Exercices divers

Exercice 1021. Soit $E$ un ensemble infini et $F$ un sous-ensemble de $E$, infini dénombrable, tel que $E \setminus F$ est infini. Montrer qu’il existe une bijection de $E$ sur $E \setminus F$.

Exercice 1022. Théorème de Cantor-Bernstein

\\ Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Montrer que s'il existe une injection $f$ : $E \to F$ et une injection $g$ : $F \to E$, alors il existe une bijection de $E$ dans $F$.
Exercice 1023. Soit $n \in \N^{*}$ et $X_1 , \ldots , X_n$ des ensembles. \\ Soit $k \in \N$. On note $P_k$ l’ensemble des parties de cardinal $k$ de $\{ 1 , \ldots , n \}$. \\
  1. Si $k \leqslant \Frac{n+1}{2}$, montrer que \\ \[ \bigcap_{H \in P_k} \;\; \bigcup_{i \in H} X_i \;\subset\; \bigcup_{H \in P_k} \;\; \bigcap_{i \in H} X_i . \] \\
  2. Si $k \geqslant \Frac{n+1}{2}$, montrer que \\ \[ \bigcup_{H \in P_k} \;\; \bigcap_{i \in H} X_i \;\subset\; \bigcap_{H \in P_k} \;\; \bigcup_{i \in H} X_i . \]

Exercice 1024. Ensembles dénombrables n°2

Montrer que toute partie infinie de $\N$ est dénombrable.

Exercice 1025. Lemme de Knaster-Tarski

\\ Soit $E$ un ensemble et $f : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)$ croissante pour l'inclusion. \\ Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice 1026. Montrer qu'il n'existe pas d'application $f : \Z \to \Z$ telle que \[ \forall x \in \Z,\; (f \circ f)(x) = x+1. \]

Exercice 1027. Théorème de Cantor

Soit $E$ un ensemble. Montrer qu'il n'existe pas de surjection de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$.
Exercice 1028. Soient $A$, $B$, $C$, $D$ des ensembles. \\ Construire une bijection entre $C^{A \times B}$ et $(C^{A})^{B}$ ainsi qu'une injection de $C^{A} \times D^{B}$ dans $(C \times D)^{A \times B}$.
Exercice 1029. \\
  1. Démontrer qu’une réunion finie ou dénombrable d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.\\
  2. Soit $E$ un ensemble dénombrable en bijection avec une partie de $\N$. Soit $B$ un ensemble dénombrable disjoint de $E$. Déterminer une bijection entre $E$ et $B$.
Exercice 1030. \\
  1. Démontrer qu’une réunion finie ou dénombrable d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.\\
  2. Soit $E$ un ensemble dénombrable en bijection avec une partie de $\mathbb{N}$. Soit $B$ un ensemble dénombrable disjoint de $E$. Déterminer une bijection entre $E$ et $B$.

Exercice 1031. X-ESPCI

\\ Déterminer toutes les applications $f : \N^* \to \N$ telles que $f+f\circ f + f \circ f \circ f = 3Id_{\N^*}$.
Exercice 1032. Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ l'application définie par \[ f(x) = \begin{cases} x \quad si \;\; x \in [0,1] \cap \Q \\ 1-x \;\; sinon \end{cases} \] Montrer que $f \circ f = Id_{[0,1]}$.

Exercice 1033. Ensembles dénombrables

\\
  1. Montrer que $\Z$ est dénombrable. \\
  2. Montrer que $\N \times \N$ est dénombrable. \\
  3. Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $\N^k$ est dénombrable. \\ On admettra qu'un ensemble $E$ est dénombrable si et seulement si il est infini et il existe une injection de $E$ dans $\N$.
Exercice 1034. \\
  1. On se place dans le cadre de la théorie des ensembles, pour laquelle tout objet mathématique est un ensemble. \\ On admet l'axiome suivant : Axiome de fondation : pour tout ensemble $x$ non vide, il existe $y \in x$ tel que $y \cap x = \varnothing$. \\ Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, il n'existe aucune suite d'ensembles $x_{1},\dots,x_{n}$ telle que \\ $x_{1} \in x_{2} \in \dots \in x_{n} \in x_{1}$. \\
  2. On pose $0=\varnothing$. Pour tout ensemble $a$, on note $s(a)=a \cup \{a\}$. \\ On dira qu'un ensemble $a$ est clos par successeur si et seulement si $\forall x \in a$, $s(x) \in a$. \\ On admet l'axiome de l'infini : il existe un ensemble $M$ dont $0$ est un élément et qui est clos par successeur. \\ On note $N$ l'intersection des parties de $M$ contenant $0$ et closes par successeur. \\ Montrer que $N$ satisfait les axiomes de Peano : \\
    • $N$ est muni d'un élément particulier noté $0$ et d'une application successeur notée $s$ de $N$ dans $N$. \\
    • $0$ n'est le successeur d'aucun élément de $N$. \\
    • $s$ est injective. \\
    • Pour toute partie $F$ de $N$, si $0 \in F$ et $s(F) \subset F$, alors $F=N$. \\
Exercice 1035. Pour tout couple $(n,p) \in \N^* \times \N$, on note $E_{n,p}$ le nombre de solutions de l’équation \[ \max(|x_1|,\dots,|x_n|)=p \] d’inconnue $(x_1,\dots,x_n) \in \Z^n$. \\
  1. Calculer $E_{1,1}$ et $E_{2,2}$. \\
  2. On note $S_{n,p}$ le nombre de solutions de l’inéquation \[ \max(|x_1|,\dots,|x_n|)\leqslant p \] d’inconnue $(x_1,\dots,x_n)\in\Z^n$. Exprimer $E_{n,p}$ en fonction de certains des $S_{n,k}$. \\
  3. Montrer l’égalité \[ E_{n,1}=3^n-1 \]
  4. Plus généralement, prouver l’égalité \[ E_{n,p}=(2p+1)^n-(2p-1)^n \] si $p \geqslant 1$. \\
  5. En déduire qu’il existe une constante $C$ telle que \[ E_{n,n}\sim C(2n)^n \]
  6. Compter le nombre de solutions du système \[ \max(|x_1|,\dots,|x_n|)=p \quad \text{et} \quad \min(|x_1|,\dots,|x_n|)=p-1 \]
Exercice 1036. Soit un ensemble $E$ de cardinal $n$ et $i \in \llbracket 0,n \rrbracket$. On note $\Omega_i$ l’ensemble des couples $(A,B)$ de parties de $E$ telles que \[ |B|=i \quad \text{et} \quad A \cup B=E \] Déterminer le cardinal de $\Omega_i$.