Exercices divers

Exercice 755. Montrer qu'il n'existe pas d'application $f : \Z \to \Z$ telle que \[ \forall x \in \Z,\; (f \circ f)(x) = x+1. \]
Exercice 756. Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ l'application définie par \[ f(x) = \begin{cases} x \quad si \;\; x \in [0,1] \cap \Q \\ 1-x \;\; sinon \end{cases} \] Montrer que $f \circ f = Id_{[0,1]}$.

Exercice 757. Ensembles dénombrables

\\
  1. Montrer que $\Z$ est dénombrable. \\
  2. Montrer que $\N \times \N$ est dénombrable. \\
  3. Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $\N^k$ est dénombrable. \\ On admettra qu'un ensemble $E$ est dénombrable si et seulement si il est infini et il existe une injection de $E$ dans $\N$.
Exercice 758. Soient $A$, $B$, $C$, $D$ des ensembles. \\ Construire une bijection entre $C^{A \times B}$ et $(C^{A})^{B}$ ainsi qu'une injection de $C^{A} \times D^{B}$ dans $(C \times D)^{A \times B}$.

Exercice 759. X-ESPCI

\\ Déterminer toutes les applications $f : \N^* \to \N$ telles que $f+f\circ f + f \circ f \circ f = 3Id_{\N^*}$.

Exercice 760. Ensembles dénombrables n°2

Montrer que toute partie infinie de $\N$ est dénombrable.

Exercice 761. Lemme de Knaster-Tarski

\\ Soit $E$ un ensemble et $f : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)$ croissante pour l'inclusion. \\ Montrer que $f$ admet un point fixe.

Exercice 762. Théorème de Cantor

Soit $E$ un ensemble. Montrer qu'il n'existe pas de surjection de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$.

Exercice 763. Théorème de Cantor-Bernstein

\\ Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Montrer que s'il existe une injection $f$ : $E \to F$ et une injection $g$ : $F \to E$, alors il existe une bijection de $E$ dans $F$.
Exercice 764. Soit $E$ un ensemble infini et $F$ un sous-ensemble de $E$, infini dénombrable, tel que $E \setminus F$ est infini. Montrer qu’il existe une bijection de $E$ sur $E \setminus F$.
Exercice 765. Soit $n \in \N^{*}$ et $X_1 , \ldots , X_n$ des ensembles. \\ Soit $k \in \N$. On note $P_k$ l’ensemble des parties de cardinal $k$ de $\{ 1 , \ldots , n \}$. \\
  1. Si $k \leqslant \Frac{n+1}{2}$, montrer que \\ \[ \bigcap_{H \in P_k} \;\; \bigcup_{i \in H} X_i \;\subset\; \bigcup_{H \in P_k} \;\; \bigcap_{i \in H} X_i . \] \\
  2. Si $k \geqslant \Frac{n+1}{2}$, montrer que \\ \[ \bigcup_{H \in P_k} \;\; \bigcap_{i \in H} X_i \;\subset\; \bigcap_{H \in P_k} \;\; \bigcup_{i \in H} X_i . \]