Exercices divers
Exercice
4367. On donne la décomposition en facteurs irréductibles d’un entier $n \geqslant 2$ \\
\[
n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}
\]
et on note $\mathbb{P}$ la probabilité uniforme sur $\Omega=\llbracket 1;n\rrbracket$. \\
- Que définit la fonction d’Euler $\varphi(n)$ ? Rappeler sa valeur. \\
- Soit $d$ un diviseur de $n$ et $D(d)$ l’ensemble de ses multiples dans $\Omega$. Calculer $\mathbb{P}(D(d))$. \\
- On note $A$ l’ensemble des entiers de $\Omega$ premiers avec $n$ ; montrer \\ \[ A=\bigcap_{k=1}^{r}\overline{D(p_k)}. \]
- Retrouver la valeur de $\varphi(n)$.
Exercice
4368. Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d’événements d’un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.\\
- Traduire sous forme ensembliste l’événement $A$ = "une infinité des événements de la suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont réalisés", et vérifier qu’il s’agit bien d’un événement.\\
- On suppose que la série $\Sum_{n \in \mathbb{N}}\mathbb{P}(A_n)$ est convergente. Montrer qu’il est presque impossible qu’une infinité de ces événements soient réalisés.
Exercice
4369. Urne de Polya\\
Une urne contient initialement $r \geqslant 1$ boules rouges et $b \geqslant 1$ boules blanches. On effectue des tirages successifs d’une boule, en remettant après chaque tirage la boule tirée dans l’urne avec en plus $c > 0$ boules de la même couleur. Pour tout $n \geqslant 1$, on note $R_n$ (resp. $B_n$) l’événement "la $n$-ième boule tirée est rouge (resp. blanche)".\\
- Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit rouge sachant que la seconde boule tirée est rouge.\\
- On note $p_n(r,b)$ la probabilité d’obtenir une boule rouge au $n$-ième tirage quand l’urne contient initialement $r$ boules rouges et $b$ boules blanches.\\
- Montrer que : $\forall n \geqslant 2,\quad p_n(r,b) = \Frac{r}{r+b}p_{n-1}(r+c,b) + \Frac{b}{r+b}p_{n-1}(r,b+c)$.\\
- En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la probabilité de $R_n$ est égale à $\Frac{r}{r+b}$.\\
- Démontrer en utilisant la même méthode que, pour $1 \leqslant m < n$, la probabilité de $R_m \cap R_n$ est $\Frac{r(r+c)}{(r+b)(r+b+c)}$. On pourra noter $p_{m,n}(r,b)$ la probabilité d’obtenir des boules rouges aux $m$-ième et $n$-ième tirages, quand l’urne contient initialement $r$ boules rouges et $b$ boules blanches, et raisonner par récurrence sur $m$. En déduire la probabilité de $R_m \cap B_n$.\\
- Pour $0 \leqslant k \leqslant n$, calculer la probabilité que les $n$ premiers tirages aient donné exactement $k$ boules rouges.
Exercice
4370. On considère une urne contenant $n$ jetons numérotés de $1$ à $n$ ($n \geqslant 2$).\\
On prélève ces jetons au hasard, un par un et sans remise. On note $(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ la liste des numéros tirés.\\
Pour $i \in \llbracket 2,n \rrbracket$, on dit qu’il y a record à l’instant $i$ si $u_i > \max\{u_1,\ldots,u_{i-1}\}$.\\
On convient qu’il y a systématiquement record à l’instant $1$.\\
- Calculer, pour $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$, la probabilité $r_i$ qu’il y ait record à l’instant $i$.\\
- Calculer la probabilité que, durant la totalité des tirages, on assiste exactement à un seul record.\\ Calculer la probabilité que, durant la totalité des tirages, on assiste exactement à $n$ records.\\ Calculer la probabilité que, durant la totalité des tirages, on assiste exactement à deux records ?
Exercice
4371. Soit $n \geqslant 2$ et $r = n - 2$. On considère $n$ personnes dont $A$ et $B$.\\
- Elles s’alignent au hasard dans une file. Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement $r$ personnes entre $A$ et $B$ ?\\
- Même question si elles se placent sur un cercle et que l’on compte les personnes entre $A$ et $B$ en tournant dans le sens direct.
Exercice
4372. On dispose de $10$ boules numérotés de $1$ à $10$. On sélectionne un nombre quelconque de boules. Quelle est la probabilité que la somme des nombres figurant sur les boules sélectionnés soit égale à la somme des numéros des boules non sélectionnées ?
Exercice
4373. Soit $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{P})$.\\
- On pose $\alpha = P(A \cap B)$, $\beta = P(A \cap \overline{B})$, $\gamma = P(\overline{A} \cap B)$ et $\delta = P(\overline{A} \cap \overline{B})$.\\ Montrer que : $P(A \cap B) - P(A)P(B) = \alpha\delta - \beta\gamma$.\\
- En déduire que $\lvert P(A \cap B) - P(A)P(B) \rvert \leqslant \Frac{1}{4}$.