Lois usuelles

Exercice 4374. Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose d'un trousseau de $n$ clés dont une seule ouvre son domicile.\\
  1. Il essaie les clés les unes après les autres en mettant de côté chaque clé qui ne convient pas. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé.\\
  2. En réalité, la soirée était bien arrosée et après chaque essai le concierge remet la clé. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé.
Exercice 4375. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales de paramètres respectifs $(n,p)$ et $(m,p)$. Déterminer la loi de $Z=X+Y$.
Exercice 4376. Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$. Déterminer la loi de $Y=\min(X_1,X_2)$ et son espérance.
Exercice 4377. On a six dés équilibrés à six faces. À chaque lancer, on ôte les dés affichant un $6$. Notons $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour épuiser les six dés. Déterminer la loi de $X$.
Exercice 4378. Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$. \\ Quelle est la loi suivie par la variable $Y=n-X$ ?
Exercice 4379. Un archer tire sur $n$ cibles. À chaque tir, il a la probabilité $p$ de toucher la cible et les tirs sont supposés indépendants. \\ Il tire une première fois sur chaque cible et on note $X$ le nombre de cibles atteintes lors de ce premier jet. \\ L’archer tire ensuite une seconde fois sur les cibles restantes et l’on note $Y$ le nombre de cibles touchés lors de cette tentative. \\ Déterminer la loi de la variable $Z=X+Y$.
Exercice 4380. \\
  1. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Bernoulli de paramètres $p$ et $q$. Déterminer la loi de la variable $Z=\max(X,Y)$. \\ Deux archers tirent indépendemment sur $n$ cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité $p$ de toucher, le second la probabilité $q$. \\
  2. Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois ? \\
  3. Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles épargnées ? \\
Exercice 4381. Un étudiant résout un QCM constitué de $n$ questions offrant chacune quatre réponses possibles. \\ Pour chaque question, et indépendemment les unes des autres, il a la probabilité $p$ de savoir résoudre celle-ci. \\ Dans ce cas il produit la bonne réponse. \\ Si en revanche, il ne sait pas résoudre la question, il choisit arbitrairement l’une des quatre réponses possibles. \\ On note $X$ la variable aléatoire déterminant le nombre de questions qu’il savait résoudre et $Y$ le nombre de questions qu’il a correctement résolues parmi celles où il a répondu "au hasard". \\
  1. Reconnaître la loi de $Z=X+Y$. \\
  2. Calculer espérance et variance de $Z$.
Exercice 4382. Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec $p\in]0;1[$. \\ On note $b(k,n,p)=\mathbb{P}(X=k)$. \\
  1. Pour quelle valeur $m$ de $k$, le coefficient $b(k,n,p)$ est-il maximal ? \\
  2. Étudier la monotonie de la fonction $f:x\mapsto x^m(1-x)^{n-m}$ sur $[0;1]$. \\
  3. Vérifier que si $m\in[np;(n+1)p]$ alors \[ b\Bigl(m,n,\Frac{m}{n+1}\Bigr)\leqslant b(m,n,p)\leqslant b\Bigl(m,n,\Frac{m}{n}\Bigr). \]
  4. Proposer un encadrement analogue pour $m\in[(n+1)p-1;np]$. \\
  5. On donne la formule de Stirling \[ n!\sim \sqrt{2\pi n}\,n^n e^{-n}. \] Donner un équivalent simple de $b(m,n,p)$.
Exercice 4383. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales de paramètres respectifs $(n,p)$ et $(m,p)$. Déterminer la loi de $Z=X+Y$.
Exercice 4384. On a six dés équilibrés à six faces. À chaque lancer, on ôte les dés affichant un $6$. Notons $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour épuiser les six dés. Déterminer la loi de $X$.
Exercice 4385. Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire.\\ On répète l'opération suivante : on tire aléatoirement une boule dans l'urne, on la remet, puis on rajoute une boule de la même couleur.\\ On fixe $k \geqslant 1$ et on note $N_k$ le nombre de boules blanches dans l'urne après la $k$-ième expérience.\\ Déterminer $N_k(\Omega)$ et montrer que $N_k$ suit une loi uniforme sur $N_k(\Omega)$.