Positions relatives, points d'intersections

Exercice 258. Position relative

\\ Déterminer la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = e^{x} + x^2$ et $g(x) = x^2 +1$.

Exercice 259. Position relative n°2

\\ Soient $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = x^2+2x+1$ et $g(x) = x^3+x^2+1$. \\ Etudier la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$.

Exercice 260. Position relative n°3

\\ Soit $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = x^2e^{-x}$ et $g(x) = e^{-x}$.\\ Etudier la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$.

Exercice 261. Position relative n°4

\\ Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = e^x$ et $g(x) = 2e^{\frac{x}{2}}-1$.\\
  1. Démontrer que les courbes $\Cf$ et $\Cg$ ont un point commun d'abscisse 0 et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation. \\
  2. Pour tout réel $x$, développer l'expression $(e^\frac{x}{2}-1)^2$. \\
  3. Déterminer la position relative des courbes $\Cg$ et $\Cf$.

Exercice 262. Point d'intersection

\\ Soit $a$ un réel strictement positif et $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par $f(x) = a\ln{x}$.\\ Déterminer l'abscisse du point d'intersection de $\Cf$ avec l'axe des abscisses.

Exercice 263. Point d'intersection n°2

\\ Soit $f(x) = 5e^{-x}+3e^{-2x}+x-3$ et la droite $d$ d'équation $y=x-3$. \\ On pose $g(x) = f(x) -(x-3)$ sur $\Rp$. \\
  1. Justifier que $\forall x \in \Rp, \quad g(x) > 0$. \\
  2. La courbe $\Cf$ et la droite $d$ ont-elles un point commun ? Justifier.
Exercice 264. Soit un réel $k > 0$. \\ On note $f_k$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f_k(x) = kxe^{-kx}$.\\ Montrer que pour tout réel $k > 0$, les courbes $\mathscr{C}_k$ passent par un même point.
Exercice 265. Pour tout $k$ entier relatif, on note $f_k$ la fonction définie sur $\R$ par $f_k(x) = (x+1)e^{kx}$.\\
  1. Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_0$ et $\Cu$. \\
  2. Vérifier que pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathscr{C}_k$. \\
  3. Etudier le signe de $(x+1)(e^x-1)$ suivant les valeurs de $x$. \\
  4. En déduire pour $k$ entier relatif, les positions relatives des courbes $\mathscr{C}_k$ et $\mathscr{C}_{k+1}$.
Exercice 266. Pour tout entier relatif $k$, on note $f_k$ la fonction définie par $f_k(x) = (x+1)e^{kx}$. On note $\mathcal{C}_k$ la courbe de $f_k$. \\
  1. Déterminer les points d'intersections des courbes $\mathcal{C}_0$ et $\Cu$. \\
  2. Vérifier que pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_k$.
Exercice 267. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Déterminer les intersections de $\Cc$ avec l’axe des abscisses.
Exercice 268. On considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x)=xe^{-x}$.\\ Déterminer, sur $\Rp$, le nombre de solutions de l’équation $f(x)=\Frac{367}{1000}$.
Exercice 269. Soit $f$ définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.\\ Déterminer la position relative de la courbe de $f$ et de la droite d’équation $y=x+1$ sur $[0 \; ; \; +\infty[$.\\ Préciser s’il existe un point d’intersection.
Exercice 270. On note $\Cf$ et $\Cg$ les courbes de $f(x)=x-e^x$ et $g(x)=(1-x)e^x$.\\ Déterminer, suivant les valeurs de $x$, la position relative de $\Cf$ et $\Cg$.
Exercice 271. Soit $g(x)=(x+2)e^{x-4}-2$ définie sur $\R$ et $\alpha$ l’unique réel tel que $g(\alpha)=0$.\\ En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
Exercice 272. Soit $f(x)=x^2-x^2e^{x-4}$ définie sur $\R$.\\ Résoudre l’équation $f(x)=0$ sur $\R$.
Exercice 273. Soit $f(x)=x^2-x^2e^{x-4}$ et $\mathscr P$ la parabole d’équation $y=x^2$.\\ Déterminer, suivant les valeurs de $x$, la position relative de $\Cf$ et de $\mathscr P$.
Exercice 274. On admet que l’équation $\varphi(x)=0$ admet deux solutions réelles.\\ En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$.
Exercice 275. On conserve $f(x)=(2x+1)e^{-x}$,\; $g(x)=\Frac{2x+1}{x^2+x+1}$ et $\varphi(x)=\parenthese{x^2+x+1}e^{-x}-1$.\\ On admet que $f(x)-g(x)=\Frac{(2x+1)\varphi(x)}{x^2+x+1}$.\\ Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur $\R$.
Exercice 276. On pose $f(x)=(2x+1)e^{-x}$ et $g(x)=\Frac{2x+1}{x^2+x+1}$.\\ En déduire la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$ sur $\R$.
Exercice 277. Soit $g(x)=(x+2)e^{x-1}-1$ et $\alpha$ l’unique réel tel que $g(\alpha)=0$.\\ Déterminer le signe de $g(x)$ sur $\R$.
Exercice 278. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x-(x^2+4x+3)e^{-x}$ et $d$ la droite d'équation $y=x$. \\ Résoudre l'équation $f(x)=x$ puis déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\Cc$ et $d$.