Probabilités

Exercice 4325. \\
  1. Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux d’obtenir un "six" ? \\
  2. Même question avec deux dés pour obtenir un "double-six".
Exercice 4326. Une urne contient des boules numérotées de $1$ à $10$. On tire, sans remise, trois boules dans cette urne. \\
  1. Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros en ordre croissant ? \\
  2. Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre strictement croissant. \\
  3. Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre croissant au sens large.
Exercice 4327. Soient $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé. \\ Montrer \\ \[ \max\{0,\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1\}\leqslant \mathbb{P}(A\cap B)\leqslant \min\{\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)\}. \]
Exercice 4328. Une urne contient $8$ boules blanches et $2$ boules noires. \\ On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne. \\ Quelle est la probabilité que la troisième boule tirée soit noire ?
Exercice 4329. Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Les lancers successifs sont indépendants, et le joueur gagne $1$ euro chaque fois qu'il obtient pile et perd un euro pour chaque face. Le jeu prend fin lorsque le joueur est ruiné ou lorsqu'il a accumulé $N$ euros $(N \geqslant 3$ fixé par avance $)$. \\ On note $u_k$ la probabilité que le joueur soit ruiné lorsqu'il possède $k$ euros au départ du jeu $(0 \leqslant k \leqslant N)$. \\
  1. On convient que $u_0 = 1$ et $u_N =0$. Justifier cette convention. \\
  2. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$, $u_k = \Frac{1}{2}u_{k+1} + \Frac{1}{2}u_{k-1}$. \\
  3. Exprimer $u_k$ en fonction de $k$ et $N$. Interpréter $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} u_k$.
Exercice 4330. Soit $\Omega = \{1,2,\ldots,n\}$. \\ Déterminer une probabilité sur $\Omega$ telle que la probabilité de l’événement $\{k\}$ soit proportionnelle à $k$.
Exercice 4331. À la suite d'une grande bataille, $75$% des soldats ont perdu un bras, $75$% un oeil et $75$% une jambe.\\ Donner une minoration du pourcentage de soldats ayant perdu simultanément un bras, un oeil et une jambe.
Exercice 4332. En négligeant les années bissextiles, quelle est la probabilité que $n$ personnes aient leur anniversaire à des dates deux à deux distinctes.
Exercice 4333. On lance $m$ dés à six faces non truqués. On relance les dés n’ayant pas obtenu un $6$ de manière identique, jusqu’à ce qu’on ait que des $6$.\\
  1. On fixe un dé. Notons $A_n$ l’événement « ne pas obtenir de $6$ en $n$ lancers de ce dé ». Calculer $\mathbb{P}(A_n)$.\\
  2. Soit l’événement $B_n$ : « obtenir finalement les $m$ six en au plus $n$ lancers ». Déterminer $\mathbb{P}(B_n)$.\\
  3. Calculer $\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(B_n)$. Commenter.
Exercice 4334. On lance $m$ dés à six faces non truqués. On relance les dés n’ayant pas obtenu un $6$ de manière identique, jusqu’à ce qu’on n’ait que des $6$.\\
  1. On fixe un dé. Notons $A_n$ l’événement : "ne pas obtenir de $6$ en $n$ lancers de ce dé". Calculer $\mathbb{P}(A_n)$.\\
  2. Soit $B_n$ l’événement : "obtenir finalement les $m$ six en au plus $n$ lancers". Déterminer $\mathbb{P}(B_n)$.\\
  3. Calculer $\limn \mathbb{P}(B_n)$. Commenter.
Exercice 4335. Considérons une urne contenant $2N$ boules numérotées de $1$ à $2N$, avec $N$ entier impair. On tire $N$ boules sans remise. Notons $S$ la somme des numéros des $N$ boules tirées, et $S'$ la somme des numéros des $N$ boules restantes. Déterminer $\mathbb{P}(S > S')$.
Exercice 4336. Considérons une urne contenant $2N$ boules numérotées de $1$ à $2N$, avec $N$ entier impair. On tire $N$ boules sans remise. Notons $S$ la somme des numéros des $N$ boules tirées, et $S'$ la somme des numéros des $N$ boules restantes. Déterminer $\mathbb{P}(S > S')$.