Exercices divers

Exercice 1777. On dispose de $10$ boules numérotés de $1$ à $10$. On sélectionne un nombre quelconque de boules. Quelle est la probabilité que la somme des nombres figurant sur les boules sélectionnés soit égale à la somme des numéros des boules non sélectionnées ?

Exercice 1778. On donne la décomposition en facteurs irréductibles d’un entier $n \geqslant 2$ \\ \[ n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r} \] et on note $\mathbb{P}$ la probabilité uniforme sur $\Omega=\llbracket 1;n\rrbracket$. \\

1. Que définit la fonction d’Euler $\varphi(n)$ ? Rappeler sa valeur. \\
2. Soit $d$ un diviseur de $n$ et $D(d)$ l’ensemble de ses multiples dans $\Omega$. Calculer $\mathbb{P}(D(d))$. \\
3. On note $A$ l’ensemble des entiers de $\Omega$ premiers avec $n$ ; montrer \\ \[ A=\bigcap_{k=1}^{r}\overline{D(p_k)}. \]
4. Retrouver la valeur de $\varphi(n)$.