Isomorphismes, endomorphismes

Exercice 5206. Banque CCP

1. Prouver que $f$ est bijectif et exprimer $f^{-1}$ en fonction de $f$. \\
2. Prouver que $E=\ker(f+\mathrm{Id}) \oplus \ker(f-2\mathrm{Id})$ :
3. Dans cette question, on suppose que $E$ est de dimension finie. \\ Prouver que $\mathrm{Im}(f+\mathrm{Id})=\ker(f-2\mathrm{Id})$.

1. Montrer que $f\in\mathcal{L}(\R^3)$.\\
2. Déterminer $a$ pour que $f$ soit un automorphisme de $\R^3$.\\
3. Lorsque $a=1$, vérifier que $f$ est bijective, calculer $f^{-1}$ et montrer que $f^{-1}$ est encore linéaire.\\
4. Lorsque $f$ n’est pas bijective, expliciter une base du noyau et de l’image de $f$.

1. Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ et $\dim(\ker(f))$.\\
2. En déduire qu’il existe une base de $\mathbb{R}^3$ telle que la matrice de $f$ dans cette base soit \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

1. Vérifier : $f \in \mathcal{L}(M_n(\mathbb{R}))$.\\
2. Calculer $\mathrm{rg}(f)$, $\mathrm{tr}(f)$, $\det(f)$.

1. Démontrer que $f$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$.\\
2. Démontrer que $B=\Big\{1,X-a,(X-a)^2,\dots,(X-a)^n\Big\}$ est une base de $\R_n[X]$.\\
3. Déterminer la matrice de $f$ dans la base $B$.\\
4. Déterminer une base de $\ker(f)$ et une base de $\mathrm{Im}(f)$.\\
5. Démontrer que $\R_n[X]=\ker(f)\oplus\mathrm{Im}(f)$.

1. Montrer que $u$ est un automorphisme de $E$.\\
2. Montrer que $\bigl(x,\, u(x),\, \ldots,\, u^{n-1}(x)\bigr)$ est une base de $E$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$.
2. Écrire la matrice de $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_2[X]$.
3. Montrer que $f$ est un automorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$.
4. Déterminer la matrice de $f^{-1}$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_2[X]$.
5. Déterminer un polynôme $S \in \mathbb{R}_2[X]$ tel que $S + (1+X)S' + (1+X+X^2)S'' = 1 + 2X - X^2$.

1. Montrer que $f$ est linéaire.
2. Montrer que $f$ est injective.
3. Montrer que $f$ est bijective.
4. Soit $k \in [\![1,4]\!]$. Calculer $f(P_k)$ où $P_k = \displaystyle\prod_{i \in [\![1,4]\!] \setminus \{k\}} (X - a_i)$.
5. Soit $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ la base canonique de $\mathbb{R}^4$. Donner pour ces quatre vecteurs leur antécédent par $f$.

1. Vérifier que $A$ est inversible.
2. Montrer que $\varphi$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, et donner l'automorphisme réciproque $\varphi^{-1}$.
3. Déterminer la matrice de $\varphi$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Retrouver le fait que $\varphi$ est bijective.

1. On suppose que $P(X) = X^2 - 4X - 5$ est un polynôme annulateur de $\varphi$, c'est-à-dire $P(\varphi) = 0$.
   1. Vérifier que $P(\varphi)(u) = P(\lambda) u$.
   2. En déduire les valeurs possibles de $\lambda$.
2. (Défi) Dans le cas général :
   1. Vérifier que $P(\varphi)(u) = P(\lambda) u$ pour tout polynôme $P$.
   2. En déduire que si $P$ est un polynôme annulateur de $\varphi$, alors $\lambda$ est racine de $P$.

1. de $\mathbb{R}_n[X]$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
2. de $\mathbb{R}[X]$.

1. Soit $n \in \mathbb{N}$. On montre que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$, puis qu'il est bijectif.\\ Linéarité. Soient $P, Q \in \mathbb{R}_n[X]$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. \[ \varphi(\lambda P + Q)(X) = (\lambda P + Q)(X) + (\lambda P + Q)(X+1) = \lambda \varphi(P)(X) + \varphi(Q)(X). \] Stabilité. Si $P \in \mathbb{R}_n[X]$, alors $P(X+1)$ a même degré que $P$ avec le même coefficient dominant, donc $\deg(P(X) + P(X+1)) \leq n$ (les termes de plus haut degré se somment). Plus précisément, si $P = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ avec $a_n \neq 0$, alors le coefficient dominant de $\varphi(P)$ est $2a_n \neq 0$, donc $\deg(\varphi(P)) = \deg(P) \leq n$. Ainsi $\varphi(P) \in \mathbb{R}_n[X]$.\\ Injectivité. Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que $\varphi(P) = 0$, c'est-à-dire $P(X) + P(X+1) = 0$. En regardant le terme de plus haut degré : si $\deg(P) = p \geq 0$, le terme de degré $p$ dans $P(X) + P(X+1)$ a pour coefficient $2a_p \neq 0$, ce qui est impossible si $\varphi(P) = 0$. Donc $P = 0$ et $\varphi$ est injective.\\ Bijectivité. Comme $\varphi$ est un endomorphisme injectif d'un espace de dimension finie $n+1$, il est bijectif : c'est un automorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.\\
2. Linéarité et stabilité. Identiques à la question précédente, avec $\mathbb{R}[X]$ à la place de $\mathbb{R}_n[X]$.\\ Injectivité. Même argument que la question 1 : si $\varphi(P) = 0$ et $P \neq 0$, le coefficient dominant de $\varphi(P)$ serait $2a_{\deg(P)} \neq 0$, contradiction. Donc $\mathrm{Ker}(\varphi) = \{0\}$.\\ Surjectivité. Soit $Q \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$. Alors $Q \in \mathbb{R}_n[X]$ et par la question 1, il existe $P \in \mathbb{R}_n[X] \subset \mathbb{R}[X]$ tel que $\varphi(P) = Q$.\\ Donc $\varphi$ est surjective sur $\mathbb{R}[X]$, et c'est un automorphisme de $\mathbb{R}[X]$.

1. Montrer que $\Phi : \mathbb{K}_2[X] \to \mathbb{K}^3$, $P \mapsto (P(a_1), P(a_2), P(a_3))$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
2. On note $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{K}^3$ et on pose $\forall k \in \{1,2,3\}$, $L_k = \Phi^{-1}(e_k)$.
   1. Justifier que $(L_1, L_2, L_3)$ est une base de $\mathbb{K}_2[X]$.
   2. Exprimer les polynômes $L_1$, $L_2$ et $L_3$ en fonction de $a_1, a_2, a_3$.
3. Soit $P \in \mathbb{K}_2[X]$. Déterminer les coordonnées de $P$ dans la base $(L_1, L_2, L_3)$.
4. Application : on se place dans $\mathbb{R}^2$ muni d'un repère orthonormé et on considère les trois points $A(0,1)$, $B(1,3)$, $C(2,1)$. Déterminer une fonction polynomiale de degré $2$ dont la courbe passe par $A$, $B$ et $C$.

1. Montrer que $f$ est une homothétie si et seulement si pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.\\
2. Si $E$ est de dimension finie, déterminer les éléments de $\mathcal{L}(E)$ commutant avec tous les éléments de $\mathcal{L}(E)$.

1. $h \circ f=f'$ et $g' \circ h=g$.\\
2. $f$ et $f'$ sont injectives, $g$ et $g'$ sont surjectives.\\
3. $\mathrm{Im}(f)=\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(f')=\ker(g')$.\\

1. Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer que si pour tout $x \in E$ les vecteurs $x$ et $f(x)$ sont colinéaires, alors $f$ est une homothétie, i.e. $f=\lambda \mathrm{id}$ pour un certain $\lambda$ .\\
2. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $u \in \mathcal{L}(E)$, $u \circ f=f \circ u$. Montrer que $f$ est une homothétie.

1. Vérifier que $f$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $M_n(\mathbb{C})$.\\
2. Établir : \[ \forall p\in\mathbb{N},\ \forall M\in M_n(\mathbb{C}),\quad f^p(M)=\Sum_{k=0}^p \binom{p}{k}(-1)^{p-k}A^kMB^{p-k}. \]
3. En déduire que, si $A$ et $B$ sont nilpotentes, alors $f$ est nilpotent.

1. Montrer que $\beta=(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))$ est une base de $E$.\\
2. Soit $v \in \mathcal{L}(E)$ qui commute avec $u$. En écrivant $v(x)$ dans la base $\beta$, montrer que $v \in \mathrm{Vect}(\mathrm{id}_E,u,\ldots,u^{n-1})$.\\
3. En déduire l’ensemble des endomorphismes de $E$ qui commutent avec $u$.

1. Montrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{C}$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ et que $\mathcal{P}\subset\mathcal{C}$.\\
2. Soit $x\in E$. Montrer que le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $x$ qui est stable par $u$ est \[ F_x=\{P(u)(x)\mid P\in\mathbb{K}[X]\}. \]
3. Si $x\in E$, on dira que $x$ est $u$-générateur si et seulement si $F_x=E$. Notons \[ \varphi_x:\mathcal{L}(E)\longrightarrow E,\qquad v\longmapsto v(x). \] Montrer que $x$ est $u$-générateur si et seulement si $\varphi_x{}_{|\mathcal{P}}$ est surjective.\\
4. Montrer que si $x$ est $u$-générateur alors $\varphi_x{}_{|\mathcal{C}}$ est injective.\\ En déduire que si $E$ possède un $u$-générateur, alors $\mathcal{P}=\mathcal{C}$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme. \\
2. On se place dans $E=\mathbb{R}^2$, avec $\alpha=2$ et $u=(1,2)$. \\
   1. Déterminer la matrice de $f$ dans la base canonique. \\
   2. Trouver les valeurs et les vecteurs propres de $f$. \\
3. On revient au cas général. On pose $D=\mathrm{vect}(u)$. \\
   1. Montrer que, si $x$ est un vecteur propre de $f$, alors ou bien $x \in D$, ou bien $x \in D^\perp$. \\
   2. En déduire que $f$ est diagonalisable et déterminer ses valeurs et ses vecteurs propres. \\
4. À quelles conditions sur $\alpha$ et $u$, l’application $f$ est-elle bijective ? \\
5. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit un automorphisme orthogonal.

1. Montrer que $f$ est bijective.\\
2. Montrer qu’il existe $(a_0,\dots,a_{n-1}) \in K^n$ tel que \[ f^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a_1f+a_0 \mathrm{id}_E=0. \]

1. Démontrer que $\ker(p)=\ker(q)=\ker(r)$. \\
2. Démontrer que $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Im}(q)=\mathrm{Im}(r)$. \\
3. Montrer que $p^2=q^2=r^2$ où $f^2$ désigne bien entendu $f\circ f$. \\
4. Etablir que $q^5=q$. \\
5. Montrer que $E=\ker(q)\oplus \mathrm{Im}(q)$.

1. $A_k$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ ?
2. $A_k$ est-il un sous-anneau de $\mathcal{L}(E)$ ?
3. Soit $u\in A_k$, montrer que $\mathrm{Im}(u)$ et $\Ker(u)$ sont supplémentaires dans $E$.

1. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ tel que pour tout $x\in E$, la famille $(x,u(x))$ soit liée. \startletters
2. a Montrer que pour tout $x\neq 0$ de $E$, il existe $\lambda_x\in \mathbb{K}$ tel que $u(x)=\lambda_x x$.
3. a Soient $x$ et $y$ non nuls dans $E$. Montrer que si la famille $(x,y)$ est libre, alors $\lambda_x=\lambda_y$.
4. a Montrer que si $x$ et $y$ sont non nuls et liés alors on a encore $\lambda_x=\lambda_y$.
5. a En déduire que $u$ est une homothétie.

1. Montrer que $f$ est un automorphisme du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$.
2. Montrer qu'il existe une base du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ dans laquelle la matrice de $f$ est $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$.
3. Construire le point d'affixe $f(z)$ à partir du point d'affixe $z$.

Exercice 5245. X ENS

Exercice 5246. X ENS

1. Montrer qu’il y a équivalence entre : \\ \startletters
2. a \[ \ker u=\ker u^2 \]
3. a \[ \mathrm{Im}\, u=\mathrm{Im}\, u^2 \]
4. a \[ E=\ker u \oplus \mathrm{Im}\, u \]
5. Donner des exemples d’endomorphismes vérifiant ces conditions. \\
6. Le résultat subsiste-t-il en dimension infinie ?

1. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.
2. Déterminer $\mathrm{Ker}(D)$ et $\mathrm{Im}(D)$.
3. Montrer que $D^{n+1} = 0$, autrement dit que $X^{n+1}$ est un polynôme annulateur de $D$.
4. Soit $\Gamma = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}_n[X]} + D + D^2 + \cdots + D^n$.
   1. Rappeler une factorisation classique de $X^{n+1} - 1$.
   2. En déduire $\Gamma \circ (\mathrm{Id}_{\mathbb{R}_n[X]} - D)$.
5. Montrer que $\Gamma$ est un automorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. Quel est son automorphisme réciproque ?

1. Calculer $\Phi(g)$ avec $g : t \in [0;1] \mapsto t$.
2. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$. Préciser le noyau de $\Phi$.
3. $\Phi$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
4. Montrer par une intégration par parties que pour tout $f \in E$ et tout $x \in [0,1]$ : \[ \Phi \circ \Phi(f)(x) = \integrale{0}{x}{(x-t)f(t)}{t} \] puis que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ \Phi^n(f)(x) = \integrale{0}{x}{\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t)}{t} \] où $\Phi^n$ désigne la composée $n$ fois de $\Phi$.

1. Expliciter les polynômes $U_1$, $U_2$ et $U_3$.
2. Déterminer le degré de $U_k$ pour $k \geq 1$.
3. Montrer que la famille $(U_0, U_1, \ldots, U_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.
4. On définit $\Delta : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ par $\Delta(P) = P(X+1) - P(X)$.
   1. Vérifier que $\Delta(X^3) = 3X^2 + 3X + 1$.
   2. Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.
   3. Montrer que $\Delta(U_0) = 0$, calculer $\Delta(U_1)$, puis montrer que pour tout $k \in \{2,\ldots,n\}$, $\Delta(U_k) = U_{k-1}$.
   4. En déduire le rang de $\Delta$, puis que $\mathrm{Im}(\Delta) = \mathbb{R}_{n-1}[X]$.
   5. Déterminer $\mathrm{Ker}(\Delta)$.
5. On se place dans le cas $n = 3$.
   1. Écrire la matrice de $\Delta$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_3[X]$.
   2. Écrire la matrice de $\Delta$ dans la base $(U_0, U_1, U_2, U_3)$.
   3. Calculer les coordonnées de $X^2$ dans la base $(U_0, U_1, U_2, U_3)$.
   4. En déduire $Q \in \mathbb{R}_3[X]$ tel que $\Delta(Q) = X^2$.
   5. En remarquant que $Q(x+1) - Q(x) = x^2$ pour tout réel $x$, calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2$ pour $n$ entier non nul.

1. On note $E$ l'ensemble des matrices $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telles que $AM = MD$.
   1. Vérifier que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
   2. Montrer que $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in E \Leftrightarrow c = 0$ et $b = d$.
   3. Montrer que la famille $(U, A)$ est une base de $E$.
2. On note $f$ l'application de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vers $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ définie par $f(M) = AM - MD$.
   1. Vérifier que $f$ est linéaire.
   2. Donner une base de $\mathrm{Ker}(f)$.
   3. Déterminer une base de $\mathrm{Im}(f)$.
3. Déterminer l'ensemble $F$ des matrices $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $f(M) = M$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et préciser sa dimension.
4. On considère la famille $(U, A, B, C)$ où $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
   1. Montrer que $(U, A, B, C)$ est une base de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
   2. Calculer $f(B)$ puis les coordonnées de $f(B)$ dans la base $(U, A, B, C)$.
   3. Calculer la matrice de $f$ dans cette base.
   4. Montrer que $f \circ f \circ f = f$. Donner un polynôme annulateur de $f$.

1. Montrer par récurrence sur $n$ que la famille $(B_0, \ldots, B_n)$ est libre. Qu'en déduire ?
2. Montrer que $\varphi$ est un automorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.

1. Montrer que $E_0$ est un $\mathbb{R}$-ev et que $\phi$ est un endomorphisme de $E_0$, injectif et non surjectif.\\
2. Est-ce que $E_0$ est de dimension finie ?

1. Montrer qu'il existe un vecteur $x_0\in E$ tel que la famille $(x_0,f(x_0),\dots,f^{n-1}(x_0))$ soit une base de $E$.\\
2. Déterminer la matrice représentant $f$ selon cette base.\\
3. Calculer $\mathrm{rg}(f)$.

1. Montrer que \[ E=E_a(f)\oplus E_b(f)\oplus E_c(f). \]
2. On note $F$ l’ensemble des suites $u\in\C^\N$ telles que \[ \forall n\in\N,\quad u_{n+3}=u_{n+1}+6u_n. \] Montrer que \[ f:(u_n)_{n\in\N}\mapsto(u_{n+1})_{n\in\N} \] est dans $\mathcal{L}(F)$.\\
3. En déduire une base de $F$.\\
4. On note $\mathcal{S}$ l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \[ y^{(3)}-y^{(2)}+2y=0. \] On note \[ f:y\mapsto y'. \] En utilisant la même démarche, déterminer une base de $\mathcal{S}$.

1. Montrer que la suite $(N_k)_{k \geqslant 0}$ est croissante pour l’inclusion. Que dire de la suite $(I_k)_{k \geqslant 0}$ ?\\
2. En étudiant la suite d’entiers naturels $(n_k)_{k \geqslant 0}$, montrer qu’il existe un entier $p \leqslant d$ tel que la suite $(N_k)$ soit strictement croissante pour l’inclusion jusqu’au rang $p$ puis stationnaire à partir du rang $p$.\\
3. Montrer alors que $E=N_p \oplus I_p$.\\
4. Montrer que toute matrice de $\mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ est semblable à une matrice par blocs du type \[ \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & P \end{pmatrix} \] avec $A$ une matrice nilpotente et $P$ une matrice inversible.

Exercice 5263. X ENS

Exercice 5264. X ENS

Exercice 5265. X ENS

1. Établir l’existence de $\lambda$ et $\mu$ non nuls tels que \[ \lambda(f-a\mathrm{Id}) \quad \text{et} \quad \mu(f-b\mathrm{Id}) \] soient des projecteurs. \\
2. Montrer que \[ \mathrm{Im}(f-b\mathrm{Id})=\ker(f-a\mathrm{Id}). \]
3. Calculer \[ f^n \] pour tout \[ n \in \mathbb{N}. \]
4. Si \[ ab \neq 0, \] montrer que \[ f \in \mathrm{GL}(E) \] et calculer \[ f^n \] pour tout \[ n \in \mathbb{Z}. \]

1. 1. Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $\mathcal{P}$.
   2. Pour $P \in \mathcal{P}$ de degré $r > 0$, calculer le degré de $\Delta(P)$.
   3. Montrer que le noyau de $\Delta$ est l'ensemble des fonctions polynomiales constantes.
2. On considère pour $r \in \mathbb{N}^*$ l'application $\Delta_r : \mathcal{P}_r \to \mathcal{P}_r$, $P \mapsto \Delta(P)$.
   1. Justifier la définition de $\Delta_r$ et montrer que $\Delta_r$ est linéaire.
   2. Quel est le noyau de $\Delta_r$ ?
   3. Montrer que $\mathrm{Im}(\Delta_r) = \mathcal{P}_{r-1}$.
   4. En déduire que $\Delta$ est surjective.
3. On désigne par $E$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{P}$ constitué des fonctions polynomiales s'annulant en $0$. Montrer que la restriction $\Delta_E$ de $\Delta$ à $E$ est un isomorphisme de $E$ sur $\mathcal{P}$.
4. 1. Déduire de la question précédente qu'il existe une suite et une seule $(N_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathcal{P}$ vérifiant $N_0 = 1$, et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Delta(N_n) = N_{n-1}$ et $N_n(0) = 0$.
   2. Vérifier que pour tout $n \geq 1$ et tout $x \in \mathbb{R}$ : $N_n(x) = \dfrac{x(x-1)\cdots(x-n+1)}{n!}$.
   3. Montrer que pour $r \in \mathbb{N}$, la famille $(N_n)_{n \in [\![0,r]\!]}$ est une base de $\mathcal{P}_r$.
   4. Prouver que pour tout $P \in \mathcal{P}_r$ : $P = \displaystyle\sum_{n=0}^r \Delta^n(P)(0) N_n$, et justifier l'écriture $P = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \Delta^n(P)(0) N_n$.
   5. La fonction $Q$ étant décomposée ainsi, déterminer les fonctions polynomiales $P$ vérifiant $P(x+1) - P(x) = Q(x)$.
   6. Application : en déduire, pour $n \in \mathbb{N}$, une expression de $\displaystyle\sum_{k=0}^n Q(k)$ faisant intervenir $P$. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n k^2$.

1. 1. Justifier que $\varphi$ est linéaire.
   2. Calculer $\varphi(X^k)$ pour $k \in [\![0,n]\!]$.
   3. À partir de cette question, on note encore $\varphi$ la restriction de $\varphi$ à $\mathbb{R}_n[X]$. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.
2. 1. Donner la matrice de $\varphi$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.
   2. Donner le noyau de $\varphi$.
   3. $\varphi$ est-elle injective ?
3. 1. Soit $P \in \mathrm{Ker}(\varphi)$. Montrer que $1$ est une racine de $P$.
   2. On pose $Q = (1-X)^n$. Vérifier que $Q \in \mathrm{Ker}(\varphi)$.
   3. En déduire le noyau de $\varphi$.
4. Pour tout $k \in [\![0,n]\!]$, on pose $P_k = X^k(1-X)^{n-k}$.
   1. Quel est le degré de $P_k$ ?
   2. Vérifier que pour tout $k \in [\![0,n]\!]$, $\varphi(P_k) = \dfrac{k}{n} P_k$.
   3. En déduire $\varphi^p(P_k)$ pour tout $p \in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $C(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$.\\
2. Soit $a\in E$ tel que \[ f^{n-1}(a)\neq 0. \] Montrer que la famille \[ \bigl(a,f(a),\dots,f^{n-1}(a)\bigr) \] constitue une base de $E$.\\
3. Soit \[ \varphi_a : C(f)\to E,\quad g\mapsto g(a). \] Montrer que $\varphi_a$ est un isomorphisme.\\
4. En déduire que \[ C(f)=\mathrm{Vect}(\mathrm{Id},f,\dots,f^{n-1}). \]

Exercice 5271. X ENS

1. Montrer que les suites $(\mathrm{Im}\, u^k)_{k \in \mathbb{N}}$ et $(\ker u^k)_{k \in \mathbb{N}}$ sont d’abord strictement monotones pour l’inclusion puis constantes à partir d’un même rang $p \leqslant n$. \\
2. Montrer que la suite \[ \bigl(\dim \ker u^{k+1}-\dim \ker u^k\bigr)_{k \geqslant 0} \] est décroissante. \\
3. Démontrer que \[ E=\ker u^p \oplus \mathrm{Im}\, u^p. \]
4. En déduire que la matrice de $u$ dans une base bien choisie est de la forme \[ \begin{pmatrix} N & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \] où $N$ est nilpotente et $C$ inversible.