montrer, à l'aide d'une comparaison avec une série de Riemann, que la série $\Sum u_n$ converge.\\
  3. On suppose cette fois-ci que\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}\sim 1-\Frac{\alpha}{n}+o\parenthese{\Frac{1}{n}} \quad\mathrm{avec}\quad \alpha < 1. \] Montrer que la série $\Sum u_n$ diverge.
Exercice 2920. \\
  1. Soient $(u_n)_{n\geqslant 0}$ et $(v_n)_{n\geqslant 0}$ deux suites réelles, $\lambda \in \R$.\\ On suppose : $u_n \geqslant 0$, $\Sum |v_n|$ converge et\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\Frac{\lambda}{n}+v_n. \] Montrer que $(n^\lambda u_n)$ converge.\\
  2. Nature de la série de terme général\\ \[ \Frac{n^n}{n!e^n}. \]
Exercice 2921. Calculer la nature de la série $\Sum u_n$, où $(u_n)$ est une suite décroissante de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ avec $k \geqslant 2$ et $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tels que, pour tout $n \geqslant n_0$, $k u_{kn} \geqslant u_n$.
Exercice 2922. Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs.\\
  1. Pour tout $n \in \N$, on pose\\ \[ v_n=\Frac{u_n}{1+u_n}. \] Montrer que $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ sont de même nature.\\
  2. Même question avec\\ \[ v_n=\Frac{u_n}{u_1+\cdots+u_n}. \] On pourra étudier $\ln(1-v_n)$ dans le cadre de la divergence.
Exercice 2923. Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs et $S_n=\Sum_{k=0}^{n}a_k$.\\
  1. On suppose que la série $\Sum a_n$ converge, donner la nature de $\Sum \Frac{a_n}{S_n}$.\\
  2. On suppose que la série $\Sum a_n$ diverge, montrer\\ \[ \forall n \in \N^*,\;\;\Frac{a_n}{S_n^2}\leqslant \Frac{1}{S_{n-1}}-\Frac{1}{S_n}. \] En déduire la nature de $\Sum \Frac{a_n}{S_n^2}$.\\
  3. On suppose toujours la divergence de la série $\Sum a_n$.\\ Quelle est la nature de $\Sum \Frac{a_n}{S_n}$ ?