Lois de probabilités

Exercice 6056. Une urne contient $a \geqslant 1$ boules blanches, $b \geqslant 1$ boules bleues et $r \geqslant 1$ boules rouges. \\ On tire successivement et sans remise trois boules de l'urne. \\ Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre $1$ bleue, $1$ blanche et $1$ rouge?
Exercice 6057. On lance $4$ dés équilibrés. \\ Quelle est la probabilité d'obtenir $4$ faces distinctes ?
Exercice 6058. On lance $n$ dés équilibrés. \\ Quelle est la probabilité d'obtenir au moins $2$ faces différentes ?
Exercice 6059. On lance $n$ fois une pièce de monnaie, la probabilité d’obtenir pile à chaque lancer étant $p \in ]0,1[$.\\
  1. Quelle est la probabilité d’obtenir le premier pile au $n$-ième lancer ?\\
  2. Pour $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$, quelle est la probabilité d’obtenir le $k$-ième pile au $n$-ième lancer ?
Exercice 6060. On dispose d'un dé pipé tel que la probabilité d'obtenir une face soit proportionnelle au chiffre porté par cette face. On lance le dé pipé.
  1. Donner un espace probabilisé modélisant l'expérience aléatoire. \\
  2. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair ? \\
  3. Reprendre les questions si cette fois le dé est pipé de sorte que la probabilité d'obtenir une face paire soit le double de la probabilité d'obtenir une face impaire, les probabilités d'obtenir chaque face paire étant toutes égales entre elles.
Exercice 6061. Soit $n \geqslant 1$. Déterminer une probabilité sur $\{1,\dots,n\}$ telle que la probabilité de $\{1,\dots,k\}$ soit proportionnelle à $k^2$.
Exercice 6062. Une urne contient $10$ jetons numérotés de $1$ à $10$. On effectue $15$ tirages successifs d’un jeton avec remise dans l’urne après chaque tirage. Calculer la probabilité que le plus grand des $15$ numéros obtenus soit $8$.
Exercice 6063. Un tiroir contient $12$ paires de chaussettes toutes différentes. On prend $4$ chaussettes.\\ Quelle est la probabilité d’obtenir :\\
  1. deux paires complètes ?\\
  2. au moins une paire ?\\
  3. une paire et une seule ?
Exercice 6064. On lance trois dés cubiques pour construire le polynôme $P(X) = aX^2 + bX + c$. Quelle est la probabilité que ce polynôme ait une racine double ?
Exercice 6065. Soit $n\in\mathbb{N}^*\setminus\{1\}$. On pose $I=\intervalleEntier{1}{n+1}$. On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ à valeurs dans $I$ telles que, pour un certain $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$, \[ \forall(i,j)\in I^2,\quad \mathbb{P}(X=j\cap Y=i)=\lambda\binom{n}{i-1}\binom{n}{j-1}. \]
  1. Calculer la valeur de $\lambda$.\\
  2. Retrouver les lois de $X$ et $Y$. Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?\\
  3. On pose $Z=X-1$. Retrouver la loi de $Z$ en l'identifiant, puis en déduire $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{E}(Y)$.\\
  4. Pour tout $(i,j)\in I^2$, on pose \[ b_{i,j}=\mathbb{P}(X=i\mid Y=j). \] On définit ainsi la matrice $B$ des coefficients $b_{i,j}$. Calculer $B^2$. La matrice $B$ est-elle diagonalisable ?
Exercice 6066. Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que $X_i(\Omega)=\{-1,1\}$, $\mathbb{P}(X_i=1)=p$ et $\mathbb{P}(X_i=-1)=1-p$.\\ On pose \[ Z_n=\prod_{i=1}^n X_i. \] On pose \[ u_n= \begin{pmatrix} \mathbb{P}(Z_n=1)\\ \mathbb{P}(Z_n=-1) \end{pmatrix}. \] Calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire $\mathbb{P}(Z_n=1)$.
Exercice 6067. On s’intéresse à une paire de gènes pouvant présenter chacun deux types (ou allèles) $A$ et $a$. Il y a alors trois génotypes $AA$, $Aa$ et $aa$, l’ordre n’intervenant pas. Un enfant reçoit un gène de chacun de ses parents. On note $u_0$, $2v_0$ et $w_0$ les probabilités que le génotype soit $AA$, $Aa$ et $aa$ dans la population initiale.\\
  1. On pose $p_0 = u_0 + v_0$ et $q_0 = v_0 + w_0$. Que représentent $p_0$ et $q_0$ ?\\
  2. Déterminer les probabilités que le génotype soit $AA$, $Aa$ et $aa$ à la première génération (celle des enfants), en fonction de $p_0$ et $q_0$. On les note $u_1$, $2v_1$ et $w_1$. Calculer $p_1 = u_1 + v_1$ et $q_1 = v_1 + w_1$.\\
  3. Même question à la $n$-ième génération.