Exercices divers

Exercice 1243. Pour tout polynôme $Q$ de $\R[X]$, on considère le polynôme $\Delta(Q)$ défini par :\\ \[ \Delta(Q) = Q(X+1) - Q(X) \]\\
  1. Montrer que l’application $\Delta$ est un endomorphisme de $\R[X]$.\\
  2. Déterminer, pour tout polynôme $Q$ de $\R[X]$, le degré de $\Delta(Q)$ en fonction du degré de $Q$.\\
  3. Déterminer le noyau de $\Delta$.\\
  4. Soit $P \in \R[X]$ et $n \in \N$. Montrer\\ \[ \Delta^n(P) = (-1)^n \Sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} P(X+k) \]\\
  5. En déduire que si $\deg P < n$, alors\\ \[ \Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k P(k) = 0 \]
Exercice 1244. On définit l’ensemble $E = \{ P \in \R_4[X] \; | \; P(0) = P(4) = 0 \}$ et le polynôme $W = X(X-4)$.\\
  1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel $\R_4[X]$.\\ Pour tout polynôme $Q$ de $\R_2[X]$, on note $\varphi(Q) = WQ$.\\
  2. Montrer que l’application $\varphi : Q \mapsto WQ$ est un isomorphisme de $\R_2[X]$ de $E$.\\
  3. En déduire une base de $E$.
Exercice 1245. Montrer que $\varphi : \R[X] \to \R[X], \; P \mapsto P + P'$ est un automorphisme de $\R[X]$.
Exercice 1246. Soit $P$ un polynôme de degré $n$. Soit $\varphi$ l’application\\ \[ \varphi : \begin{cases} \R_{n-1}[X] \to \R_{n-1}[X]\\ Q \mapsto R \end{cases} \]\\ où $R$ est le reste de la division euclidienne de $X^2 Q$ par $P$.\\ Montrer que $\varphi$ est linéaire.
Exercice 1247. Montrer que $\varphi : \R[X] \to \R[X], \; P \mapsto P - X P'$ est une application linéaire.\\ Déterminer son noyau et son image.
Exercice 1248. On considère l’application $T$ définie sur $\R[X]$ par\\ \[ T(P) = 3XP + X^2P' - X^3P'' \]\\
  1. Montrer que $T$ est linéaire.\\
  2. Soit $P \in \R[X]$. Donner le degré de $T(P)$ en fonction du degré de $P$.\\
  3. $T$ est-elle injective ? surjective ?
Exercice 1249. Soit $E, F$ deux espaces vectoriels et $G$ un sous-espace vectoriel de $E$. On pose\\ \[ A = \{ u \in \mathcal{L}(E,F) \; | \; G \subset \Ker u \} \]\\ Montrer que $A$ est un espace vectoriel.
Exercice 1250. Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Soit $x_1, \dots, x_n$ des vecteurs non nuls de $E$ tel que pour tout $i \in [\![1,n]\!]$ il existe $\lambda_i$ tel que $u(x_i) = \lambda_i x_i$.\\ Montrer que si les $\lambda_i$ sont deux à deux distincts alors la famille $(x_1, \dots, x_n)$ est libre.\\ Indication : On pourra raisonner par récurrence.
Exercice 1251. Soit $E, F$ et $G$ trois espaces vectoriels et $g \in \mathcal{L}(F,G)$.\\ Posons\\ \[ \varphi : \begin{cases} \mathcal{L}(E,F) \to \mathcal{L}(E,G)\\ f \mapsto g \circ f \end{cases} \]\\ Montrer que $\varphi$ est linéaire.\\ Supposons que $g$ est injective. Que peut-on dire de $\varphi$ ?
Exercice 1252. Soit $E$ un espace vectoriel, $u \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :\\
  1. $\ker u = \mathrm{Im}\, u$\\
  2. $u^2 = 0$ et il existe $v \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u \circ v + v \circ u = \mathrm{id}$.
Exercice 1253. Soit $E$ un espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $u^3 = \mathrm{id}_E$.\\ Montrer que\\ \[ E = \ker(u - \mathrm{id}_E) \oplus \mathrm{Im}\,(u - \mathrm{id}_E) \]\\
Exercice 1254. Soit $E$ un espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $u^2 - 5u + 6\id = 0$.\\
  1. Montrer que $u$ est un automorphisme et exprimer $u^{-1}$ en fonction de $u$.\\
  2. Montrer que $E = \ker(u - 2\mathrm{id}) \oplus \ker(u - 3\mathrm{id})$.\\ Indication : On pourra remarquer que $(u - 2\id)(u - 3\id) = \mathrm{id}$.

Exercice 1255. HEC 2024

\\ Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n>1$.\\ On note $\mathcal{L}(E)$ l’espace vectoriel des endomorphismes de $E$.\\ Soit $f$ un endomorphisme tel que $\forall k < n$, $f^k \neq 0$ et $f^n = 0$.\\ On appelle commutant de $f$ l’ensemble :\\ \[ C(f)=\{\, g \in \mathcal{L}(E) \mid f \circ g = g \circ f \,\}.\\ \]
  1. Montrer que $C(f)$ est un sous espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$.\\
  2. Soit $a \in E$ tel que $f^{n-1}(a) \neq 0$. Montrer que la famille $(a,\; f(a),\; \ldots,\; f^{\,n-1}(a))$ est une base de $E$.\\
  3. Soit $a \in E$ tel que $f^{n-1}(a) \neq 0$. Soit $\varphi_a : C(f) \mapsto E$ définie par $\varphi_a(g)=g(a)$.\\ Montrer que $\varphi_a$ est un isomorphisme.