Exercices divers

1. $\mathrm{Ker}(u) \subset \mathrm{Ker}(v \circ u)$.
2. $\mathrm{Im}(v \circ u) \subset \mathrm{Im}(v)$.
3. $u \circ v = 0 \Leftrightarrow \mathrm{Im}(v) \subset \mathrm{Ker}(u)$.

1. $\mathrm{Ker}(g \circ f) = f^{-1}(\mathrm{Ker}(g))$.
2. $\mathrm{Ker}(f) \subset \mathrm{Ker}(g \circ f)$.
3. $\mathrm{Im}(g \circ f) \subset \mathrm{Im}(g)$.

1. Justifier que pour tout $F \in \mathcal{S}$ tel que $\dim(F)>1$, il existe $G,H \in \mathcal{S}$ tels que $F=G \oplus H$ avec $\dim(H)=1$. \\
2. Soient $F,G \in \mathcal{S}$ avec $\dim(F)=\dim(G)=1$. \\ Ainsi il existe $a,b \in E$ tels que $F=\Vect(a)$ et $G=\Vect(b)$. \\ \startlettersnext
3. a On suppose que $F \neq G$. Montrer que $F \cap G=\{0\}$. \\
4. a Montrer que $F+G=\Vect(a)+\Vect(a+b)=\Vect(a+b)+\Vect(b)$. \\
5. a En déduire que $d(F)=d(G)$. \\
6. On notera ensuite $m$ la valeur commune de $d(H)$ pour tout sous-espace vectoriel $H$ de $E$ de dimension $1$. \\ Montrer que $d(\{0\})=0$. \\
7. Montrer par récurrence sur $p \leqslant n$ que si $F \in \mathcal{S}$ et $\dim(F)=p$, alors $d(F)=mp$. \\
8. Montrer que pour tout $F \in \mathcal{S}$, $d(F)=\dim(F)$.

1. Montrer que $A$ est un espace vectoriel.\\
2. Trouver la dimension de $A$.

1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E,F)$.\\
2. Déterminer la dimension de $A$.

1. Montrer que \[ \mathrm{Im}(f)\oplus \ker(g)=E. \]
2. Justifier que \[ f(\mathrm{Im}(g))=\mathrm{Im}(f). \]

1. Justifier que \[ p\leqslant n. \]
2. Déterminer la dimension de \[ F=\ker(\varphi_1)\cap \cdots \cap \ker(\varphi_p). \]

1. Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme. \\ Calculer pour tout polynôme $P$ non constant, $\deg(\Delta(P))$ en fonction de $\deg(P)$. \\
2. Déterminer $\ker(\Delta)$ et $\mathrm{Im}(\Delta)$.\\
3. Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ et $n\in \mathbb{N}$. Montrer \[ \Delta^n(P)=(-1)^n\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k\Binom{n}{k}P(X+k). \]
4. En déduire que, si $\deg P < n$, alors \[ \Sum_{k=0}^{n}\Binom{n}{k}(-1)^kP(k)=0. \]

1. Calculer le degré, le coefficient dominant et le coefficient constant de $\Delta(X^k)$ pour $k \in \N^*$. \\
2. Trouver tous les polynômes $P$ tels que $\Delta(P)=0_{K[X]}$. \\
3. Montrer que l’application $\Delta$ est linéaire, c’est-à-dire : \[ \forall \lambda,\mu \in K,\forall P,Q \in K[X],\qquad \Delta(\lambda P+\mu Q)=\lambda \Delta(P)+\mu \Delta(Q). \]
4. En déduire que si $P \in K_n[X]$ alors $\Delta(P) \in K_{n-1}[X]$. \\
5. Vérifier que pour tout $P \in K_n[X]$, \[ \Delta^{n+1}(P)=0_{K_n[X]}. \]
6. On considère maintenant $f : E \to E$, où $E$ est un espace vectoriel, une application linéaire quelconque. Montrer que \[ F=\{x \in E \mid f(x)=0\} \qquad \text{et} \qquad G=\{f(x)\mid x \in E\} \] sont des sous-espaces vectoriels de $E$.

1. Montrer que $f(G+H)=f(G)+f(H)$.
2. Montrer que si $G$ et $H$ sont en somme directe et si $f$ est injective, alors $f(G\oplus H)=f(G)\oplus f(H)$.

1. Montrer que $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels réels.
2. Déterminer $E \cap F$.

1. Montrer que $(x,y,z) \mapsto (x+2y,\, 4x-y+z,\, 2x+2y+3z)$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$ et déterminer sa réciproque.
2. Montrer que $P \mapsto (P(0), P'(0), \ldots, P^{(n)}(0))$ est un isomorphisme de $\mathbb{K}_n[X]$ sur $\mathbb{K}^{n+1}$.
3. Proposer un exemple d'isomorphisme de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ sur $L(\mathbb{K}^p, \mathbb{K}^n)$.

1. Factoriser le polynôme $X^3 - 1$.
2. En déduire que $\mathrm{Id}_E - f$ est bijectif et donner $(\mathrm{Id}_E - f)^{-1}$ en fonction de $f$.

1. $\dim(E)$ est paire.
2. Il existe $f \in L(E)$ telle que $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f)$.

1. Déterminer l'image et le noyau de l'application linéaire $(f,g) \mapsto f + g$ de $F \times G$ dans $E$.
2. Redémontrer ainsi la formule de Grassmann.

1. 1. Exprimer la proposition $g \circ f = 0$ en termes de noyau et d'image.
   2. Quelle relation en déduit-on entre $\mathrm{rg}(f)$ et $\mathrm{rg}(g)$ si $E$, $F$ et $G$ sont de dimensions finies ?
2. Montrer que $f(\mathrm{Ker}(g \circ f)) = \mathrm{Ker}(g) \cap \mathrm{Im}(f)$.

1. Montrer que $f\!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n E_i\right) = \displaystyle\sum_{i=1}^n f(E_i)$.
2. Montrer que si $f$ est injective et si la somme des $E_i$ est directe, alors la somme des $f(E_i)$ est directe.

1. Montrer que $f\!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n E_i\right) = \displaystyle\sum_{i=1}^n f(E_i)$.
2. Montrer que si $f$ est injective et si la somme des $E_i$ est directe, alors la somme des $f(E_i)$ est directe.

1. Calculer $f^2$. Que peut-on en déduire sur $f$ ?
2. Déterminer une base de $\mathrm{Ker}(f-\mathrm{Id})$ et de $\mathrm{Ker}(f+\mathrm{Id})$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}[X]$.\\
2. Déterminer le noyau de $f$.\\
3. Étudier la surjectivité et l'injectivité de $f$.\\
4. Montrer qu'il existe une base $(e_0,\ldots,e_i,\ldots)$ de $\mathbb{C}[X]$ telle que pour tout $i > 0$ on ait $f(e_i)=e_{i-1}$.

1. Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, et $f:E\to F$ une application linéaire injective. Montrer que si $G$ et $H$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $G+H$ soit directe, alors $f(G)+f(H)$ est également directe.\\
2. À quelle condition sur $G$, $H$ et $\ker(f)$ peut-on affirmer cela si $f$ n'est plus supposée injective ?

1. Montrer que si $F_1$ et $F_2$ ont un supplémentaire commun alors ils sont isomorphes.\\
2. Montrer que la réciproque est fausse.

1. Justifier que l'endomorphisme $\Delta$ est nilpotent.\\
2. Déterminer des réels \[ a_0,\dots,a_n,a_{n+1} \] non triviaux vérifiant \[ \forall P\in \mathbb{R}_n[X],\ \Sum_{k=0}^{n+1}a_k P(X+k)=0. \]

1. $g \circ f$ est un isomorphisme de $E$ sur $G$.\\
2. $f$ est injective, $g$ est surjective et $F=\ker(g)\oplus \mathrm{Im}(f)$.

1. Montrer \[ f\left(\Sum_{i=1}^{n}E_i\right)=\Sum_{i=1}^{n}f(E_i). \]
2. Montrer que si $f$ est injective et si la somme des $E_i$ est directe alors la somme des $f(E_i)$ est directe.\\
3. Montrer \[ f^{-1}\left(\Sum_{j=1}^{p}F_j\right)\supset \Sum_{j=1}^{p}f^{-1}(F_j). \] Montrer que cette inclusion peut être stricte. Donner une condition suffisante pour qu'il y ait égalité.

1. $A=\{f\in E\mid \exists a>0,\;\forall x\in\mathbb{R},\; |f(x)|\leq a|x|\}$.
2. $B=\{f\in E\mid \exists a>0,\;\forall x\in\mathbb{R},\; |f(x)|\geq a|x|\}$.
3. $C=\{f\in E\mid \exists T>0,\; T \; \mathrm{est \; une \; période \; de} \; f\}$.

Exercice 5470. X ENS

Exercice 5471. X ENS

Exercice 5472. Centrale TSI 2021

1. Montrer que $C_A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. \\
2. Montrer que, si $M$ et $N$ appartiennent à $C_A$, alors leur produit $MN$ appartient à $C_A$. \\
3. Montrer que si $M$ appartient à $C_A$, alors, pour tout entier naturel $k$, $M^k$ appartient à $C_A$. \\
4. Déduire de la question précédente que, si $\Pi \in \mathbb{R}[X]$, alors $\Pi(A) \in C_A$. \\ On note $A' = P^{-1}AP$. \\
5. Montrer que $M$ appartient à $C_A$ si et seulement si $M' = P^{-1}MP$ appartient à $C_{A'}$. \\ On définit les deux applications $\Phi$ et $\Psi$ par \\ \[ \Phi : C_A \to C_{A'} \quad M \mapsto P^{-1}MP \quad \text{et} \quad \Psi : C_{A'} \to C_A \quad M \mapsto PMP^{-1}. \]
6. Justifier que $\Phi$ et $\Psi$ sont des applications linéaires. \\
7. Calculer $\Phi \circ \Psi$ et $\Psi \circ \Phi$. \\
8. Établir que $\Phi$ et $\Psi$ sont des isomorphismes.

1. Déterminer le noyau de $u$.\\
2. Montrer que $(N_0, \ldots, N_n)$ est une base de $E$.\\
3. Calculer $u(N_k)$.\\
4. Montrer que $u$ est nilpotent. Quel est son indice de nilpotence ?\\
5. Soit $P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Montrer qu'il existe un unique $Q \in E$ tel que $u(Q) = P$ et $Q(0) = 0$.

1. Montrer qu'il existe au plus un polynôme $P \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que : \[ (E)\; :\; \forall k \in \{0,\ldots,n\},\; P^{(k)}(1) = 1. \]
   1. Supposons qu'il existe un tel $P_0$. Déterminer l'ensemble des polynômes de $\mathbb{R}[X]$ vérifiant $(E)$, en fonction de $P_0$.\\
   2. Montrer que $P_0$ existe et écrire sa décomposition dans une base adaptée de $\mathbb{R}_n[X]$.\\
2. 1. Soient $(a_0,\ldots,a_n)$ et $(b_0,\ldots,b_n)$ des réels. Montrer qu'il existe un unique $P \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que $\forall k \in \{0,\ldots,n\},\; P^{(k)}(a_k) = b_k$.\\
   2. Si $m > n$, que dire des polynômes de $\mathbb{R}_m[X]$ vérifiant la condition précédente ?

1. À tout réel $\xi$, on associe la forme linéaire $f_\xi$ définie par : \[ \forall P \in E,\quad f_\xi(P)=P(\xi). \] Montrer que les formes linéaires $f_a,f_b,f_c,f_d$ sont indépendantes si et seulement si les quatre réels $a,b,c,d$ sont distincts.\\
2. Montrer l’existence d’une unique famille de réels $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ à déterminer telle que : \[ \forall P \in E,\quad \integrale{0}{1}{P(t)}{t}=x_0P(0)+x_1P(1)+x_2P(2)+x_3P(3). \] On pourra considérer les polynômes : \[ Q_0(t)=(t-1)(t-2)(t-3),\quad Q_1(t)=t(t-2)(t-3), \] \[ Q_2(t)=t(t-1)(t-3),\quad Q_3(t)=t(t-1)(t-2). \]
3. Montrer l’existence d’une unique famille de réels $(A,B,a,b)$ à déterminer telle que : \[ \forall P \in E,\quad \integrale{0}{1}{P(t)}{t}=AP(a)+BP(b). \]
4. Montrer l’existence d’une famille de réels $(u,v,w)$ à déterminer telle que : \[ \forall P \in E,\quad \integrale{0}{1}{P(t)}{t}=\Frac{1}{3}\left(P(u)+P(v)+P(w)\right) \]

1. Montrer que $\mathbb{K}[A]$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
2. Montrer que $A^{-1}$ est un polynôme en $A$ en étudiant l'application $M \mapsto AM$ définie sur $\mathbb{K}[A]$.

1. 1. Prouver que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des suites complexes.
   2. Déterminer, en le justifiant, la dimension de $E$.
2. Dans cette question, on considère la suite de $E$ définie par $u_0 = 1$ et $u_1 = 1$.\\ Exprimer pour tout entier naturel $n$ le nombre complexe $u_n$ en fonction de $n$.

1. 1. Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$, $\mathrm{Ker}(f^p) \subset \mathrm{Ker}(f^{p+1})$.
   2. Par un argument de dimension, justifier qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{Ker}(f^r) = \mathrm{Ker}(f^{r+1})$.
   3. Montrer que pour tout $p \geq r$, $\mathrm{Ker}(f^p) = \mathrm{Ker}(f^r)$.
2. 1. Justifier que pour tout $p \in \mathbb{N}$, $\mathrm{Im}(f^{p+1}) \subset \mathrm{Im}(f^p)$.
   2. Vérifier que pour tout $p \geq r$, $\mathrm{Im}(f^p) = \mathrm{Im}(f^r)$, où $r$ est défini à la question 1(b).

1. Soit $\lambda \in \mathbb{R}^*$. Prouver que si $\lambda$ est valeur propre de $u \circ v$ alors $\lambda$ est valeur propre de $v \circ u$.
2. On considère sur $E = \mathbb{R}[X]$ les endomorphismes $u : P \mapsto \displaystyle\int_1^X P$ et $v : P \mapsto P'$. Déterminer $\mathrm{Ker}(u \circ v)$ et $\mathrm{Ker}(v \circ u)$. Le résultat de la question 1 reste-t-il vrai pour $\lambda = 0$ ?
3. Si $E$ est de dimension finie, démontrer que le résultat de la question 1 reste vrai pour $\lambda = 0$.

1. Démontrer que $E = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f) \Rightarrow \mathrm{Im}(f) = \mathrm{Im}(f^2)$.
2. 1. Démontrer que $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Im}(f^2) \Leftrightarrow \mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Ker}(f^2)$.
   2. Démontrer que $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Im}(f^2) \Rightarrow \mathrm{Im}(f) \oplus \mathrm{Ker}(f) = E$.

1. Montrer que $\mathrm{Im}(f)$ et $\mathrm{Ker}(g)$ sont supplémentaires dans $E$.
2. Justifier que $f(\mathrm{Im}(g)) = \mathrm{Im}(f)$.

1. Démontrer que $E = \mathrm{Im}(f) \oplus \mathrm{Ker}(f) \Rightarrow \mathrm{Im}(f) = \mathrm{Im}(f^2)$.
2. 1. Démontrer que $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Im}(f^2) \Leftrightarrow \mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Ker}(f^2)$.
   2. Démontrer que $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Im}(f^2) \Rightarrow E = \mathrm{Im}(f) \oplus \mathrm{Ker}(f)$.

1. Exprimer $f^3$ comme combinaison linéaire de $\mathrm{Id}$ et de $f$.
2. Établir, pour tout $n \in \mathbb{N}$, qu'il existe un unique couple $(a_n, b_n)$ de réels tel que $f^n = a_n f + b_n \mathrm{Id}$, avec $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + b_n$ et $b_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$.
3. Trouver les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
4. Donner les limites des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ quand $n \to +\infty$.
5. On convient d'appeler limite de $f^n$ quand $n \to +\infty$ l'endomorphisme $p = \lim_{n \to +\infty} a_n f + \lim_{n \to +\infty} b_n \mathrm{Id}$. Montrer que $p^2 = p$.

1. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-ev et $u \in L(E)$. On suppose que pour tout $x \in E$, $u(x)$ et $x$ sont colinéaires. Alors $u$ est une homothétie.
2. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie $n$ et $k \in [\![1, n-1]\!]$. Que peut-on dire d'un endomorphisme laissant stable tous les sous-espaces vectoriels de dimension $k$ de $E$ ?

1. Montrer qu'une homothétie est bijective si et seulement si son rapport est non nul.
2. Soit $u \in \mathcal{A}_k$.
   1. Que dire si $u$ est bijective ?
   2. Déterminer $u(x)$ pour $x \in \mathrm{Im}(u)$.
   3. Montrer que si $k \neq 0$, $\mathrm{Im}(u) \oplus \mathrm{Ker}(u) = E$.
   4. Si $k = 0$, comparer $\mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{Ker}(u)$.
3. Soient $u, v \in \mathcal{A}_k$ avec $k \neq 0$.
   1. Montrer que $uv + vu = 0 \Rightarrow uv = vu = 0$.
   2. Montrer que $u + v \in \mathcal{A}_k \Leftrightarrow uv = vu = 0$.
   3. Montrer que $\mathrm{Im}(u+v) = \mathrm{Im}(u) + \mathrm{Im}(v)$.
   4. Montrer que $\mathrm{Ker}(u+v) = \mathrm{Ker}(u) \cap \mathrm{Ker}(v)$.

1. On considère $g : (x,y) \mapsto (0,x)$ sur $\mathbb{R}^2$.
   1. Vérifier que $g$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^2$.
   2. Déterminer $\mathrm{Ker}(g)$ et $\mathrm{Im}(g)$.
   3. $g$ vérifie-t-elle la propriété $P$ ?
2. Soit $p \in L(E)$ tel que $p^2 = p$.
   1. Montrer que $\mathrm{Ker}(p) \cap \mathrm{Im}(p) = \{0\}$.
   2. Si $\dim(E) < +\infty$, conclure rapidement que $E = \mathrm{Ker}(p) \oplus \mathrm{Im}(p)$.
   3. Démontrer ce résultat en dimension infinie.
3. On suppose $E$ de dimension finie et $f \in L(E)$.
   1. Démontrer que $\mathrm{Ker}(f) \subset \mathrm{Ker}(f^2)$ et $\mathrm{Im}(f^2) \subset \mathrm{Im}(f)$.
   2. En déduire que $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Ker}(f^2) \Leftrightarrow \mathrm{Im}(f^2) = \mathrm{Im}(f)$.
   3. Montrer que si $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Ker}(f^2)$ alors $E = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f)$.
   4. Montrer la réciproque.

1. Justifier que $\dim(E^*) = \dim(E)$.
2. 1. Justifier que $e_i^* \in E^*$ pour tout $i$.
   2. Montrer que $e_i^*(e_j) = \delta_{i,j}$.
   3. Montrer que $\mathcal{B}^*$ est une base de $E^*$.
   4. Soit $g \in E^*$. Montrer que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}^*}(g) = \begin{pmatrix}g(e_1)\\\vdots\\g(e_n)\end{pmatrix}$.
   5. Application : soit $\mathcal{B}_2 = (1,X,X^2)$ la base canonique de $\mathbb{K}_2[X]$ et $P_1 = X+X^2$, $P_2 = 1+X^2$, $P_3 = 1+X$. Montrer que $\mathcal{F} = (P_1,P_2,P_3)$ est une base de $\mathbb{K}_2[X]$ et déterminer la base duale $\mathcal{F}^*$.
3. On suppose qu'il existe $\mathcal{U} = (u_1,\ldots,u_n)$ base de $E$ et $\Phi = (\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ famille de formes linéaires telles que $\varphi_i(u_j) = \delta_{i,j}$.
   1. Montrer que $\Phi$ est la base duale de $\mathcal{U}$.
   2. Si $E = \mathbb{K}_n[X]$ et $a_0,\ldots,a_n$ distincts, montrer que $(\varphi_i : P \mapsto P(a_i))$ est une base de $E^*$ et donner la base antéduale.
   3. Donner la base antéduale de $(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)$ si $E = \mathbb{K}^3$, $\varphi_1 = e_2^*+e_3^*$, $\varphi_2 = e_1^*+e_3^*$, $\varphi_3 = e_1^*+e_2^*$.

1. $G \subset F$. \\
2. $F$ et $G$ sont de même codimension finie dans $E$.\\

1. On suppose que \[ \forall x\in E,\; \exists p\in\N,\; f^p(x)=0. \] Montrer qu’il existe \[ q\in\N \] tel que \[ f^q=0. \]
2. On suppose que \[ \forall x\in E,\; \exists p\in\N^*,\; f^p(x)=x. \] Montrer qu’il existe \[ q\in\N^* \] tel que \[ f^q=\mathrm{id}_E. \]

1. En appliquant le théorème du rang à la restriction $h$ de $f$ à l'image de $g$, montrer que \[ \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)-n\leqslant \mathrm{rg}(f\circ g). \]
2. Pour $n=3$, trouver tous les endomorphismes de $E$ tels que \[ f^2=0. \]

1. Calculer $AB$.\\
2. Vérifier que $B^2=B$.\\
3. Montrer que $\mathrm{Im}(B)=\ker(A-I_n)$ et en déduire que \[ \dim\ker(A-I_n)=\frac{1}{p}\Sum_{k=0}^{p-1}\mathrm{Tr}(A^k) \]

1. Montrer qu'il existe $x\in E$ tel que la famille \[ \bigl(x,f(x),f^2(x),\dots,f^{p-1}(x)\bigr) \] soit libre.\\
2. En déduire que \[ f^n=0. \]

1. Montrer qu'un endomorphisme non nul $f$ est nilpotent si, et seulement si, \[ \ker f=\mathrm{Im}\,f. \]
2. Montrer que $f$ ne peut pas s'écrire \[ f=u\circ v \] avec $u$ et $v$ nilpotents non nuls.

1. Soit $x\in E\setminus\{0_E\}$. Montrer que la famille $(x,u(x))$ est libre.
2. Soit $y\in E$ tel que $(x,u(x),y)$ soit une base de $E$. Justifier l'existence d'un tel vecteur $y$. Montrer que la famille $(x,u(x),y,u(y))$ est libre. Conclure à une absurdité.
3. Que déduisez-vous des questions précédentes ?

1. Montrer que si $u\in S_p$, alors $P$ est unique ; on le notera $P_u$. \\
2. Montrer que $S_p$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\
3. Montrer que l'application $\phi : u\mapsto P_u$ est linéaire et donner une base de son noyau. Que représente son image ?\\
4. Donner une base de $S_p$. On pourra utiliser $R_k(X)=(X+1)^k-aX^k$ pour $k\in \{0,\dots,p\}$.
5. Application : déterminer la suite $(u_n)$ définie par $u_0=-2$ et $u_{n+1}=2u_n-2n+7$.

1. Montrer que $\ker f=\ker g$ et $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(g)$. \\ On pose $F=\ker f=\ker g$ et $G=\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(g)$. \\
2. Montrer que $E=F\oplus G$.

1. Déterminer $F_a$ lorsque $a=0$ puis lorsque $n=2$.\\
2. Montrer que $F_a$ est un espace vectoriel pour tout $a\in E$.\\
3. Soit $H$ un espace vectoriel de dimension finie. Caractériser les endomorphismes $v$ de $H$ tels que pour tout $h\in H$, la famille $h,v(h)$ soit liée.\\
4. Déterminer la dimension de $F_a$.

1. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ tel que \[ \forall x \in E,\; \exists \mu \in \mathbb{K}, \quad f(x)=\mu x \] Montrer que \[ \exists \mu \in \mathbb{K},\; \forall x \in E,\quad f(x)=\mu x \]
2. Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.

1. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on définit $f_A : M \longmapsto \mathrm{Tr}(AM)$. Montrer que l’application \[ f : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\mathbb{R}),\quad A \longmapsto f_A \] est un isomorphisme.\\
2. Soit $g \in \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\mathbb{R})$ telle que $\forall (A,B)\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, $g(AB)=g(BA)$. Montrer que $g$ est proportionnelle à la trace.

1. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et préciser sa dimension.\\
2. Montrer que toute matrice de $H$ est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.\\
3. Montrer que \[ H=\{AB-BA \mid (A,B)\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2\} \]

1. Soit $E$ un espace vectoriel et $u\in\mathcal{L}(E)$. On note \[ K_n=\ker(u^n) \qquad \mathrm{et} \qquad I_n=\mathrm{Im}(u^n). \] Montrer que $(K_n)$ est une suite croissante et que $(I_n)$ est une suite décroissante. Est-il possible d’avoir une des situations suivantes :\\
   • $(K_n)$ strictement croissante et $(I_n)$ stationnaire,\\
   • $(K_n)$ stationnaire et $(I_n)$ strictement décroissante,\\
   • $(K_n)$ strictement croissante et $(I_n)$ strictement décroissante.
2. On suppose dans cette question que $E$ est de dimension finie. Montrer que $(K_n)$ et $(I_n)$ sont stationnaires à partir d’un rang $\leqslant \dim(E)$.
3. Application : si $M\in M_n(\K)$ est nilpotente, montrer que \[ M^n=0. \]
4. Application : résoudre l’équation d’inconnue $A\in M_2(\C)$ : \[ A^n= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}, \qquad n\in\N. \]

1. Montrer que pour tout $p\in \mathbb{Z}$, $\psi_p$ est une application linéaire.
2. Calculer $\psi_p(e_k)$ pour tous $p$ et $k$ de $\mathbb{Z}$.
3. En déduire que la famille $(e_{-n},e_{-n+1},\dots,e_{-1},e_0,e_1,\dots,e_n)$ est libre dans $C([0,2\pi],\mathbb{C})$.
4. Déterminer tous les polynômes $P$ de $\mathbb{C}[X]$ vérifiant $P(U)\subset \mathbb{R}$, où $U$ désigne l'ensemble des nombres complexes de module $1$.

Exercice 5512. X ENS

1. Soit $f : E \to F$ et $g : E \to G$ des applications linéaires. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $f$ et $g$ pour qu’il existe $h : F \to G$ linéaire telle que \[ g=h \circ f. \]
2. Soit $g : E \to G$ et $h : F \to G$ des applications linéaires. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ et $h$ pour qu’il existe $f : E \to F$ linéaire telle que \[ g=h \circ f. \]

Exercice 5513. X ENS

1. Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$. On considère les trois conditions : \[ (i)\; f \circ g \circ f=f, \quad (ii)\; g \circ f \circ g=g, \quad (iii)\; \mathrm{rg}(f)=\mathrm{rg}(g). \] Montrer que si deux de ces conditions sont réalisées, la troisième l’est aussi. \\
2. Soit $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer l’existence d’un endomorphisme $g$ tel que $(i)$, $(ii)$ et $(iii)$ soient vérifiées. \\
3. Soit $f$, $g$, $h$, $f'$, $g'$ des endomorphismes de $E$ tels que \[ f \circ g \circ f=f \quad \text{et} \quad g \circ f \circ g=g. \] Montrer qu’il existe un endomorphisme $u$ de $E$ tel que \[ f \circ u \circ g=h \] si et seulement si \[ f \circ g \circ h \circ g \circ f=h. \]

1. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ tel que \[ \ker u=\mathrm{Im}\, u \] et $S$ un supplémentaire de $\mathrm{Im}\, u$ : \[ E=S \oplus \mathrm{Im}\, u. \] \startletters
2. a Montrer que, pour tout $x \in E$, il existe un unique couple $(y,z) \in S^2$ tel que \[ x=y+u(z). \] On pose alors \[ z=v(x) \quad \text{et} \quad y=w(x). \]
3. a Montrer que $v$ est linéaire et calculer \[ u \circ v+v \circ u. \]
4. a Montrer que $w$ est linéaire et calculer \[ u \circ w+w \circ u. \]
5. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que \[ u^2=0. \] On suppose qu’il existe \[ v \in \mathcal{L}(E) \] tel que \[ u \circ v+v \circ u=\mathrm{Id}_E. \] A-t-on nécessairement \[ \ker u=\mathrm{Im}\, u \; ? \]
6. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que \[ u^2=0 \quad \text{et} \quad u \neq 0. \] On suppose qu’il existe \[ w \in \mathcal{L}(E) \] tel que \[ u \circ w+w \circ u=u. \] A-t-on nécessairement \[ \ker u=\mathrm{Im}\, u \; ? \]

Exercice 5515. X ENS

1. Soit \[ E \] un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que les seuls idéaux bilatères de \[ \mathcal{L}(E) \] sont \[ \{0\} \quad \text{et} \quad \mathcal{L}(E). \] Cela reste-t-il vrai en dimension infinie ? \\
2. Soit \[ p \] une semi-norme sur \[ M_n(\mathbb{C}) \] vérifiant \[ p(AB) \leqslant p(A)p(B) \quad \text{pour tout} \quad (A,B) \in M_n(\mathbb{C})^2. \] Montrer que \[ p \] est nulle ou que \[ p \] est une norme.

Exercice 5516. X ENS

1. Soit $K$ un corps commutatif et $f_1,\dots,f_n$ des applications de $K$ dans $K$. Montrer que la famille $(f_1,\dots,f_n)$ est libre dans $\mathcal{F}(K,K)$ si et seulement s’il existe $(x_1,\dots,x_n) \in K^n$ tel que la matrice \[ (f_i(x_j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \] soit inversible.\\
2. Déterminer les applications $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dérivables, dont les translatées \[ f_a:x \mapsto f(x+a) \] engendrent un sous-espace vectoriel de dimension finie de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Exercice 5518. X ENS

1. Quels sont les morphismes d’algèbres de $A$ dans $\mathbb{R}$ ? \\
2. Soit $\Phi$ un tel morphisme. Quelles sont les $\Phi$-dérivations de l’algèbre $A$ ?

Exercice 5519. X ENS

Exercice 5520. Mines PSI 2017

1. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^2=0$. Comparer $\ker f$ à $\mathrm{Im}\,f$ et en déduire \[ \dim(\ker f)\geqslant \Frac{\dim(E)}{2}. \]
2. Démontrer que $E=\ker a\oplus \ker b$, et que $\ker a=\mathrm{Im}\,a$ et $\ker b=\mathrm{Im}\,b$.\\
3. En déduire que $u$ est échangeur.\\ Dans cette partie, on se donne un $\C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, ainsi qu'un endomorphisme $f$ de $E$. On se donne un nombre complexe $\lambda$ arbitraire. On pose \[ v=f-\lambda \mathrm{Id}_E. \]
   1. Montrer que la suite $(\ker(v^k))_{k\in \N}$ est croissante pour l'inclusion.\\
   2. Montrer qu'il existe un entier naturel $p$ tel que \[ \forall k\geqslant p,\quad \ker(v^k)=\ker(v^p). \] Montrer alors \[ \ker(v^p)=\bigcup_{k\in \N}\ker(v^k), \] et que $p$ peut être choisi pair.\\ Dans la suite, on fixe un entier naturel pair $p$ donné par la question précédente et l'on pose \[ E_\lambda^c(f):=\bigcup_{k\in \N}\ker(v^k)=\ker(v^p). \]
   3. Montrer que \[ E_\lambda^c(f)=\ker(v^{2p}) \] et en déduire \[ E=E_\lambda^c(f)\oplus \mathrm{Im}(v^p). \] Montrer en outre que les sous-espaces vectoriels $E_\lambda^c(f)$ et $\mathrm{Im}(v^p)$ sont tous deux stables par $f$.\\ \\ Dans cette partie, on admet la validité de l'énoncé suivant : tout endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel de dimension finie est échangeur.\\ On se donne un endomorphisme non bijectif $u$ d'un $\C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes $a$ et $b$ de $E$ tels que \[ u=a+b\quad \mathrm{et}\quad a^2=b^2=0. \]
   4. Montrer que $a$ et $b$ commutent avec $u^2$.\\ On fixe maintenant un entier pair $p$ tel que \[ E_0^c(u)=\ker(u^p), \] donné par la question précédente.\\
   5. Montrer que le sous-espace vectoriel $G:=\mathrm{Im}(u^p)$ est stable par $a$ et $b$ et que les endomorphismes induits $a_G$ et $b_G$ sont de carré nul.\\
   6. En déduire que $u$ est échangeur.

1. Exprimer $A^2 - (a+d)A$ en fonction de $I_2$.
2. On suppose dans cette question que $A$ est nilpotente d'indice $k$.
   1. Montrer par l'absurde que $A$ n'est pas inversible. Établir l'égalité $ad - bc = 0$.
   2. Montrer que $k \geq 2$.
   3. En déduire que $a + d = 0$.
3. Conclure que $A$ est nilpotente si et seulement si $A^2 = 0$.

1. 1. On suppose $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f)$. Soit $x \in E$ quelconque, montrer que $f(x) \in \mathrm{Ker}(f)$. En déduire que $f^2 = 0$.
   2. On suppose $f^2 = 0$.
      1. Montrer que $\mathrm{Im}(f) \subset \mathrm{Ker}(f)$.
      2. Établir, à l'aide du théorème du rang, que $\mathrm{rg}(f) \leq 1$. Justifier que $\mathrm{rg}(f) = 1$. Donner alors $\dim(\mathrm{Ker}(f))$.
      3. Justifier que $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f)$.
   3. En déduire, à l'aide de la première partie, que $f$ est nilpotent si et seulement si $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f)$.
2. On cherche à construire une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Soit $e_2 \notin \mathrm{Ker}(f)$ et $e_1 = f(e_2)$. Justifier que $\{e_1, e_2\}$ est la base recherchée.
3. On suppose qu'il existe deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$, nilpotents, tels que $f = u \circ v$.
   1. Montrer les inclusions $\mathrm{Im}(f) \subset \mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{Ker}(v) \subset \mathrm{Ker}(f)$.
   2. En utilisant les dimensions, en déduire les égalités $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{Ker}(v) = \mathrm{Ker}(f)$.
   3. En déduire l'égalité $\mathrm{Ker}(u) = \mathrm{Im}(v)$.
   4. Conclure à une absurdité.

1. Montrer que $f$, $g$, $h$ ont même noyau $K$ et même image $I$.
2. Montrer que $f^5 = f$.
3. En déduire $E = K \oplus I$.

1. Montrer que $fg^n - g^n f = ng^{n-1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
2. (Défi) Montrer que la famille $(g^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est libre.

1. Montrer que la deuxième assertion entraîne la première.
2. On suppose à présent que $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f)$.
   1. Montrer que $f^2 = 0_{L(E)}$.
   2. Pourquoi peut-on se donner un supplémentaire $I$ de $\mathrm{Ker}(f)$ dans $E$ ?
   3. On note $p$ la projection sur $\mathrm{Ker}(f)$ parallèlement à $I$ et on pose $g = f^{-1}_{|I} \circ p$. Conclure.

1. Montrer que $\mathcal{A}_F$ et $\mathcal{B}_F$ sont des sev de $L(E)$ et calculer leur dimension.
2. Soient $u \in L(E)$ et $\varphi : L(E) \to L(E)$ définie par $\varphi(f) = u \circ f$. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $L(E)$. Déterminer $\dim(\mathrm{Ker}(\varphi))$.
3. Soit $v \in \mathrm{Im}(\varphi)$. Établir que $\mathrm{Im}(v) \subset \mathrm{Im}(u)$. Que dire de la réciproque ? Déterminer $\mathrm{rg}(\varphi)$.

1. Donner deux idéaux bilatères de $L(E)$.
2. Soit $I$ un idéal bilatère non nul de $L(E)$. Montrer que si $I$ contient $\varphi_{i_0,j_0}$ pour certains $i_0, j_0$, alors $I$ contient tous les $\varphi_{i,j}$.
3. Montrer que si $I \neq \{0\}$, alors $I = L(E)$.
4. Donner l'ensemble des idéaux bilatères de $L(E)$.

1. Déterminer $F_a$ lorsque $a = 0$, puis lorsque $n = 2$.
2. Montrer que $F_a$ est un ev pour tout $a \in E$.
3. Soit $H$ un ev de dimension finie. Caractériser les $v \in L(H)$ tels que pour tout $h \in H$, $(h, v(h))$ est liée.
4. Donner $\dim(F_a)$ pour $a \neq 0$.

1. Montrer que pour tout $k \geq r$, $\mathrm{Ker}(f^r) = \mathrm{Ker}(f^k)$.
2. On suppose $r \leq s$.
   1. Montrer que $E = \mathrm{Im}(f^s) + \mathrm{Ker}(f^s)$.
   2. En déduire que $\mathrm{Im}(f^r) = \mathrm{Im}(f^{2r})$, puis que $r = s$.
3. On suppose $s \leq r$. Montrer de même que $r = s$.
4. En déduire que $r = s$ et $E = \mathrm{Im}(f^r) \oplus \mathrm{Ker}(f^r)$.

1. Montrer que pour tout $F \in \mathcal{S}$ tel que $\dim(F) > 1$, il existe $G,H \in \mathcal{S}$ tels que $F = G \oplus H$ et $\dim(H)=1$. \\
2. Soient $F,G \in \mathcal{S}$ avec $\dim(F)=\dim(G)=1$. \\
   1. Si $F \neq G$, montrer que $F \cap G = \{0\}$. \\
   2. Montrer que si $F=\Vect(a)$ et $G=\Vect(b)$, alors $F+G=\Vect(a)+\Vect(a+b)=\Vect(a+b)+\Vect(b)$. \\
   3. En déduire que $d(F)=d(G)$. \\
   On note $m$ la valeur commune de $d(H)$ pour tout sev $H$ de dimension $1$. \\
3. Montrer que $d(\{0\})=0$. \\
4. Montrer par récurrence sur $p \leqslant n$ que si $F \in \mathcal{S}$ et $\dim(F)=p$, alors $d(F)=mp$. \\
5. Montrer que pour tout $F \in \mathcal{S}$, $d(F)=\dim(F)$. \\

1. Montrer que $\mathrm{rg}(M) = r \iff \exists (P,Q) \in GL_n(\mathbb{R})^2,\; PMQ = J_r$.\\ Soit $B \in \mathcal{M}_{r,n-r}(\mathbb{R})$, $C \in \mathcal{M}_{n-r,r}(\mathbb{R})$ et $D \in \mathcal{M}_r(\mathbb{R})$. On pose $M = \begin{pmatrix} I_r & B \\ C & D \end{pmatrix}$. Montrer que $\mathrm{rg}(M) \geq r$ avec égalité si et seulement si $D = CB$.\\
2. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ contenant $J_r$, tel que toutes les matrices de $V$ soient de rang inférieur ou égal à $r$. On pose : \[ W = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & B \\ {}^t\!B & A \end{pmatrix},\; A \in \mathcal{M}_{n-r}(\mathbb{R}),\; B \in \mathcal{M}_{r,n-r}(\mathbb{R}) \right\}. \] Montrer que $V \cap W = \{0\}$.\\
3. Montrer que la dimension d'un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont les éléments sont de rang inférieur ou égal à $r$ est inférieure ou égale à $nr$.

1. Trouver une CNS pour que $F$ et $G$ admettent un supplémentaire commun.\\
2. Trouver une CNS pour qu’il existe \[ f\in\mathcal{L}(E) \] tel que \[ \ker(f)=F \quad \mathrm{et} \quad \mathrm{Im}(f)=G. \]

1. Montrer que $\dim(E)$ est un nombre pair.\\
2. Montrer qu’il existe $v\in\mathcal{L}(E)$ tel que \[ v\circ u+u\circ v=\mathrm{id}_E. \]

1. Montrer que \[ \varphi : \mathbb{R}_n[X]\to \mathbb{R}_n[X] \] définie par \[ \varphi(P)=P(X)+P(X+1) \] est bijective.\\ On en déduit qu'il existe un unique \[ P_n\in \mathbb{R}_n[X] \] tel que \[ P_n(X)+P_n(X+1)=2X^n. \]
2. Justifier qu'on peut exprimer \[ P_n(X+1) \] en fonction de \[ P_0,\dots,P_n. \]
3. En calculant de deux façons \[ P_n(X+2)+P_n(X+1), \] déterminer une relation donnant \[ P_n \] en fonction de \[ P_0,\dots,P_{n-1}. \]

Exercice 5536. X ENS

1. On suppose que pour toute fonction $u$ de classe $C^{\infty}$ telle que \[ \integrale{a}{b}{u(t)}{t}=0, \] on a \[ \integrale{a}{b}{u(t)y(t)}{t}=0. \] Montrer que $y$ est constante.\\
2. Que dire si \[ \integrale{a}{b}{u(t)y(t)}{t}=0 \] pour toute fonction $u$ de classe $C^{\infty}$ telle que \[ u(a)=u(b) ? \]

Exercice 5538. X ENS

1. Soit $(f,g) \in \mathcal{L}(E)^2$ tel que $f \circ g - g \circ f = \mathrm{Id}$. \\ Vérifier que, pour tout $P \in K[X]$, on a $f \circ P(g) - P(g) \circ f = P'(g)$. \\ Si $K$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$, montrer que $(g^n)_{n \geqslant 0}$ est une famille libre. \\
2. Donner, lorsque $K=\mathbb{R}$ et $E=\mathbb{R}[X]$, un exemple d’endomorphismes $f$ et $g$ de $E$ vérifiant $f \circ g - g \circ f = \mathrm{Id}$. \\
3. On suppose que $K=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ où $p$ est un nombre premier, et que $E$ est de dimension $p$. \\ Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ une base de $E$ et $g \in \mathcal{L}(E)$ tel que $g(e_i)=e_{i+1}$ si $1 \leqslant i \leqslant p-1$, et $g(e_p)=0$. \\ Déterminer les endomorphismes $f$ de $E$ tels que $f \circ g - g \circ f = \mathrm{Id}$. \\

Exercice 5539. X ENS

1. Montrer que, pour tout polynôme \[ Q \] non nul, \[ \pi_Q \] est un projecteur. Déterminer son image et son noyau. \\
2. Montrer que si \[ Q_1 \quad \text{et} \quad Q_2 \] sont deux polynômes non nuls, on a, pour tout \[ P \in \mathbb{C}[X], \] \[ \pi_{Q_1Q_2}(Q_1P)=Q_1\pi_{Q_2}(P). \] On fixe \[ Q \in \mathbb{C}[X], \] non nul, et on considère \[ S_Q : \mathbb{C}[X] \to \mathbb{C}[X] \] définie par \[ S_Q(P)=\pi_Q(XP). \] On dit qu’un sous-espace \[ M \] de \[ \mathbb{C}[X] \] est stable si \[ S_Q(M) \subset M, \] et invariant si \[ S_Q(M)=M. \]
3. Montrer que si \[ Q=Q_1Q_2, \] alors \[ Q_1\mathrm{Im}\,\pi_{Q_2} \] est stable. À quelle condition est-il invariant ? \\
4. Soit \[ N \] un sous-espace stable et \[ M=N+Q\mathbb{C}[X]. \] Montrer que \[ M \] est de la forme \[ Q_1\mathbb{C}[X]. \]
5. Soit \[ N \] un sous-espace invariant. Montrer qu’il existe \[ Q_1 \quad \text{et} \quad Q_2 \] tels que \[ Q=Q_1Q_2 \quad \text{et} \quad N=Q_1\mathrm{Im}\,\pi_{Q_2}. \]

Exercice 5540. X ENS

Exercice 5541. X ENS

1. Vérifier que, pour tout sous-espace vectoriel \[ F \] de \[ E, \] \[ g(F) \] est un idéal à gauche de \[ \mathcal{L}(E) \] et que \[ (f \circ g)(F)=F. \] Soit \[ I \] un idéal à gauche de \[ \mathcal{L}(E). \]
2. Soit \[ u \in I, \quad v \in \mathcal{L}(E) \] tel que \[ \ker u \subset \ker v. \] Montrer que \[ v \in I. \]
3. Si \[ p \quad \text{et} \quad q \] sont deux projecteurs appartenant à \[ I, \] montrer qu’il existe un projecteur \[ r \in I \] tel que \[ \ker r=\ker p \cap \ker q. \]
4. Prouver qu’il existe un projecteur \[ p \in I \] tel que \[ \ker p=f(I), \] puis que \[ I=\mathcal{L}(E)p. \]
5. Étudier \[ (g \circ f)(I) \] et conclure.

Exercice 5542. X ENS

1. Montrer que $\varphi=0$ équivaut à $A_i=0$ pour tout $i \in \mathbb{N}$. \\
2. On admet que $A$ est une algèbre. En déterminer les éléments inversibles. \\
3. Existe-t-il des morphismes d’algèbres de $A$ dans $\mathbb{R}$ ?

1. 1. Montrer que $P \mapsto XP$ est une racine carrée de $P \mapsto X^2P$ dans $\mathbb{R}[X]$.
   2. Soit $p$ un projecteur d'un ev $E$. Montrer que $p \in \mathcal{R}(p)$.
   3. Proposer un exemple de racine carrée de $P \mapsto P(X+1)$ dans $\mathbb{R}[X]$.
   4. Soit $u \in L(E)$ nilpotent d'indice $p$. Montrer que $p \leq n = \dim(E)$, en exhibant une famille libre de cardinal $p$.
   5. Soient $E$ un $\mathbb{R}$-ev de dimension $3$ de base $(e_1,e_2,e_3)$ et $f$ tel que $f(e_1)=0$, $f(e_2)=e_1$, $f(e_3)=e_2$. Montrer que $f$ est nilpotent, puis que $\mathcal{R}(f) = \emptyset$.
2. Dans $E = \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$, soit $D$ l'endomorphisme de dérivation. On suppose qu'il existe $V \in L(E)$ tel que $V^2 = D$. Montrer que $\mathcal{R}(D) = \emptyset$.
3. Dans $E$ de dimension finie $n$, montrer que si $n \geq 3$, $\mathcal{R}(\mathrm{Id}_E)$ est infini.

1. On suppose $uvu = u$. On pose $p = vu$ et $q = uv$.
   1. Calculer $p^2$ et $q^2$. Montrer que $\mathrm{Im}(q) = \mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{Ker}(p) = \mathrm{Ker}(u)$.
   2. Montrer que $\mathrm{rg}(p) = \mathrm{rg}(q) = \mathrm{rg}(u) \leq \mathrm{rg}(v)$.
   3. Montrer qu'il existe un supplémentaire $E_1$ de $\mathrm{Ker}(u)$ dans $E$, que $u_0 : E_1 \to \mathrm{Im}(u)$ est un isomorphisme, et que $v$ prolonge $u_0^{-1}$.
2. 1. Montrer qu'il existe au moins une g-inverse de $u$.
   2. Montrer qu'on peut trouver une g-inverse de rang $k$ pour tout $k \in [\![\mathrm{rg}(u), \min(\dim E, \dim F)]\!]$.
   3. Soit $v_0$ une g-inverse de $u$. Montrer que l'ensemble des g-inverses est $\{v_0 + w \mid w \in W\}$ où $W$ est un sev de $L(F,E)$. Donner $\dim(W)$.

1. On suppose $uvu = u$ et $vuv = v$. Montrer que $E = \mathrm{Im}(v) \oplus \mathrm{Ker}(u)$, $F = \mathrm{Ker}(v) \oplus \mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{rg}(u) = \mathrm{rg}(v)$.
2. Montrer l'existence d'une f-inverse de $u$.

1. 1. Justifier que $f \in L(E)$.
   2. Calculer $f(X^k)$ pour $k \in [\![0,n]\!]$.
2. On dit que $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $f$ s'il existe $A \in E \setminus \{0\}$ tel que $f(A) = \lambda A$.
   1. Montrer que tout vecteur propre est nécessairement de degré $n$.
   2. Pour $\lambda = 1$, montrer que $-1$ est racine de tout vecteur propre, puis établir par la formule de Leibniz que $-1$ est racine de multiplicité $n$, et conclure sur les vecteurs propres associés à $1$.
   3. Traiter de même $\lambda = -1$.
3. Pour $k \in [\![0,n]\!]$, on pose $B_k = (X-1)^k(X+1)^{n-k}$.
   1. Montrer que $(B_k)_{k \in [\![0,n]\!]}$ est une base de $E$.
   2. Montrer que $B_k$ est vecteur propre de $f$ pour la valeur propre $\lambda_k = 1 - \dfrac{2k}{n}$.
   3. Montrer que les $\lambda_k$ sont les seules valeurs propres de $f$.
4. Déterminer $\mathrm{Ker}(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$ selon la parité de $n$.

1. 1. Montrer que $f \mapsto [f,g]$ est un endomorphisme de $L(E)$ pour tout $g$.
   2. Montrer que $[fg,h] = [f,h]g + f[g,h]$.
   3. Montrer que tout $f \in L(E)$ possède un polynôme annulateur non nul.
2. Soient $f, g \in L(E)$ avec $[f,[f,g]] = 0$. On pose $h = [f,g]$.
   1. Montrer que pour tout $P \in \mathbb{K}[X]$, $[P(f),g] = P'(f)h$.
   2. Montrer que $h$ est nilpotent.
3. Soient $f, g \in L(E)$ avec $[f,g] = \alpha f + \beta g$. Montrer que $[f,g]$ est nilpotent.
4. Soient $p, q$ deux projecteurs tels que $[p,q] = \alpha p + \beta q$ avec $[p,q] \neq 0$.
   1. Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont non nuls.
   2. Montrer que si $\alpha \neq 1$, alors $\mathrm{Im}(p) = \mathrm{Im}(q)$ et $\alpha = -1$.
   3. Montrer que si $\alpha = 1$, alors $\mathrm{Ker}(p) = \mathrm{Ker}(q)$.

1. Vérifier que $C^2(u)$ est une sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$ contenant $K[u]$.\\
2. On suppose que $u$ est nilpotent d'indice $n$. Montrer que $C^2(u) = K[u]$.\\
3. Soient $E_1$ et $E_2$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ stables par $u$. On note $u_1$ (resp. $u_2$) l'induit de $u$ sur $E_1$ (resp. $E_2$). On suppose que les polynômes minimaux de $u_1$ et $u_2$ sont premiers entre eux avec $C^2(u_1) = K[u_1]$ et $C^2(u_2) = K[u_2]$. Montrer que $C^2(u) = K[u]$.