Conditionnement et indépendance

Exercice 6068. Montrer qu’un événement $A$ est indépendant de tout autre événement si, et seulement si, $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$.
Exercice 6069. Soient $A$, $B$ et $C$ trois événements tels que $P(B \cap C) > 0$. \\ Montrer que \[ P(A | B \cap C) P(B | C) = P(A \cap B | C) \]
Exercice 6070. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) > 0$. \\ Comparer les probabilités \[ P(A \cap B | A \cup B) \quad \mathrm{et} \quad P(A \cap B | A ) \]
Exercice 6071. Soient $A$ et $B$ deux événements. \\ On suppose $0 < P(B) < 1$. \\ Montrer que $P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | \bar{B})P(\bar{B})$.
Exercice 6072. Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé. Démontrer que \[ \max\left(0, \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1\right) \leqslant \mathbb{P}(A \cap B) \leqslant \min\left(\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)\right). \]
Exercice 6073. Une urne contient $12$ boules numérotées de $1$ à $12$. On en tire une au hasard, et on considère les événements : \\ $A=$ tirage d'un nombre pair, $B=$ tirage d'un multiple de $3$. \\
  1. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? \\
  2. Reprendre la question avec une urne contenant $13$ boules.
Exercice 6074. Deux compagnies de taxis opèrent dans une ville : les Verts représentent $85$% et les Bleus représentent les $15$% restants. Un taxi a été impliqué dans un délit de fuite pendant la nuit et un témoin a identifié le taxi comme bleu.\\ Dans ces circonstances $80$% des témoignages sont corrects.\\ Quelle est la probabilité que le taxi impliqué dans l'accident soit effectivement bleu ?
Exercice 6075. Nous allons nous intéresser au problème de Monty Hall, inspiré d'un réel jeu télévisé : un candidat doit choisir une porte parmi trois.\\ L'une d'entre elles cache une voiture et les deux autres une chèvre. Une fois le choix du candidat effectué, le présentateur ouvre l'une des portes non gagnantes, révélant ainsi une chèvre. On offre alors au candidat la possibilité de changer de porte.\\ A-t-il plus de chances de remporter la voiture s'il change de porte ou s'il conserve son choix de départ ?
Exercice 6076. Une urne contient des boules blanches et noires en proportion $p$ et $q$ (avec $p+q=1$). \\ On opère à des tirages successifs avec remise. \\
  1. Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée apparaisse lors du $n$-ième tirage ? \\
  2. Quelle est la probabilité que la $k$-ième boule blanche tirée apparaisse lors du $n$-ième tirage ?
Exercice 6077. Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un "six" une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées). \\ On tire au hasard un dé de la pochette et on le lance. \\
  1. On obtient un "six". Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré ? \\
  2. Au contraire, on a obtenu un "cinq". Même question.
Exercice 6078. On considère $5$ pièces de monnaie : $3$ parfaitement équilibrées, une donnant pile avec la probabilité $0,6$ et la dernière donnant pile avec la probabilité $0,7$.\\
  1. On tire au hasard l’une des $5$ pièces et on la lance. Quelle est la probabilité d’obtenir pile ? Comment interpréter ce résultat ?\\
  2. On tire au hasard l’une des $5$ pièces et on la lance. On obtient face. Quelle est la probabilité que le lancer ait été effectué avec l’une des $2$ pièces truquées ? Interpréter ce résultat.
Exercice 6079. Soient $A_1,\ldots,A_n$ des événements mutuellement indépendants. \\ Montrer que la probabilité qu’aucun des $A_i$ ne soit réalisé est inférieure à \\ \[ \exp\Bigl(-\Sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)\Bigr). \]
Exercice 6080. Dans une population, une personne sur $10\,000$ souffre d’une pathologie. \\ Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. \\ Celui-ci est positif chez $99$% des malades mais aussi faussement positif chez $0,1$% des personnes non atteintes. \\ Un individu passe ce test et obtient un résultat positif. \\ Quelle est sa probabilité d’être malade ? Qu’en conclure ?
Exercice 6081. Un laboratoire fabrique un alcootest et les essais montrent que :\\
  • $2$% des personnes contrôlées sont en état d’ébriété ;\\
  • $95$ fois sur $100$, l’alcootest a donné un résultat positif alors que la personne était en état d’ébriété ;\\
  • $98$ fois sur $100$, l’alcootest a donné un résultat négatif alors que la personne n’était pas en état d’ébriété.\\
  1. On essaie l’appareil sur une personne et l’on constate que le résultat est positif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en état d’ébriété ?\\
  2. On essaie l’appareil sur une personne et l’on constate que le résultat est négatif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en fait en état d’ébriété ?\\
  3. Déterminer la probabilité que le résultat donné par l’appareil soit faux.
Exercice 6082. Une succession d’individus $A_1,\ldots,A_n$ se transmet une information binaire du type "oui" ou "non". \\ Chaque individu $A_k$ transmet l’information qu’il a reçue avec la probabilité $p$ à l’individu $A_{k+1}$ ou la transforme en son inverse avec la probabilité $1-p$. \\ Chaque individu se comporte indépendamment des autres. \\ Calculer la probabilité $p_n$ pour que l’information reçue par $A_n$ soit identique à celle émise par $A_1$. \\ On suppose $0 < p < 1$. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers l’infini ?
Exercice 6083. Soient $A,B,C$ trois évènements tels que $A$ et $B$ d’une part, $A$ et $C$ d’autre part, soient indépendants. \\ Les évènements $A$ et $B \cup C$ sont-ils indépendants ? \\ Même question avec $A$ et $B \cap C$.
Exercice 6084. A la sortie d'une usine produisant des voitures cinq jours par semaine, la probabilité qu'un véhicule pris au hasard présente un défaut est de $10$% les mardi, mercredi, jeudi et vendredi, et $20$% les lundi. \\ Une voiture prise au hasard présente un défaut, quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée un lundi ?
Exercice 6085. Une urne contient des boules noires et des boules blanches. Il y a 10 boules noires de plus que de blanches. Parmi les boules noires, $20$% portent un numéro. Parmi les blanches, $10$% portent un numéro. On sait que, quand on tire une boule dans cette urne et qu'elle est numérotée, la probabilité qu'elle soit blanche est de $0,25$. \\ Calculer le nombre de boules noires et blanches dans cette urne.
Exercice 6086. Une urne contient $8$ boules blanches et deux boules noires. \\ On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne. \\
  1. Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure à l'intérieur du tirage ?\\
  2. Sachant qu'une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ?
Exercice 6087. On considère $N$ urnes numérotées de $1$ à $N$ telles que l’urne $k$ contient $k$ boules blanches et $N-k$ boules noires.\\ On choisit une urne uniformément au hasard, puis on effectue des tirages avec remise dans cette urne.\\ Calculer pour tout $n \in \mathbb{N}$ la probabilité que les $n$ premières boules tirées soient blanches
Exercice 6088. Votre voisine a deux enfants dont vous ignorez le sexe. On considère les trois événements suivants :
  • $A=$ "les deux enfants sont de sexes différents" \\
  • $B=$ "l'aîné est une fille" \\
  • $C=$ "le cadet est un garçon"
Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants. On suppose que la probabilité à la naissance d'avoir une fille, respectivement un garçon, est égale à $1/2$.
Exercice 6089. Soient $A_1,\dots,A_n$ $n$ événements d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathbb{P})$. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives $p_i=\mathbb{P}(A_i)$. Donner une expression simple de $\mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_n)$ en fonction de $p_1,\dots,p_n$. Application : on suppose qu'une personne est soumise à $n$ expériences indépendantes les unes des autres et qu'à chaque expérience, elle ait une probabilité $p$ d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident ?
Exercice 6090. On suppose que \[ x_{n,j}=\mathbb{E}(X_{n,j}) \] et que \[ \mathbb{E}(X_{n+1,j}\mid X_n=y)=(yM)_j \]
  1. Montrer que \[ x_{n+1}=x_n M \]
Exercice 6091. Une urne contient $k$ boules blanches et $p$ boules noires. Elle contient donc $n = p + k$ boules.\\ On tire successivement sans remise les $n$ boules. Soit $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$.\\ Quelle est la probabilité que la $i$-ième boule tirée soit blanche ?
Exercice 6092. Soient $A,B$ deux parties d’un ensemble $\Omega$ fini vérifiant \\ $A \cap B \neq \varnothing$, $A \cap \overline{B} \neq \varnothing$, $\overline{A} \cap B \neq \varnothing$ et $\overline{A} \cap \overline{B} \neq \varnothing$. \\ À quelle condition sur $(a,b,c,d) \in ]0;1[^4$ existe-t-il une probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega$ vérifiant \\ $\mathbb{P}(A|B)=a$, $\mathbb{P}(A|\overline{B})=b$, $\mathbb{P}(B|A)=c$ et $\mathbb{P}(B|\overline{A})=d$ ?
Exercice 6093. On considère N coffres. Avec une probabilité $p$ un trésor à été placé dans l'un des coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert $N-1$ coffres sans trouver le tresor, quelle est la probabilité pour qu'il figure dans le dernier coffre ?
Exercice 6094. Une information de type vrai/faux est transmise à l’intérieur d’une population. Avec une probabilité $p$, l’information reçue d’une personne est transmise telle quelle à la personne suivante. Avec une probabilité $1-p$, l’information reçue d’une personne est transmise de façon contraire à la personne suivante. On note $p_n$ la probabilité que l’information après $n$ transmissions soit correcte.\\
  1. Donner une relation de récurrence vérifiée par la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.\\
  2. En déduire la valeur de $p_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.\\
  3. Déterminer la limite de la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et interpréter.
Exercice 6095. Soient $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé, et $A_1,\dots,A_n$ des événements. Démontrer que \[ \mathbb{P}(A_1 \cap \cdots \cap A_n) \geqslant \left(\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)\right) - (n-1). \]
Exercice 6096. On suppose qu'on a un espace probabilisé tel que l'univers $\Omega$ est un ensemble fini de cardinal un nombre premier $p$, et que le modèle choisi soit celui de l'équiprobabilité. Prouver que deux événements $A$ et $B$ non triviaux, différents de $\varnothing$ et de $\Omega$, ne peuvent pas être indépendants.
Exercice 6097. Un secrétaire effectue $n$ appels téléphoniques vers $n$ personnes distinctes, avec $n\geqslant2$.\\ On admet que les $n$ appels constituent $n$ expériences indépendantes et que, pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé est $p\in]0,1[$. On note $q=1-p$.\\ On note $X$ le nombre de correspondants obtenus.\\
  1. Quelle est la loi de $X$ ? Donner $\mathbb{E}[X]$ et $\mathbb{V}[X]$.
  2. Après ces $n$ recherches, le secrétaire appelle une deuxième fois, et dans les mêmes conditions, chacun des $n-X$ correspondants qu’il n’a pas réussi à joindre la première fois.\\ Soit $Y$ le nombre de correspondants obtenus dans la deuxième série d’appels, et $Z=X+Y$ le nombre de correspondants obtenus. \startlettersnext
  3. a Soit $i\in[\![0,n]\!]$. Déterminer, pour $k\in\mathbb{N}$, la probabilité conditionnelle $\mathbb{P}_{(X=i)}(Y=k)$.
  4. a Montrer, lorsque cela a un sens, l’égalité \[ \binom{n-i}{k-i}\binom{n}{i} = \binom{k}{i}\binom{n}{k}. \]
  5. a Montrer que $Z$ suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
  6. a Déterminer l’espérance et la variance de $Z$.
Exercice 6098. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes telles que $X$ suit une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ de paramètre $\lambda$ et telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la loi de $Y$ sachant $(X=n)$ est une loi binomiale de paramètres $n$ et $p\in]0,1[$.\\ Déterminer la loi conjointe de $X$ et $Y$, puis la loi de $Y$.
Exercice 6099. Un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit $0$, soit $1$. Un canal de transmission transmet des bits selon le modèle suivant : il transmet fidèlement un bit avec probabilité $p$ et de façon erronée avec probabilité $1-p$ où $0 < p < 1$. Un bit traverse $n$ canaux de ce type successivement, et l’on suppose que chaque canal fonctionne indépendamment des autres. On note $x_0$ le bit initial. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $x_n$ le bit après la traversée de $n$ canaux et $p_n$ la probabilité que $x_n = x_0$.\\
  1. Déterminer une relation entre $p_{n-1}$ et $p_n$, pour $n \geqslant 1$.\\
  2. En déduire l’expression de $p_n$ en fonction de $n$ et $p$.\\
  3. Déterminer la limite de la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice 6100. On dispose d’une pièce de monnaie vérifiant que la probabilité d’obtenir "pile" est égale à $\Frac{1}{3}$ et de deux dés cubiques $D_1$ et $D_2$ parfaitement équilibrés : $D_1$ possède $4$ faces rouges et $2$ faces blanches ; $D_2$ possède $2$ faces rouges et $4$ faces blanches. On lance la pièce : si on obtient "pile" alors on effectue des lancers uniquement avec $D_1$ ; dans le cas contraire, on effectue des lancers uniquement avec $D_2$.\\
    1. Quelle est la probabilité que le premier lancer amène la couleur rouge ?\\
    2. On a obtenu "rouge" au premier lancer. Quelle est la probabilité que le lancer suivant amène la couleur rouge ?\\
    3. On a obtenu "rouge" aux deux premiers lancers. Quelle est la probabilité que le lancer suivant amène la couleur rouge ?\\
  2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On lance la pièce de monnaie puis on effectue $n$ lancers du dé correspondant. On suppose que l’on obtient "rouge" à chaque lancer.\\
    1. Déterminer la probabilité $p_n$ d’avoir encore "rouge" au lancer suivant.\\
    2. Calculer : $\limn p_n$. Comment interpréter ce résultat ?\\
  3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On lance la pièce de monnaie puis on effectue $n$ lancers du dé correspondant. On suppose toujours que l’on obtient "rouge" à chaque lancer.\\
    1. Déterminer la probabilité $q_n$ d’avoir effectué ces $n$ lancers avec le dé $D_1$.\\
    2. Calculer : $\limn q_n$. Comment interpréter ce résultat ?\\
    3. À partir de combien de "rouge" successifs peut-on affirmer que l’on utilise le dé $D_1$ avec une probabilité supérieure à $\Frac{9}{10}$ ?
Exercice 6101. On considère une pièce magique. Vanneau a lancé la pièce deux fois et a obtenu Face la première fois et Pile la seconde. À ce moment, il a activé le pouvoir magique de cette pièce : désormais, à chaque lancer, la probabilité d'obtenir Face est égale à la proportion de Face obtenues auparavant, en incluant les deux premiers lancers.\\ Par exemple, si Vanneau a obtenu $12$ Faces en $30$ lancers, la probabilité d'obtenir Face pour son $31$ème lancer est de $\Frac{12}{30}$.\\ Quelle est la probabilité pour Vanneau d'obtenir $50$ Faces après $100$ lancers, en incluant les deux premiers lancers ?
Exercice 6102. Une urne contient $r > 0$ boules rouges et $b > 0$ boules bleues.\\ À chaque tirage, on tire une boule au hasard dans l'urne. Si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne avec $a$ autres boules rouges et si elle est bleue on la remet dans l'urne avec $c$ autres boules bleues.\\ Pour tout $k\in\mathbb{N}^*$, on pose $A_k$ l'événement : "on tire une boule rouge au $k$-ième tirage".\\ Calculer $\mathbb{P}(A_k)$.