Probabilités

Exercice 1753. Soit $\Omega = \{1,2,\ldots,n\}$. \\ Déterminer une probabilité sur $\Omega$ telle que la probabilité de l’événement $\{k\}$ soit proportionnelle à $k$.

Exercice 1754. Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Les lancers successifs sont indépendants, et le joueur gagne $1$ euro chaque fois qu'il obtient pile et perd un euro pour chaque face. Le jeu prend fin lorsque le joueur est ruiné ou lorsqu'il a accumulé $N$ euros $(N \geqslant 3$ fixé par avance $)$. \\ On note $u_k$ la probabilité que le joueur soit ruiné lorsqu'il possède $k$ euros au départ du jeu $(0 \leqslant k \leqslant N)$. \\

1. On convient que $u_0 = 1$ et $u_N =0$. Justifier cette convention. \\
2. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$, $u_k = \Frac{1}{2}u_{k+1} + \Frac{1}{2}u_{k-1}$. \\
3. Exprimer $u_k$ en fonction de $k$ et $N$. Interpréter $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} u_k$.

Exercice 1755. Soient $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé. \\ Montrer \\ \[ \max\{0,\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1\}\leqslant \mathbb{P}(A\cap B)\leqslant \min\{\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)\}. \]

Exercice 1756. Une urne contient $8$ boules blanches et $2$ boules noires. \\ On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne. \\ Quelle est la probabilité que la troisième boule tirée soit noire ?

Exercice 1757. \\

1. Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux d’obtenir un "six" ? \\
2. Même question avec deux dés pour obtenir un "double-six".

Exercice 1758. Une urne contient des boules numérotées de $1$ à $10$. On tire, sans remise, trois boules dans cette urne. \\

1. Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros en ordre croissant ? \\
2. Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre strictement croissant. \\
3. Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre croissant au sens large.