Conditionnement et indépendance

Exercice 4345. Une urne contient $k$ boules blanches et $p$ boules noires. Elle contient donc $n = p + k$ boules.\\ On tire successivement sans remise les $n$ boules. Soit $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$.\\ Quelle est la probabilité que la $i$-ième boule tirée soit blanche ?
Exercice 4346. Une urne contient des boules blanches et noires en proportion $p$ et $q$ (avec $p+q=1$). \\ On opère à des tirages successifs avec remise. \\
  1. Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée apparaisse lors du $n$-ième tirage ? \\
  2. Quelle est la probabilité que la $k$-ième boule blanche tirée apparaisse lors du $n$-ième tirage ?
Exercice 4347. Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un "six" une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées). \\ On tire au hasard un dé de la pochette et on le lance. \\
  1. On obtient un "six". Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré ? \\
  2. Au contraire, on a obtenu un "cinq". Même question.
Exercice 4348. On considère $5$ pièces de monnaie : $3$ parfaitement équilibrées, une donnant pile avec la probabilité $0,6$ et la dernière donnant pile avec la probabilité $0,7$.\\
  1. On tire au hasard l’une des $5$ pièces et on la lance. Quelle est la probabilité d’obtenir pile ? Comment interpréter ce résultat ?\\
  2. On tire au hasard l’une des $5$ pièces et on la lance. On obtient face. Quelle est la probabilité que le lancer ait été effectué avec l’une des $2$ pièces truquées ? Interpréter ce résultat.
Exercice 4349. Soient $A_1,\ldots,A_n$ des événements mutuellement indépendants. \\ Montrer que la probabilité qu’aucun des $A_i$ ne soit réalisé est inférieure à \\ \[ \exp\Bigl(-\Sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i)\Bigr). \]
Exercice 4350. Dans une population, une personne sur $10\,000$ souffre d’une pathologie. \\ Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. \\ Celui-ci est positif chez $99$% des malades mais aussi faussement positif chez $0,1$% des personnes non atteintes. \\ Un individu passe ce test et obtient un résultat positif. \\ Quelle est sa probabilité d’être malade ? Qu’en conclure ?
Exercice 4351. Un laboratoire fabrique un alcootest et les essais montrent que :\\
  • $2$% des personnes contrôlées sont en état d’ébriété ;\\
  • $95$ fois sur $100$, l’alcootest a donné un résultat positif alors que la personne était en état d’ébriété ;\\
  • $98$ fois sur $100$, l’alcootest a donné un résultat négatif alors que la personne n’était pas en état d’ébriété.\\
  1. On essaie l’appareil sur une personne et l’on constate que le résultat est positif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en état d’ébriété ?\\
  2. On essaie l’appareil sur une personne et l’on constate que le résultat est négatif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en fait en état d’ébriété ?\\
  3. Déterminer la probabilité que le résultat donné par l’appareil soit faux.
Exercice 4352. Une succession d’individus $A_1,\ldots,A_n$ se transmet une information binaire du type "oui" ou "non". \\ Chaque individu $A_k$ transmet l’information qu’il a reçue avec la probabilité $p$ à l’individu $A_{k+1}$ ou la transforme en son inverse avec la probabilité $1-p$. \\ Chaque individu se comporte indépendamment des autres. \\ Calculer la probabilité $p_n$ pour que l’information reçue par $A_n$ soit identique à celle émise par $A_1$. \\ On suppose $0 < p < 1$. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers l’infini ?
Exercice 4353. Montrer qu’un événement $A$ est indépendant de tout autre événement si, et seulement si, $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$.
Exercice 4354. Un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit $0$, soit $1$. Un canal de transmission transmet des bits selon le modèle suivant : il transmet fidèlement un bit avec probabilité $p$ et de façon erronée avec probabilité $1-p$ où $0 < p < 1$. Un bit traverse $n$ canaux de ce type successivement, et l’on suppose que chaque canal fonctionne indépendamment des autres. On note $x_0$ le bit initial. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $x_n$ le bit après la traversée de $n$ canaux et $p_n$ la probabilité que $x_n = x_0$.\\
  1. Déterminer une relation entre $p_{n-1}$ et $p_n$, pour $n \geqslant 1$.\\
  2. En déduire l’expression de $p_n$ en fonction de $n$ et $p$.\\
  3. Déterminer la limite de la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice 4355. Soient $A,B,C$ trois évènements tels que $A$ et $B$ d’une part, $A$ et $C$ d’autre part, soient indépendants. \\ Les évènements $A$ et $B \cup C$ sont-ils indépendants ? \\ Même question avec $A$ et $B \cap C$.
Exercice 4356. A la sortie d'une usine produisant des voitures cinq jours par semaine, la probabilité qu'un véhicule pris au hasard présente un défaut est de $10$% les mardi, mercredi, jeudi et vendredi, et $20$% les lundi. \\ Une voiture prise au hasard présente un défaut, quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée un lundi ?
Exercice 4357. Soient $A,B$ deux parties d’un ensemble $\Omega$ fini vérifiant \\ $A \cap B \neq \varnothing$, $A \cap \overline{B} \neq \varnothing$, $\overline{A} \cap B \neq \varnothing$ et $\overline{A} \cap \overline{B} \neq \varnothing$. \\ À quelle condition sur $(a,b,c,d) \in ]0;1[^4$ existe-t-il une probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega$ vérifiant \\ $\mathbb{P}(A|B)=a$, $\mathbb{P}(A|\overline{B})=b$, $\mathbb{P}(B|A)=c$ et $\mathbb{P}(B|\overline{A})=d$ ?
Exercice 4358. On considère N coffres. Avec une probabilité $p$ un trésor à été placé dans l'un des coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert $N-1$ coffres sans trouver le tresor, quelle est la probabilité pour qu'il figure dans le dernier coffre ?
Exercice 4359. Une urne contient des boules noires et des boules blanches. Il y a 10 boules noires de plus que de blanches. Parmi les boules noires, $20$% portent un numéro. Parmi les blanches, $10$% portent un numéro. On sait que, quand on tire une boule dans cette urne et qu'elle est numérotée, la probabilité qu'elle soit blanche est de $0,25$. \\ Calculer le nombre de boules noires et blanches dans cette urne.
Exercice 4360. Soient $A$, $B$ et $C$ trois événements tels que $P(B \cap C) > 0$. \\ Montrer que \[ P(A | B \cap C) P(B | C) = P(A \cap B | C) \]
Exercice 4361. Une urne contient $8$ boules blanches et deux boules noires. \\ On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne. \\
  1. Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure à l'intérieur du tirage ?\\
  2. Sachant qu'une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ?
Exercice 4362. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) > 0$. \\ Comparer les probabilités \[ P(A \cap B | A \cup B) \quad \mathrm{et} \quad P(A \cap B | A ) \]
Exercice 4363. Soient $A$ et $B$ deux événements. \\ On suppose $0 < P(B) < 1$. \\ Montrer que $P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | \bar{B})P(\bar{B})$.
Exercice 4364. On considère $N$ urnes numérotées de $1$ à $N$ telles que l’urne $k$ contient $k$ boules blanches et $N-k$ boules noires.\\ On choisit une urne uniformément au hasard, puis on effectue des tirages avec remise dans cette urne.\\ Calculer pour tout $n \in \mathbb{N}$ la probabilité que les $n$ premières boules tirées soient blanches
Exercice 4365. Une information de type vrai/faux est transmise à l’intérieur d’une population. Avec une probabilité $p$, l’information reçue d’une personne est transmise telle quelle à la personne suivante. Avec une probabilité $1-p$, l’information reçue d’une personne est transmise de façon contraire à la personne suivante. On note $p_n$ la probabilité que l’information après $n$ transmissions soit correcte.\\
  1. Donner une relation de récurrence vérifiée par la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.\\
  2. En déduire la valeur de $p_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.\\
  3. Déterminer la limite de la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et interpréter.
Exercice 4366. On dispose d’une pièce de monnaie vérifiant que la probabilité d’obtenir "pile" est égale à $\Frac{1}{3}$ et de deux dés cubiques $D_1$ et $D_2$ parfaitement équilibrés : $D_1$ possède $4$ faces rouges et $2$ faces blanches ; $D_2$ possède $2$ faces rouges et $4$ faces blanches. On lance la pièce : si on obtient "pile" alors on effectue des lancers uniquement avec $D_1$ ; dans le cas contraire, on effectue des lancers uniquement avec $D_2$.\\
    1. Quelle est la probabilité que le premier lancer amène la couleur rouge ?\\
    2. On a obtenu "rouge" au premier lancer. Quelle est la probabilité que le lancer suivant amène la couleur rouge ?\\
    3. On a obtenu "rouge" aux deux premiers lancers. Quelle est la probabilité que le lancer suivant amène la couleur rouge ?\\
  2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On lance la pièce de monnaie puis on effectue $n$ lancers du dé correspondant. On suppose que l’on obtient "rouge" à chaque lancer.\\
    1. Déterminer la probabilité $p_n$ d’avoir encore "rouge" au lancer suivant.\\
    2. Calculer : $\limn p_n$. Comment interpréter ce résultat ?\\
  3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On lance la pièce de monnaie puis on effectue $n$ lancers du dé correspondant. On suppose toujours que l’on obtient "rouge" à chaque lancer.\\
    1. Déterminer la probabilité $q_n$ d’avoir effectué ces $n$ lancers avec le dé $D_1$.\\
    2. Calculer : $\limn q_n$. Comment interpréter ce résultat ?\\
    3. À partir de combien de "rouge" successifs peut-on affirmer que l’on utilise le dé $D_1$ avec une probabilité supérieure à $\Frac{9}{10}$ ?