Exercices divers

Exercice 5108. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie et impaire. Montrer que $p$ et $q$ ont un vecteur propre commun.
Exercice 5109. Soit $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$ et \[ E=\ell^1(\N)=\left\{u=(u_n)_{n\in\N}\in \mathbb{K}^{\N}\mid \Sum_{n=0}^{+\infty}|u_n| < +\infty\right\}, \] muni de la norme \[ \|u\|_1=\Sum_{n=0}^{+\infty}|u_n|. \] Pour tout $a=(a_n)\in \mathbb{K}^{\N}$, on définit \[ T_a:E\to \mathbb{K},\quad u=(u_n)_n\mapsto \Sum_{n=0}^{+\infty}a_nu_n. \] Montrer que sont équivalents :
  1. $T_a$ est définie sur $E$ et c'est une forme linéaire continue.
  2. $a$ est bornée.
Dans ce cas, calculer $\|T_a\|$ pour la norme subordonnée à $\|\cdot\|_1$.
Exercice 5110. Soit $K$ un corps commutatif et $E$ un $K$-e.v.\\
  1. Soient $F$ et $G$ deux s.e.v de $E$. Si $F \cup G$ est un s.e.v de $E$, montrer que $F \subset G$ ou $G \subset F$.\\
  2. Soit $k \geqslant 2$ et $(V_i)_{1 \leqslant i \leqslant k}$ une famille finie de $k$ s.e.v stricts de $E$ (i.e. pour tout $i$, $V_i \neq \{0\}$ et $V_i \neq E$). Si $E = V_1 \cup \cdots \cup V_k$, montrer que $K$ est fini et que $k \geqslant \mathrm{Card}(K)+1$. Cette inégalité peut-elle être une égalité ?
Exercice 5111.
  1. Montrer que $\R$ est un $\Q$-espace vectoriel de dimension infinie.\\
  2. Par l’axiome du choix, on peut compléter la famille libre $(1)$ en une base $\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}$ du $\Q$-espace vectoriel $\R$. On note $e_{i_0}=1$ et on note $\varphi:\R\to\R$ la forme linéaire coordonnée dans la base duale $\mathcal{B}^*$. Montrer que la fonction $\varphi$ est périodique.\\
  3. Montrer que $\mathrm{id}_{\R}$ est la somme de deux fonctions périodiques.\\
  4. L’application $\varphi$ peut-elle être continue en un point de $\R$ ?
Exercice 5112. Soit $(G,+)$ un groupe abélien.\\
  1. Montrer que $G$ peut être muni d’au plus une structure de $\Q$-ev.\\
  2. Montrer que pour que $G$ puisse être muni d’une structure de $\Q$-ev, il faut et il suffit qu’il vérifie les conditions :\\
    • $G$ est sans torsion (i.e. pour tout $n\in\N^*$, et $x\in G$ tel que $x\neq 0$, on a $n\cdot x\neq 0$).\\
    • $G$ est divisible (i.e. pour tout $x\in G$ et tout $n\in\N^*$, il existe $y\in G$ tel que $x=ny$).
Exercice 5113. Dans l'espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, comparer les sous-espaces vectoriels respectivement engendrés par les familles $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(\psi_n)_{n\in\mathbb{N}}$, où \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad \varphi_n(x)=\cos(nx)\quad\mathrm{et}\quad \psi_n(x)=\cos^n x \]
Exercice 5114. Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\mathbb{C}$ et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.\\
  1. Montrer que la réunion de deux sous-espaces vectoriels strictement inclus dans $E$ est également strictement incluse dans $E$.\\
  2. Plus généralement, si $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, montrer que la réunion de $n$ sous-espaces vectoriels strictement inclus dans $E$ est strictement incluse dans $E$.
Exercice 5115. Soient $K \subset L$ deux corps et $\alpha \in L$. \\ On dit que $\alpha$ est algébrique sur $K$ s’il existe $\mu \in K[X]\setminus\{0\}$ tel que $\mu(\alpha)=0$. \\ Soit $\alpha \in \C$ algébrique sur $\Q$. \\
  1. Montrer que $\mathcal{I}=\{P \in \Q[X]\mid P(\alpha)=0\}$ est un idéal de $\Q[X]$. \\
  2. En déduire l’existence et l’unicité d’un polynôme unitaire $\mu_\alpha \in \Q[X]$ tel que $\mu_\alpha(\alpha)=0$ et $(\mu_\alpha)=\mathcal{I}$ (polynôme minimal). \\
  3. Calculer $\mu_\alpha$ si $\alpha \in \Q$, puis pour $\alpha=\cos(\Frac{2\pi}{5})$. \\
  4. Montrer que $\mu_\alpha$ est irréductible dans $\Q[X]$. \\
  5. Montrer que $\Q[\alpha]=\{P(\alpha)\mid P \in \Q[X]\}$ est une sous-algèbre de $\C$ et un sous-corps. \\
  6. Montrer que $\dim_\Q \Q[\alpha]=\deg(\mu_\alpha)$. \\
  7. Si $\alpha$ est algébrique sur $K$ et $\beta$ algébrique sur $K[\alpha]$, montrer que $\beta$ est algébrique sur $K$. \\
  8. Montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur $\Q$ est une sous-algèbre de $\C$. Quelle est sa dimension ?

Exercice 5116. X ENS

  1. Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$, et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}(E)$. \\ On pose $E^G=\{x \in E \mid \forall g \in G,\; g(x)=x\}$. \\ Montrer que $\dim E^G=\Frac{1}{|G|}\Sum_{g \in G}\mathrm{Tr}(g)$. \\
  2. Soit $G$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$. Pour $g \in G$, on note $F(g)$ le nombre de points fixes de $g$. \\ Soit $r$ le nombre d’orbites pour l’action de $G$ sur $\llbracket 1,n \rrbracket$. \\ Déduire que $r=\Frac{1}{|G|}\Sum_{g \in G}F(g)$. \\
  3. Donner une preuve directe de la formule de la question 2.

Exercice 5117. X ENS

\\
  1. Montrer que $A \mapsto (X \mapsto \mathrm{Tr}(AX))$ est un isomorphisme entre $\mathcal{M}_n(K)$ et son dual. \\
  2. Soit $f$ telle que $f(XY)=f(YX)$. Montrer que $f=\lambda \mathrm{Tr}$.

Exercice 5118. X ENS

\\ Montrer que pour $n \geqslant 2$, tout hyperplan de $\mathcal{M}_n(K)$ rencontre $\mathrm{GL}_n(K)$.
Exercice 5119. Soit $K$ un sous-$\Q$-espace vectoriel de $\R$. \\ Soient $a,b \in K$ avec $b \neq 0$ tels que $\Frac{a}{b} \notin \Q$. \\
  1. Existe-t-il une application additive $f:K \to \R$ vérifiant $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tout $(x,y)\in K^2$ et telle que $f(a)=1$ et $f(b)=-1$ ? \\
  2. Pour tout rectangle $\mathcal{R}=[a,b]\times[c,d]$, on pose $\mu(\mathcal{R})=(f(d)-f(c))(f(b)-f(a))$. \\ Soit $\mathcal{R}$ pavé par des rectangles $\mathcal{R}_k$, $k=1,\ldots,s$, disjoints intérieurement et dont la réunion est $\mathcal{R}$. \\ Montrer que $\mu(\mathcal{R})=\sum_{k=1}^s \mu(\mathcal{R}_k)$. \\
  3. Soit $\mathcal{R}$ un rectangle de côtés $a$ et $b$ pavable en un nombre fini de carrés. \\ Montrer que $\Frac{a}{b} \in \Q$ et que, si $c_k$ est le côté d’un carré du pavage, alors $\Frac{c_k}{a} \in \Q$.
Exercice 5120. Dans l’espace affine $\R^3$, on se donne quatre droites $L_1,L_2,L_3,L_4$ en position générale. Combien y a-t-il de droites $D$ de $\R^3$ rencontrant chacune des droites $L_i$ ?