Exercices divers

Exercice 1737. Soit $\Sum u_n$, $\Sum v_n$ et $\Sum w_n$ trois séries de réels telles que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$. \\ Montrer si $\Sum u_n$ et $\Sum w_n$ convergent, alors $\Sum v_n$ est aussi convergente.
Exercice 1738. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels positifs. \\
  1. Montrer que la fonction $x \mapsto \Frac{x}{1+x}$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$. \\
  2. Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum \Frac{u_n}{1+u_n}$ sont de même nature.
Exercice 1739. Soit $(a_n)$ une suite décroissante de réels positifs. \\ On suppose que la série $\Sum a_n$ converge. \\ Montrer que $na_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.
Exercice 1740. Soient $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ deux séries de termes positifs convergentes. \\ Montrer que les séries $\Sum \sqrt{u_n v_n}$ et $\Sum \max(u_n,v_n)$ convergent.
Exercice 1741. Soit $\Sum u_n$ une série à termes positifs. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ \\ \[ v_n = \Frac{1}{1 + n^2 u_n}. \] Si la série $\Sum u_n$ converge, déterminer la nature de la série $\Sum v_n$. Que peut-on dire si la série $\Sum u_n$ diverge ?
Exercice 1742. Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que $\Sum u_n$ converge. \\ Déterminer la nature de $\Sum \sqrt{u_{2n}u_n}$.
Exercice 1743. Soient $\Sum u_n$, $\Sum v_n$ et $\Sum w_n$ $3$ séries convergentes à termes positifs. \\ Montrer que les séries $\Sum \sqrt[3]{u_nv_nw_n}$ et $\Sum \sqrt{u_nv_n+u_nw_n+v_nw_n}$ sont convergentes.
Exercice 1744. Soit $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels de $]0,1[$, telle que $\varepsilon_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$. \\ Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $p_n=\Prod_{i=1}^{n}(1-\varepsilon_i)$. \\ Montrer que $\Big(p_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\Big)\iff\Big(\Sum \varepsilon_n\ \text{diverge}\Big)$.
Exercice 1745. Soit $(a_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de nombres complexes telle que la série $\Sum_{n \geqslant 1} \Frac{a_n}{n}$ converge absolument. On suppose que \\ \[ \forall k \in \mathbb{N}^\ast,\quad \Sum_{n=1}^{+\infty} \Frac{a_n}{n^k} = 0. \] Que peut-on dire de la suite $(a_n)_{n \geqslant 1}$ ?
Exercice 1746. Soit $\Sum u_n$ une série à termes $>0$. On note pour tout $n \in \mathbb{N}^\ast$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n} u_k$. \\
  1. Soit $\alpha > 1$. Montrer que la série $\Sum \Frac{u_n}{S_n^\alpha}$ converge. \\
  2. Soit $\alpha \leqslant 1$. On suppose que la série $\Sum u_n$ diverge. Montrer que la série $\Sum \Frac{u_n}{S_n^\alpha}$ diverge. \\ On pourra utiliser le critère de Cauchy : si $(v_n)_n$ est une suite de réels, la série $\Sum v_n$ converge si et seulement si \\ $\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall p > q \geqslant N,\; \Abs{\Sum_{k=q}^{p} v_k} \leqslant \varepsilon$.
Exercice 1747. Calculer la nature de la série $\Sum u_n$, où $(u_n)$ est une suite décroissante de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ avec $k \geqslant 2$ et $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tels que, pour tout $n \geqslant n_0$, $k u_{kn} \geqslant u_n$.
Exercice 1748. Soit $(a_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de complexes telle que $\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{a_n}{n}$ est absolument convergente. \\ On suppose que pour tout $k \in \N^*$, $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{a_n}{n^k}=0$. \\ Que peut-on dire de la suite $(a_n)_{n \geqslant 1}$ ?
Exercice 1749. Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels qui tend vers $0$. \\ Montrer que $\Sum u_n$ et $\Sum n(u_n-u_{n+1})$ ont la même nature. \\ Lorsqu’elles sont définies, comparer les sommes de ces deux séries.