Exercices divers

Exercice 6103. On dispose de $10$ boules numérotés de $1$ à $10$. On sélectionne un nombre quelconque de boules. Quelle est la probabilité que la somme des nombres figurant sur les boules sélectionnés soit égale à la somme des numéros des boules non sélectionnées ?
Exercice 6104. On appelle variable de Rademacher toute variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{-1,1\}$ telle que $\mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(X=-1)=\Frac{1}{2}$.\\ Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $(X_{i,j})_{(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2}$ une famille de variables aléatoires de Rademacher mutuellement indépendantes.\\ On note $A$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\forall (i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2$, $A_{i,j}=X_{i,j}$.\\ Montrer que l'espérance de $\det(A)$ est nulle.
Exercice 6105. On donne la décomposition en facteurs irréductibles d’un entier $n \geqslant 2$ \\ \[ n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r} \] et on note $\mathbb{P}$ la probabilité uniforme sur $\Omega=\llbracket 1;n\rrbracket$. \\
  1. Que définit la fonction d’Euler $\varphi(n)$ ? Rappeler sa valeur. \\
  2. Soit $d$ un diviseur de $n$ et $D(d)$ l’ensemble de ses multiples dans $\Omega$. Calculer $\mathbb{P}(D(d))$. \\
  3. On note $A$ l’ensemble des entiers de $\Omega$ premiers avec $n$ ; montrer \\ \[ A=\bigcap_{k=1}^{r}\overline{D(p_k)}. \]
  4. Retrouver la valeur de $\varphi(n)$.
Exercice 6106. Soit $n \geqslant 2$ et $r = n - 2$. On considère $n$ personnes dont $A$ et $B$.\\
  1. Elles s’alignent au hasard dans une file. Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement $r$ personnes entre $A$ et $B$ ?\\
  2. Même question si elles se placent sur un cercle et que l’on compte les personnes entre $A$ et $B$ en tournant dans le sens direct.
Exercice 6107. Soit $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{P})$.\\
  1. On pose $\alpha = P(A \cap B)$, $\beta = P(A \cap \overline{B})$, $\gamma = P(\overline{A} \cap B)$ et $\delta = P(\overline{A} \cap \overline{B})$.\\ Montrer que : $P(A \cap B) - P(A)P(B) = \alpha\delta - \beta\gamma$.\\
  2. En déduire que $\lvert P(A \cap B) - P(A)P(B) \rvert \leqslant \Frac{1}{4}$.
Exercice 6108. Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$ un espace probabilisé et $(A_n)_{n\geqslant 0}$ une suite d'événements. On pose \[ A=\bigcup_{p\geqslant 0}\bigcap_{n\geqslant p}A_n. \]
  1. Prouver que \[ \mathbb{P}(A)\leqslant \lim_{p\to+\infty}\left(\inf_{n\geqslant p}\mathbb{P}(A_n)\right). \]
  2. Donner une situation où l'inégalité est stricte.
Exercice 6109. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on note $\varphi(n)$ le nombre d'entiers $k\in I_n=\llbracket 1,n\rrbracket$ premiers avec $n$.\\ On munit $I_n$ de la loi de probabilité uniforme.\\
  1. Soit $d$ un diviseur de $n$.\\ \startlettersnext
  2. a Quelle est la probabilité pour que le pgcd de $k\in I_n$ et $n$ soit $d$ ? En déduire que \[ n=\Sum_{d\mid n}\varphi(d). \]
  3. a Quelle est la probabilité que $k\in I_n$ soit un multiple de $d$ ?\\
  4. Donner une CNS sur $d$ et $e$ diviseurs de $n$ pour que les événements "$d$ divise $k$" et "$e$ divise $k$" soient indépendants.\\
  5. En déduire que si $P_n$ désigne l'ensemble des diviseurs premiers de $n$, la probabilité de "$k\in I_n$ est premier avec $n$" est \[ \Prod_{p\in P_n}\parenthese{1-\Frac{1}{p}}. \]
  6. Expliciter $\varphi(n)$ lorsque $n$ est donné par sa décomposition en facteurs premiers : \[ n=\Prod_{k=1}^{r}p_k^{m_k}. \]
Exercice 6110. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires de Rademacher mutuellement indépendantes. On pose \[ S_n=\Sum_{k=1}^{n}X_k. \]
  1. Soit $t\in\mathbb{R}^+$, montrer que $\mathbb{E}(e^{tS_n})=(\ch t)^n$. En déduire que \[ \mathbb{E}(e^{tS_n})\leqslant e^{\frac{nt^2}{2}}. \]
  2. Soient $\varepsilon > 0$ et $t\in\mathbb{R}^+$, montrer que \[ \mathbb{P}\parenthese{\Frac{S_n}{n}\geqslant \varepsilon} \leqslant \exp\parenthese{\Frac{nt^2}{2}-nt\varepsilon} \] et en déduire que \[ \mathbb{P}\parenthese{\Frac{S_n}{n}\geqslant \varepsilon} \leqslant \exp\parenthese{-\Frac{\varepsilon^2 n}{2}}. \]
Exercice 6111. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de même loi à valeurs strictement positives. Montrer que \[ \mathbb{E}\parenthese{\Frac{X}{Y}}\geqslant 1. \]
Exercice 6112. Soient $p$ et $q$ deux réels strictement positifs tels que \[ \Frac{1}{p}+\Frac{1}{q}=1. \]
  1. Montrer que pour tous réels positifs $a$ et $b$, \[ ab\leqslant \Frac{a^p}{p}+\Frac{b^q}{q}. \]
  2. En déduire que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires réelles sur l'espace probabilisé fini $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$, alors \[ \mathbb{E}(\abs{XY}) \leqslant \mathbb{E}(\abs{X}^p)^{\frac{1}{p}} \mathbb{E}(\abs{Y}^q)^{\frac{1}{q}}. \]
Exercice 6113. On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ et de deux jetons. On jette aléatoirement les deux jetons dans les deux urnes. Les deux jetons peuvent être soit tous les deux dans $U_1$, soit dans $U_2$, soit distribués dans chaque urne.\\ On réalise ensuite la série d’expériences suivantes. On choisit une urne au hasard.\\
  • Si elle est non vide, on choisit un jeton à l’intérieur que l’on replace au hasard dans l’une des urnes.
  • Si elle est vide, on passe à l’autre urne, qui contient donc nécessairement deux jetons, et on replace un jeton dans l’une des deux urnes choisie aléatoirement.
On définit $X_n$, avec $n \geqslant 0$, la variable aléatoire égale au nombre de jetons dans l’urne $U_1$ à la fin de la $n$-ième expérience.\\ On pose, pour tout entier $n$, \[ Z_n= \begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_n=0)\\ \mathbb{P}(X_n=1)\\ \mathbb{P}(X_n=2) \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad Z_0= \begin{pmatrix} p\\ q\\ r \end{pmatrix}, \] avec $p+q+r=1$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $Z_{n+1}=AZ_n$ avec \[ A= \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 & 0\\ 1/2 & 1/2 & 1/2\\ 0 & 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}. \]
  2. Montrer que $A$ admet trois valeurs propres distinctes et en déduire l’expression de $A^n$ pour tout entier $n$.
  3. Déterminer la loi de $X_n$.
  4. Montrer que la suite $(Z_n)_{n \geqslant 0}$ admet une limite $(\ell_1,\ell_2,\ell_3)^T$ et reconnaître la loi de la variable $X$ telle que $\mathbb{P}(X=k)=\ell_k$ pour $k \in \{1,2,3\}$.
  5. Écrire en Python un programme qui simule cette expérience. Vérifier la loi de $X$.
Exercice 6114. On tire successivement et aléatoirement un entier entre $1$ et $N$. \\ Tant que l’entier tiré est supérieur ou égal au précédent, on continue. \\ Si l’entier tiré est strictement inférieur au précédent, on s’arrête. \\ On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour terminer le jeu. \\
  1. Soient $(n,k)\in(\mathbb{N}^*)^2$. Déterminer le nombre de $k$-uplets $(x_1,\ldots,x_k)$ tels que : \[ 1\leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_k\leqslant n. \]
  2. Déterminer le nombre $\Gamma_k^n$ de $k$-uplets $(x_1,\ldots,x_k)$ tels que : \[ 1\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant \cdots \leqslant x_k\leqslant n. \]
  3. Déterminer la loi de $X$.
Exercice 6115. On considère un jeu à $n$ stratégies. On note $P=(p_i)$ et $Q=(q_i)$ deux lois de probabilité. On suppose qu’il existe une matrice $A=(a_{i,j})$ antisymétrique telle que le gain vaut $a_{i,j}$.
  1. Montrer que l’espérance du gain s’écrit $Q^T A P$.
  2. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures.
Exercice 6116. Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d’événements d’un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.\\
  1. Traduire sous forme ensembliste l’événement $A$ = "une infinité des événements de la suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont réalisés", et vérifier qu’il s’agit bien d’un événement.\\
  2. On suppose que la série $\Sum_{n \in \mathbb{N}}\mathbb{P}(A_n)$ est convergente. Montrer qu’il est presque impossible qu’une infinité de ces événements soient réalisés.
Exercice 6117. On considère une urne contenant $n$ jetons numérotés de $1$ à $n$ ($n \geqslant 2$).\\ On prélève ces jetons au hasard, un par un et sans remise. On note $(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ la liste des numéros tirés.\\ Pour $i \in \llbracket 2,n \rrbracket$, on dit qu’il y a record à l’instant $i$ si $u_i > \max\{u_1,\ldots,u_{i-1}\}$.\\ On convient qu’il y a systématiquement record à l’instant $1$.\\
  1. Calculer, pour $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$, la probabilité $r_i$ qu’il y ait record à l’instant $i$.\\
  2. Calculer la probabilité que, durant la totalité des tirages, on assiste exactement à un seul record.\\ Calculer la probabilité que, durant la totalité des tirages, on assiste exactement à $n$ records.\\ Calculer la probabilité que, durant la totalité des tirages, on assiste exactement à deux records ?
Exercice 6118. On considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$.\\
  1. On considère des variables aléatoires $Y,Y_1,Y_2,\ldots$ à valeurs dans un ensemble dénombrable $E\subset\mathbb{R}_+$. On suppose : \[ Y_k(\omega)\leqslant Y_{k+1}(\omega) \] pour tous $k$ et $\omega$, et qu'il existe un événement $\Omega'$ tel que $\mathbb{P}(\Omega')=1$ et \[ \forall \omega\in\Omega',\quad Y_k(\omega)\xrightarrow[k\to+\infty]{}Y(\omega). \] Prouver que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ \mathbb{P}(Y_k\leqslant x)\xrightarrow[k\to+\infty]{}\mathbb{P}(Y\leqslant x). \]
  2. À partir de maintenant, $Y\in L^1$ et tous les points de $E$ sont isolés, c'est-à-dire : \[ \forall x\in E,\quad \exists \varepsilon > 0,\quad [x-\varepsilon,x+\varepsilon]\cap E=\{x\}. \] Prouver que, pour tout $x\in E$, \[ \mathbb{P}(Y_k=x)\xrightarrow[k\to+\infty]{}\mathbb{P}(Y=x). \]
  3. Prouver que la suite $(\mathbb{E}(Y_k))_k$ est convergente vers une limite $\ell$, puis prouver que \[ \ell=\mathbb{E}(Y). \]
Exercice 6119. On considère un entier $n\geqslant 2$. Soient $X_n$ et $Y_n$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\intervalleEntier{1}{n}^2$. Soit $r\in\mathbb{Q}_+^*$, on note \[ p_n=\mathbb{P}(X_n\neq Y_n,\ g_n(X_n,Y_n)=r), \] où $g_n(A,B)\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ désigne la pente de la droite $(AB)$ lorsque $A\neq B$, infinie par convention si la droite est verticale.\\ Calculer un équivalent de $p_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 6120. On s'intéresse à présent à une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^2$.\\ Soit $(M_n=(X_n,Y_n))_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi vérifiant, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, \[ \mathbb{P}(M_n=(1,0))=\mathbb{P}(M_n=(-1,0))=\mathbb{P}(M_n=(0,1))=\mathbb{P}(M_n=(0,-1))=\Frac{1}{4}. \]
  1. Montrer que les variables aléatoires $X_n$ et $Y_n$ ne sont pas indépendantes. \\
  2. On pose $A_n=X_n+Y_n$ et $B_n=X_n-Y_n$. Montrer que $A_n$ et $B_n$ sont indépendantes. \\
  3. Posons $S_0=(0,0)$ et $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $S_n=\Sum_{k=1}^{n}M_k$. Déterminer $\mathbb{P}(S_{2n}=(0,0))$. \\
  4. $\norme{\cdot}$ désigne la norme euclidienne. Montrer que $\mathbb{E}(\norme{S_n})\leqslant \sqrt{n}$.
Exercice 6121. Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on définit \[ \forall x \in [0,1],\quad B_n(f)(x)=\Sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}. \] Montrer que la suite de fonctions $(B_n(f))_{n \geqslant 1}$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.
Exercice 6122. Soit $q \in \mathbb{N}^*$ et $n=2q+1$. Pour $k \in [0,n-1]$, on note $A_k$ le point d'affixe $z_k=e^{2i\pi k/n}$. Pour $k \in [1,n-1]$, soit $B_k$ le point d'intersection de la droite $(A_0A_k)$ avec la droite d'équation $z=-1$. Soit $W_n$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[1,n-1]$. \\ On pose \[ Z_n=2\cotan\left(\Frac{\pi W_n}{n}\right). \] \\
  1. Montrer que l'ordonnée de $B_k$ est égale à $2\cotan\left(\Frac{\pi k}{n}\right)$.
  2. Calculer $\mathbb{E}[Z_n]$.
  3. Donner un équivalent de $\mathbb{E}[|Z_n|]$ quand $n$ tend vers l'infini.
Exercice 6123. On considère deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant à elles deux $N$ boules. À chaque étape, on choisit de façon équiprobable un entier entre $1$ et $N$. Si ce nombre est inférieur ou égal au nombre de boules contenues dans l’urne $U_1$, alors on met une boule de l’urne $U_1$ dans l’urne $U_2$ ; sinon, on met une boule de l’urne $U_2$ dans l’urne $U_1$.\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules présentes dans l’urne $U_1$ à l’issue de la $n$-ième étape.\\ $X_0$ est égale au nombre de boules initialement présentes dans l’urne $U_1$. On définit le vecteur colonne \[ C_n= \begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_n=0)\\ \mathbb{P}(X_n=1)\\ \vdots\\ \mathbb{P}(X_n=N) \end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que pour tout entier $n$, $C_{n+1}=AC_n$, où $A$ est la matrice d’ordre $N+1$ donnée par \[ A= \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{N} & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 1 & 0 & \frac{2}{N} & \ddots & & & \vdots\\ 0 & \frac{N-1}{N} & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \frac{N-1}{N} & 0\\ \vdots & & & 0 & \frac{2}{N} & 0 & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \frac{1}{N} & 0 \end{pmatrix}. \]
  2. Montrer que \[ \mathbb{E}[X_{n+1}-X_n]=1-\frac{2}{N}\mathbb{E}[X_n] \] puis en déduire l’expression de $\mathbb{E}[X_n]$ en fonction de $n$ et de $\mathbb{E}[X_0]$.
  3. On suppose $N > 2$. Déterminer la limite de $\mathbb{E}[X_n]$ lorsque $n$ tend vers l’infini et donner une interprétation.
  4. Montrer que $1$ est une valeur propre de ${}^tA$ puis de $A$.
  5. Soit \[ X= \begin{pmatrix} x_0\\ x_1\\ \vdots\\ x_N \end{pmatrix} \] un vecteur propre pour la valeur propre $1$. Montrer que, pour tout $k \in [\![0,N]\!]$, $x_k=\binom{N}{k}x_0$. Quelle est la dimension du sous-espace propre $E_1(A)$ associé à la valeur propre $1$ ?
  6. Montrer qu’il existe un unique vecteur \[ \pi= \begin{pmatrix} \pi_0\\ \vdots\\ \pi_N \end{pmatrix} \in E_1(A) \] tel que $\Sum_{k=0}^N \pi_k=1$.
  7. On définit la variable aléatoire $X_{\infty}$ telle que $X_{\infty}(\Omega)=[\![0,N]\!]$ et, pour tout $k \in [\![0,N]\!]$, $\mathbb{P}(X_{\infty}=k)=\pi_k$. Quelle est la loi suivie par $X_{\infty}$ ? Donner son espérance et sa variance.
  8. On suppose que $X_0$ suit la même loi que $X_{\infty}$. Quelle est la loi de $X_n$ pour tout entier $n$ ? Quelle interprétation peut-on en donner ?
Exercice 6124. Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,n \rrbracket$. \\ On note $R_n$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $X_n$. \\ On pose : \[ Y_n=\frac{R_n}{X_n}. \] Calculer : \[ \mathbb{P}\left(Y_n\geqslant \frac{1}{2}\right) \] et déterminer sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 6125. Urne de Polya\\ Une urne contient initialement $r \geqslant 1$ boules rouges et $b \geqslant 1$ boules blanches. On effectue des tirages successifs d’une boule, en remettant après chaque tirage la boule tirée dans l’urne avec en plus $c > 0$ boules de la même couleur. Pour tout $n \geqslant 1$, on note $R_n$ (resp. $B_n$) l’événement "la $n$-ième boule tirée est rouge (resp. blanche)".\\
  1. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit rouge sachant que la seconde boule tirée est rouge.\\
  2. On note $p_n(r,b)$ la probabilité d’obtenir une boule rouge au $n$-ième tirage quand l’urne contient initialement $r$ boules rouges et $b$ boules blanches.\\
    1. Montrer que : $\forall n \geqslant 2,\quad p_n(r,b) = \Frac{r}{r+b}p_{n-1}(r+c,b) + \Frac{b}{r+b}p_{n-1}(r,b+c)$.\\
    2. En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la probabilité de $R_n$ est égale à $\Frac{r}{r+b}$.\\
  3. Démontrer en utilisant la même méthode que, pour $1 \leqslant m < n$, la probabilité de $R_m \cap R_n$ est $\Frac{r(r+c)}{(r+b)(r+b+c)}$. On pourra noter $p_{m,n}(r,b)$ la probabilité d’obtenir des boules rouges aux $m$-ième et $n$-ième tirages, quand l’urne contient initialement $r$ boules rouges et $b$ boules blanches, et raisonner par récurrence sur $m$. En déduire la probabilité de $R_m \cap B_n$.\\
  4. Pour $0 \leqslant k \leqslant n$, calculer la probabilité que les $n$ premiers tirages aient donné exactement $k$ boules rouges.
Exercice 6126. Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$ un espace probabilisé et $(A_n)_{n\geqslant 0}$ une suite d'événements. On définit \[ A=\bigcap_{n=0}^{+\infty}\left(\bigcup_{m=n}^{+\infty}A_m\right). \]
  1. Prouver que $A$ est un événement, en donner une interprétation.\\
  2. On suppose que $\sum \mathbb{P}(A_n)$ converge. Prouver que $\mathbb{P}(A)=0$.\\
  3. On suppose maintenant que les $(A_n)_{n\geqslant 0}$ sont indépendants et que $\sum \mathbb{P}(A_n)$ diverge. Prouver que $\mathbb{P}(A)=1$.\\
  4. Applications.\\ \startlettersnext
  5. a On considère des variables aléatoires discrètes $X,X_0,X_1,\ldots,X_n,\ldots$. On suppose que pour tout $\varepsilon > 0$, \[ \sum_n \mathbb{P}(|X_n-X|\geqslant \varepsilon) \] converge. Prouver qu'il existe un événement presque sûr $\Omega'\in\mathcal{T}$ tel que \[ \forall \omega\in\Omega',\quad X_n(\omega)\xrightarrow[n\to+\infty]{}X(\omega). \]
  6. a Montrer qu'il n'existe pas de probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega=\mathbb{N}^*$ muni de la tribu $\mathcal{T}=\mathcal{P}(\Omega)$ telle que \[ \forall n\in\Omega,\quad \mathbb{P}(\{k\in\Omega,\ k\equiv 0\ [n]\})=\frac{1}{n}. \] On admettra que $\sum_{p\in\mathcal{P}} \frac{1}{p}$ diverge, $\mathcal{P}$ désignant l'ensemble des nombres premiers.
Exercice 6127. Soient $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$ un espace probabilisé et $(X_i)_{i\geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, centrées et telles que $\mathbb{E}(X_1^4) < +\infty$. On pose \[ S_n=\sum_{i=1}^n X_i. \]
  1. Montrer qu'il existe une constante $C > 0$ telle que \[ \forall n\geqslant 1,\quad \mathbb{E}(S_n^4)\leqslant Cn^2. \]
  2. Soit $\varepsilon > 0$. Prouver que \[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{k\geqslant n}\left(\left|\frac{S_k}{k}\right| > \varepsilon\right)\right)\xrightarrow[n\to+\infty]{}0. \]
  3. Calculer la probabilité de l'événement \[ A=\bigcap_{p\geqslant 1}\left(\bigcup_{n\geqslant 1}\left(\bigcap_{k\geqslant n}\left(\left|\frac{S_k}{k}\right|\leqslant \frac{1}{p}\right)\right)\right), \] interpréter et généraliser.
Exercice 6128. Soit $p\in]0,1[$ et $(X_i)_{i\geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi commune sur $\{-1,+1\}$ donnée par \[ \mathbb{P}(X_i=1)=p \quad\mathrm{et}\quad \mathbb{P}(X_i=-1)=1-p. \] On définit, pour tout $n\geqslant 1$, \[ S_n=\sum_{i=1}^n X_i, \] avec $S_0=0$. On introduit le premier temps de retour à l'origine : \[ T=\inf\{n\geqslant 1,\ S_n=0\}, \] avec la convention $\inf\varnothing=+\infty$.\\ On pose \[ a_n=\mathbb{P}(S_n=0),\qquad b_n=\mathbb{P}(T=n), \] ainsi que les séries entières : \[ A(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nt^n \quad\mathrm{et}\quad B(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nt^n. \]
  1. On se place dans le cas où $p=\frac{1}{2}$.\\ \startletters
  2. a Prouver que $a_{2n+1}=0$ et que, pour tout $t\in]-1,1[$, \[ A(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}. \]
  3. a Prouver que pour tout $n\geqslant 1$, \[ a_n=\sum_{k=1}^n a_{n-k}b_k. \] En déduire une expression de $B(t)$ sur $]-1,1[$.\\
  4. a En déduire que $\mathbb{P}(T < +\infty)=1$, interpréter.\\
  5. On suppose maintenant que $p\neq \frac{1}{2}$. En utilisant le théorème de Borel-Cantelli, prouver que presque sûrement, on ne revient qu'un nombre fini de fois à l'origine.
Exercice 6129. On reprend le modèle de la marche aléatoire de l'exercice précédent dans le cas $p=\frac{1}{2}$.\\
  1. Prouver que, pour tout $a\in\mathbb{Z}$, \[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{+\infty}(S_i\leqslant a)\right)=0. \] En déduire que, presque sûrement, $(S_n)_n$ n'est pas majorée.\\
  2. Soit $(c_n)_n\in(\mathbb{R}_+^*)^\mathbb{N}$ telle que \[ \sum_n \frac{n}{c_n^2} \] converge. Prouver que, presque sûrement, \[ |S_n| < c_n \] à partir d'un certain rang.
Exercice 6130. Soit $\alpha > 1$. On travaille dans l'espace probabilisable $(\mathbb{N}^*,\mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ muni de la probabilité $\mathbb{P}$ définie par \[ \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \mathbb{P}(\{n\})=\frac{1}{\zeta(\alpha)n^\alpha}, \] avec \[ \zeta:t\mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^t}. \] On note $(p_k)_{k\geqslant 1}$ la suite des nombres premiers.\\
  1. Montrer que les événements $p_k\mathbb{N}^*=\{p_kn,\ n\in\mathbb{N}^*\}$ sont indépendants.\\
  2. En déduire que \[ \prod_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{p_k^\alpha}}=\zeta(\alpha). \]
  3. En déduire la nature de \[ \sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{p_k}. \]
Exercice 6131.
  1. Soit $X$ une variable aléatoire centrée à valeurs dans $[a,b]$, intervalle de $\mathbb{R}$. Montrer que pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a \[ \mathbb{E}\parenthese{\exp(tX)} \leqslant \exp\parenthese{\Frac{t^2(b-a)^2}{8}}. \]
  2. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que $\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $X_i$ est à valeurs dans $[a_i,b_i]$. Montrer que $\forall s > 0$, \[ \mathbb{P}\parenthese{\Sum_{i=1}^{n}(X_i-\mathbb{E}(X_i))\geqslant s} \leqslant \exp\parenthese{-\Frac{2s^2}{\Sum_{i=1}^{n}\abs{b_i-a_i}^2}}. \]
Exercice 6132. Soit $(X_i)_{i\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires de Rademacher mutuellement indépendantes. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=\Sum_{i=1}^{n}X_i$, avec $S_0=0$.\\ On dit qu'il y a retour en zéro à l'instant $n\in\mathbb{N}^*$ si $S_n=0$.\\
  1. Soit $n\in\mathbb{N}^*$, quelle est la probabilité qu'il y ait retour en zéro à l'instant $n$ ? \\
  2. Montrer qu'il y a presque sûrement retour en zéro. \\
  3. Montrer que la probabilité que le premier retour en zéro soit à l'instant $2n$ est égale à \[ \Frac{1}{2^{2n-1}}\parenthese{\binom{2n-2}{n-1}-\binom{2n-2}{n}}. \]