Dérivabilité

Exercice 2216. Centrale MP

\\ Déterminer les fonctions $f \in C^{1}(\R,\R)$ vérifiant $f \circ f = f$.
Exercice 2217. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue en $0$. \\ Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que \[ \frac{f(2x)-f(x)}{x} \] admette une limite en $0$.
Exercice 2218. Considérons la fonction $f:x\mapsto \begin{cases} x^2\sin\parenthese{\Frac{1}{x}} & \mathrm{si}\; x\neq 0,\\ 0 & \mathrm{si}\; x=0. \end{cases}$\\
  1. La fonction $f$ est-elle dérivable sur $\R$ ?\\
  2. La fonction $f$ est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ ?
Exercice 2219. Soit $f:\R\to\R$ une application dérivable.\\ Montrer que si $f$ est paire, alors $f'$ est impaire.\\ Montrer que si $f$ est impaire, alors $f'$ est paire.\\ Montrer que si $f$ est $T$-périodique, alors $f'$ aussi.
Exercice 2220. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une application dérivable en $0$ et nulle en $0$. Soit $\ell\in\mathbb{N}^*$.\\ Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose \[ S_n=\sum_{k=0}^{n\ell}f\left(\frac{k}{n^2}\right). \] Montrer que la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge et calculer sa limite.
Exercice 2221. Soit l'application $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=0$ si $x\leqslant 0$, et par $f(x)=e^{-1/x}$ si $x > 0$.\\
  1. Démontrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.\\
  2. Démontrer qu'il existe une fonction $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ telle que \[ \forall x\in[-1,1],\quad \varphi(x)=1 \] et \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad |x|\geqslant 2 \Longrightarrow \varphi(x)=0. \]
Exercice 2222. On note $\Delta$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, $1$-périodique, dont la restriction à $\left[-\frac12,\frac12\right]$ vérifie \[ \Delta(x)=|x|. \] Montrer que la fonction \[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad x\mapsto \sum_{p=0}^{+\infty}\frac{1}{2^p}\Delta(2^px) \] est continue mais n’est dérivable en aucun point de $\mathbb{R}$.
Exercice 2223. Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ définie par\\ \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \mathrm{si}\;x\in\{0,1\}\\ \ln(x)\times\ln(1-x) & \mathrm{sinon} \end{array}\right. \]
  1. Justifier que le graphe de $f$ est symétrique par rapport à la droite d’équation $x=\Frac{1}{2}$.\\
  2. Montrer que $f$ est continue sur $[0,1]$.\\
  3. La fonction $f$ est-elle dérivable sur $[0,1]$ ?
Exercice 2224. Soit $f : \R \to \R$ une application telle que, pour tout $(x,y) \in \R^2$ avec $x\neq y$, \[ \abs{f(x)-f(y)} \leqslant \abs{x-y}^{\frac{3}{2}} \abs{\ln\abs{x-y}}. \] Montrer que $f$ est constante.
Exercice 2225. Soit $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x} \quad si \; x \neq 0 \\ 0 \quad si \; x = 0 \end{cases}$. \\ Etudier la continuité, la dérivabilité, et la continuité de la dérivée pour $f$.
Exercice 2226. Soit $n \in \N$ fixé.\\ Démontrer par récurrence sur $m \in \N^*$ que $f$ est $n+m$ fois dérivable en $a$ si et seulement si elle est $n$ fois dérivable au voisinage de $a$ et que $f^{(n)}$ est $m$ fois dérivable en $a$ avec $\bigl(f^{(n)}\bigr)^{(m)}(a)=f^{(n+m)}(a)$
Exercice 2227. Montrer que $f:\R\to\R$ définie par\\ \[ f(x)= \begin{cases} \ch x+\sin x & \mathrm{si}\; x\geqslant 0,\\ e^x & \mathrm{si}\; x\leqslant 0, \end{cases} \] est de classe $C^2$ sur $\R$ mais n'est pas $3$ fois dérivable en $0$.
Exercice 2228. On définit $f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ par $f(0)=1$ et $f(x)=\Frac{1}{1-\exp\!\left(-\frac{1}{x}\right)}$ pour $x>0$.\\ Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$.
Exercice 2229. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction dérivable.\\ On définit une fonction $g : [0,1] \to \R$ par\\ \[ g(x) = \begin{cases} f(2x) & si \;\; x \in [0, \Frac12] \\ f(2x - 1) & sinon \end{cases} \]\\ À quelle condition $g$ est-elle dérivable ?
Exercice 2230. Soit $h : \R \to \R$ définie par $h(x)=\lfloor x \rfloor+\parenthese{x-\lfloor x \rfloor}^2$.\\
  1. Soit $a \in \R\setminus \Z$. Posons $n=\lfloor a \rfloor$. On a donc $n < a < n+1$.\\ Montrer qu’il existe $\alpha \in \R_+^*$ tel que $]a-\alpha,a+\alpha[\subset ]n,n+1[$.\\
  2. Montrer que $h$ est dérivable en $a$ et calculer $h'(a)$.\\
  3. Soit $n \in \Z$ et $t \in ]n,n+1[$. Exprimer $\Frac{h(t)-h(n)}{t-n}$ et en déduire $h'_d(n)$.\\ Calculer de même $h'_g(n)$. La fonction $h$ est-elle dérivable en $n$ ?
Exercice 2231. Soit $f : \R \to \R$ dérivable en $x_0$.\\ Montrer que\\ \[ \Frac{f(b)-f(c)}{b-c}\xrightarrow[b\to x_0^+,\;c\to x_0^-]{}f'(x_0). \]
Exercice 2232. Soit $\alpha \in \R$. On pose $f(x)=|x|^{\alpha}\sin\!\parenthese{\Frac1x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$.\\
  1. Montrer que $f$ est impaire et que la restriction de $f$ à $\R_+^{\ast}$ est de classe $C^{\infty}$. On restreint donc l'étude de $f$ à $0$ ou même $0^+$.\\
  2. Si $\alpha \leqslant 0$, montrer que $f$ n'a pas de limite en $0^+$.\\
  3. Si $\alpha >0$, montrer que $f$ est continue en $0$.\\
  4. Si $\alpha \in ]0,1]$, montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.\\
  5. Si $\alpha >1$, montrer que $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=0$.\\
  6. Si $\alpha \in ]1,2]$, montrer que $f'$ n'a pas de limite en $0^+$.\\
  7. Si $\alpha >2$, montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.
Exercice 2233. Soit $f:\R\to\R$ dérivable en $x_0$.\\ Montrer que\\ \[ \Frac{f(b)-f(c)}{b-c}\to f'(x_0) \quad\mathrm{lorsque}\quad b\to x_0^+\;\mathrm{et}\;c\to x_0^-. \]
Exercice 2234. Soit $f(x)=(x-[x])^2(x-[x]-1)^2$.\\
  1. Montrer que $f$ est $1$-périodique.\\
  2. Montrer qu'il existe une fonction $g:\R\to\R$ de classe $C^{\infty}$ telle que $\forall x\in[0,1],\; f(x)=g(x)$. En déduire que $f_{\mid[0,1]}$ est de classe $C^{\infty}$.\\
  3. Calculer $f'_d(0)$, $f''_d(0)$, $f^{(3)}_d(0)$, $f'_g(1)$, $f''_g(1)$, $f^{(3)}_g(1)$ et tracer le graphe de $f$ sur $\R$.\\
  4. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ mais n'est pas de classe $C^3$.\\
  5. Montrer que $f'$ est $1$-périodique non constante.\\
  6. En déduire que $f'$ n'a pas de limite en $+\infty$.\\
  7. Montrer que $h(x)=\begin{cases}x^2f\!\parenthese{\Frac1x}&\mathrm{si}\;x\neq 0,\\0&\mathrm{sinon}\end{cases}$ est dérivable sur $\R$, de dérivée discontinue en $0$.
Exercice 2235. Montrer que $f:\R \to \R$ définie par\\ \[ f(x)= \begin{cases} e^{\frac{1}{x}} & \mathrm{si}\; x < 0,\\ 0 & \mathrm{si}\; x=0,\\ x^2\ln(x) & \mathrm{si}\; x > 0 \end{cases} \] est dérivable sur $\R$
Exercice 2236. Soit $f : x \mapsto \Frac{1}{\Frac{1}{x}+\sin\parenthese{\Frac{1}{x}}}$.\\
  1. Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$.\\
  2. Montrer que $f$ ainsi prolongée est dérivable sur $\mathbb{R}$, strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et de dérivée s'annulant une infinité de fois dans tout voisinage de $0$.
Exercice 2237. Soit $f(x) = \begin{cases} x\cos{\frac{1}{x}} \quad si \;\; x \neq 0 \\ 0 \quad si \;\; x = 0 \end{cases}$. \\ $f$ est-elle dérivable en $0$? Continue en $0$ ?