Exercices divers

Exercice 3962. Soit $f:\mathbb{C}[X]\to \mathbb{C}[X]$ l'application définie par \\ \[ f(P)=P(X+1)-P(X). \]
  1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}[X]$.\\
  2. Déterminer le noyau de $f$.\\
  3. Étudier la surjectivité et l'injectivité de $f$.\\
  4. Montrer qu'il existe une base $(e_0,\ldots,e_i,\ldots)$ de $\mathbb{C}[X]$ telle que pour tout $i > 0$ on ait $f(e_i)=e_{i-1}$.
Exercice 3963. Soient $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, différent de $E$. Soit $u$ une fonction de $E$ dans $E$ telle que la restriction de $u$ sur le complémentaire de $F$ est nulle.\\ Montrer que $u$ est linéaire si et seulement si elle est nulle.
Exercice 3964. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe un unique polynôme $P_n\in \mathbb{R}_{n+1}[X]$ tel que $P_n(0)=0$ et $P_n(X+1)-P_n(X)=X^n$.
Exercice 3965. Soit $H$ un hyperplan d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension quelconque.\\ Soit $a$ un vecteur de $E$ qui n'appartient pas à $H$. Montrer \[ H\oplus \mathrm{Vect}(a)=E. \]
Exercice 3966. Soient $H$ un hyperplan d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension quelconque et $D$ une droite vectorielle non incluse dans $H$.\\ Montrer que $D$ et $H$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 3967. Soit $H$ un hyperplan d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension quelconque.\\ On suppose que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $H$. Montrer \[ F=H \quad \text{ou} \quad F=E. \]
Exercice 3968. Soient $f,g\in E^*$ telles que \[ \ker f=\ker g. \] Montrer qu'il existe $\alpha\in K$ tel que \[ f=\alpha g. \]
Exercice 3969. Soit $e=(e_1,\dots,e_n)$ une famille de vecteurs d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension $n\in\mathbb{N}^*$.\\ On suppose que \[ \forall f\in E^*,\ f(e_1)=\cdots=f(e_n)=0 \Longrightarrow f=0. \] Montrer que $e$ est une base de $E$.
Exercice 3970. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, $V$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $f\in \mathcal{L}(E)$. Montrer \[ V\subset f(V)\Longrightarrow f(V)=V. \]
Exercice 3971. Soit $f\in \mathcal{L}(E,F)$ injective. Montrer que pour toute famille $(x_1,\dots,x_p)$ de vecteurs de $E$, on a \[ \mathrm{rg}(f(x_1),\dots,f(x_p))=\mathrm{rg}(x_1,\dots,x_p). \]
Exercice 3972. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que \[ f\circ g\circ f=f \quad \text{et} \quad g\circ f\circ g=g. \] Montrer que $\ker f$ et $\mathrm{Im}(g)$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 3973. Justifier qu'il existe une unique application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ telle que : \[ f(1,0,0)=(0,1),\quad f(1,1,0)=(1,0)\quad \text{et} \quad f(1,1,1)=(1,1). \] Exprimer $f(x,y,z)$ et déterminer noyau et image de $f$.
Exercice 3974. Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels sur $K$, de dimensions finies ou non. Montrer que \[ (E\times F)^* \quad \text{et} \quad E^*\times F^* \] sont isomorphes.
Exercice 3975. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$. \\ Montrer que si $u$ et $v$ commutent, alors $\ker(v)$ et $\mathrm{Im}(v)$ sont stables par $u$, ainsi que plus généralement $\ker(P(v))$ et $\mathrm{Im}(P(v))$, où $P$ est un polynôme.
Exercice 3976. \\
  1. Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, et $f:E\to F$ une application linéaire injective. Montrer que si $G$ et $H$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $G+H$ soit directe, alors $f(G)+f(H)$ est également directe.\\
  2. À quelle condition sur $G$, $H$ et $\ker(f)$ peut-on affirmer cela si $f$ n'est plus supposée injective ?
Exercice 3977. Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies et $G$ un sous-espace vectoriel de $E$.\\ On pose \[ A=\{u\in \mathcal{L}(E,F)\mid G\subset \ker(u)\}. \]
  1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E,F)$.\\
  2. Déterminer la dimension de $A$.
Exercice 3978. Soient \[ a,b\in \mathbb{R} \] distincts. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme \[ \varphi \] de \[ \mathbb{R}[X] \] vérifiant \[ \varphi(1)=1,\quad \varphi(X)=X \] et \[ \forall P\in \mathbb{R}[X],\ P(a)=P(b)=0 \Longrightarrow \varphi(P)=0. \]
Exercice 3979. Soit \[ P\in \mathbb{R}[X]. \] Montrer que la suite \[ (P(n))_{n\in \mathbb{N}} \] vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.
Exercice 3980. Pour \[ p\in \mathbb{N} \] et \[ a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}, \] on note \[ S_p \] l'ensemble des suites \[ (u_n) \] vérifiant \[ \exists P\in \mathbb{R}_p[X],\ \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=au_n+P(n). \]
  1. Montrer que si \[ u\in S_p, \] alors \[ P \] est unique ; on le notera \[ P_u. \]
  2. Montrer que \[ S_p \] est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\
  3. Montrer que l'application \[ \phi : u\mapsto P_u \] est linéaire et donner une base de son noyau. Que représente son image ?\\
  4. Donner une base de \[ S_p. \] On pourra utiliser \[ R_k(X)=(X+1)^k-aX^k \quad \text{pour } k\in \{0,\dots,p\}. \]
  5. Application : déterminer la suite \[ (u_n) \] définie par \[ u_0=-2 \quad \text{et} \quad u_{n+1}=2u_n-2n+7. \]
Exercice 3981. Soient $E$ un espace vectoriel, $F_1$ et $F_2$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.\\
  1. Montrer que si $F_1$ et $F_2$ ont un supplémentaire commun alors ils sont isomorphes.\\
  2. Montrer que la réciproque est fausse.
Exercice 3982. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$.\\ Soient $\lambda \neq \mu$ deux scalaires. Montrer que :\\ \[ (f-\lambda \mathrm{id})(f-\mu \mathrm{id})=0 \Longrightarrow E=\ker(f-\lambda \mathrm{id}) \oplus \ker(f-\mu \mathrm{id}) \]
Exercice 3983. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que \[ g\circ f\circ g=f \quad \text{et} \quad f\circ g\circ f=g. \]
  1. Montrer que $\ker f=\ker g$ et $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(g)$. \\ On pose $F=\ker f=\ker g$ et $G=\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(g)$. \\
  2. Montrer que $E=F\oplus G$.
Exercice 3984. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que \[ g\circ f\circ g=g \quad \text{et} \quad f\circ g\circ f=f. \]
  1. Montrer que \[ \mathrm{Im}(f)\oplus \ker(g)=E. \]
  2. Justifier que \[ f(\mathrm{Im}(g))=\mathrm{Im}(f). \]
Exercice 3985. Soit $(\varphi_1,\dots,\varphi_p)$ une famille de formes linéaires indépendantes d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension $n\geqslant 1$.\\
  1. Justifier que \[ p\leqslant n. \]
  2. Déterminer la dimension de \[ F=\ker(\varphi_1)\cap \cdots \cap \ker(\varphi_p). \]
Exercice 3986. Soient \[ n\in \mathbb{N}^*, \quad E=\mathbb{R}_n[X] \] et \[ \Delta : E\to E \] l'endomorphisme de $E$ déterminé par \[ \Delta(P)=P(X+1)-P(X). \]
  1. Justifier que l'endomorphisme $\Delta$ est nilpotent.\\
  2. Déterminer des réels \[ a_0,\dots,a_n,a_{n+1} \] non triviaux vérifiant \[ \forall P\in \mathbb{R}_n[X],\ \Sum_{k=0}^{n+1}a_k P(X+k)=0. \]
Exercice 3987. Soit \[ \Delta : \mathbb{C}[X]\to \mathbb{C}[X] \] l'application définie par \[ \Delta(P)=P(X+1)-P(X). \]
  1. Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme. \\ Calculer pour tout polynôme $P$ non constant, $\deg(\Delta(P))$ en fonction de $\deg(P)$. \\
  2. Déterminer $\ker(\Delta)$ et $\mathrm{Im}(\Delta)$.\\
  3. Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ et $n\in \mathbb{N}$. Montrer \[ \Delta^n(P)=(-1)^n\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k\Binom{n}{k}P(X+k). \]
  4. En déduire que, si $\deg P < n$, alors \[ \Sum_{k=0}^{n}\Binom{n}{k}(-1)^kP(k)=0. \]
Exercice 3988. Soit \[ A\in \mathbb{R}[X] \] un polynôme non nul et \[ r : \mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}[X] \] l'application définie par : pour tout \[ P\in \mathbb{R}[X], \] \[ r(P) \] est le reste de la division euclidienne de \[ P \] par \[ A. \] Montrer que $r$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ tel que \[ r^2=r. \] Déterminer le noyau et l'image de cet endomorphisme.
Exercice 3989. Soient $E,F,G$ des $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$.\\ Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :\\
  1. $g \circ f$ est un isomorphisme de $E$ sur $G$.\\
  2. $f$ est injective, $g$ est surjective et $F=\ker(g)\oplus \mathrm{Im}(f)$.
Exercice 3990. Soit $y : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue.
  1. On suppose que pour toute fonction $u$ de classe $C^{\infty}$ telle que \[ \integrale{a}{b}{u(t)}{t}=0, \] on a \[ \integrale{a}{b}{u(t)y(t)}{t}=0. \] Montrer que $y$ est constante.\\
  2. Que dire si \[ \integrale{a}{b}{u(t)y(t)}{t}=0 \] pour toute fonction $u$ de classe $C^{\infty}$ telle que \[ u(a)=u(b) ? \]
Exercice 3991. Soit $P\in \mathcal{M}_n(\R)$, définissant l'endomorphisme \[ \Phi:\mathcal{M}_n(\R)\to \mathcal{M}_n(\R),\quad M\mapsto PM-MP. \] Calculer la trace de $\Phi$.
Exercice 3992. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 2$ sur un corps $K$ et $d\in [\![1,n-1]\!]$. Déterminer les endomorphismes de $E$ stabilisant tous les sous-espaces de $E$ de dimension $d$.
Exercice 3993. Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé de dimension finie et $f:E\to E$ une application vérifiant \[ \forall (x,y)\in E^2,\quad \|f(y)-f(x)\|\leqslant \frac{1}{4}\left(\|f(y)-y\|+\|f(x)-x\|\right). \] On définit la suite $(x_n)$ en choisissant $x_0\in E$ et $x_{n+1}=f(x_n)$ pour tout $n\in\N$. Montrer que la suite $(x_n)$ est convergente, puis que $f$ possède un point fixe. Est-il unique ?
Exercice 3994. Montrer que l’application partie entière $\mathrm{Ent} : K(X) \to K[X]$ est linéaire et déterminer son noyau.
Exercice 3995. Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels.\\ On se donne $f \in \mathcal{L}(E,F)$, une famille $(E_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ de sous-espaces vectoriels de $E$ et une famille $(F_j)_{1 \leqslant j \leqslant p}$ de sous-espaces vectoriels de $F$.\\
  1. Montrer \[ f\left(\Sum_{i=1}^{n}E_i\right)=\Sum_{i=1}^{n}f(E_i). \]
  2. Montrer que si $f$ est injective et si la somme des $E_i$ est directe alors la somme des $f(E_i)$ est directe.\\
  3. Montrer \[ f^{-1}\left(\Sum_{j=1}^{p}F_j\right)\supset \Sum_{j=1}^{p}f^{-1}(F_j). \] Montrer que cette inclusion peut être stricte. Donner une condition suffisante pour qu'il y ait égalité.
Exercice 3996. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E,F)$.\\ On suppose \[ \forall x\in E,\ \exists \lambda_x\in K,\ g(x)=\lambda_x f(x). \] Montrer qu'il existe $\lambda\in K$ tel que \[ g=\lambda f. \]
Exercice 3997. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $n\geqslant 2$.\\ Pour $a\in E$, on note $F_a$ l'ensemble des endomorphismes $f$ de $E$ tels que, pour tout $x\in E$, la famille $x,f(x),a$ soit liée.\\
  1. Déterminer $F_a$ lorsque $a=0$ puis lorsque $n=2$.\\
  2. Montrer que $F_a$ est un espace vectoriel pour tout $a\in E$.\\
  3. Soit $H$ un espace vectoriel de dimension finie. Caractériser les endomorphismes $v$ de $H$ tels que pour tout $h\in H$, la famille $h,v(h)$ soit liée.\\
  4. Déterminer la dimension de $F_a$.
Exercice 3998. Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ f^3=\mathrm{Id}_E. \] Montrer \[ \ker(f-\mathrm{Id}_E)\oplus \mathrm{Im}(f-\mathrm{Id}_E)=E. \]
Exercice 3999. Considérons l’application \[ \Delta : \begin{cases} K[X] \to K[X] \\ P(X) \mapsto P(X+1)-P(X) \end{cases} \]
  1. Calculer le degré, le coefficient dominant et le coefficient constant de $\Delta(X^k)$ pour $k \in \N^*$. \\
  2. Trouver tous les polynômes $P$ tels que $\Delta(P)=0_{K[X]}$. \\
  3. Montrer que l’application $\Delta$ est linéaire, c’est-à-dire : \[ \forall \lambda,\mu \in K,\forall P,Q \in K[X],\qquad \Delta(\lambda P+\mu Q)=\lambda \Delta(P)+\mu \Delta(Q). \]
  4. En déduire que si $P \in K_n[X]$ alors $\Delta(P) \in K_{n-1}[X]$. \\
  5. Vérifier que pour tout $P \in K_n[X]$, \[ \Delta^{n+1}(P)=0_{K_n[X]}. \]
  6. On considère maintenant $f : E \to E$, où $E$ est un espace vectoriel, une application linéaire quelconque. Montrer que \[ F=\{x \in E \mid f(x)=0\} \qquad \text{et} \qquad G=\{f(x)\mid x \in E\} \] sont des sous-espaces vectoriels de $E$.
Exercice 4000. \\
  1. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ tel que \[ \forall x \in E,\; \exists \mu \in \mathbb{K}, \quad f(x)=\mu x \] Montrer que \[ \exists \mu \in \mathbb{K},\; \forall x \in E,\quad f(x)=\mu x \]
  2. Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
Exercice 4001. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $(x,y) \in E^2$. Montrer que $x=y$ si, et seulement si, $\forall \phi \in \mathcal{L}(E,\mathbb{K})$, $\phi(x)=\phi(y)$.
Exercice 4002. Soit $D$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ défini par $D(P)=P'$.\\
  1. Pour $n \in \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb{R}_n[X]$ est stable par $D$ et donner la matrice de l’endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ induit par $D$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.\\
  2. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$ de dimension finie non nulle stable par $D$.\\
    1. Montrer qu’il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ et un polynôme $R$ de degré $n$ tels que $F \subset \mathbb{R}_n[X]$ et $R \in F$.\\
    2. Montrer que la famille $\mathcal{E}=(D^i(R))_{0 \leqslant i \leqslant n}$ est une famille libre de $F$.\\
    3. Montrer que $F=\mathbb{R}_n[X]$.\\
    4. Trouver tous les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}[X]$ de dimension finie stables par $D$.\\
Exercice 4003. \\
  1. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on définit $f_A : M \longmapsto \mathrm{Tr}(AM)$. Montrer que l’application \[ f : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\mathbb{R}),\quad A \longmapsto f_A \] est un isomorphisme.\\
  2. Soit $g \in \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\mathbb{R})$ telle que $\forall (A,B)\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, $g(AB)=g(BA)$. Montrer que $g$ est proportionnelle à la trace.
Exercice 4004. On note \[ H=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \mathrm{Tr}(M)=0\} \]
  1. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et préciser sa dimension.\\
  2. Montrer que toute matrice de $H$ est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.\\
  3. Montrer que \[ H=\{AB-BA \mid (A,B)\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2\} \]