Isomorphismes, endomorphismes

Exercice 3906. Soit $f : \R^2 \to \R^2$ définie par $f(x,y) = (x + y, x - y)$.\\ Montrer que $f$ est un automorphisme de $\R^2$ et déterminer son automorphisme réciproque.
Exercice 3907. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $x\in E$, $x$ et $f(x)$ soient colinéaires.\\ Montrer que $f$ est une homothétie vectorielle.
Exercice 3908. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ stable par composition et contenant l'endomorphisme $\mathrm{Id}_E$.\\ Montrer que $F\cap \mathrm{GL}(E)$ est un sous-groupe de $(\mathrm{GL}(E),\circ)$.
Exercice 3909. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$.\\
  1. Montrer que $f$ est une homothétie si et seulement si pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.\\
  2. Si $E$ est de dimension finie, déterminer les éléments de $\mathcal{L}(E)$ commutant avec tous les éléments de $\mathcal{L}(E)$.
Exercice 3910. Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Considérons une application $f$ de $E$ dans $E$ telle que : $\forall (x,y)\in E^2,\ (f(x)|f(y))=(x|y)$.\\ Démontrer que $f$ est linéaire.
Exercice 3911. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev, $f \in \mathcal{L}(E)$.\\ On suppose que, pour tout $x$ de $E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.\\ Démontrer que $f$ est une homothétie.
Exercice 3912. $E = \mathcal{C}^{\infty}(\R,\R)$ et $F = \{f \in E, \;\; f(0)=0 \}$. \\ Soit $S : F \to E$, $f \mapsto f'+3f$. \\ Montrer que $S$ est un isomorphisme de $\R$-espace vectoriel.
Exercice 3913. Soit $J : C([0;1],\R) \to \R$ définie par $J(f)=\integrale{0}{1}{f(t)}{t}$.\\ Montrer que $J$ est une forme linéaire.
Exercice 3914. Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels. Montrer que $E^*\times F^*$ est isomorphe à $(E\times F)^*$.
Exercice 3915. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$ nilpotent, i.e. tel qu'il existe $n\in\mathbb{N}^*$ pour lequel $f^n=0$.\\ Montrer que $\mathrm{Id}-f$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $f$.
Exercice 3916. À quelle condition une translation et un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ commutent-ils ?
Exercice 3917. Soient $a\in\R$ et \[ f:(x,y,z)\mapsto(2y+z,x+z,-x+y+az). \]
  1. Montrer que $f\in\mathcal{L}(\R^3)$.\\
  2. Déterminer $a$ pour que $f$ soit un automorphisme de $\R^3$.\\
  3. Lorsque $a=1$, vérifier que $f$ est bijective, calculer $f^{-1}$ et montrer que $f^{-1}$ est encore linéaire.\\
  4. Lorsque $f$ n’est pas bijective, expliciter une base du noyau et de l’image de $f$.
Exercice 3918. Soient $a$, $b$ et $c$ trois complexes distincts, puis $E$ un $\C$-espace vectoriel. Soit \[ f\in\mathcal{L}(E) \] tel que \[ (f-a\,\mathrm{id})(f-b\,\mathrm{id})(f-c\,\mathrm{id})=0. \] Dans toute la suite, pour tout \[ \lambda\in\C, \] on note \[ E_\lambda(f)=\Ker(f-\lambda\,\mathrm{id}). \]
  1. Montrer que \[ E=E_a(f)\oplus E_b(f)\oplus E_c(f). \]
  2. On note $F$ l’ensemble des suites $u\in\C^\N$ telles que \[ \forall n\in\N,\quad u_{n+3}=u_{n+1}+6u_n. \] Montrer que \[ f:(u_n)_{n\in\N}\mapsto(u_{n+1})_{n\in\N} \] est dans $\mathcal{L}(F)$.\\
  3. En déduire une base de $F$.\\
  4. On note $\mathcal{S}$ l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \[ y^{(3)}-y^{(2)}+2y=0. \] On note \[ f:y\mapsto y'. \] En utilisant la même démarche, déterminer une base de $\mathcal{S}$.
Exercice 3919. Soient $A$, $B$, $C$ et $B'$ quatre espaces vectoriels sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et soient $f$, $g$, $f'$, $g'$ et $h$ des applications linéaires telles que \\ \[ A \overset{f}{\longrightarrow} B \overset{g}{\longrightarrow} C,\qquad A \overset{f'}{\longrightarrow} B' \overset{g'}{\longrightarrow} C,\qquad B \overset{h}{\longrightarrow} B'. \] On suppose en outre que : \\
  1. $h \circ f=f'$ et $g' \circ h=g$.\\
  2. $f$ et $f'$ sont injectives, $g$ et $g'$ sont surjectives.\\
  3. $\mathrm{Im}(f)=\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(f')=\ker(g')$.\\
Montrer que $h$ est un isomorphisme.
Exercice 3920. \\
  1. Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer que si pour tout $x \in E$ les vecteurs $x$ et $f(x)$ sont colinéaires, alors $f$ est une homothétie, i.e. $f=\lambda \mathrm{id}$ pour un certain $\lambda$ .\\
  2. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $u \in \mathcal{L}(E)$, $u \circ f=f \circ u$. Montrer que $f$ est une homothétie.
Exercice 3921. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $A,B\in M_n(\mathbb{C})$. On considère l'application \[ f:M_n(\mathbb{C})\longrightarrow M_n(\mathbb{C}),\quad M\longmapsto f(M)=AM-MB. \]
  1. Vérifier que $f$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $M_n(\mathbb{C})$.\\
  2. Établir : \[ \forall p\in\mathbb{N},\ \forall M\in M_n(\mathbb{C}),\quad f^p(M)=\Sum_{k=0}^p \binom{p}{k}(-1)^{p-k}A^kMB^{p-k}. \]
  3. En déduire que, si $A$ et $B$ sont nilpotentes, alors $f$ est nilpotent.
Exercice 3922. Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$, tels que $u\circ v=v\circ u$. On suppose qu'il existe $(\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2$ tels que \[ u\circ v+\alpha u+\beta v=0, \] avec $\alpha\neq 0$ et $\beta\neq 0$.\\ Montrer que $u+\beta\,\mathrm{id}_E$ est inversible.\\ Si l'on suppose que $E$ est de dimension finie, on peut enlever l'hypothèse de commutativité et demander de prouver cette commutativité après avoir montré la première question.
Exercice 3923. Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $f \neq 0$ et $f^2=0$.
  1. Déterminer $\rg(f)$ et $\dim(\ker(f))$.\\
  2. En déduire qu’il existe une base de $\mathbb{R}^3$ telle que la matrice de $f$ dans cette base soit \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Exercice 3924. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $f : M_n(\mathbb{R}) \to M_n(\mathbb{R}),\; M \mapsto {}^t M$.\\
  1. Vérifier : $f \in \mathcal{L}(M_n(\mathbb{R}))$.\\
  2. Calculer $\mathrm{rg}(f)$, $\mathrm{tr}(f)$, $\det(f)$.
Exercice 3925. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $x \in E$ la famille $(x,u(x))$ est liée. Montrer que $u$ est une homothétie.
Exercice 3926. Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent d’indice $n$, c’est à dire que $u^n=0$ et il existe $x \in E$ tel que $u^{n-1}(x) \neq 0$.
  1. Montrer que $\beta=(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))$ est une base de $E$.\\
  2. Soit $v \in \mathcal{L}(E)$ qui commute avec $u$. En écrivant $v(x)$ dans la base $\beta$, montrer que $v \in \mathrm{Vect}(\mathrm{id}_E,u,\ldots,u^{n-1})$.\\
  3. En déduire l’ensemble des endomorphismes de $E$ qui commutent avec $u$.
Exercice 3927. Soient $n\in\N^*$ et \[ u\in \mathcal{L}(\R^{3n}) \] tel que \[ u^3=0 \quad \mathrm{et} \quad \mathrm{Rg}(u^2)=n. \] Déterminer la dimension du commutant \[ \mathcal{C}(u) \] de $u$.
Exercice 3928. Soient \[ A,B\in \mathcal{M}_n(\C) \] telles que \[ \ker(A)=\ker(B). \] Montrer qu'il existe \[ P\in \mathrm{Gl}_n(\C) \] tel que \[ A=PB. \]
Exercice 3929. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u\in\mathcal{L}(E)$.\\ Notons \[ \mathcal{P}=\{P(u)\mid P\in\mathbb{K}[X]\}\quad\mathrm{et}\quad \mathcal{C}=\{v\in\mathcal{L}(E)\mid v\circ u=u\circ v\}. \]
  1. Montrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{C}$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ et que $\mathcal{P}\subset\mathcal{C}$.\\
  2. Soit $x\in E$. Montrer que le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $x$ qui est stable par $u$ est \[ F_x=\{P(u)(x)\mid P\in\mathbb{K}[X]\}. \]
  3. Si $x\in E$, on dira que $x$ est $u$-générateur si et seulement si $F_x=E$. Notons \[ \varphi_x:\mathcal{L}(E)\longrightarrow E,\qquad v\longmapsto v(x). \] Montrer que $x$ est $u$-générateur si et seulement si $\varphi_x{}_{|\mathcal{P}}$ est surjective.\\
  4. Montrer que si $x$ est $u$-générateur alors $\varphi_x{}_{|\mathcal{C}}$ est injective.\\ En déduire que si $E$ possède un $u$-générateur, alors $\mathcal{P}=\mathcal{C}$.
Exercice 3930. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $d$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$. On note \[ N_k=\ker(f^k),\quad n_k=\dim(N_k),\quad I_k=\mathrm{Im}(f^k) \]
  1. Montrer que la suite $(N_k)_{k \geqslant 0}$ est croissante pour l’inclusion. Que dire de la suite $(I_k)_{k \geqslant 0}$ ?\\
  2. En étudiant la suite d’entiers naturels $(n_k)_{k \geqslant 0}$, montrer qu’il existe un entier $p \leqslant d$ tel que la suite $(N_k)$ soit strictement croissante pour l’inclusion jusqu’au rang $p$ puis stationnaire à partir du rang $p$.\\
  3. Montrer alors que $E=N_p \oplus I_p$.\\
  4. Montrer que toute matrice de $\mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ est semblable à une matrice par blocs du type \[ \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & P \end{pmatrix} \] avec $A$ une matrice nilpotente et $P$ une matrice inversible.