Fonctions trigonométriques

Exercice 1246.
  1. Pour $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}^*$, on pose \[ P_n(x)=\Prod_{k=1}^{n}\cos\parenthese{\Frac{x}{2^k}}. \] Montrer que pour $x \neq 0$, \[ \lim_{n\to+\infty}P_n(x)=\Frac{\sin x}{x}. \]
  2. Rechercher les fonctions $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continues en $0$ telles que \[ \forall x \in \mathbb{R},\; f(2x)=f(x)\cos x. \]
Exercice 1247. Montrer que \[ \forall x \in \left]0,\ps{2}\right[, \;\; \parenthese{\Frac{\sin{x}}{x}}^{3} > \cos{x} \]
Exercice 1248. Montrer que $\forall (x,y) \in \R^2, 0 < x < y \leqslant \ps{2}$ \[ \Frac{x}{y} < \Frac{\sin{x}}{\sin{y}} < \ps{2} \Frac{x}{y} \]

Exercice 1249. Oral X PC

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  1. Montrer que la fonction cosinus admet sur $\R$ un unique point fixe. \\
  2. Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifiant $f \circ f = \cos$.
Exercice 1250. \\
  1. Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $(a_k)_{1 \leqslant k \leqslant n}\in\mathbb{R}^n$. Simplifier l’expression\\ \[ \Frac{1}{2^n}\Sum_{(\varepsilon_k)_{1 \leqslant k \leqslant n}\in\{-1,1\}^n}\cos\left(\Sum_{k=1}^n\varepsilon_k a_k\right). \]
  2. Déterminer les entiers $n\in\mathbb{N}^*$ tels que\\ \[ \integrale{-\pi}{\pi}{\Prod_{k=1}^n\cos(kx)}{x}=0 \]