Exercices divers

Exercice 1308. Critère de Cauchy

\\ Soit $\Sum_{n \geqslant 0} u_n$ une série à termes positifs telle que : \[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = \ell. \] \\
  1. Démontrer que $\forall \varepsilon > 0, \; \exists n_0 \in \N, \; \forall n \geqslant n_0, \quad (\ell - \varepsilon)^n \leqslant u_n \leqslant (\ell + \varepsilon)^n$. \\
  2. On suppose que $\ell < 1$. Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 0} u_n$ est convergente.\\
  3. On suppose que $\ell > 1$. Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 0} u_n$ est divergente.\\
  4. En déduire la nature de la série dans le cas où $u_n = \parenthese{\Frac{n-1}{2n+1}}^n$.
Exercice 1309. On considère deux séries de termes généraux $u_n$ et $v_n$ qui sont strictement positifs et telles que $\forall n \in \N$ : \[ \Frac{v_{n+1}}{v_n} \leqslant \Frac{u_{n+1}}{u_n}. \] \\
  1. Que peut-on dire si la série de terme général $u_n$ converge ?\\
  2. Quelle est la nature de la série : \[ \Sum_{n \geqslant 1} \Frac{1 \times 4 \times 7 \times \dots \times (3n-2)}{3^n \times n!}. \]
Exercice 1310. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite décroissante de nombres réels qui tend vers $0$. Montrer que la série de terme général $(-1)^n u_n$ converge.\\ Indication : On pourra introduire les suites suivantes : $(S_{2n})_{n \in \N}$ et $(S_{2n+1})_{n \in \N}$ où $S_n$ désigne la somme partielle de la série de terme général $(-1)^n u_n$.\\

Exercice 1311. Edhec 2006

\\ On définit la suite $u$ par $u_1 = \Frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N^*$, $u_{n+1} = \Frac{2n}{2n+1} \, u_n$. \\
  1. Montrer que la suite $(u_n)$ converge. \\
    1. Déterminer un équivalent de $\ln\parenthese{\Frac{u_n}{u_{n+1}}}$. \\
    2. En déduire la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1} \ln\parenthese{\Frac{u_n}{u_{n+1}}}$ et préciser $\lim\limits_{n \to +\infty} \Sum_{k=1}^{n} \ln\parenthese{\Frac{u_k}{u_{k+1}}}$. \\
  3. En déduire la limite de $\ln(u_n)$ puis celle de $u_n$ quand $n \to +\infty$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = \Frac{4^n}{4^n \binom{2n}{n}}$. \\
    2. En déduire que $\Frac{4^n}{n} = o\parenthese{\binom{2n}{n}}$.

Exercice 1312. ESCP 2007

\\ On pose pour tout $n \in \N^*$, \[ J_n = \integrale{0}{1}{\Frac{1}{(x^3 + 1)^n}}{x}. \]
  1. Montrer que la suite $(J_n)_{n \in \N^*}$ est décroissante et convergente. On notera $\ell$ sa limite. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, \[ \Frac{J_n}{3n} = \Frac{1}{3n 2^n} + (J_n - J_{n+1}). \] \\
  3. Le but de cette question est de montrer que $\ell = 0$. \\
    1. Montrer que les séries de terme général $(J_n - J_{n+1})$ et $\Frac{1}{3n 2^n}$ sont convergentes. \\
    2. On suppose dans cette question que $\ell \neq 0$. Donner un équivalent de $\Frac{J_n}{3n}$. \\ Quelle est la nature de la série de terme général $\Frac{J_n}{3n}$ ? \\
    3. Conclure.

Exercice 1313. Critère de d'Alembert

\\ Soit $(u_n)_{n \geqslant 0}$ une suite de réels strictement positifs telle que \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda. \]
  1. On suppose que $\lambda < 1$. \\
    1. Soit $a \in \; ]\lambda, 1[$. Montrer qu’il existe $n_0 \in \N$ tel que : $\forall n \geqslant n_0$, $u_{n+1} \leqslant a u_n$. \\
    2. En déduire que la série de terme général $u_n$ converge. \\
  2. On suppose que $\lambda > 1$. Montrer de même que la série de terme général $u_n$ diverge. \\
  3. Application. Montrer que la série de terme général $\Frac{n!}{n^n}$ est convergente.

Exercice 1314. Sommation d'équivalents

Soient $(u_n)_{n \geqslant 0}$ et $(v_n)_{n \geqslant 0}$ deux suites de réels positifs équivalentes. \\
  1. On suppose que la série de terme général $u_n$ diverge. Montrer que \[ \Sum_{k=0}^{n} u_k \sim \Sum_{k=0}^{n} v_k \quad \text{quand } n \to +\infty. \] \\
  2. On suppose que la série de terme général $u_n$ converge. Montrer que \[ \Sum_{k=n}^{+\infty} u_k \sim \Sum_{k=n}^{+\infty} v_k \quad \text{quand } n \to +\infty. \] \\

Exercice 1315. Transformation d'Abel

\\ Soient $(a_n)_{n \geqslant 0}$ une suite de réels positifs telle que la série de terme général $a_n$ converge, et $(u_n)_{n \geqslant 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$. On pose $A_n = \Sum_{k=0}^{n} a_k$ pour tout $n \geqslant 0$. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, \[ \Sum_{k=0}^{n} a_k u_k = \Sum_{k=0}^{n-1} A_k (u_k - u_{k+1}) + A_n u_n. \] \\
  2. En déduire que la série de terme général $a_n u_n$ converge.

Exercice 1316. Série de Bertrand

\\ Soient deux réels $\alpha > 0$ et $\beta > 0$. \\
  1. Cas $\alpha > 1$ – Montrer que la série de terme général \[ \Frac{1}{k^{\alpha} (\ln(k))^{\beta}} \] est convergente. \\
  2. Cas $\alpha < 1$ – Montrer que la série de terme général \[ \Frac{1}{k^{\alpha} (\ln(k))^{\beta}} \] est divergente.
Exercice 1317. Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite décroissante qui tend vers $0$. Pour tout entier $n$, on pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n} (-1)^k a_k$. \\
  1. Montrer que les suites $(S_{2n})_{n \in \N}$ et $(S_{2n+1})_{n \in \N}$ sont adjacentes. \\
  2. Que peut-on conclure quant à la nature de la série de terme général $(-1)^n a_n$. \\
  3. Application : Quelle est la nature de la série de terme général $\Frac{(-1)^n}{\ln n}$ ?

Exercice 1318. Comparaison série-intégrale

\\
  1. Montrer que pour tout entier $k \geqslant 3$, \[ \forall t \in [k, k+1], \; \Frac{1}{t \ln t} \leqslant \Frac{1}{k \ln k} \quad \text{et} \quad \forall t \in [k-1, k], \; \Frac{1}{k \ln k} \leqslant \Frac{1}{t \ln t}. \] \\
  2. En déduire que pour tout entier $k \geqslant 3$, \[ \integrale{k}{k+1}{\Frac{dt}{t \ln t}}{} \leqslant \Frac{1}{k \ln k} \leqslant \integrale{k-1}{k}{\Frac{dt}{t \ln t}}{}. \] \\
  3. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3$, \[ \integrale{3}{n+1}{\Frac{dt}{t \ln t}}{} \leqslant \Sum_{k=3}^{n} \Frac{1}{k \ln k} \leqslant \integrale{2}{n}{\Frac{dt}{t \ln t}}{}. \] \\
  4. Déterminer une primitive de $\Frac{1}{t \ln t}$ (directement). En déduire les valeurs des intégrales précédentes. \\
  5. Conclure quant à la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 2} \Frac{1}{n \ln n}$.

Exercice 1319. Comparaison série-intégrale n°2

On s’intéresse à la nature de la série de terme général $\Frac{1}{k \ln k}$, pour $k \geqslant 2$. \\
  1. Montrer : $\forall k \geqslant 2$, \[ \integrale{k}{k+1}{\Frac{1}{t \ln t}}{t} \leqslant \Frac{1}{k \ln(k)}. \] \\
  2. En déduire : $\forall n \geqslant 2$, \[ \Sum_{k=2}^{n} \Frac{1}{k \ln(k)} \geqslant \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln(2)). \] \\
  3. Conclure. \\
  4. * Montrer que \[ \Sum_{k=2}^{n} \Frac{1}{k \ln(k)} \underset{n \to +\infty}{\sim} \ln(\ln(n)). \]

Exercice 1320. HEC 2024

\\ Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 \in \left]0,\Frac{\pi}{2}\right]$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1}=\sin(u_n)$.\\
  1. Question de cours : Donner les deux premiers termes des développements limités de $\sin(x)$ et $(1+x)^2$ lorsque $x$ tend vers $0$.\\
  2. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n \in \left]0,\Frac{\pi}{2}\right]$.\\
  3. Montrer que $(u_n)$ converge vers une limite finie $l$, que l’on déterminera.\\
  4. Montrer que la suite $v_n=\Frac{1}{u_{n+1}^2}-\Frac{1}{u_n^2}$ converge, et donner la valeur de sa limite.\\
  5. Soit $(x_n)$ une suite réelle de limite $x \in \R$. Montrer que la suite $y_n=\Frac{1}{n}\,\Sum_{k=0}^{n-1} x_k$ converge vers $x$.\\
  6. Déterminer un équivalent de $(u_n)$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$. En déduire la nature de la série de terme général $(u_n)$.

Exercice 1321. HEC 2023

\\ Soit $\sigma$ une injection de $\N^*$ dans $\N^*$.\\
  1. Proposer $3$ exemples de telles injections. Dans chacun de vos exemples, quelle est la nature de la série $\Sum_{n\geqslant 1}\Frac{\sigma(n)}{n^{2}}$ ?\\
  2. Dans le cas général, donner la nature de la série $\Sum_{n\geqslant 1}\Frac{\sigma(n)}{n^{2}}$ ?

Exercice 1322. HEC 2021

\\ Soit un réel $a > 0$. \\ Etudier la nature de la série $\Sum (\arctan(n+a)-\arctan(n))$.

Exercice 1323. ESCP 2014

\\ Soit $r$ un réel positif. On s’intéresse aux suites réelles $(u_n)_{n\in\N}$ vérifiant, pour tout $n\in\N$, la relation de récurrence : $u_{n+2}=u_{n+1}+r^n u_n$.\\
  1. Que dire de la suite $(u_n)_{n\in\N}$ quand $r=0$ ?\\
  2. Dans cette question, on suppose $r=1$.\\
    1. Expliciter $u_n$ pour tout $n\in\N$.\\
    2. On suppose $u_0=0$ et $u_1=1$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.\\
    3. Existe-t-il des valeurs de $u_0$ et $u_1$ telles que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ converge ?\\
  3. Dans cette question, on suppose $r\geqslant 1$ et $u_0>0$, $u_1 > 0$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.\\
  4. Dans cette question, on suppose $ 0 < r < 1$ et $u_0 > 0$, $u_1 > 0$. On considère la suite $(v_n)_{n\in\N^*}$ définie par : $v_1=u_1$ et $\forall n\in\N^*$, $v_{n+1}=(1+r^{n-1})v_n$.\\
    1. Étudier la convergence de la suite $(v_n)_{n\in\N^*}$.\\
    2. Comparer $u_n$ et $v_n$ pour $n\in\N^*$ et en déduire la nature de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.\\
  5. Dans cette question, on fait varier $r$ dans l’intervalle $[0,1[$ et on note $(u_n(r))_{n\in\N}$ la suite définie par : \[ u_0(r)=1,\quad u_1(r)=1,\quad et \;\; \forall n\in\N,\; u_{n+2}(r)=u_{n+1}(r)+r^n u_n(r). \] On note $L(r)$ la limite de la suite $(u_n(r))_{n\in\N}$.\\
    1. Montrer que, pour tout $n\in\N$, la fonction $r\mapsto u_n(r)$ est croissante sur $[0,1[$.\\
    2. En déduire que la fonction $L$ est croissante sur $[0,1[$.\\
    3. Pour $r \in [0,1[$, justifier la convergence de la série de terme général $r^{k}u_k(r)$ et exprimer sa somme en fonction de $L(r)$. \\
    4. Déterminer la limite de $L(r)$ quand $r$ tend vers $1$.