Conditionnement et indépendance

Exercice 1762. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) > 0$. \\ Comparer les probabilités \[ P(A \cap B | A \cup B) \quad \mathrm{et} \quad P(A \cap B | A ) \]
Exercice 1763. Soient $A$ et $B$ deux événements. \\ On suppose $0 < P(B) < 1$. \\ Montrer que $P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | \bar{B})P(\bar{B})$.
Exercice 1764. Soient $A$, $B$ et $C$ trois événements tels que $P(B \cap C) > 0$. \\ Montrer que \[ P(A | B \cap C) P(B | C) = P(A \cap B | C) \]
Exercice 1765. Une urne contient $8$ boules blanches et deux boules noires. \\ On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne. \\
  1. Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure à l'intérieur du tirage ?\\
  2. Sachant qu'une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ?
Exercice 1766. Une urne contient des boules noires et des boules blanches. Il y a 10 boules noires de plus que de blanches. Parmi les boules noires, $20$% portent un numéro. Parmi les blanches, $10$% portent un numéro. On sait que, quand on tire une boule dans cette urne et qu'elle est numérotée, la probabilité qu'elle soit blanche est de $0,25$. \\ Calculer le nombre de boules noires et blanches dans cette urne.
Exercice 1767. A la sortie d'une usine produisant des voitures cinq jours par semaine, la probabilité qu'un véhicule pris au hasard présente un défaut est de $10$% les mardi, mercredi, jeudi et vendredi, et $20$% les lundi. \\ Une voiture prise au hasard présente un défaut, quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée un lundi ?
Exercice 1768. On considère N coffres. Avec une probabilité $p$ un trésor à été placé dans l'un des coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert $N-1$ coffres sans trouver le tresor, quelle est la probabilité pour qu'il figure dans le dernier coffre ?
Exercice 1769. Soient $A,B$ deux parties d’un ensemble $\Omega$ fini vérifiant \\ $A \cap B \neq \varnothing$, $A \cap \overline{B} \neq \varnothing$, $\overline{A} \cap B \neq \varnothing$ et $\overline{A} \cap \overline{B} \neq \varnothing$. \\ À quelle condition sur $(a,b,c,d) \in ]0;1[^4$ existe-t-il une probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega$ vérifiant \\ $\mathbb{P}(A|B)=a$, $\mathbb{P}(A|\overline{B})=b$, $\mathbb{P}(B|A)=c$ et $\mathbb{P}(B|\overline{A})=d$ ?
Exercice 1770. Soient $A,B,C$ trois évènements tels que $A$ et $B$ d’une part, $A$ et $C$ d’autre part, soient indépendants. \\ Les évènements $A$ et $B \cup C$ sont-ils indépendants ? \\ Même question avec $A$ et $B \cap C$.
Exercice 1771. Une succession d’individus $A_1,\ldots,A_n$ se transmet une information binaire du type "oui" ou "non". \\ Chaque individu $A_k$ transmet l’information qu’il a reçue avec la probabilité $p$ à l’individu $A_{k+1}$ ou la transforme en son inverse avec la probabilité $1-p$. \\ Chaque individu se comporte indépendamment des autres. \\ Calculer la probabilité $p_n$ pour que l’information reçue par $A_n$ soit identique à celle émise par $A_1$. \\ On suppose $0 < p < 1$. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers l’infini ?
Exercice 1772. Montrer qu’un événement $A$ est indépendant de tout autre événement si, et seulement si, $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$.
Exercice 1773. Soient $A_1,\ldots,A_n$ des événements mutuellement indépendants. \\ Montrer que la probabilité qu’aucun des $A_i$ ne soit réalisé est inférieure à \\ \[ \exp\Bigl(-\Sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)\Bigr). \]
Exercice 1774. Dans une population, une personne sur $10\,000$ souffre d’une pathologie. \\ Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. \\ Celui-ci est positif chez $99$% des malades mais aussi faussement positif chez $0,1$% des personnes non atteintes. \\ Un individu passe ce test et obtient un résultat positif. \\ Quelle est sa probabilité d’être malade ? Qu’en conclure ?
Exercice 1775. Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un "six" une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées). \\ On tire au hasard un dé de la pochette et on le lance. \\
  1. On obtient un "six". Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré ? \\
  2. Au contraire, on a obtenu un "cinq". Même question.
Exercice 1776. Une urne contient des boules blanches et noires en proportion $p$ et $q$ (avec $p+q=1$). \\ On opère à des tirages successifs avec remise. \\
  1. Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée apparaisse lors du $n$-ième tirage ? \\
  2. Quelle est la probabilité que la $k$-ième boule blanche tirée apparaisse lors du $n$-ième tirage ?