Dérivabilité

1. $x \mapsto \ln\left(\dfrac{1+x}{2-x}\right)$.
2. $x \mapsto xe^{\frac{1}{x}+\sqrt{x}}$.
3. $x \mapsto \arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
4. $x \mapsto \cos(4x^3)$

1. La fonction $f$ est-elle dérivable sur $\R$ ?\\
2. La fonction $f$ est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ ?

1. Justifier que le graphe de $f$ est symétrique par rapport à la droite d’équation $x=\Frac{1}{2}$.\\
2. Montrer que $f$ est continue sur $[0,1]$.\\
3. La fonction $f$ est-elle dérivable sur $[0,1]$ ?

1. Soit $a \in \R\setminus \Z$. Posons $n=\lfloor a \rfloor$. On a donc $n < a < n+1$.\\ Montrer qu’il existe $\alpha \in \R_+^*$ tel que $]a-\alpha,a+\alpha[\subset ]n,n+1[$.\\
2. Montrer que $h$ est dérivable en $a$ et calculer $h'(a)$.\\
3. Soit $n \in \Z$ et $t \in ]n,n+1[$. Exprimer $\Frac{h(t)-h(n)}{t-n}$ et en déduire $h'_d(n)$.\\ Calculer de même $h'_g(n)$. La fonction $h$ est-elle dérivable en $n$ ?

1. $f:x \mapsto x|x|$.
2. $f:x \mapsto \begin{cases} \dfrac{\ln(x)}{x-\ln(x)} & \text{si } x > 0,\\ -1 & \text{si } x=0. \end{cases}$
3. $f:x \mapsto \begin{cases} x^2\ln(x) & \text{si } x > 0,\\ 0 & \text{si } x=0. \end{cases}$

1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
2. Étudier la dérivabilité de $g=f^{-1}$ sur $J$.
3. Calculer $g'(1)$

1. Comment doit-on choisir $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}_+^*$ ?
2. Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$

1. Soit $x$ un réel strictement positif. Montrer qu'il existe $t \in ]0,x[$ tel que \[ \dfrac{\arctan(x)}{x}=\dfrac{1}{1+t^2}. \] En déduire que, pour tout $x \geqslant 0$, \[ \dfrac{x}{1+x^2}\leqslant \arctan(x). \]
2. 1. Soit $t$ un réel strictement supérieur à $1$.\\ Montrer qu'il existe $c \in ]t,t+1[$ tel que \[ \ln(\ln(t+1))-\ln(\ln(t))=\dfrac{1}{c\ln(c)}. \]
   2. En déduire que, pour tout $t > 1$, \[ \dfrac{1}{(t+1)\ln(t+1)} \leqslant \ln(\ln(t+1))-\ln(\ln(t)) \leqslant \dfrac{1}{t\ln(t)}. \]

1. Montrer que pour tout entier $n$, $u_n$ existe et $u_n \geqslant 0$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}_+$ l'équation $\sqrt{6+x}=x$.
3. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ |u_{n+1}-3|\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{6}}|u_n-3|. \]
4. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ |u_n-3|\leqslant \dfrac{3}{(2\sqrt{6})^n}, \] puis que $(u_n)$ converge vers une limite que l'on précisera

1. Justifier de la dérivabilité de la fonction $x\mapsto \ln(x)|x-1|$ en $1$.
2. Justifier de la dérivabilité sur $\mathbb{R}$ et calculer la dérivée de $f:x\mapsto \exp(x^2\cos(x))$.
3. Soit $f$ la fonction définie par \[ f(x)=\dfrac{\sin(x)+\cos(x)}{1+\cos^2(x)} \] pour tout $x\in\mathbb{R}$.\\ Justifier, que pour tout $a\in\mathbb{R}$, $f'$ s'annule au moins une fois sur $]a,a+2\pi[$ sans calculer $f'(x)$

1. \[ x\mapsto \begin{cases} (x-1)^2 & \text{si } x \leqslant 1,\\ (x-1)^3 & \text{si } x > 1. \end{cases} \]
2. \[ x\mapsto \begin{cases} \sqrt{x} & \text{si } 0 \leqslant x \leqslant 1,\\ ax^2+bx+1 & \text{sinon.} \end{cases} \]

1. Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$.\\
2. Montrer que $f$ ainsi prolongée est dérivable sur $\mathbb{R}$, strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et de dérivée s'annulant une infinité de fois dans tout voisinage de $0$.

1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ dans un intervalle $J$ que l'on précisera. On note $f^{-1}$ la bijection réciproque.
2. Donner sur le même graphique l'allure des courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}$.
3. Justifier que, pour tout $x \in J$, \[ \cos(f^{-1}(x))=\dfrac{1}{x} \quad \text{et} \quad \sin(f^{-1}(x))=\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}. \]
4. Montrer que $f^{-1}$ est dérivable sur $J\setminus\{1\}$ et montrer que, pour tout $x \in J\setminus\{1\}$, \[ (f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}. \]

1. Justifier que $g$ est $C^1(\mathbb{R}_+^*)$.
2. Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, calculer $g'(x)$.
3. Montrer que \[ \lim_{x\to 0^+}g'(x)=\dfrac{f''(0)}{2} \] à l'aide du taux d'accroissement de $f'$ en $0$.
4. En déduire par un théorème du cours que $g\in C^1(\mathbb{R}_+)$ et donner $g'(0)$

1. Énoncer le théorème des accroissements finis.
2. Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ et soit $x_0\in ]a,b[$.\\ On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f$ est dérivable sur $]a,x_0[$ et sur $]x_0,b[$.\\ Démontrer que, si $f'$ admet une limite finie en $x_0$, alors $f$ est dérivable en $x_0$ et \[ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}f'(x). \]
3. Prouver que l'implication suivante est fausse : \[ f\;\; dérivable\;\; en\;\; x_0 \Longrightarrow f'\;\; admet\;\; une\;\; limite\;\; finie\;\; en\;\; x_0. \] On pourra considérer la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ si $x \neq 0$ et $g(0)=0$

1. Étudier la dérivabilité de $|x^3|$ en $0$ et de $\sqrt{x^3-1}$ en $1$.
2. Calculer la dérivée, après avoir discuté de l'ensemble de dérivation de $f$ définie par :
   1. $f(x)=\sqrt{x^2-x^3}$.
   2. $f(x)=x^{\ln(x)}$

1. Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque notée $g$ définie sur $J=]-1,1[$.
2. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ f'(x)=1-(f(x))^2. \]
3. Démontrer que $g$ est dérivable sur $J$ et calculer $g'$ de deux manières : en utilisant le théorème de dérivation d'une fonction réciproque, puis en explicitant $g(y)$

1. 1. Montrer que la fonction $x\in\mathbb{R}_+\mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$, mais que sa courbe représentative admet une tangente verticale en $O$.\\ Montrer que la fonction $x\in\mathbb{R}_+\mapsto x\sqrt{x}$ est dérivable en $0$.
   2. Montrer que la fonction valeur absolue est dérivable à gauche et à droite en $x_0=0$, mais n'est pas dérivable en $0$.\\ Étudier la dérivabilité de la fonction $g:x\in\mathbb{R}\mapsto |x^2-x|$ en $x_0=1$.
   3. Soit \[ f:x\in\mathbb{R}_+\mapsto \begin{cases} x\ln(x) & \text{si } x > 0,\\ 0 & \text{si } x=0. \end{cases} \] Montrer que $f$ est continue en $0$ puis étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.\\ Étudier les variations de $f$ puis tracer l'allure de son graphe en soignant le détail au voisinage de $0$.
   4. Donner le nombre dérivé de la fonction inverse en $a\neq 0$ en utilisant le taux d'accroissement.
2. Montrer qu'étant donné un réel $x > 0$, il existe $c\in ]x,x+1[$ tel que \[ \ln(x+1)-\ln(x)=\dfrac{1}{c}. \] Puis en déduire que, pour tout $x > 0$, \[ \dfrac{1}{x+1}\leqslant \ln(x+1)-\ln(x)\leqslant \dfrac{1}{x}. \]
3. 1. Trouver une constante $M$ telle que, pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, \[ |\sin(x)-\sin(y)|\leqslant M|x-y|. \] Justifier.
   2. En déduire que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ |\sin(x)|\leqslant |x|. \]
4. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ u_{n+1}=\dfrac{1-u_n^2}{4}. \]
   1. Donner les variations de $f(x)=\dfrac{1-x^2}{4}$.
   2. Vérifier que $I=[0,1]$ est stable par $f$ et en déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\in I$.
   3. Déterminer les points fixes de $f$ situés dans $I$.
   4. On pose $\alpha=\sqrt{5}-2$. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ |f(u_n)-\alpha|\leqslant \dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|. \]
   5. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ |u_n-\alpha|\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n. \] Conclure pour la suite $(u_n)$.
5. Montrer que la fonction $\cos$ est strictement décroissante sur $[0,\pi]$. En déduire qu'il s'agit d'une bijection de $[0,\pi]$ vers un intervalle $J$ que l'on déterminera.
6. Montrer que la fonction $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ définie par \[ f(x)= \begin{cases} x^2\ln(x) & \text{si } x \neq 0,\\ 0 & \text{si } x=0 \end{cases} \] est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$

1. Montrer que $f$ est une bijection de $I$ sur un intervalle à préciser.
2. Sans déterminer $f^{-1}$, montrer que cette fonction est dérivable sur $]1,+\infty[$ et déterminer sa dérivée

1. \[ f:x\mapsto \begin{cases} x^2 & si\; x\geqslant 0,\\ 0 & si\; x < 0. \end{cases} \]
2. \[ f:x\mapsto \begin{cases} e^x & si\; x\geqslant 0,\\ x+1 & si\; x < 0. \end{cases} \]
3. \[ f:x\mapsto e^{|x|} \]

Exercice 2773. Centrale MP

1. Démontrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.\\
2. Démontrer qu'il existe une fonction $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ telle que \[ \forall x\in[-1,1],\quad \varphi(x)=1 \] et \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad |x|\geqslant 2 \Longrightarrow \varphi(x)=0. \]

1. Montrer que $f$ est impaire et que la restriction de $f$ à $\R_+^{\ast}$ est de classe $C^{\infty}$. On restreint donc l'étude de $f$ à $0$ ou même $0^+$.\\
2. Si $\alpha \leqslant 0$, montrer que $f$ n'a pas de limite en $0^+$.\\
3. Si $\alpha >0$, montrer que $f$ est continue en $0$.\\
4. Si $\alpha \in ]0,1]$, montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.\\
5. Si $\alpha >1$, montrer que $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=0$.\\
6. Si $\alpha \in ]1,2]$, montrer que $f'$ n'a pas de limite en $0^+$.\\
7. Si $\alpha >2$, montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.

1. Montrer que $f$ est $1$-périodique.\\
2. Montrer qu'il existe une fonction $g:\R\to\R$ de classe $C^{\infty}$ telle que $\forall x\in[0,1],\; f(x)=g(x)$. En déduire que $f_{\mid[0,1]}$ est de classe $C^{\infty}$.\\
3. Calculer $f'_d(0)$, $f''_d(0)$, $f^{(3)}_d(0)$, $f'_g(1)$, $f''_g(1)$, $f^{(3)}_g(1)$ et tracer le graphe de $f$ sur $\R$.\\
4. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ mais n'est pas de classe $C^3$.\\
5. Montrer que $f'$ est $1$-périodique non constante.\\
6. En déduire que $f'$ n'a pas de limite en $+\infty$.\\
7. Montrer que $h(x)=\begin{cases}x^2f\!\parenthese{\Frac1x}&\mathrm{si}\;x\neq 0,\\0&\mathrm{sinon}\end{cases}$ est dérivable sur $\R$, de dérivée discontinue en $0$.

1. Montrer que si $f^S\geqslant 0$, alors $f$ est croissante.\\ On commencera par le cas $f^S\geqslant \alpha>0$.\\
2. Montrer que si $f^S$ est continue en $a\in I$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=f^S(a)$