Exercices divers

Exercice 3731.
  1. Montrer que $\R$ est un $\Q$-espace vectoriel de dimension infinie.\\
  2. Par l’axiome du choix, on peut compléter la famille libre $(1)$ en une base $\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}$ du $\Q$-espace vectoriel $\R$. On note $e_{i_0}=1$ et on note $\varphi:\R\to\R$ la forme linéaire coordonnée dans la base duale $\mathcal{B}^*$. Montrer que la fonction $\varphi$ est périodique.\\
  3. Montrer que $\mathrm{id}_{\R}$ est la somme de deux fonctions périodiques.\\
  4. L’application $\varphi$ peut-elle être continue en un point de $\R$ ?
Exercice 3732. Soit $K$ un sous-$\Q$-espace vectoriel de $\R$.\\ Soient \[ a\in K,\quad b\in K,\quad b\neq0 \] tels que \[ \Frac ab\notin\Q. \]
  1. Existe-t-il une fonction additive \[ f:K\to\R \] vérifiant \[ \forall(x,y)\in K^2,\quad f(x+y)=f(x)+f(y) \] et telle que \[ f(a)=1=-f(b)\; ? \]
  2. Pour tout rectangle \[ \mathcal{R}=[a,b]\times[c,d], \] on note \[ \mu(\mathcal{R})=(f(d)-f(c))(f(b)-f(a)). \] Soit $\mathcal{R}$ un rectangle pavé en des rectangles $\mathcal{R}_k$, pour \[ k=1,\dots,s, \] au sens où la réunion des $\mathcal{R}_k$ forme $\mathcal{R}$ et les $\mathcal{R}_k$ ne se rencontrent pas suivant leur intérieur. Montrer que \[ \mu(\mathcal{R})=\sum_{k=1}^{s}\mu(\mathcal{R}_k). \]
  3. Soit $\mathcal{R}$ un rectangle de côtés $a$ et $b$ pavables en un nombre fini de carrés. Montrer que \[ \Frac ab\in\Q \] et que, si $c_k$ est le côté d’un carré $\mathcal{C}_k$ du pavage, alors \[ \Frac{c_k}{a}\in\Q. \]
Exercice 3733. Dans l’espace affine $\R^3$, on se donne quatre droites $L_1,L_2,L_3,L_4$ en position générale. Combien y a-t-il de droites $D$ de $\R^3$ rencontrant chacune des droites $L_i$ ?
Exercice 3734. Soit $(G,+)$ un groupe abélien.\\
  1. Montrer que $G$ peut être muni d’au plus une structure de $\Q$-ev.\\
  2. Montrer que pour que $G$ puisse être muni d’une structure de $\Q$-ev, il faut et il suffit qu’il vérifie les conditions :\\
    • $G$ est sans torsion (i.e. pour tout $n\in\N^*$, et $x\in G$ tel que $x\neq 0$, on a $n\cdot x\neq 0$).\\
    • $G$ est divisible (i.e. pour tout $x\in G$ et tout $n\in\N^*$, il existe $y\in G$ tel que $x=ny$).
Exercice 3735. Soit $N\in\mathbb{N}$ tel que $N$ ne soit le carré d’aucun entier. Montrer :\\
  1. $\sqrt{N}\notin\mathbb{Q}$.\\
  2. $(1,\sqrt{N})$ est $\mathbb{Q}$-libre.
Exercice 3736. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie et impaire. Montrer que $p$ et $q$ ont un vecteur propre commun.
Exercice 3737. Dans l'espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, comparer les sous-espaces vectoriels respectivement engendrés par les familles $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(\psi_n)_{n\in\mathbb{N}}$, où \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad \varphi_n(x)=\cos(nx)\quad\mathrm{et}\quad \psi_n(x)=\cos^n x \]
Exercice 3738. Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\mathbb{C}$ et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.\\
  1. Montrer que la réunion de deux sous-espaces vectoriels strictement inclus dans $E$ est également strictement incluse dans $E$.\\
  2. Plus généralement, si $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, montrer que la réunion de $n$ sous-espaces vectoriels strictement inclus dans $E$ est strictement incluse dans $E$.
Exercice 3739. Soit $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$ et \[ E=\ell^1(\N)=\left\{u=(u_n)_{n\in\N}\in \mathbb{K}^{\N}\mid \Sum_{n=0}^{+\infty}|u_n| < +\infty\right\}, \] muni de la norme \[ \|u\|_1=\Sum_{n=0}^{+\infty}|u_n|. \] Pour tout $a=(a_n)\in \mathbb{K}^{\N}$, on définit \[ T_a:E\to \mathbb{K},\quad u=(u_n)_n\mapsto \Sum_{n=0}^{+\infty}a_nu_n. \] Montrer que sont équivalents :
  1. $T_a$ est définie sur $E$ et c'est une forme linéaire continue.
  2. $a$ est bornée.
Dans ce cas, calculer $\|T_a\|$ pour la norme subordonnée à $\|\cdot\|_1$.
Exercice 3740. Soient \[ V=\vec{a}+F \quad \mathrm{et} \quad W=\vec{b}+G \] deux sous-espaces affines d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer que \[ V\cap W\neq \varnothing \iff \vec{b}-\vec{a}\in F+G. \]
Exercice 3741. Soient \[ P_1=X^2+1,\quad P_2=X^2+X-1,\quad P_3=X^2+X. \] Montrer que la famille $(P_1,P_2,P_3)$ est une base de $K_2[X]$.
Exercice 3742. Soient $K\subset L$ deux corps, puis $\alpha\in L$. On dit que $\alpha$ est algébrique sur $K$ s’il existe un polynôme non nul \[ \mu(X)\in K[X] \] tel que \[ \mu(\alpha)=0. \] Soit $\alpha\in\C$ un nombre algébrique sur $\Q$.\\
  1. Montrer que l’ensemble \[ \mathcal{I}=\{P(X)\in\Q[X]\mid P(\alpha)=0\} \] forme un idéal de $\Q[X]$.\\
  2. En déduire l’existence et l’unicité d’un polynôme unitaire \[ \mu_\alpha(X)\in\Q[X] \] tel que \[ \mu_\alpha(\alpha)=0 \] et \[ (\mu_\alpha(X))=\mathcal{I}. \] Ce polynôme est appelé le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\Q$.\\
  3. Calculer $\mu_\alpha(X)$ lorsque \[ \alpha\in\Q, \] puis lorsque \[ \alpha=\cos\left(\Frac{2\pi}{5}\right). \]
  4. Montrer que le polynôme minimal est irréductible sur $\Q[X]$.\\
  5. Montrer que l’ensemble \[ \Q[\alpha]=\{P(\alpha)\in\C\mid P\in\Q[X]\} \] forme une sous-algèbre de $\C$ qui est un sous-corps de $\C$.\\
  6. Montrer que la dimension du $\Q$-espace vectoriel $\Q[\alpha]$ est égale à \[ \deg(\mu_\alpha). \]
  7. Soient $K\subset L$ deux corps, puis $\alpha$ algébrique sur $K$ et $\beta$ algébrique sur $K[\alpha]$. Montrer que $\beta$ est algébrique sur $K$.\\
  8. Montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur $\Q$ forme une sous-algèbre de $\C$. Quelle est la dimension de cette sous-algèbre ?