Probabilités

Exercice 6029. \\
  1. Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux d’obtenir un "six" ? \\
  2. Même question avec deux dés pour obtenir un "double-six".
Exercice 6030. Soient $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé. \\ Montrer \\ \[ \max\{0,\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1\}\leqslant \mathbb{P}(A\cap B)\leqslant \min\{\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)\}. \]
Exercice 6031. Soit $\Omega = \{1,2,\ldots,n\}$. \\ Déterminer une probabilité sur $\Omega$ telle que la probabilité de l’événement $\{k\}$ soit proportionnelle à $k$.
Exercice 6032. Considérons une urne contenant $2N$ boules numérotées de $1$ à $2N$, avec $N$ entier impair. On tire $N$ boules sans remise. Notons $S$ la somme des numéros des $N$ boules tirées, et $S'$ la somme des numéros des $N$ boules restantes. Déterminer $\mathbb{P}(S > S')$.
Exercice 6033. On tire simultanément trois cartes au hasard dans un paquet de $32$ cartes. Quelle est la probabilité de
  1. n'obtenir que des coeurs ? \\
  2. que des as ? \\
  3. deux coeurs et un pique ? \\
On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
Exercice 6034. Une urne contient des boules numérotées de $1$ à $10$. On tire, sans remise, trois boules dans cette urne. \\
  1. Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros en ordre croissant ? \\
  2. Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre strictement croissant. \\
  3. Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre croissant au sens large.
Exercice 6035. Une urne contient $8$ boules blanches et $2$ boules noires. \\ On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne. \\ Quelle est la probabilité que la troisième boule tirée soit noire ?
Exercice 6036. Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Les lancers successifs sont indépendants, et le joueur gagne $1$ euro chaque fois qu'il obtient pile et perd un euro pour chaque face. Le jeu prend fin lorsque le joueur est ruiné ou lorsqu'il a accumulé $N$ euros $(N \geqslant 3$ fixé par avance $)$. \\ On note $u_k$ la probabilité que le joueur soit ruiné lorsqu'il possède $k$ euros au départ du jeu $(0 \leqslant k \leqslant N)$. \\
  1. On convient que $u_0 = 1$ et $u_N =0$. Justifier cette convention. \\
  2. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$, $u_k = \Frac{1}{2}u_{k+1} + \Frac{1}{2}u_{k-1}$. \\
  3. Exprimer $u_k$ en fonction de $k$ et $N$. Interpréter $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} u_k$.
Exercice 6037. À la suite d'une grande bataille, $75$% des soldats ont perdu un bras, $75$% un oeil et $75$% une jambe.\\ Donner une minoration du pourcentage de soldats ayant perdu simultanément un bras, un oeil et une jambe.
Exercice 6038. En négligeant les années bissextiles, quelle est la probabilité que $n$ personnes aient leur anniversaire à des dates deux à deux distinctes.
Exercice 6039. On lance $m$ dés à six faces non truqués. On relance les dés n’ayant pas obtenu un $6$ de manière identique, jusqu’à ce qu’on ait que des $6$.\\
  1. On fixe un dé. Notons $A_n$ l’événement « ne pas obtenir de $6$ en $n$ lancers de ce dé ». Calculer $\mathbb{P}(A_n)$.\\
  2. Soit l’événement $B_n$ : « obtenir finalement les $m$ six en au plus $n$ lancers ». Déterminer $\mathbb{P}(B_n)$.\\
  3. Calculer $\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(B_n)$. Commenter.
Exercice 6040. Vous êtes dans une classe de $30$ élèves. Votre professeur veut parier avec vous $10$ euros qu'au moins deux personnes ont la même date d'anniversaire. Acceptez-vous ?
Exercice 6041. Soient $n\geqslant 2$ et $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$. Soit $j\in\intervalleEntier{2}{n}$.\\ On dit que la permutation bat un record en $j$ si, pour tout $i < j$, on a $\sigma(i) < \sigma(j)$.\\ Déterminer la probabilité $p_j$ de l'événement "$\sigma$ bat un record en $j$".
Exercice 6042. Montrer qu'un singe qui tape indéfiniment au hasard sur le clavier d'une machine à écrire pourra presque sûrement écrire un texte donné.
Exercice 6043. On munit le groupe symétrique $\mathcal{S}_n$ de la probabilité uniforme. Soit $A \subset [1,n]$. On pose $k = |A|$. Calculer $\mathbb{P}(\sigma \in \mathcal{S}_n \mid A = \{\sigma(1), \ldots, \sigma(k)\})$.
Exercice 6044. On jette $3$ fois un dé à $6$ faces, et on note $a,b,c$ les résultats. On note $Q(x)=ax^2+bx+c$. Déterminer la probabilité pour que
  • $Q$ ait deux racines réelles distinctes. \\
  • $Q$ ait une racine réelle double. \\
  • $Q$ n'ait pas de racines réelles. \\
Exercice 6045. Pour organiser une coupe, on organise un tirage au sort qui réunit $n$ équipes de basket-ball de $1$ère division et $n$ équipes de $2$ième division, de sorte que chaque équipe joue un match, et un seul.
  1. Calculer la probabilité $p_n$ que tous les matchs opposent une équipe de $1$ère division à une équipe de $2$ième division. \\
  2. Calculer la probabilité $q_n$ que tous les matchs opposent deux équipes de la même division. \\
  3. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $\dfrac{2^{2n-1}}{n} \leqslant \binom{2n}{n} \leqslant 2^{2n}$. \\
  4. En déduire $\limn p_n$ et $\limn q_n$.
Exercice 6046.
  1. Soient $A$, $B$, $C$ trois événements. Montrer que \[ \mathbb{P}(A \cup B \cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A \cap B)-\mathbb{P}(A \cap C)-\mathbb{P}(B \cap C)+\mathbb{P}(A \cap B \cap C). \]
  2. On dispose de $3$ composants électriques $C_1$, $C_2$ et $C_3$ dont la probabilité de fonctionnement est $p_i$, et de fonctionnement totalement indépendant les uns des autres. Donner la probabilité de fonctionnement du circuit \startletters
  3. a si les composants sont disposés en série. \\
  4. a si les composants sont disposés en parallèle. \\
  5. a si le circuit est mixte : $C_1$ est disposé en série avec le sous-circuit constitué de $C_2$ et $C_3$ en parallèle.
Exercice 6047. On considère $n$ urnes numérotées par un indice $i\in\intervalleEntier{1}{n}$, chacune contenant $j$ boules numérotées de $1$ à $j$. On tire successivement et avec remise une boule : si on obtient au $k$-ième tirage une boule numérotée $i$, alors le $(k+1)$-ième tirage sera effectué dans l'urne $i$.\\ On note $X_k=i$ l'événement "on tire une boule numérotée $i$ au $k$-ième tirage", en posant $X_0=n$.\\
  1. Exprimer $\mathbb{P}(X_{k+1}=i)$ en fonction de $\mathbb{P}(X_k=j)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.\\
  2. On pose \[ W_k= \begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_k=1)\\ \vdots\\ \mathbb{P}(X_k=n) \end{pmatrix}. \] Démontrer que $W_{k+1}=AW_k$. En déduire que la suite $(W_k)$ converge.
Exercice 6048. Soient $n\geqslant 2$, $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble $\Omega=\mathfrak{S}_n$ des permutations de $\llbracket 1,n\rrbracket$.\\
  1. Soit $L_n$ la longueur du cycle de $\sigma_n$ contenant $1$. Déterminer l'espérance de $L_n$. \\
  2. Quelle est la probabilité que $1$ et $2$ soient dans un même cycle de $\sigma_n$ ? \\
  3. On note $c_n(\tau)$ le nombre de cycles d'un élément $\tau\in\mathfrak{S}_n$. Montrer que \[ \mathbb{E}(c_n(\sigma_n))\underset{n\to+\infty}{\sim}\ln(n). \]
Exercice 6049. Un groupe de $11$ membres décide de placer un trésor en sécurité dans un coffre-fort. Ils décident que pour ouvrir le coffre, n'importe quelle majorité d'entre eux doit être d'accord. Ils décident ainsi de poser un certain nombre de cadenas sur le coffre.\\ Pour accéder au trésor, chaque cadenas doit être ouvert. Chaque cadenas peut avoir plusieurs clés mais chaque clé ne peut ouvrir qu'un seul cadenas.\\ Quel est le nombre minimum de cadenas nécessaires ? Et combien de clés chaque membre doit-il porter ?
Exercice 6050. Dans une urne, on a $n$ boules rouges et $n$ boules bleues. On les tire indépendamment et uniformément sans remise jusqu'à ce qu'il n'y ait plus que des boules d'une seule couleur. Quel est l'ordre de grandeur du nombre de boules restantes : $O(1)$, $\ln(n)$, ou $n$ ?
Exercice 6051. Soit $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'événements mutuellement indépendants.\\ On pose \[ B_n=\bigcup_{k=0}^n A_k,\qquad B=\bigcup_{k=0}^{+\infty} A_k. \] On considère $u_n=\mathbb{P}(B_n)$.\\
  1. Démontrer que $(u_n)$ est convergente de limite $\mathbb{P}(B)$.\\
  2. Démontrer que les séries $\sum_n \ln(1-\mathbb{P}(A_n))$ et $\sum_n \mathbb{P}(A_n)$ sont de même nature.\\
  3. Déduire des deux questions précédentes que $\mathbb{P}(B) < 1$ si et seulement si $\sum_n \mathbb{P}(A_n)$ converge.\\
  4. Soit \[ I=\bigcap_{n=0}^{+\infty}\bigcup_{k=n}^{+\infty}A_k. \] Démontrer que $\mathbb{P}(I)=0$ si et seulement si $\mathbb{P}(B) < 1$, et que $\mathbb{P}(I)$ ne peut valoir que $0$ ou $1$.
Exercice 6052. Un joueur entre dans un casino avec $k$ euros en poche. Il joue à un jeu de pile ou face en misant à chaque tour sur pile. S'il gagne, il récupère sa mise et gagne un euro supplémentaire. S'il perd, sa mise n'est pas récupérée. La probabilité d'obtenir pile est $p\in]0,1[$.\\ Le joueur s'est promis que si son capital, initialement égal à $k$, atteint la somme de $N$ euros, il s'arrête de jouer et part du casino. Si le joueur a tout perdu, il s'arrête également.\\ Quelle est la probabilité que le joueur reparte ruiné ?
Exercice 6053. On considère une élection dans laquelle les votants ont le choix entre deux candidats $A$ et $B$. À l'issue du vote, le dépouillement a lieu bulletin par bulletin et, à chaque nouveau bulletin, on actualise les scores cumulés des deux candidats.\\ À l'issue du dépouillement, on constate que $A$ a gagné avec $p$ voix contre $q$ voix pour $B$, avec $p > q$.\\ Quelle est la probabilité que $A$ ait été en tête tout le long du dépouillement ?
Exercice 6054. Étant donné une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ et un entier $k \in \{1,\ldots,n\}$, une $k$-montée de $\sigma$ est une liste strictement croissante \[ (i_1,\ldots,i_k) \] d'éléments de $\{1,\ldots,n\}$ telle que \[ \sigma(i_1)<\cdots<\sigma(i_k). \] On munit $\mathfrak{S}_n$ de la probabilité uniforme, et on note $X_n$ la variable aléatoire attribuant à $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ le plus grand entier $k \in \{1,\ldots,n\}$ tel que $\sigma$ admette une $k$-montée.\\
  1. Montrer, pour tout $k \in \{1,\ldots,n\}$, l'inégalité \[ \mathbb{P}(X_n\geqslant k)\leqslant \frac{1}{k!}\binom{n}{k}. \]
  2. Mettre en évidence un réel $C > 0$ tel que \[ \mathbb{P}(X_n\geqslant C\sqrt n)\to 0 \] quand $n \to +\infty$.
Exercice 6055. On considère une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^2$ dont le point de départ est l'origine. À partir d'un point, on ne peut qu'augmenter son abscisse ou son ordonnée de $1$.\\
  1. Soient $k$ et $l$ deux entiers positifs. Dénombrer le nombre de chemins reliant l'origine à $(k,l)$.\\ On suppose pour les questions $1$ et $2$ que $l > k$.\\
  2. Montrer que le nombre de chemins joignant $(0,1)$ à $(k,l)$ et rencontrant la droite d'équation $y=x$ est égal au nombre de chemins joignant $(1,0)$ à $(k,l)$.\\
  3. On choisit de façon équiprobable un chemin reliant l'origine à $(k,l)$, quelle est la probabilité que ce chemin ne croise pas la droite d'équation $y=x$, excepté en l'origine ?