Théorèmes de dérivation (Rolle, accroissements finis)

Exercice 2238. Théorème de Gaston Darboux.\\ Le but de l'exercice est de prouver un résultat dû à Darboux : soit \[ I=]a,b[ \] un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $I$, à valeurs réelles et dérivable sur $I$, alors $f'(I)$ est un intervalle.\\ Soit donc $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $I$ dérivable, $X,Y$ deux éléments de $f'(I)$ tels que \[ X < Y, \] $x$ et $y$ dans $I$ tels que \[ X=f'(x) \quad \mathrm{et} \quad Y=f'(y), \] et $Z$ dans $\mathbb{R}$ tel que \[ X < Z < Y. \]
  1. Montrer qu'il existe $h$ tel que \[ \Frac{f(x+h)-f(x)}{h} < Z < \Frac{f(y+h)-f(y)}{h}. \]
  2. Pour un tel $h$, montrer qu'il existe $c$ tel que \[ Z=\Frac{f(c+h)-f(c)}{h}. \]
  3. Montrer enfin qu'il existe $z$ tel que \[ Z=f'(z). \] En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
Exercice 2239. \\
  1. Étudier la suite définie par son premier terme $u_0$ réel et la relation de récurrence : \[ \forall n \in \mathbb{N},\; u_{n+1}=\Frac{u_n+1}{2}. \]
  2. Déterminer les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et telles que : \[ \forall x \in \mathbb{R},\; f\circ f(x)=\Frac{x+1}{2}. \]
Exercice 2240. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction deux fois dérivable telle que $f'(0)=0$.\\ On suppose que, pour tout couple $(a,b)$ de réels distincts, $\Frac{f(b)-f(a)}{b-a}\neq 0$.\\ Calculer $f''(0)$.
Exercice 2241. Soit $I$ un intervalle de $\R$ contenant au moins deux points et $f:I\to\R$ une application dérivable. Montrer que $f'$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. En déduire une fonction n'admettant aucune primitive au sens classique.
Exercice 2242. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ deux fois dérivable. On suppose que $f^2(x) \leqslant a$ et $f'^2(x) + f''(x) \leqslant b$ pour tout réel $x$. Montrer que, pour tout réel $x$, \[ f^2(x) + f'^2(x) \leqslant \max(a,b). \]
Exercice 2243. Soit $f:\R^+\to\R$, deux fois dérivable et telle que $f(x)\to f(0)$ lorsque $x\to +\infty$.\\ Montrer qu'il existe $c\in\R^{+*}$ et $d\in\R^+$ tels que $f'(c)=f''(d)=0$.
Exercice 2244. Règle de l'Hôpital.\\ Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, dérivables sur $]a,b[$. On suppose de plus que la fonction $g'$ ne s'annule jamais sur $]a,b[$.\\
  1. En considérant la fonction \[ \varphi : x \mapsto \parenthese{f(x)-f(a)}-\Frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\parenthese{g(x)-g(a)}, \] montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que \[ \Frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\Frac{f'(c)}{g'(c)}. \]
  2. On suppose que $f(a)=g(a)=0$ et que \[ \lim_{x \to a}\Frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell \in \mathbb{R}. \]
    1. Justifier que : \[ \forall \varepsilon > 0,\; \exists \alpha > 0,\; \forall x \in ]a,a+\alpha],\; \Frac{f'(x)}{g'(x)} \in [\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon]. \]
    2. En déduire que : \[ \lim_{x \to a}\Frac{f(x)}{g(x)}=\ell. \]
Exercice 2245. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, $A$ et $B$ deux points distincts de sa courbe représentative $C$ tels que $B$ est sur la tangente à $C$ en $A$. Montrer qu'il existe un point $M$ de $C$, distinct de $A$, tel que $A$ est sur la tangente à $C$ en $M$.
Exercice 2246. Soit $(a,b)\in\R^2$ tel que $a < b$.\\
  1. Soit $f\in\mathcal{C}^2([a,b],\R)$ vérifiant $f(a)=f(b)=0$. Montrer que \[ \forall x\in[a,b],\;\exists c\in]a,b[,\;f(x)=(x-a)(x-b)\frac{f''(c)}{2}. \]
  2. Soit $f\in\mathcal{C}^3([-1,1],\R)$ telle que $f(-1)=f(0)=f(1)=0$. Montrer que \[ \int_{-1}^1|f(x)|\,dx\leqslant \frac{1}{12}\|f^{(3)}\|_{\infty}. \]
Exercice 2247. \\
  1. Énoncer le théorème de Rolle et le théorème des valeurs intermédiaires.\\
  2. Considérons une fonction $f:[0,2]\to\R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $f(0)=0$, $f(1)=3$ et $f(2)=1$. Démontrer qu'il existe un point de $[0,2]$ en lequel la tangente à la courbe de $f$ est horizontale.\\
  3. Soient $x_1,\dots,x_n$ dans $[0,1]$. On suppose que $f$ est continue sur $[0,1]$. Démontrer qu'il existe $x_0$ dans $[0,1]$ tel que \[ f(x_0)=\frac{1}{n}\parenthese{f(x_1)+\dots+f(x_n)}. \]
Exercice 2248. Par commodité de notation, on désigne par $(t,u)$ l’intervalle $[t,u]$ si $t \leqslant u$, l’intervalle $[u,t]$ si $u < t$.\\ Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$ une application dérivable sur $I$. On veut montrer que $f'$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, c’est-à-dire que $f'(I)$ est un intervalle.\\ On se donne $(a,b)\in I^2$ tel que $a < b$ et $y\in(f'(a),f'(b))$. Il s’agit donc de montrer qu’il existe $c\in[a,b]$ tel que $f'(c)=y$.\\ On propose deux méthodes pour obtenir ce résultat.\\
  1. On considère les deux applications \[ \varphi:[a,b]\to\mathbb{R},\quad \varphi(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad si\ x\neq a,\quad \varphi(a)=f'(a), \] \[ \psi:[a,b]\to\mathbb{R},\quad \psi(x)=\frac{f(b)-f(x)}{b-x}\quad si\ x\neq b,\quad \psi(b)=f'(b). \] Montrer que $y\in \varphi([a,b])\cup\psi([a,b])$. En déduire l’existence de $c\in[a,b]$ tel que $y=f'(c)$.\\
  2. Soit $g:I\to\mathbb{R}$ une application vérifiant $g'(a)\geqslant 0$ et $g'(b)\leqslant 0$. Montrer l’existence de $c\in[a,b]$ tel que $g'(c)=0$.\\ En déduire qu’il existe $c\in[a,b]$ tel que $f'(c)=y$.
Exercice 2249. Soient $a,b\in\mathbb{R}$, $a < b$, et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ avec $n\geqslant 2$.\\ On suppose qu’il existe des réels $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ tels que \[ a\leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_n\leqslant b \] et \[ \forall i\in\{1,\dots,n\},\quad f(x_i)=0. \]
  1. Montrer \[ \forall x\in[a,b],\exists u\in[a,b],\quad f(x)=\frac{f^{(n)}(u)}{n!}\prod_{i=1}^n(x-x_i). \]
  2. Soit \[ M=\sup_{t\in[a,b]}|f^{(n)}(t)|. \] Montrer \[ \forall x\in[a,b],\quad |f(x)|\leqslant \frac{M}{n!}\prod_{i=1}^n|x-x_i|. \]
  3. Montrer \[ \forall i\in\{1,\dots,n\},\quad |f'(x_i)|\leqslant \frac{M}{n!}\prod_{j\neq i}|x_i-x_j|. \]
  4. Plus généralement, montrer \[ \forall x\in[a,b],\quad |f'(x)|\leqslant \frac{M}{n!}\sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}|x-x_j|. \] Que dire si $n=2$, $a=x_1$ et $b=x_2$ ?
Exercice 2250. Soit $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ de classe $C^\infty$ avec \[ f(0) > 0 \quad \text{et} \quad f'(0) > 0. \\ \] On suppose que la limite de $f$ en $+\infty$ est nulle. \\
  1. Montrer qu'il existe $x_1 > 0$ tel que $f'(x_1)=0$. \\
  2. Montrer qu'il existe une suite strictement croissante $(x_n)_{n\geqslant1}$ telle que pour tout $n\geqslant1$ on ait \[ f^{(n)}(x_n)=0. \]
Exercice 2251. Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ continues, de classe $C^2$ sur $]0,1[$, telles que, pour tout $x\in]0,1[$, \[ |f''(x)|\leqslant1. \] Pour $f\in E$, on note \[ A(f)=f(0)-2f\Bigl(\Frac12\Bigr)+f(1). \]
  1. Montrer que $A$ est bornée sur $E$ et déterminer \[ \sup_{f\in E}A(f)=M. \]
  2. Résoudre \[ A(f)=M \] dans $E$.
Exercice 2252. Soit $E=C^\infty(\mathbb{R}_+^*,\mathbb{R})$. Pour $f\in E$ on note $\Delta f\in E$ l'application définie pour tout $x > 0$ par \[ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x). \]
  1. Soit $f\in E$. Montrer que pour tout $x > 0$ et tout $n\in\mathbb{N}^*$, il existe $\theta\in]0,1[$ tel que \[ \Delta^n f(x)=f^{(n)}(x+n\theta). \]
  2. En déduire l'ensemble des réels $\alpha$ tels que, pour tout $n\geqslant1$, \[ n^\alpha \in \mathbb{N}. \]
Exercice 2253. Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^4$ telle que \[ f(0)=f'(0)=f(1)=f'(1)=0. \] Montrer que pour tout $x\in[0,1]$ il existe $\xi\in]0,1[$ tel que \[ f(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{24}x^2(1-x)^2. \]
Exercice 2254. Soient $n \geqslant 2$ et $a,b$ deux réels.\\ On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ de la forme \[ f(x)=x^n+ax+b \]
  1. Montrer que $f$ a au plus $3$ racines réelles différentes.\\
  2. Donner un exemple avec $3$ racines réelles différentes.\\
  3. Montrer que, si de plus $n$ est pair, $f$ a au plus $2$ racines réelles différentes.
Exercice 2255. Soient $\lambda \in \R$, $(a,b) \in \R^{2}$ tels que $0 < a < b$, et $f : [a,b] \to \R$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, telle que \[ f(a)=f(b)=0. \] Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=-\lambda \Frac{f(c)}{c}$.
Exercice 2256. Soient $n \in \N^{*}$ et $a_{1},\ldots,a_{n} \in \R$ tels que $\Sum_{k=1}^{n} a_{k}=0$. \\ Montrer que l'équation $\Sum_{k=1}^{n} k a_{k} x^{k-1}=0$ admet au moins une solution $x \in ]0,1[$.
Exercice 2257. Soit $n \in \N$ et $f : I \to \R$ une application de classe $C^{n}$ s'annulant en $n+1$ points distincts de $I$.\\
  1. Montrer que la dérivée $n$-ième de $f$ s'annule au moins une fois sur $I$.\\
  2. Soit $\alpha$ un réel. Montrer que la dérivée $(n-1)$-ième de $f' + \alpha f$ s'annule au moins une fois sur $I$.
Exercice 2258. Soit $f : \R \to \R$ une fonction dérivable.\\ Montrer que\\ \[ \forall x > 0,\;\exists c > 0,\; f(x)-f(-x)=x\,(f'(c)+f'(-c)). \]
Exercice 2259. Soit $n \in \N$ et soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $n$.\\ Montrer que $P$ admet au plus $n$ racines réelles distinctes.
Exercice 2260. Soit $f : [-1,1] \to \R$ de classe $C^{1}$ sur $[-1,1]$, deux fois dérivable sur $]-1,1[$, telle que \[ f(-1)=-1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=1. \] Montrer qu'il existe $c \in ]-1,1[$ tel que $f''(c)=0$.
Exercice 2261. Soit $f : [a,b] \to \R$ de classe $C^{2}$ vérifiant $f(a)=f'(a)$ et $f(b)=f'(b)$.\\ Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=f''(c)$.
Exercice 2262. Soient $(a,b) \in \R^{2}$ tels que $a < b$, et $f : [a,b] \to \R$ de classe $C^{1}$ sur $[a,b]$, deux fois dérivable sur $]a,b[$, telle que \[ f(a)=f(b)=0,\quad f'(a)=f'(b)=0. \] Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f''(c)=0$.
Exercice 2263. Soit $f : [0,1] \to \R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)\, f'(1) < 0$.\\
  1. Montrer que $f'$ s'annule sur $]0,1[$.\\
  2. Que se passe-t-il si $f$ est seulement dérivable sur $[0,1]$ ?
Exercice 2264. Soit $a > 0$ et $f : [0,a] \to \R$ une fonction dérivable telle que\\ $f(0)=0$, $f(a)=0$ et $f'(0)=0$.\\
  1. Montrer que la dérivée de $x \mapsto f(x)/x$ s'annule sur $]0,a[$.\\
  2. En déduire qu'il existe un point autre que l'origine en lequel la tangente à $f$ passe par l'origine.
Exercice 2265. Soient $n \in \N^*$, $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f:[a,b]\to\R$ une fonction $n$ fois dérivable vérifiant :\\ $f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0=f(b)$.\\ Montrer que $f^{(n)}$ s’annule au moins une fois sur $[a,b]$.
Exercice 2266. \\
  1. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ avec $f'(a) < 0 < f'(b)$.\\ Montrer que $f'$ s'annule.\\
  2. Montrer qu'une dérivée vérifie toujours le théorème des valeurs intermédiaires : si $f : I \to \R$ est une fonction dérivable, alors $f'(I)$ est un intervalle.
Exercice 2267. Soit $f$ dérivable sur $]0,+\infty[$ avec $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 2$.\\ Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \Frac{f(x)}{x} = 2$.
Exercice 2268. Soit $P(X)$ un polynôme à coefficients réels.\\
  1. Montrer que l’équation $P(x)=\mathrm e^{x}$ admet un nombre fini de solutions.\\
  2. Montrer que l’équation $P(x)=\cos x$ admet un nombre fini de solutions lorsque le polynôme $P(X)$ n’est pas constant.
Exercice 2269. Soient $n \in \N$, $(a_{0},\ldots,a_{n}) \in \R^{n+1}\setminus\{(0,\ldots,0)\}$ et $b_{0},\ldots,b_{n} \in \R$ deux à deux distincts. On définit \[ f : \R \to \R,\quad f(x)=\Sum_{k=0}^{n} a_{k} e^{\,b_{k}x}. \] Montrer que $f$ s'annule en au plus $n$ réels.
Exercice 2270. Soit $f : \R \to \R$ une fonction dérivable telle que $f(0)= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.\\ Montrer que la dérivée s'annule sur $]0,+\infty[$.
Exercice 2271. Soit $f : [0,1] \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(0)=f(1)=0$ et $f'' \geqslant f$. \\ Montrer que $f$ est négative.
Exercice 2272. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[1,2]$ avec $f(1)=f(2)=0$.\\ Montrer qu'il existe une tangente à la courbe passant par l'origine.
Exercice 2273. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ telle que \\ \[ f(x)^2 + (1 + f'(x))^2 \leqslant 1. \] Montrer que $f = 0$.
Exercice 2274. Soit $f$ : $I$ $\to$ $\R$ dérivable en $a \in I$. On suppose que $a$ n'est pas sur le bord de $I$. Montrer que si $a$ est un maximum local de $f$, alors $f'(a) = 0$. La réciproque est-elle vraie ? Montrer que si f est deux fois dérivable en a, avec $f'(a) = 0$ et $f''(a) < 0$ alors a est un maximum local.
Exercice 2275. Soit $f$ une fonction $C^1$ définie sur $\mathbb{R}$. On suppose qu'il existe $M \geqslant 0$ tel que \[ \forall x \in \mathbb{R},\ |f'(x)| \leqslant M|f(x)| \] Montrer que $f$ est identiquement nulle.
Exercice 2276. Soit $I$ un intervalle et $f:I\to\mathbb{R}$ une fonction dérivable. \\ Montrer que \[ f'(I) \] est un intervalle.
Exercice 2277. Soit $a,b$ deux réels. \\ Trouver les fonctions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dérivables telles que, si \[ x\neq y, \] \[ f'(ax+by)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}. \]
Exercice 2278. Soit $f:I\to\R$, $g:I\to\R$ et $a\in I$.\\ On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et dérivables sur $I\setminus\{a\}$.\\ On suppose que $f(a)=g(a)=0$ et que $\forall x\in I\setminus\{a\},\; g(x)\neq 0$ et $g'(x)\neq 0$.\\ Montrer que si $\Frac{f'(x)}{g'(x)}\to l$ quand $x\to a$, alors $\Frac{f(x)}{g(x)}\to l$ quand $x\to a$.
Exercice 2279. Soit $n \in \N^*$ et $f_n : [0,1] \to \R$ définie par, $\forall x \in [0,1]$, $f_n(x)=x^n\sin(\pi x)$.\\
  1. Sans calculer $f'_n$, montrer qu’il existe $\alpha_n \in ]0,1[$ tel que $f'_n(\alpha_n)=0$.\\
  2. Calculer $f_n(\alpha_n)$ en fonction de $\alpha_n$, de $n$ et de $\cos(\pi \alpha_n)$.\\
  3. En déduire la limite de $f_n(\alpha_n)$ lorsque $n$ tend vers l’infini.
Exercice 2280. Montrer que la fonction sinus n'est pas la restriction à $]a,b[$ d'une fraction rationnelle.
Exercice 2281. Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est dite négligeable si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une suite $(I_n)$ d'intervalles ouverts telle que \[ A\subset \bigcup_{n\in \mathbb{N}} I_n \quad \text{et} \quad \Sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(I_n) < \varepsilon \] où $\mu(I)$ désigne la longueur d'un intervalle $I$. \\
  1. Montrer qu'une réunion dénombrable de parties négligeables est négligeable. \\
  2. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$. \\ On note $C$ l'ensemble des zéros de $f'$. \\ Montrer que \[ f(C) \] est négligeable. \\
Exercice 2282. Soit $f : [a,b] \to \R$ continue sur $[a,b]$ et dérivable deux fois sur $]a,b[$ telle que $f(a)=f(b)=0$. Soit $c \in ]a,b[$ fixé.\\ On considère sur $[a,b]$ la fonction $\varphi$ définie par $\varphi(x)=\Frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}f(c)$.\\ À l'aide du théorème de Rolle, montrer qu'il existe $\gamma \in ]a,b[$ tel que $f(c)=\Frac{(c-a)(c-b)}{2}f''(\gamma)$.
Exercice 2283. Soient $a,b \in \R$ tels que $a < b$. Soient $f,g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$.\\
  1. Le théorème de Rolle généralisé. Montrer que :\\ $\exists c \in ]a,b[,\; f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a))$.\\
  2. Application : la règle de l’Hospital. Supposons qu’il existe $d \in ]a,b[$ tel que $\forall x \in ]a,d[,\, f(x)\neq f(a)$ et qu’il existe un réel $\ell$ tel que $\Frac{f'(x)}{g'(x)} \xrightarrow[x\to a]{} \ell$.\\ Montrer que $\Frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} \xrightarrow[x\to a]{} \ell$.
Exercice 2284. Soit $y=(x-a)^n(x-b)^n$ où $n \in \N^\star$ et $a,b$ sont des réels distincts. On pose $z=y^{(n)}$.\\
  1. Montrer que $z$ est de degré $n$.\\
  2. Montrer que $z$ possède $n$ racines distinctes dans l'intervalle $]a,b[$.\\
  3. Le polynôme $z$ possède-t-il d'autres racines dans $\C$ ?
Exercice 2285. Soit $f$ une fonction définie sur $[a,+\infty[$, à valeurs réelles, dérivable sur $]a,+\infty[$, telle que \[ \lim_{x \to +\infty} f(x)=f(a). \] Montrer qu'il existe $c > a$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice 2286. Le but de cet exercice est de retrouver certains résultats sur les polynômes à coefficients réels en utilisant seulement le théorème de Rolle. Soit $P \in \R[X]$ un polynôme non constant.\\
  1. Rappeler la définition de l'ordre d'une racine de $P$ et du nombre de racines comptées avec multiplicité.\\ On note $k$ le nombre de racines réelles de $P$ comptées avec multiplicité et $n \in \N^\star$ le degré de $P$.\\
  2. Soit $a$ racine de $P$ d'ordre $m \in \N^\star$. Montrer que $a$ est racine de $P'$ d'ordre $m-1$.\\
  3. Montrer que $P'$ possède au moins $k-1$ racines réelles comptées avec multiplicité.\\
  4. Montrer que $k \leqslant n$.\\ Supposer par l'absurde que $k > n$ et utiliser la question précédente.\\
  5. Supposons $k=n$. Montrer que $P'$ possède exactement $n-1$ racines réelles comptées avec multiplicité.
Exercice 2287. Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $C^2$, on suppose que :\\ $\displaystyle \lim_{+\infty} f = \ell \in \R$ et $\displaystyle \lim_{+\infty} f'' = 0$.\\ Montrer que $\displaystyle \lim_{+\infty} f' = 0$.\\ Aboutir à la même conclusion en supposant seulement $f''$ bornée.
Exercice 2288. Soit $f : [a,b] \to \R$ une fonction vérifiant $\mathrm{HAF}$ et $\lambda \in \R$ ; si $f(a)=f(b)=0$, montrer que $f' + \lambda f$ s'annule en un point de $]a,b[$.
Exercice 2289. Soit $f : [0,1] \to \R$ dérivable vérifiant : $f'(0)=1$ et $f'(1)=0$ ; montrer qu'il existe $x \in ]0,1[$ vérifiant : $f'(x)=x$.
Exercice 2290. Soit $f : [0,1] \to \R$ vérifiant $\mathrm{HAF}$, telle que : $f(0)=f(1)=0$, montrer qu'il existe $x \in ]0,1[$ vérifiant : $f'(x)=f(x)$.\\ Considérer $g : x \mapsto f(x)e^{-x}$.
Exercice 2291. Soit $f : \R_+ \to \R$ une fonction deux fois dérivable et bornée.\\
  1. On suppose que $f'(x) \xrightarrow[x\to+\infty]{} \ell_1 \in \R$. Montrer que $\ell_1 = 0$.\\
  2. On suppose que $f''(x) \xrightarrow[x\to+\infty]{} \ell_2 \in \R$. Montrer que $\ell_2 = 0$ et que $f'(x) \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0$.
Exercice 2292. Montrer qu'il existe une unique fonction $f:\R\to\R$ telle que pour tout $x\in\R$,\\ \[ f(x)^3+f(x)-x=0. \] En donner un équivalent en $0$ et en $+\infty$.
Exercice 2293. Soit $f : ]a,b[ \to \R$ dérivable $(a,b \in \overline{\R})$ telle que $f(a^+)$ et $f(b^-)$ existent dans $\R$ et soient égales ; montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ vérifiant $f'(c)=0$.
Exercice 2294. Soit $n \in \N$ et soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $n$.\\ Montrer que $P$ admet au plus $n$ racines réelles distinctes
Exercice 2295. Montrer que l'application $f:\R \to \R$ définie par $f(x)=x+\sin x$ est strictement croissante
Exercice 2296. Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$, à valeurs réelles.\\ Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que\\ \[ \bigl(f(b)-f(a)\bigr)g'(c)=\bigl(g(b)-g(a)\bigr)f'(c). \]
Exercice 2297. Pour $n \in \N$, on pose $f_n(x)=\Sum_{k=0}^{n}\Frac{x^k}{k!}$.\\ Montrer que si $n$ est pair, alors $\forall x \in \R,\; f_n(x) > 0$, et si $n$ est impair, alors $f_n$ réalise une bijection strictement croissante de $\R$ sur $\R$.
Exercice 2298. Soit $a \in \R$ et $f:[a,+\infty[\to\R$ une fonction dérivable. Soit $l \in \R_+^{\ast}$.\\ Prouver les implications suivantes :\\
  1. Si $f'(x)\to +\infty$ lorsque $x\to +\infty$, alors $f(x)\to +\infty$ lorsque $x\to +\infty$.\\
  2. Si $f'(x)\to 0$ lorsque $x\to +\infty$, alors $\Frac{f(x)}{x}\to 0$ lorsque $x\to +\infty$.\\
  3. Si $f'(x)\to l$ lorsque $x\to +\infty$, alors $\Frac{f(x)}{x}\to l$ et $f(x)\to +\infty$ lorsque $x\to +\infty$.
Exercice 2299. Trouver une fonction $f$ telle que $f(x)\to 0$ lorsque $x\to +\infty$ mais $f'(x)\not\to 0$ lorsque $x\to +\infty$.\\ Peut-on trouver une telle fonction $f$ positive décroissante ?
Exercice 2300. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction vérifiant HAF.\\ On suppose qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$ et que $f$ admet une dérivée seconde en $c$ strictement positive.\\ Montrer qu'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que la restriction de $f$ à $I$ admette un minimum strict en $c$.
Exercice 2301.
  1. On rappelle l'énoncé de l'égalité généralisée des accroissements finis.\\ Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$ et à valeurs réelles, alors il existe $c \in ]a,b[$ tel que :\\ $[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)$.\\
  2. Démontrer la règle de L’Hôpital, énoncée ci-dessous.\\ Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ à valeurs réelles et soit $a \in I$.\\ On suppose que $f(a)=g(a)=0$ et que $f$ et $g$ sont dérivables en tout point de $I\setminus\{a\}$.\\ On suppose que $g'$ ne s’annule pas sur $I\setminus\{a\}$ et que $\Frac{f'}{g'} \to \ell$ quand $x \to a$.\\ Alors $\Frac{f}{g} \to \ell$ quand $x \to a$.\\ Le résultat est valide que $\ell$ soit une limite finie ou infinie.\\
  3. En déduire que : $x-\sin(x)\underset{0}{\sim}\Frac{x^3}{6}$, $x-\arctan(x)\underset{0}{\sim}\Frac{x^3}{3}$ et $x-\ln(1+x)\underset{0}{\sim}\Frac{x^2}{2}$.
Exercice 2302. Soit $f:\R_+\to\R_+$ définie par $f(x)=xe^x$.\\ Montrer que $f$ est bijective croissante et déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$ et de $f^{-1}$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Exercice 2303. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ ; on suppose qu'il existe deux réels $C > 0$ et $\alpha > 1$ tels que :\\ $\forall x, y \in I \quad \abs{f(x) - f(y)} \leqslant C\abs{x-y}^{\alpha}$.\\ Prouver que $f$ est constante.
Exercice 2304. Soit $f : \R \to \R$ dérivable telle que\\ \[ \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty \quad \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty. \]\\ Montrer qu'il existe $c \in \R$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice 2305. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$.
Exercice 2306. Soit $f:\R\to\R$ une fonction dérivable bornée possédant au moins $n$ zéros réels distincts. Soit $\alpha \in \R_+^*$. Le but est de montrer que $\alpha f+f'$ a au moins $n$ zéros réels distincts.\\ Pour cela, on note la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)e^{\alpha x}$.\\
  1. Montrer que $g'$ s’annule au moins $n-1$ fois.\\
  2. Déterminer $\lim_{x\to-\infty} g$.\\
  3. En déduire l’existence d’un autre zéro pour $g'$, distinct des précédents.\\
  4. Conclure.
Exercice 2307. Montrer que : $\forall t \in \left[-\Frac{1}{2},\Frac{1}{2}\right],\;|\ln(1+t)-t|\leqslant 2t^2$.
Exercice 2308. Soit $a \in \R$ et $f : [a,+\infty[ \to \R$ une fonction dérivable. Soit $l \in \R_+^*$. Prouver les implications suivantes :\\
  1. $f'(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty \Rightarrow f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty$.\\
  2. $f'(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}0 \Rightarrow \Frac{f(x)}{x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}0$.\\
  3. $f'(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}l \Rightarrow \parenthese{\Frac{f(x)}{x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}l \;\mathrm{et}\; f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty}$.
Exercice 2309. Soit $f : [a,b] \to \R$ une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$.\\ On suppose qu’il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$ et que $f$ admet une dérivée seconde en $c$ strictement positive.\\ Montrer qu’il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que la restriction de $f$ à $I$ admette un minimum strict en $c$.