Lois usuelles

Exercice 6133. Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose d'un trousseau de $n$ clés dont une seule ouvre son domicile.\\
  1. Il essaie les clés les unes après les autres en mettant de côté chaque clé qui ne convient pas. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé.\\
  2. En réalité, la soirée était bien arrosée et après chaque essai le concierge remet la clé. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé.
Exercice 6134. Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$. \\ Quelle est la loi suivie par la variable $Y=n-X$ ?
Exercice 6135. Soit $a$ un réel et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, \[ \mathbb{P}(X=k)=\frac{a}{2^k k!}. \] Déterminer $a$. Calculer $\mathbb{E}[X]$ et $\mathbb{V}[X]$.
Exercice 6136. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois binomiales $\mathcal{B}(n,p)$ et $\mathcal{B}(m,p)$.\\
  1. Donner la fonction génératrice de $X$.
  2. Donner la fonction génératrice de $X+Y$, puis sa loi.
Exercice 6137. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales de paramètres respectifs $(n,p)$ et $(m,p)$. Déterminer la loi de $Z=X+Y$.
Exercice 6138. Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$. Déterminer la loi de $Y=\min(X_1,X_2)$ et son espérance.
Exercice 6139. On a six dés équilibrés à six faces. À chaque lancer, on ôte les dés affichant un $6$. Notons $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour épuiser les six dés. Déterminer la loi de $X$.
Exercice 6140. Un archer tire sur $n$ cibles. À chaque tir, il a la probabilité $p$ de toucher la cible et les tirs sont supposés indépendants. \\ Il tire une première fois sur chaque cible et on note $X$ le nombre de cibles atteintes lors de ce premier jet. \\ L’archer tire ensuite une seconde fois sur les cibles restantes et l’on note $Y$ le nombre de cibles touchés lors de cette tentative. \\ Déterminer la loi de la variable $Z=X+Y$.
Exercice 6141. \\
  1. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Bernoulli de paramètres $p$ et $q$. Déterminer la loi de la variable $Z=\max(X,Y)$. \\ Deux archers tirent indépendemment sur $n$ cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité $p$ de toucher, le second la probabilité $q$. \\
  2. Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois ? \\
  3. Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles épargnées ? \\
Exercice 6142. Un étudiant résout un QCM constitué de $n$ questions offrant chacune quatre réponses possibles. \\ Pour chaque question, et indépendemment les unes des autres, il a la probabilité $p$ de savoir résoudre celle-ci. \\ Dans ce cas il produit la bonne réponse. \\ Si en revanche, il ne sait pas résoudre la question, il choisit arbitrairement l’une des quatre réponses possibles. \\ On note $X$ la variable aléatoire déterminant le nombre de questions qu’il savait résoudre et $Y$ le nombre de questions qu’il a correctement résolues parmi celles où il a répondu "au hasard". \\
  1. Reconnaître la loi de $Z=X+Y$. \\
  2. Calculer espérance et variance de $Z$.
Exercice 6143. On a six dés équilibrés à six faces. À chaque lancer, on ôte les dés affichant un $6$. Notons $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour épuiser les six dés. Déterminer la loi de $X$.
Exercice 6144. Soit $n \geqslant 1$. On lance $n$ fois un dé parfaitement équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir
  1. au moins une fois le chiffre $6$ ? \\
  2. au moins deux fois le chiffre $6$ ? \\
  3. au moins $k$ fois le chiffre $6$ ?
Exercice 6145. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres $p$ et $q$ respectivement.\\ Déterminer la probabilité que la matrice \[ A= \begin{pmatrix} X & Y\\ Y & X \end{pmatrix} \] soit inversible.
Exercice 6146. Soit $(X_i)_{i\geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, suivant une loi uniforme sur une partie finie $A\subset\mathbb{R}$. Soit $B\subset A$ une partie non vide. On pose \[ T=\inf\{i\geqslant 1,\ X_i\in B\}, \] avec les conventions $\inf\varnothing=+\infty$ et $X_{+\infty}=+\infty$.\\ Reconnaître la loi de la variable aléatoire $X_T$.
Exercice 6147. On tire une pièce $n$ fois indépendamment avec probabilité de faire pile $\Frac{1}{n}$. Soit $p_n$ la probabilité d'obtenir un nombre impair de fois pile. Étudier le comportement de $p_n$.
Exercice 6148. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et $Y$ la loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$.\\ On définit la variable aléatoire $Z$ par $Z=X$ si $X \neq 0$, et $Z=Y$ sinon.\\ Déterminer la loi de $Z$.
Exercice 6149. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres $\lambda$ et $\mu$.\\
  1. Déterminer la loi de $X+Y$.
  2. Soit $n\in\mathbb{N}$. Déterminer la loi de $X$ sachant $X+Y=n$.
Exercice 6150. Soit une bactérie touchée par un laser avec probabilité $p$. \\ Elle meurt après $r$ impacts. \\ On note $X$ sa durée de vie. \\ Déterminer la loi et l’espérance de $X$.
Exercice 6151. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ et soit $g_X$ sa fonction génératrice, définie sur $]-R_X,R_X[$ avec $R_X > 1$. \\ Soit $(a,b)\in \mathbb{N}^2$. \\ Exprimer la fonction génératrice de $aX+b$ en fonction de $g_X$.
Exercice 6152. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ et soit $g_X$ sa fonction génératrice, définie sur $]-R_X,R_X[$ avec $R_X > 1$. \\ Soit $(a,b)\in \mathbb{N}^2$. \\ Exprimer la fonction génératrice de $aX+b$ en fonction de $g_X$.
Exercice 6153. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ et soit $g_X$ sa fonction génératrice. \\ On suppose que $g_X$ est définie en $1$ et en $-1$. \\ Montrer que : \[ \mathbb{P}(X\;\mathrm{pair})=\frac{g_X(1)+g_X(-1)}{2} \] et : \[ \mathbb{P}(X\;\mathrm{impair})=\frac{g_X(1)-g_X(-1)}{2}. \]
Exercice 6154. On vise une bactérie avec un laser. \\ À chaque tir, on la touche avec probabilité $p$. \\ La bactérie meurt après avoir été touchée $r$ fois. \\ On note $X$ le nombre de tirs nécessaires. \\ Déterminer la loi de $X$ et son espérance.
Exercice 6155. Soient $X$ une variable aléatoire réelle discrète, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ et $Y = f(X)$. On suppose $X$ et $Y$ indépendantes. Que dire de $Y$ ?
Exercice 6156.
  1. Soit $(a, b, n) \in \mathbb{N}^3$. Montrer que $\dbinom{a+b}{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{a}{k}\binom{b}{n-k}$.
  2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Un joueur $A$ tire $n$ fois à pile ou face avec une pièce équilibrée, un joueur $B$ fait de même, les tirages étant mutuellement indépendants. Quelle est la probabilité que les deux joueurs aient tiré le même nombre de faces ?
  3. Un joueur tire à pile ou face jusqu'à ce que la différence entre le nombre de piles et de faces vaille $2$. Soit $X$ le nombre de tirages effectués. Donner la loi de $X$.
Exercice 6157. On se donne $(\sigma_i)_{i \in \mathbb{N}^*}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour tout $i \in \mathbb{N}^*$, \[ \mathbb{P}(\sigma_i=1)=\mathbb{P}(\sigma_i=-1)=\frac{1}{2}. \] Pour tout $N \in \mathbb{N}^*$ et tout $h \in \mathbb{R}$, on pose \[ Z_N(h)=\mathbb{E}\left(e^{h\Sum_{i=1}^N \sigma_i}\right) \quad \text{et} \quad F_N(h)=\frac{1}{N}\ln(Z_N(h)). \]
  1. Montrer que $Z_{N+1}(h)=\ch(h)Z_N(h)$.
  2. En déduire une expression explicite de $F_N(h)$.
Exercice 6158. On se donne $(\sigma_i)_{i \in \mathbb{N}^*}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour tout $i \in \mathbb{N}^*$, \[ \mathbb{P}(\sigma_i=1)=\mathbb{P}(\sigma_i=-1)=\frac{1}{2}. \] Pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on pose \[ S_N=\frac{1}{N}\Sum_{i=1}^N \sigma_i. \] On définit $I : ]-1,1[ \to \mathbb{R}$ par \[ I(x)=\frac{1+x}{2}\ln\left(\frac{1+x}{2}\right)+\frac{1-x}{2}\ln\left(\frac{1-x}{2}\right). \]
  1. Montrer que $I$ se prolonge par continuité en $-1$ et en $1$.
  2. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, calculer $\mathbb{P}(S_N=x)$.
Exercice 6159. Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec $p\in]0;1[$. \\ On note $b(k,n,p)=\mathbb{P}(X=k)$. \\
  1. Pour quelle valeur $m$ de $k$, le coefficient $b(k,n,p)$ est-il maximal ? \\
  2. Étudier la monotonie de la fonction $f:x\mapsto x^m(1-x)^{n-m}$ sur $[0;1]$. \\
  3. Vérifier que si $m\in[np;(n+1)p]$ alors \[ b\Bigl(m,n,\Frac{m}{n+1}\Bigr)\leqslant b(m,n,p)\leqslant b\Bigl(m,n,\Frac{m}{n}\Bigr). \]
  4. Proposer un encadrement analogue pour $m\in[(n+1)p-1;np]$. \\
  5. On donne la formule de Stirling \[ n!\sim \sqrt{2\pi n}\,n^n e^{-n}. \] Donner un équivalent simple de $b(m,n,p)$.
Exercice 6160. Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire.\\ On répète l'opération suivante : on tire aléatoirement une boule dans l'urne, on la remet, puis on rajoute une boule de la même couleur.\\ On fixe $k \geqslant 1$ et on note $N_k$ le nombre de boules blanches dans l'urne après la $k$-ième expérience.\\ Déterminer $N_k(\Omega)$ et montrer que $N_k$ suit une loi uniforme sur $N_k(\Omega)$.
Exercice 6161. On considère une urne contenant $30$ boules vertes et $20$ boules rouges. On effectue $15$ tirages successifs et sans remise.\\ Pour $i\in\intervalleEntier{1}{15}$, on note $X_i$ la variable aléatoire valant $1$ ou $0$ selon que la $i$-ième boule est rouge ou verte.\\ On pose \[ S=\sum_{i=1}^{15}X_i. \] Déterminer la loi de $S$, puis l'espérance de $S$.
Exercice 6162. On suppose que le nombre $N$ de bébés animaux suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. On note $X$ le nombre de femelles et $Y$ le nombre de mâles. On suppose que les naissances sont indépendantes et que les sexes sont équiprobables.\\
  1. Calculer $\mathbb{P}_{[N=n]}(X=k)$.\\
  2. Calculer la loi conjointe de $(X,Y)$.\\
  3. Calculer les lois marginales $X$ et $Y$.
Exercice 6163. On considère deux variables aléatoires $X:\Omega\to\mathbb{N}$ et $Y:\Omega\to\mathbb{N}$ telles que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et \[ Y(\omega)= \begin{cases} \frac{1}{2}X(\omega) & \mathrm{si}\ X(\omega)\ \mathrm{est\ pair},\\ 0 & \mathrm{sinon}. \end{cases} \] Déterminer la loi de $Y$, son espérance et sa fonction génératrice.
Exercice 6164. On considère un dé équilibré à six faces.\\
  1. Dans cette première question, on effectue $10$ lancers de dé indépendants. Soit $T$ la variable aléatoire qui donne le premier lancer où l'on obtient $6$. On suppose que si on n'obtient aucun $6$, alors $T=0$. Déterminer la loi de $T$.\\ Dans les questions suivantes, on ne limite plus le nombre de lancers. Notons $T_n$ la variable aléatoire renvoyant le numéro du lancer où on obtient le $n$-ième $6$.\\
  2. \startletters
  3. a Déterminer la loi de $T_1$.\\
  4. a Calculer la fonction génératrice de $T_1$, son rayon de convergence et sa somme.\\
  5. \startlettersnext
  6. a Déterminer la loi de $T_2-T_1$.\\
  7. a Calculer la fonction génératrice de $T_2-T_1$, son rayon de convergence et sa somme.\\
  8. a En déduire la loi de $T_2$.
Exercice 6165. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes réelles indépendantes et suivant une même loi géométrique de paramètre $p$. On pose \[ Z=\max(X,Y). \] On fixe $n\in\mathbb{N}^*$.\\
  1. Comparer $[Z\leqslant n]$ et $[X\leqslant n]\cap [Y\leqslant n]$. En déduire $\mathbb{P}(Z\leqslant n)$.\\
  2. Déterminer la loi de $Z$.\\
  3. Calculer l'espérance de $Z$.
Exercice 6166. On considère une pièce truquée telle que la probabilité d'obtenir Pile est $p\in]0,1[$.\\ On lance la pièce jusqu'à obtenir une première fois Pile. On note $x$ le nombre de lancers qui ont été nécessaires. On lance alors $x$ fois la pièce et on compte le nombre de Pile ainsi obtenus.\\ Déterminer le nombre moyen de Pile ainsi obtenus.
Exercice 6167. On considère une variable aléatoire $N$ suivant une loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$, avec $N(\Omega)=\mathbb{N}^*$.\\ On définit deux variables aléatoires $X$ et $Y$ par \[ X= \begin{cases} 1 & \mathrm{si}\ N\equiv 0\ [5],\\ 0 & \mathrm{sinon}, \end{cases} \qquad Y= \begin{cases} 1 & \mathrm{si}\ N\equiv 0\ [2],\\ 0 & \mathrm{sinon}. \end{cases} \]
  1. Calculer $\mathbb{P}(X=1)$ et $\mathbb{P}(Y=1)$.\\
  2. Calculer $\mathbb{P}(X=Y=1)$.\\
  3. Calculer $\mathbb{E}((X-Y)^2)$.\\
  4. Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
Exercice 6168. Soit $\Lambda$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\nu$, et $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\Lambda$.\\ Déterminer la loi de $X$ ainsi que son espérance.
Exercice 6169. Dans un supermarché, les clients choisissent leur caisse parmi $m$ caisses de façon aléatoire et indépendante.\\ Soit $N$ la variable aléatoire représentant le nombre de clients, suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On note $X$ le nombre de clients choisissant la caisse numéro $1$.\\
  1. Déterminer la probabilité conditionnelle de $X$ sachant $[N=n]$, où $n\in\mathbb{N}$.\\
  2. En déduire la loi de $X$.
Exercice 6170. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On effectue des tirages sans remise tant que les numéros tombent dans un ordre croissant. On note $X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages pendant lesquels la suite des résultats est restée croissante.\\ Ainsi, un tirage $1,3,4,2$ donne $X=3$.\\ Déterminer la loi de $X$ et calculer son espérance.
Exercice 6171. On définit pour tout $(i,j)\in \mathbb{N}^2$, \[ \mathbb{P}(X=i,Y=j)=\alpha q^{i+j} \] avec $q \in ]0,1[$. \\
  1. Déterminer la valeur de $\alpha$. On pose $p=1-q$.
  2. Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$. Que vaut $\mathbb{E}[X]$ et $\mathbb{V}[X]$ ?
  3. Calculer $\mathrm{cov}(X,Y)$.
  4. Déterminer la loi de $S=\max(X,Y)$.
  5. Reconnaître la loi de $I=\min(X,Y)$.
Exercice 6172. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$, avec $p,q > 0$.\\ Calculer la probabilité que la matrice \[ A= \begin{pmatrix} X & 1\\ 0 & Y \end{pmatrix} \] soit diagonalisable.
Exercice 6173. Soit une suite $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ de variables aléatoires mutuellement indépendantes, chacune suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda=1$.\\ On pose \[ S_n=\sum_{k=1}^n X_k \] et \[ S_n^*=\frac{1}{\delta S_n}\left(S_n-\mathbb{E}(S_n)\right), \] avec $\delta S_n$ l'écart-type de $S_n$.\\
  1. Rappeler l'espérance, la variance et la fonction génératrice de chaque $X_k$.\\
  2. Déterminer l'espérance, la variance et la fonction génératrice de $S_n$.\\
  3. \startletters
  4. a Déterminer l'espérance et la variance de $S_n^*$.\\
  5. a En admettant son existence, démontrer que la fonction génératrice $G_{S_n^*}$ de $S_n^*$ vérifie, sur son ensemble de définition : \[ G_{S_n^*}(t)=\frac{G_{S_n}\left(t^{1/\sqrt{n}}\right)}{t^{\sqrt{n}}}. \]
  6. a Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ lorsque $n\to+\infty$ de $t^{1/\sqrt{n}}$. En déduire la limite lorsque $n\to+\infty$ de $G_{S_n^*}(t)$.
Exercice 6174. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $X_1,X_2,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$.\\ On pose \[ D=\mathrm{diag}(X_1,X_2,\ldots,X_n) \] et \[ M=PDP^{-1} \] avec $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.\\
  1. Donner les lois et espérances de $\mathrm{tr}(M)$, $\det(M)$ et $\mathrm{Rg}(M)$.\\
  2. Déterminer la probabilité que les sous-espaces propres de $M$ aient tous la même dimension.\\
  3. On considère la colonne \[ U=(X_1,X_2,\ldots,X_n)^T \] et \[ A=UU^T\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). \] Donner la loi des coefficients de $A$, celles de $\mathrm{tr}(A)$ et de $\mathrm{Rg}(A)$.
Exercice 6175. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout $i\in\intervalleEntier{1}{n}$, $X_i$ suit une loi binomiale de paramètre $(n_i,p_i)\in\mathbb{N}^*\times]0,1[$.\\ Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : \[ \mathrm{(i)}\quad X=X_1+\cdots+X_n\ \mathrm{suit\ une\ loi\ binomiale}, \] \[ \mathrm{(ii)}\quad p_1=\cdots=p_n. \] Dans ce cas, on déterminera le paramètre de $X$.
Exercice 6176. Deux chaînes de production $A$ et $B$ sont à l'oeuvre dans une usine : $A$ produit $60\%$ de la production, $B$ le reste. La probabilité qu'un objet provenant de $A$ soit défectueux est de $0,1$, et de $0,2$ pour $B$.\\
  1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise, on constate qu'il est défectueux. Calculer la probabilité de "l'objet vient de la chaîne $A$".\\
  2. On suppose de plus que $A$ produit une quantité aléatoire notée $Y_A$ d'objets par heure, avec $Y_A\sim\mathcal{P}(20)$. Déterminer la loi de $X_A$, nombre d'objets défectueux produits en une heure par la chaîne $A$.\\
  3. On prend maintenant en compte les deux chaînes. Donner la loi du nombre d'objets défectueux produits en une heure.
Exercice 6177. Une urne contient $n\geqslant 1$ boules noires et $b\geqslant 1$ boules blanches. On effectue des tirages avec remises.\\ Pour $i\geqslant 1$, on note $X_i=1$ si une boule noire est tirée, sinon $X_i=0$.\\ On note $L_1$ la longueur de la première série de résultats identiques et consécutifs, et $L_2$ la longueur de la deuxième série.\\
  1. Déterminer la loi de $L_1$, son espérance.\\
  2. Déterminer la loi conjointe de $(L_1,L_2)$.\\
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ et $b$ pour que $L_1$ et $L_2$ soient indépendantes.\\
  4. Montrer que $\mathbb{E}(L_2)=2$.\\
  5. Montrer qu'en moyenne la seconde série est plus courte que la première et étudier le cas d'égalité.
Exercice 6178. On part de la matrice nulle $M_0$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Pour tout $k\in\mathbb{N}$, on construit la matrice $M_{k+1}$ à partir de $M_k$ ainsi : on parcourt en une vague la matrice $M_k$, et chaque coefficient nul est changé en $1$ avec probabilité $p$, de manière indépendante de l'historique.\\ Pour $k\geqslant 1$, le nombre de modifications lors de la $k$-ième vague est noté $N_k$.\\ On note $q=1-p$.\\
  1. Soient $i$ et $j$ dans $\{1,2\}$. Le premier entier $k$ tel que le coefficient ligne $i$, colonne $j$ de $M_k$ vaut $1$ est noté $T_{i,j}$. Donner la loi de $T_{i,j}$.\\
  2. On note $1_A$ la fonction indicatrice d'un événement $A$. Donner la loi de la variable aléatoire $1_{\{T_{i,j}\leqslant k\}}$ pour un entier $k\geqslant 1$ donné.\\
  3. Soit $r\geqslant 1$ un entier et $S_r=N_1+\cdots+N_r$. Que représente $S_r$ ? Prouver qu'elle possède une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.\\
  4. On note $N$ le nombre de vagues nécessaires pour remplir totalement la matrice nulle. Calculer la loi de $N$, prouver qu'elle est d'espérance finie et que \[ \mathbb{E}(N)=\sum_{j=1}^4\binom{4}{j}\frac{(-1)^j}{q^j-1}. \]
Exercice 6179. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$. On suppose que \[ X+Y\sim\mathcal{B}(n,p) \] avec $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in]0,1[$.\\
  1. Que dire de $X$ et $Y$ ?\\
  2. Même question avec les mêmes hypothèses, mais si $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}$ ?
Exercice 6180. Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, on note \[ d(X,Y)=\Sum_{n\in\mathbb{N}}\abs{\mathbb{P}(X=n)-\mathbb{P}(Y=n)}. \]
  1. Justifier la convergence de la série. \\
  2. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on se donne une variable aléatoire $S_n$ suivant la loi de la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1/n)$, et $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $1$. Montrer que $d(S_n,X)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 6181. Montrer que l'on ne peut pas truquer deux dés de manière à ce que leur somme suive la loi uniforme sur $\llbracket 2,12\rrbracket$.
Exercice 6182. On considère $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes définies sur le même espace probabilisé $\Omega$. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson.\\ Montrer que $Y$ suit une loi de Poisson si et seulement si $X+Y$ suit une loi de Poisson.
Exercice 6183. On dispose de $N$ pièces équilibrées. On lance les $N$ pièces de manière indépendante. On note $X_1$ le nombre de "pile" obtenus. On relance ces $X_1$ pièces et on note $X_2$ le nombre de "pile" obtenus. \\
  1. Calculer la fonction génératrice de $X_2$.
  2. Calculer la fonction génératrice de $X_k$, pour $k \geqslant 3$.
  3. Soit $T$ l'instant où l'on n'a plus de pièce. Calculer $\mathbb{E}[T]$ dans le cas où $N=4$.
Exercice 6184. Une urne contient $n$ boules noires et $n$ boules blanches, avec $n \geqslant 1$. On tire une à une les boules sans remise jusqu'à l'obtention de la dernière boule blanche. On définit la variable aléatoire $X$ égale au nombre minimum de tirages nécessaires pour que l'urne ne contienne plus aucune boule blanche. \\
  1. Déterminer la loi de $X$.
  2. Montrer que, pour tout entier $n$, \[ \Sum_{k=0}^n \binom{n+k}{k}=\binom{2n+1}{n}. \] En déduire l'espérance et la variance de $X$.
Exercice 6185. On lance une pièce amenant pile avec une probabilité $p\in]0,1[$ jusqu’à l’obtention de deux piles.\\ On note alors $X$ le nombre de faces obtenues.\\ Si $X=n$ avec $n\in\mathbb{N}$, on place $n+1$ boules numérotées de $0$ à $n$ dans une urne. On tire une boule au hasard et on note $Y$ le numéro de la boule obtenue.\\
  1. Déterminer la loi de $X$. Calculer l’espérance de $X$.
  2. Déterminer la loi du couple $(X,Y)$. En déduire la loi de $Y$ puis son espérance $\mathbb{E}[Y]$.
  3. On définit la variable aléatoire $Z=X-Y$. Montrer que $Y$ et $Z$ sont indépendantes.
Exercice 6186. Soit $Z$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$. On dit que $Z$ est décomposable si et seulement s'il existe deux variables aléatoires $X$ et $Y$, indépendantes et non toutes les deux nulles, à valeurs dans $\mathbb{N}$, telles que $X+Y$ ait la même loi que $Z$.\\
  1. Soient $n\geqslant 2$ et $p\in]0,1[$. Montrer que si $Z\sim\mathcal{B}(n,p)$, alors $Z$ est décomposable.\\
  2. Soit $n\geqslant 2$ non premier. On suppose que $Z$ suit une loi uniforme sur $\intervalleEntier{0}{n-1}$. Montrer qu'il existe $r,s\in\mathbb{N}^*$ tels que \[ \forall t\in\mathbb{R},\quad G_Z(t)=\left(\frac{1}{r}\sum_{i=0}^{r-1}t^i\right)\left(\frac{1}{s}\sum_{i=0}^{s-1}t^{ri}\right). \] En déduire que $Z$ est décomposable.\\
  3. On suppose que $n\geqslant 3$ est premier. On souhaite montrer que si $Z$ suit une loi uniforme sur $\intervalleEntier{0}{n-1}$, alors elle n'est pas décomposable. On raisonne par l'absurde.\\ \startlettersnext
  4. a Montrer qu'il existe des polynômes $U,V$ unitaires, non constants et à coefficients dans $\mathbb{R}_+$, tels que \[ 1+X+X^2+\cdots+X^{n-1}=U(X)V(X). \] On note $r=\deg(U)$ et $s=\deg(V)$.\\
  5. a Montrer que \[ U(X)=X^rU(1/X) \quad\mathrm{et}\quad V(X)=X^sV(1/X). \] Justifier que l'on peut noter \[ U(X)=1+u_1X+\cdots+u_{r-1}X^{r-1}+X^r \] et \[ V(X)=1+v_1X+\cdots+v_{s-1}X^{s-1}+X^s. \]
  6. a On se ramène au cas où $r\leqslant s$. Prouver que \[ \forall k\in\intervalleEntier{1}{r},\quad u_kv_k=0. \]
  7. a En déduire que tous les $u_k$ et tous les $v_k$ sont dans $\{0,1\}$. Conclure.
Exercice 6187. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $x\geqslant 0$. Soit $p\geqslant 3$ un nombre impair. On note $Y$ la variable aléatoire valant le reste de $X$ dans la division euclidienne par $p$.\\ Calculer la loi de $Y$.
Exercice 6188. Soient $d \in \mathbb{N}^*$ et $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{d-1})$ une liste de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $\frac12$.\\ On note $p_d$ la probabilité pour que le polynôme \[ X^d+\sum_{i=1}^{d-1}\varepsilon_iX^i+1 \] possède une racine rationnelle.\\ Montrer que \[ p_d\sim \sqrt{\frac{2}{\pi d}}. \]