Lois usuelles

Exercice 1779. Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$. \\ Quelle est la loi suivie par la variable $Y=n-X$ ?
Exercice 1780. Un archer tire sur $n$ cibles. À chaque tir, il a la probabilité $p$ de toucher la cible et les tirs sont supposés indépendants. \\ Il tire une première fois sur chaque cible et on note $X$ le nombre de cibles atteintes lors de ce premier jet. \\ L’archer tire ensuite une seconde fois sur les cibles restantes et l’on note $Y$ le nombre de cibles touchés lors de cette tentative. \\ Déterminer la loi de la variable $Z=X+Y$.
Exercice 1781. \\
  1. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Bernoulli de paramètres $p$ et $q$. Déterminer la loi de la variable $Z=\max(X,Y)$. \\ Deux archers tirent indépendemment sur $n$ cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité $p$ de toucher, le second la probabilité $q$. \\
  2. Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois ? \\
  3. Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles épargnées ? \\
Exercice 1782. Un étudiant résout un QCM constitué de $n$ questions offrant chacune quatre réponses possibles. \\ Pour chaque question, et indépendemment les unes des autres, il a la probabilité $p$ de savoir résoudre celle-ci. \\ Dans ce cas il produit la bonne réponse. \\ Si en revanche, il ne sait pas résoudre la question, il choisit arbitrairement l’une des quatre réponses possibles. \\ On note $X$ la variable aléatoire déterminant le nombre de questions qu’il savait résoudre et $Y$ le nombre de questions qu’il a correctement résolues parmi celles où il a répondu "au hasard". \\
  1. Reconnaître la loi de $Z=X+Y$. \\
  2. Calculer espérance et variance de $Z$.
Exercice 1783. Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec $p\in]0;1[$. \\ On note $b(k,n,p)=\mathbb{P}(X=k)$. \\
  1. Pour quelle valeur $m$ de $k$, le coefficient $b(k,n,p)$ est-il maximal ? \\
  2. Étudier la monotonie de la fonction $f:x\mapsto x^m(1-x)^{n-m}$ sur $[0;1]$. \\
  3. Vérifier que si $m\in[np;(n+1)p]$ alors \[ b\Bigl(m,n,\Frac{m}{n+1}\Bigr)\leqslant b(m,n,p)\leqslant b\Bigl(m,n,\Frac{m}{n}\Bigr). \]
  4. Proposer un encadrement analogue pour $m\in[(n+1)p-1;np]$. \\
  5. On donne la formule de Stirling \[ n!\sim \sqrt{2\pi n}\,n^n e^{-n}. \] Donner un équivalent simple de $b(m,n,p)$.